2019 5-2 簡諧運動
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中華民國 高中物理教材 99課綱-基礎物理2B-CH5 牛頓運動定律-2-週期運動 注意：部分動畫無法顯示 參考資料 陈玉芳，物理學史簡明教程 郭奕玲，沈慧君，物理學演義 維基百科 高二物理課本，99課綱 DeltaMOOCx
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2019 5-2 簡諧運動
- 1. 5-2 簡諧運動
- 2. Samn physics 高二基礎物理2B-CH5 39 生活中的觀察 ○ 振盪(Oscillation) ○ 在平衡點(中央位置)的兩端做具備 重複性，週期性的變化。 ○ 或在兩個狀態或多種狀態之間做 重複性，週期性的變化
- 4. Samn physics 簡諧運動-水平振盪的彈簧系統 x ○ 物體連結彈簧(彈性限度內)在光 滑平面上的來回振動 ○ 中央位置：平衡點 ○ 兩端：端點 ○ 物體受到彈簧回復力 𝑭 = −𝒌𝒙 𝒎𝒂 𝒙 = −𝒌𝒙 x- R 0 R x x 端點端點 高二基礎物理2B-CH5 41 𝑭 𝒙
- 5. Samn physics ○質點在一直線上來回週期性 之振動 ○ 完整往返振動一次： 振動物體從某一初始狀態開始，再次 回到初始狀態 ○ 即位移、速度均與初態完全相同 簡諧運動-水平方向 t=0 高二基礎物理2B-CH5 42 t=T
- 6. Samn physics ○質點在一直線上來回週期性 之振動 ○ 振動圖像 是一條 正弦曲線. ○ 振幅：平衡點與端點的距離, 以R表示 ○ 描述振動強弱的物理量 ○ 振幅的兩倍（2𝑅）表示質點 運動範圍 描述簡諧運動的物理量 端點 端點 平衡點 振幅,R 振幅,R t=0 高二基礎物理2B-CH5 43 t=T
- 7. Samn physics ○質點在一直線上來回週期性 之振動 ○ 週期T：振子完成一次全振動 所需要的時間,秒(s) ○ 1個週期T之後，質點走過 路徑 4R 描述簡諧運動的物理量 端點 端點 平衡點 t=0 週期T 高二基礎物理2B-CH5 44
- 9. Samn physics 分析SHM-利用「投影」概念 ○ 想像質點做等速率圓週運動 ○ Y方向的投影，呈現一直線上來回 週期性之移動 ○ SHM可用等速圓周運動的投影 進行分析。 ○ 這樣的等速圓周運動， 可稱為[參考圓] http://wordassociation1.net/elements.html 高二基礎物理2B-CH5 46
- 11. Samn physics ○ 等速圓周運動的 週期 T 角速度 SHM-位置與時間的關係 ○ 𝑡 = 0 ，從端點向左振動 ○ 𝑡 秒時， 參考圓的質點對軸心的角位 移為 𝝎𝒕 ○ SHM的質點位置為 𝒙 𝑅 𝑡 = 0 𝑡 端點端點 平衡點 𝑅 𝝎𝒕 𝒙 = 𝑹 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 𝑥 =0 𝒙 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 高二基礎物理2B-CH5 48
- 12. Samn physics SHM-位置與時間的關係 ○ t 秒時，質點位置為 𝒙 ○ 端點到平衡點的圓心角 ○ 平衡點到端點的圓心角 ○ 端點→平衡點的時間 ○ 端點→端點的時間 𝑡 = 0 端點端點 平衡點 𝒙 = 𝑹 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 𝑥 =0 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 簡諧運動 對稱性 𝑻 𝟒 𝑻 𝟐 高二基礎物理2B-CH5 49
- 13. Samn physics ○ 參考圓的質點速度大小 ○ t 秒時， 參考圓的質點對軸心的角位 移為 𝜔𝑡 SHM-速度與時間的分析 t=0 𝑡 端點端點 平衡點 R 𝝎𝒕 𝝎𝒕 −𝑹𝝎 ≤ 𝒗 𝒙 ≤ 𝑹𝝎 𝒗 = 𝑹𝝎 變速度運動 𝒗 𝒙 = −𝑹 𝝎 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕𝒗 𝒙 = −𝑹 𝝎 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝑅 高二基礎物理2B-CH5 50 𝒗 𝒙
