関数型プログラミング入門 for Matlab ユーザー

関数型プログラミング入門
for Matlabユーザー
丸田一郎

アメリカで滞在していた研究室にて…
学生「何か手っ取り早くプログラミングが上達する
チュートリアルやってくださいよ」
○「Functional Programming とかどう？」
学生「Function ならみんな知ってますよ～
他のネタがいいです」
○「（これは教えがいがありそうやで…）」
という感じのいきさつで，一晩で準備したスライドの
日本語訳がこれです．過度な期待はしないでください．

このチュートリアルのねらい
対象
• Matlab初級者の大学生/大学院生/研究者
目標
• 関数型プログラミングをちょろっと勉強して
日々のコーディングを効率的にする

関数型プログラミング(FP)って何？
「関数を組み合わせて処理を記述する」
プログラミングパラダイムです
このチュートリアルでは，
「関数を組み合わせて処理を記述する」
うえで有用な機能・テクニックと，その
メリットについて例を挙げて説明します．
最初のトピックは「無名関数」です

そもそも無名関数（とかFP）って
勉強する価値あるの？
高確率でペイすると思います
その根拠は…
Q
A
To Be Continued

メジャー＆保守的な言語偉大な祖先
1958 Lisp
1967 Simula
1972 C
1983 C++
1995 ⋮ Java
2011 C++11 ⋮
2014 C++14 Java 8
クラスの導入
(オブジェクト指向)
無名関数の導入
(関数型プログラミング)
C＋＋と Java が無名関数を最近導入
関数型プログラミングの鍵となる機能

• C++ と Java が無名関数を最近導入
• 他の人気言語はとっくの昔に導入
• 他の関数型プログラミング由来の機能を
取り入れる言語も多い
無名関数（関数型プログラミング）の有用
性は広く認められていると考えられる

というわけで，無名関数の
使用例をみてみよう！
ここで考える例題
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3
− 𝑥𝑥 のグラフを
−1.2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1.2の範囲で描け！
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
←たぶんこんな感じ
To Be Continued

-1 -0.5 0 0.5 1
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
x = -1.2:0.02:1.2; → x=[-1.20, -1.18,…, 1.20]
y = x.^3 - x; → y=[-0.53, -0.46,…, 0.53]
plot( x, y) → 配列のデータから描画
Matlabでグラフを描く普通のやり方
x = first:step:last
firstから始まってstep刻みで
lastまで続く配列（ベクトル）
ができます
y = x.^3 - x
.^は要素ごとにべき乗を行う演算
子です．減算はデフォルトでベク
トルに対応しています．
Matlab を知らない人に…

-1 -0.5 0 0.5 1
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
無名関数を使う例
f = @(x) x^3 - x; % fは関数
xrng = [-1.2, 1.2]; % 描画範囲の［下限,上限］
fplot(f,xrng) % 関数と範囲指定から描画
@(x) x^3 - x
Matlab の無名関数
x の関数返り値は
𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥
という構文です

f = @(x) x^3 - x;
fplot(f, xrng)
A 一行で書くとわかりやすいかも
f なんていらんかったんや！
Q どこが無名なの？
fplot( @(x) x^3-x, xrng)
名前っぽくね？

パッと見は些末な機能…
だけど関数型プログラミングの鍵
高階関数を使うときに超便利だから
無名関数＝ 🍜🍜 即席で作れる使い捨ての関数
fplot( @(x) x^3-x, xrng)
なんで？
To Be Continued

高階関数とは？
引数 → 返り値
関数
function
Data → Data
高階関数
higher order function
Function → Data
Data → Function
Function → Function
汎関数
functional
※ 数学ではこのクラスを
特に functional と呼ぶが，
functional programming の
由来では無いっぽい
Function → Data
関数型プログラミングでは高階関数を駆使する

引数
plot( x, y) Data
fplot( f, xrng) Function
高階関数を使うとハイレベルなアルゴリズムを
容易に使いまわすことができる
⇒ fplot が如何にハイレベルか見てみよう
←高階関数
高階関数の例
←ただの関数

-1 -0.5 0 0.5 1
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
ただの関数 plot(x,y) の結果（拡大）
16
まぁ普通ですね

-1 -0.5 0 0.5 1
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
高階関数 fplot(f,xrng) の結果（拡大）
17
疎
密
適応ステップ！

18
描画する関数 f の形状に応じて適応的に
ステップ幅を調節しながらプロットする
fplot(f,xrng)
高階関数として実装することで，そ
こそこ高度なアルゴリズムを簡単か
つ自然に使いまわせている点に注目

