1. ΣΥΝΟΛΑ
Ω
Α Β
Γ
Κοζαλάκης Ευστάθιος
Περιεχόμενα
•Σύνολα
•Βασικό Σύνολο
•Ισα Σύνολα
•Υποσύνολα
•Κενό Σύνολο
•Πράξεις Συνόλων

2. ΣΎΝΟΛΑ
Σύνολο ονομάζουμε ‘‘κάθε συλλογή αντικειμένων , τα οποία προέρχονται από την εμπειρία μας ή από την νόησή μας , είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται με σαφήνεια το ένα από το άλλο ’’ . (Cantor)
Στοιχεία ή μέλη του συνόλου ονομάζονται τα αντικείμενα που αποτελούν το σύνολο
( ο συμβολισμός των συνόλων γίνεται με κεφαλαία γράμματα , ενώ των στοιχείων με μικρά )
α  Α : σημαίνει ότι το στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Α .
α  Α : σημαίνει ότι το στοιχείο α δεν ανήκει στο σύνολο Α . Για παράδειγμα
Ένα σύνολο παριστάνεται με τους ακόλουθους δύο τρόπους :
Mε αναγραφή των στοιχείων του: Γράφουμε δηλαδή τα στοιχεία του συνόλου ένα - ένα (και μία φορά το καθένα ) ανάμεσα σε δύο άγκιστρα και χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά , χωρίζοντάς τα με κόμμα .
Με περιγραφή των στοιχείων του: Αναφέρουμε δηλαδή μια χαρακτηριστική ιδιότητα των στοιχείων , που να εξασφαλίζει όμως ότι αυτά είναι καλά καθορισμένα και διακρίνονται μεταξύ τους .
Κοζαλάκης Ευστάθιος

3. ΒΑΣΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ
Βασικό σύνολο : λέγεται το ευρύτερο σύνολο , με τα υποσύνολα του οποίου εργαζόμαστε. Συμβολίζεται συνήθως με Ω.Τα διαγράμματα Venn είναι μια εποπτική παρουσίαση των συνόλων όπου με ένα ορθογώνιο συμβολίζεται το βασικό σύνολο , μέσα στο οποίο κάθε κλειστή καμπύλη γραμμή συμβολίζει ένα σύνολο με στοιχεία όσα στοιχεία του βασικού συνόλου περικλείονται μέσα στη κλειστή αυτή γραμμή . Ω
Α Β
Γ

4. ΒΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ
N = {0 , 1 , 2 , 3 , . . . . } : Σύνολο των φυσικών αριθμών .
Ζ = { . . . . , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , . . . } : Σύνολο των ακεραίων .
Q = { x / x= , με α,β Ζ , β0 } : Σύνολο των ρητών
R = { x / xQ ή x : άρρητος } : Σύνολο των πραγματικών
Ζ* = Ζ - {0} ( Γενικά ο αστερίσκος σαν εκθέτης στα δεξιά του συνόλου δηλώνει ότι το σύνολο δεν περιέχει το 0 )
Ζ+ = {0 , 1 , 2 , 3 , . . . } (Γενικά το + ως δείκτης δηλώνει ότι το σύνολο περιέχει μόνο τους θετικούς αριθμούς και το 0 )
Κοζαλάκης Ευστάθιος

5. ΙΣΑ ΣΥΝΟΛΑ –ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ-ΚΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ
Ίσα σύνολα: λέγονται δύο σύνολα Α και Β όταν αυτά έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία και γράφουμε : A=B
 Πχ. τα σύνολα : A={xZ / x<0 } και Ζ-* είναι ίσα .
Υποσύνολο ενός συνόλου Α λέγεται ένα σύνολο Β , όταν κάθε στοιχείο του συνόλου Β ανήκει στο Α .
 ( συμβολισμός : Β  Α ) Πχ. Ν  Ζ  Q  R
Kενό : λέγεται το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο ( συμβολισμός :  ή { } )