- 14. Samn physics 端點 ○ t 秒時，簡諧運動的速度 ○ 在右端點➔ 𝝎𝒕=0度 ○ 在左端點➔ 𝝎𝒕=180度 ○ 在平衡點 ○ 𝝎𝒕=90度 ○ 𝝎𝒕=270度 SHM-速度與時間的分析 t=0 端點平衡點 𝒗 𝒙 = −𝑹𝝎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝑥 =0 𝒗 𝒗 𝒙=0 𝒗 𝒙= -𝑹𝝎 𝒗 𝒙= 𝑹𝝎 R 高二基礎物理2B-CH5 51
- 15. Samn physics 端點 ○t 秒時，簡諧運動的速度 ○在端點➔平衡點 ○質點加速到最大值 𝑹𝝎 ○在平衡點➔端點 ○質點 減速到 0 SHM-速度與時間的分析 𝑅 t=0 端點平衡點 𝒗 𝒙 = −𝑹𝝎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝒗 = 𝑹𝝎 𝒗 𝒙 加速減速 加速 減速 變速度運動 高二基礎物理2B-CH5 52
- 16. Samn physics SHM-加速度與時間的分析 𝑡 = 0 𝑡 平衡點 𝝎𝒕 𝝎𝒕 𝑎 𝑐 𝒂 𝒙 ○參考圓的質點加速度大小 ○ 𝑡 時間之後，參考圓質點 對軸心的角位移為𝜔𝑡 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝑹𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 𝒂 𝒙 𝒂 𝒙 𝒂 𝒄 = 𝝎 𝟐 𝑹 −𝝎 𝟐 𝑹 ≤ 𝒂 𝒙 ≤ 𝝎 𝟐 𝑹 R 高二基礎物理2B-CH5 53 端點 端點 𝒂 𝒄 = 𝝎 𝟐 𝑹 𝑡
- 17. Samn physics ○ t 秒時，簡諧運動加速度 ○ 在右端點➔ 𝝎𝒕=0度 ○ 在左端點➔ 𝝎𝒕=180度 ○ 在平衡點 ○ 𝝎𝒕=90度 ○ 𝝎𝒕=270度 SHM加速度與時間的分析 t=0 平衡點 𝑥 =0 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝑹𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕)𝒂 𝒄 = 𝝎 𝟐 𝑹 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝑹 𝒂 𝒙 = 𝝎 𝟐 𝑹 𝒂 𝒙 =0 合力=0 高二基礎物理2B-CH5 54 端點 端點 端點→平衡點 𝝎 𝟐 𝑹→0
- 18. Samn physics SHM加速度與合力 𝒕 = 𝟎 𝒕 𝝎𝒕 𝒂 𝒄 𝒂 𝒙 R ○ t 秒時，簡諧運動 ○ 得 ○ 合力 ○ 合力→虎克定律 形式相同 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝑹𝐜𝐨𝐬 ωt 𝒂 𝒄 = 𝝎 𝟐 𝑹 റ𝐅 𝒙 = 𝑹 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝒙 𝑭 =m𝒂 𝒙 = −𝒎𝝎 𝟐 𝒙 常數 高二基礎物理2B-CH5 55 平衡點端點 端點
- 19. Samn physics 簡諧運動-振盪週期T ○ 物體連結彈簧(彈性限度內)在 光滑平面上的來回振動 𝒙 𝑭 = −𝒌𝒙 𝑭 = −𝒎𝝎 𝟐 𝒙 - R 0 R 𝒌 = 𝒎𝝎 𝟐 ○ 從參考圓的角速度得知 ○ 振盪週期 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 𝒌 = 𝒎𝝎 𝟐 = 𝒎 ∙ 𝟒𝝅 𝟐 𝑻 𝟐 𝑻 = 𝟐𝝅 𝒎 𝒌 高二基礎物理2B-CH5 56 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝑹𝐜𝐨𝐬 ωt 𝒗 𝒙 = −𝑹𝝎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝒙 = 𝑹 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
