2014年度秋学期　応用数学（解析）　第２部・基本的な微分方程式　／　第６回　変数分離形の変形 (2014. 10. 30)

A. Asano, Kansai Univ.
2014年度秋学期　応用数学（解析）
第２部・基本的な微分方程式
変数分離形の変形
浅野　晃
関西大学総合情報学部
第６回

変数分離形（復習）

離形の微分方程式は，一般には
，こ形にできる微分方程式を変数分離形といいます。
数分離形の微分方程式は，一般には
dx
dt
変数分離形
一般には
。これを，x′ =
として上記のやりかたで変形すれを，x′ dx
=
dt
g(x)dx = f(t)dt ぞれ積分して
として上記のやりかたで変形すg(x)x′ = f(t) x′ g(x)dx = f(t)dt 積分して
g(x)x′ = f(t) れを，x′ =
=
dx
dt
f(t)dt + C ととして上記のやりかたで変形すると
両辺それぞれを
積分すると
!
g(x)dx !
=
f(t)dt + C す。C は積分定数です。初期値がx(t0) = x0 であしてC の値を定め，特殊解を求めます。
!
!
g(x)dx = f(t)dt て
一般解に含まg(れx)る積dx 分=
定数 C f(は，
t)dt + C 初期値を代入して定まり，特殊解が得られる
Univ.
は積分!
定数です。!
C Kansai 初期値がx(t0) = x0 であてAsano, g(x)dx =
A. 2014年度秋学期　すると
dx
dt
して上記のやりかたで変形すると
g(x)dx = f(t)dt 積分して
!
g(x)dx =
!
f(t)dt + C C は積分定数です。初期値がx(t0) = x0 である場合は，求められたC の値を定め，特殊解を求めます。
C の値を定め，特殊解を求めます。

離形の微分方程式は，一般には
，こ形にできる微分方程式を変数分離形といいます。
数分離形の微分方程式は，一般には
dx
dt
変数分離形
一般には
。これを，x′ =
として上記のやりかたで変形すれを，x′ dx
=
dt
g(x)dx = f(t)dt ぞれ積分して
として上記のやりかたで変形すg(x)x′ = f(t) x′ g(x)dx = f(t)dt 積分して
g(x)x′ = f(t) れを，x′ =
=
dx
dt
f(t)dt + C ととして上記のやりかたで変形すると
両辺それぞれを
積分すると
!
g(x)dx !
=
f(t)dt + C す。C は積分定数です。初期値がx(t0) = x0 であしてC の値を定め，特殊解を求めます。
!
!
g(x)dx = f(t)dt て
一般解に含まg(れx)る積dx 分=
定数 C f(は，
t)dt + C 初期値を代入して定まり，特殊解が得られる
Univ.
!
!
C Kansai は今積日分は，定変数形にでよすって。変初数期分離値形がに持x(ちt0) 込める= 方x0 程式でであす
てAsano, g(x)dx =
A. 2014年度秋学期　すると
dx
dt
して上記のやりかたで変形すると
g(x)dx = f(t)dt 積分して
!
g(x)dx =
!
f(t)dt + C C は積分定数です。初期値がx(t0) = x0 である場合は，求められたC の値を定め，特殊解を求めます。
C の値を定め，特殊解を求めます。

１．同次形

の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
同次形
一般には
dx
dt
= f(
). とx
t
x = ut ですから，dx
dt
= t
2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
。
M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk 次の

同次形
一般には
dx
dt
= f(
). とx
t
x/ですから，dx
du
x = ut = t
+ u となり，
dt
dt
du
t
+ u = f(u)
dt
1
1
du =
dt
f(u) − u
t
Univ.
。
Kansai Asano, M(A. ut, t) = tkM(u, 1) 2014と年度な秋学期　るとき，関数M はk 次のt の式になっている