6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
1. Ας θεωρήσουμε τα σύνολα:
Α = {1, 2} και Β= {x∈ ℝ | (x - 1)(x - 2) = 0 }
Επειδή οι λύσεις της εξίσωσης (x - 1)(x - 2) = 0 είναι οι αριθμοί 1 και 2, το σύνολο Β έχει τα ίδια ακριβώς στοιχεία με το Α. Σε αυτήν την περίπτωση λέμε ότι τα σύνολα Α και Β είναι ίσα.
2. Ας θεωρήσουμε τα σύνολα Α={1, 2, 3, ... , 15} και Β={1, 2, 3, ... , 100} Παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το Α είναι υποσύνολο του Β.
3. Ας αναζητήσουμε τα στοιχεία του συνόλου Α = {x ∈ ℝ | x2 = -1}. Είναι φανερό ότι τέτοια στοιχεία δεν υπάρχουν, αφού η εξίσωση x2 = -1 είναι αδύνατη στο ℝ. Το σύνολο αυτό, που δεν έχει κανένα στοιχείο, λέγεταικενό σύνολο και συμβολίζεται με ∅ ή { }.

7. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ
Ένωση δύο συνόλων Α , Β λέγεται το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία και των δύο συνόλων Α , Β. Συμβολίζεται AUB ΑΒ={xΩ / xA ή xB
Τομή δύο συνόλων Α , Β λέγεται το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων Α και Β. Συμβολίζεται Α∩Β δηλ. Α∩Β ={ xΩ / xA και xB }
.Συμπλήρωμα ενός συνόλου Α λέγεται το σύνολο που περιέχει εκείνα τα στοιχεία του βασικού συνόλου Ω που δεν ανήκουν στο Α . Συμβολίζεται Α΄ Δηλ. Α΄={xΩ / xA }π.χ.

8. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
1. Έστω Ω = {1, 2, 3, ...,10} ένα βασικό σύνολο και δύο υποσύνολά του: Α = {1, 2, 3, 4} και Β = {3, 4, 5, 6} . Το σύνολο {1, 2, 3, 4, 5, 6}, που έχει ως στοιχεία τα κοινά και τα μη κοινά στοιχεία των Α και Β, δηλαδή το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα Α και Β λέγεται ένωση των συνόλων Α και Β.
2. Το σύνολο {3, 4} που έχει ως στοιχεία τα κοινά μόνο στοιχεία των Α και Β λέγεται τομή των Α και Β.
Γενικά:
3. Το σύνολο {5, 6, 7, 8, 9, 10} που έχει ως στοιχεία τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α, λέγεται συμπλήρωμα του συνόλου Α.
Κοζαλάκης Ευστάθιος

9. ΕΝΩΣΗ ΣΥΝΟΛΩΝ
ΑΒΩαβγ1x20y3-2

10. ΤΟΜΗ ΣΥΝΟΛΩΝ
Κοζαλάκης Ευστάθιος

11. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ
β
-2
A
Α΄
Κοζαλάκης Ευστάθιος

12. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα : Α={xN / x+2<7} , B={xZ / |x-2|<4 }
 Γ={(x,y) / xZ , yZ , |x+y|<1 , y2=1} Δ={(x,y) / xZ , yZ , |x+2|=1 , =3}
 Ε={(x,y) / xZ , yN , x3=-8 , |y2-1|  3} .
2. Να γραφούν με περιγραφή τα σύνολα : i) Α={0 , 1 , 2 , 3} ii) B={-3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3}
3. Να εξετάσετε ποια σχέση έχουν τα σύνολα :
 i) Α={αR / α2=|α| } και Β={αR / α3=α} .
 iii) A={xR / χ=2 } και Β={xZ / -2  1-3x  4 }
4. Να βρεθεί η ένωση και η τομή των συνόλων :
α) Α=R-{1 , 2} , B=R-{2 , 3} β) Α=R-{-1 , 2} B=[1 , +) γ) Α=(3 , +) , Β=(- , 5]
5. Να βρείτε όλα τα υποσύνολα των συνόλων : Α={0 , 1} και Β={1 , 2 , 3} .

13. Διάλειμμα