まとめ (3/5)
関数型プログラミング
 関数を組み合わせて処理を記述するプログラミング
パラダイム
無名関数
 即席で作れる使い捨ての関数
高階関数
 引数や返値として関数をとる関数
 高度なアルゴリズムを再利用容易な形で実装する際
に便利 New

一見地味な無名関数だが
高階関数を使う上では必要不可欠
例題を通して確認
To Be Continued

例題マサチューセッツ湾交通局(MBTA)提供
リアルタイムデータの可視化
バス・電車の位置情報を
リアルタイムで提供！

車両位置可視化プログラムを作りたい
MBTAからの
データ取得・解釈
かっこいい可視化
• ややこしい
• 面倒くさい
• 誰が作っても一緒
プログラムを２つの関数に分ける
ことにしてみよう
• かっこいい
• 個性を発揮できる部分

parse_mbta_feed(visualizer)
MBTAからのデータ取得・解釈部分
⇒ データの取得と解釈を行う
高階関数として実装
MBTAのサーバーにアクセスし
車両情報 (車両ID，x座標，y座標) を取得する度に，
引数で指定された関数 visualizer(id,x,y) を呼び出す．

id x y
Green-E 234222.4 899242.8
Orange 231959.8 894831.3
Orange 231900.0 894700.1
Red 240703.5 889367.2
:
parse_mbta_feed(...
@(id,x,y) fprintf('%st%ft%fn',id,x,y));
🍜🍜 文字列で出力する可視化関数
可視化その１ターミナルに文字列でテスト出力
ボストンの地下鉄は
Red Line, Blue Line…
と色で呼ばれている
ちなみにバスには番号が
振られている
↓実行結果
退屈な部分の動作を確認！

1
1
1
10
11
111
39
39
504 55
60
608
69
7
742
749
749
751
88
9
92
93
Blue
CR-Fairmount
CR-FitchburgCR-Lowell
Green-B
Green-B
Green-B
n-B
Green-B
Green-C
Green-C
Green-C
Green-C
Green-D
Green-D
Green-D
Green-D
Green-D
Green-E
Green-E
Green-E
Green-E
Green-E
Orange
Orange
Orange
Red
Red
Red
可視化その２地図上にテスト出力
parse_mbta_feed(...
@(id,x,y) text( x, y, id, 'Color', [1,1,1]));
🍜🍜グラフィカルな可視化関数，車両位置にIDを表示

1
1
1
10
11
111
111
43
504
55
608
65
9
70
70
741
749
751
83
88
9
92
93
BB
CR-Fitchburg
CR-Kingston
CR-Lowell
CR-Newburyport
CR-Providence
CR-Providence
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
O
O
O
O
R
R
R
可視化その３本番用
parse_mbta_feed(@visualizer);
より手の込んだ可視化を実現する通常の関数ももちろん作れる

この例題の教訓
parse_mbta_feed(...
@(id,x,y) fprintf('%st%ft%fn',id,x,y));
fprintf と text は Matlab に元からある関数．
そのままで parse_mbta_feed() の引数として使え
るように設計されてはいない
無名関数を使うことで出来合いの関数を自作の
parse_mbta_feed() と簡単に組み合わせることが
できたのである！
parse_mbta_feed(...
@(id,x,y) text( x, y, id, 'Color', [1,1,1]));
ターミナルへの出力
地図への出力

まとめ (4/5)
パラダイム
無名関数
 高階関数を組み合わせる際に便利
高階関数
に便利
New

引数返り値
関数 Data Data
高階関数
Function Data
Data Function
Function Function
Q 関数を受け取って関数を返す関数とか
ほんとに要るんですか？
これ！
A 必要！次の例で…
To Be Continued

高校生用の例数値微分
とある関数の導関数がほしいけど計算するのがだるい
諸般の事情で得られないとき（最適化でよくある）
←微分の定義
←こんなもんでええやろ
（数値微分）
̇𝑓𝑓 𝑡𝑡 = lim
Δ𝑡𝑡→0
𝑓𝑓 𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡 − 𝑓𝑓 𝑡𝑡
Δ𝑡𝑡
≃
𝑓𝑓 𝑡𝑡 + 0.001 − 𝑓𝑓(𝑡𝑡)
0.001
ある関数 𝑓𝑓 が与えられたとき，
その導関数を返す高階関数を作ってみよう

dt = 0.001;
d = @(f) ( @(t) (f(t+dt)-f(t))/dt );
t の関数
…を返す f の関数
例数値微分に基づいて与えられた関数の
導関数を生成する高階関数