- 20. Samn physics 簡諧運動-小結 ○ 物體連結彈簧(彈性限度內)在 光滑平面上的來回振動 左端點 平衡點 右端點 位置 −𝑹 𝟎 𝑹 速度 𝟎 ±𝑹𝝎 𝟎 加速度 𝝎 𝟐 𝑹 𝟎 −𝝎 𝟐 𝑹 合力 𝒎𝝎 𝟐 𝑹 𝟎 −𝒎𝝎 𝟐 𝑹 x 𝑭 = −𝒎𝝎 𝟐 𝒙 - R 0 R 𝒌 = 𝒎𝝎 𝟐 𝑻 = 𝟐𝝅 𝒎 𝒌 高二基礎物理2B-CH5 57 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝑹𝐜𝐨𝐬 ωt 𝒗 𝒙 = −𝑹𝝎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝒙 = 𝑹 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
- 21. Samn physics 1. 高二基礎物理2B-CH5 58 例題7 某物體做簡諧運動，若其位置和時間關係為𝒙 = 𝟖 𝐜𝐨𝐬( 𝝅 𝟓 𝒕)公分，時間單位 為秒。則 (1) 週期為? (2)最大速率? (3)最大加速度? (4) t＝2秒時質點的速率為?；加速度的量值為? (5) 當物體自其初始位置向平衡點運動，行至位移為振幅之半處，費時多 少? 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝑹𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 𝒗 𝒙 = −𝑹𝝎 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 𝒙 = 𝑹 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝑹 = 𝟖 𝐜𝐦 𝝎 = 𝝅 𝟓 𝐫𝐚𝐝/𝐬 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 𝐓 = 𝟐𝝅 𝝅/𝟓 = 𝟏𝟎 𝒗 𝒙 = 𝑹𝝎 𝒗 𝒙 = 𝟖𝝅 𝟓 𝐜𝐦/𝐬 𝒂 𝒙 = 𝝎 𝟐 𝑹 𝒂 𝒙 = 𝟖𝝅 𝟐 𝟐𝟓 𝐜𝐦/𝐬 𝟐
- 22. Samn physics 4. 高二基礎物理2B-CH5 59 例題7 某物體做簡諧運動，若其位置和時間關係為𝒙 = 𝟖 𝐜𝐨𝐬( 𝝅 𝟓 𝒕)公分，時間單位 為秒。則 (1) 週期為? (2)最大速率? (3)最大加速度? (4) t＝2秒時質點的速率為?；加速度的量值為? (5) 當物體自其初始位置向平衡點運動，行至位移為振幅之半處，費時多 少? 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝑹𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 𝒗 𝒙 = −𝑹𝝎 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 𝒙 = 𝑹 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝑹 = 𝟖 𝐜𝐦 𝝎 = 𝝅 𝟓 𝐫𝐚𝐝/𝐬 𝒕 = 𝟐 𝐬 𝒗 𝒙 = 𝟖𝝅 𝟓 𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝝅 𝟓 ) 𝐜𝐦/𝐬 𝒂 𝒙 = 𝟖𝝅 𝟐 𝟐𝟓 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅 𝟓 𝐜𝐦/𝐬 𝟐
- 23. Samn physics 5. 高二基礎物理2B-CH5 60 例題7 某物體做簡諧運動，若其位置和時間關係為𝒙 = 𝟖 𝐜𝐨𝐬( 𝝅 𝟓 𝒕)公分，時間單位 為秒。則 (1) 週期為? (2)最大速率? (3)最大加速度? (4) t＝2秒時質點的速率為?；加速度的量值為? (5) 當物體自其初始位置向平衡點運動，行至位移為振幅之半處，費時多 少? 𝒕 = 𝟎 𝐬 初始位置𝒙 = 𝟖 𝐜𝐦 末位置𝒙 𝒇 = 𝟒 𝐜𝐦𝒕 =? 𝟖𝐜𝐦 4𝐜𝐦 𝝎𝒕 = 𝟔𝟎 𝐨 𝒕 = 𝟏𝟎 × 𝟔𝟎 𝐨 𝟑𝟔𝟎 𝐨 = 𝟓 𝟑 𝐬