f = @(t) sin(t);
fplot( d(f), [0,2*pi])
使用例 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = sin(𝑡𝑡)の微分をプロット
当然 cos(𝑡𝑡) になる

f = @(t) sin(t);
fplot( d(d(f)), [0,2*pi])
使用例 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = sin(𝑡𝑡)の２階微分をプロット
当然 −sin(𝑡𝑡) になる

f = @(t) sin(t);
fplot( d(d(d(f))), [0,2*pi])
使用例 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = sin(𝑡𝑡)の3階微分をプロット
当然 −cos(𝑡𝑡) になる

f = @(t) sin(t);
fplot( d(d(d(d(f)))), [0,2*pi])
当然 sin(𝑡𝑡) になる

f = @(t) sin(t);
fplot( d(d(d(d(d(f))))), [0,2*pi])
当然 cos(𝑡𝑡) になる…とは限らない！

大学生用の宿題
• ５階微分の数値計算結果について論ぜよ

大学生用の例常微分方程式の離散時間化
大抵の自然法則は常微分方程式で書かれている
ex. Van der Pole oscillator
̇𝑥𝑥1(𝑡𝑡)
̇𝑥𝑥2(𝑡𝑡)
=
𝑥𝑥2(𝑡𝑡)
1 − 𝑥𝑥1
2
𝑡𝑡 𝑥𝑥2 𝑡𝑡 − 𝑥𝑥1 𝑡𝑡
̇𝒙𝒙 𝑡𝑡 = 𝒇𝒇𝐂𝐂(𝒙𝒙 𝑡𝑡 )
でも差分方程式の方が扱いやすいこともある
𝒙𝒙 𝑘𝑘 + 1 ℎ = 𝒇𝒇𝐃𝐃 𝒙𝒙 𝑘𝑘ℎ
お手軽に変換 𝒇𝒇𝐂𝐂 → 𝒇𝒇𝐃𝐃 する方法があると便利！
( ℎ 時間刻み )

常微分方程式の離散化を行う高階関数
function [ fd ] = c2d_euler( fc, h )
function x_new = proto_fd(x)
x_new = x + h*fc(x);
end
fd = @proto_fd;
End
与えられた 𝑓𝑓C と ℎ に
基づいてオイラー法で
計算を行う関数を…
← 返す！

常微分方程式版の van der Pole oscillator
fc = @(x) [x(2); (1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];
差分方程式版の生成
h = 0.2; % h:時間刻み
fd = c2d_euler(fc,h); % 簡単！
確認のために 𝒙𝒙(𝒕𝒕) の軌道を計算
N = 50; x = zeros(N,2);
x(1,:) = [2,0]; % 初期状態
for k=1:N-1
x(k+1,:) = fd(x(k,:)');
end 結果は次のスライド
使い方

0 2 4 6 8 10
t
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5x1
Continuous
Discrete誤差が大きい！
オイラー法はさすがに
安直すぎた模様
常微分方程式
̇𝒙𝒙 𝒕𝒕 = 𝒇𝒇𝐂𝐂 𝒙𝒙 𝒕𝒕
の解
得られた差分方程式
𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 1 ℎ = 𝑓𝑓D 𝑥𝑥 𝑘𝑘ℎ
によって計算された軌道

大学生の常識ルンゲ＝クッタ法に基づく実装
function [ fd ] = c2d_rk4( fc, h )
function x_new = proto_fd(x)
k1 = fc(x);
k2 = fc(x+h/2*k1);
k3 = fc(x+h/2*k2);
k4 = fc(x+h*k3);
x_new = x + h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
end
fd=@proto;
end
fd = c2d_rk4(fc,h);
% fd = c2d_euler(fc,h); ← 使い方は一緒

0 2 4 6 8 10
t
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x1
Continuous
Discrete
完全に一致！
信頼と実績の
ルンゲ＝クッタ法

離散化手法が高階関数として分離され
ているために，離散化手法の変更・修
正・比較が容易になっている

まとめ
パラダイム
無名関数
 高階関数を組み合わせる際に便利
高階関数
に便利
To Be Continued第１部今日から役立つＦＰ / 完
Emphasized

第２部関数の副作用と並列処理
1. map 高階関数と並列化
2. ループと再帰と並列化
3. reduce 高階関数と並列化
4. MapReduce
※ 準備期間が一晩だったので
第２部のスライドは準備が
間に合いませんでした

Special Thanks to
Robust Systems Lab
Northeastern University

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