- 24. Samn physics 1. 高二基礎物理2B-CH5 61 例題8 一物體做S.H.M.，其振幅為15 cm，且頻率為4Hz，求： (1)速率及加速度的最大值 (2)當物體位在平衡位置相距9cm時候之加速度的量值 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝑹𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 𝒗 𝒙 = −𝑹𝝎 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 = 𝟐𝝅𝒇 = 𝟖𝝅 𝐫𝐚𝐝/𝐬 𝑹 = 𝟏𝟓 𝐜𝐦 = 𝟎. 𝟏𝟓 𝐦 𝒂 𝒙 = 𝑹𝝎 𝟐 𝒗 𝒙 = 𝑹𝝎 = 𝟎. 𝟏𝟓 × 𝟖𝝅 = 𝟏. 𝟐𝝅 𝐜𝐦/𝐬 = 𝟎. 𝟏𝟓 × 𝟖𝝅 𝟐 = 𝟗. 𝟔𝝅 𝟐 𝐜𝐦/𝐬 𝟐𝒙 = 𝑹 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
- 25. Samn physics 2. 高二基礎物理2B-CH5 62 例題8 一物體做S.H.M.，其振幅為15 cm，且頻率為4Hz，求： (1)速率及加速度的最大值 (2)當物體位在平衡位置相距9cm時候之加速度的量值 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 = 𝟐𝝅𝒇 = 𝟖𝝅 𝐫𝐚𝐝/𝐬 𝑹 = 𝟏𝟓 𝐜𝐦 = 𝟎. 𝟏𝟓 𝐦 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝑹𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 𝒗 𝒙 = −𝑹𝝎 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 𝒙 = 𝑹 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝑹𝐜𝐨𝐬 ωt 𝒙 = 𝑹 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝒙 = 𝟖𝝅 𝟐 × 0.09 𝒂 𝒙 = 𝝎 𝟐 𝒙 = 𝟏𝟒𝟒𝝅 𝟐 /𝟐𝟓
- 26. Samn physics 高二基礎物理2B-CH5 63 例題10 地震時，如果地面運動的加速度太大，地面上的建築物會被破壞。某建築 物可以承受的最大地面水平加速度為 0.32g（g 為重力加速度，為 9.8 m∕s2）。假設地震時，該建築物基地的運動可視為水平簡諧運動，則角頻 率為 5.6 rad∕s 的地震發生時，此建築物可承受的最大地面水平振幅為多少 cm？ 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝑹𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 𝒂 𝒙 = 𝝎 𝟐 𝑹 角頻率 =角速度 0.32 × 9.8 = (5.6)2 𝑅 𝑹：最大地面水平振幅 𝑅 = 0.1 m
- 27. Samn physics 1. 高二基礎物理2B-CH5 64 例題9 一質點作簡諧運動，當其距平衡點為4公尺和3公尺時的速度量值分別為6 公尺/秒、8公尺/秒，則該簡諧運動的振幅為 5 公尺，角頻率為 2 弧度/秒，週期為 秒，最大速度的大小為 10 公尺/秒，最大加速度的大 小為 20 公尺/秒2。 𝒂 𝒙 = −𝝎 𝟐 𝑹𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 𝒗 𝒙 = −𝑹𝝎 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 𝒙 = 𝑹 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
- 28. Thank for Contoso Ltd. https://mysecretpark.blogspot.com/ your attention 參考資料 陈玉芳，物理學史簡明教程 郭奕玲，沈慧君，物理學演義 維基百科 高二基礎物理課本，99課綱 DeltaMOOCx