同次形
一般には
ついての同次形の微分方程式とは，次の形のものをいdx
と表されるにt) についての同次形の微分方程式dx
dx
dt
= f(
). とx
t
= f(
). は，x
x
t
x/dx
x = ut ですから，dt
。
M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk 次のと表される　
= t
du
dt
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
t の式になっている
とおくと
dt
式は，x
t
= u とおくとx = ut ですから，dx
dt
= t
du
dt
+ u とt
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
離形に変形できます。
で，関数M(x, t) がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数数x(t) についての微分方程式がdx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
t
= u とおくとx = ut ですt
1
f(u) u
du t
形に変形できます。
，関数M(x, t) がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数x(t) についての微分方程式がdx
M(x, t)
=

同次形
一般には
dx
dt
= f(
). とx
t
= f(
). は，x
x
t
x/dx
x = ut ですから，dt
。
M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk 次のと表される　この両辺を微分
= t
du
dt
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
とおくと
dt
式は，x
t
dt
= t
du
dt
+ u とt
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
t
1
f(u) u
du t
M(x, t)
=

同次形
一般には
x(t) についての同次形の微分方程式とは，次の形のものをいdx
dx
dt
x
). 程式は，x
= f(
). とx
t
= f(
). は，x
x
t
x/= f(
dt
ですから，dx
とx = ut + u dt
t
。
この両辺を微分
= t
du
dt
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
とおくと
dt
式は，x
t
du
+ u とt
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
t
1
f(u) u
du t
M(x, t)
=
t
= u とおくとx = ut ですからdx
dt
= t
dt
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
分離形に変形できます。
ろで，関数M(x, t) がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数関数x(t) についての微分方程式がdx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表されるら，とすると

同次形
一般には
dx
dt
x
). 程式は，x
= f(
). とx
t
= f(
). は，x
x
t
x/= f(
dt
ですから，dx
とx = ut + u dt
t
。
= t
du
dt
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
とおくと
dt
式は，x
t
du
+ u とt
du
dt
積の微分
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
t
1
f(u) u
du t
M(x, t)
=
t
dt
= t
dt
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)

同次形
一般には
dx
dt
x
). 程式は，x
= f(
). とx
t
= f(
). は，x
x
t
x/= f(
dt
ですから，dx
とx = ut + u dt
t
。
= t
よって
du
dt
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
とおくと
dt
式は，x
t
du
+ u とt
du
dt
積の微分
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
t
1
f(u) u
du t
M(x, t)
=
t
dt
= t
dt
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)

同次形
一般には
次形の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
dt
dx
dt
x
t
x
). 程式は，x
= f(
). とx
t
= f(
). は，x
x
t
). x/= f(
dt
くとですから，dx
dx
du
となり，
とx = x ut = ut ですから，+ u + u dt
dt
dt
t
。
= t
= t
よって
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
積の微分
す。
がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk 次の同次関の微分方程式がdx
du
dt
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
とおくと
dt
式は，x
t
du
+ u とt
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
t
u とおくとx = ut ですt
1
f(u) u
du t
M(x, t)
=
t
dt
= t
dt
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
と表されるdt
ら，とすると
M(x, t)
N(x, t)
と表される時，もしもM,N がと

同次形
一般には
の同次形の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
dt
dx
dt
x
t
dx
x
). dt
程式は，x
= f(
). とx
t
x
t
= f(
). は，x
x
t
). = f(
). x/= f(
dt
くととdx
du
u x = おx くut = とut ででx すす= かかut らでら，す，かdx
dt
ら，dx
+ u du
となり，
+ u とdt
dt
dt
t
。
と表される時，もしもこ= t
の両辺を微分
= t
よって
t
du
dt
dt
= t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
1
du =
1
t
t
dt
+ u となり，
+ u = f(u)
f(u) − u
du =
1
t
dt
す。
でUniv.
きます。
Kansai M(x, Asano, t) がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk 次いA. ての微分方程式がdx
2014年度秋学期　du
dt
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
とおくと
dt
式は，x
t
du
+ u とt
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
t
1
f(u) u
du t
M(x, t)
=
t
dt
= t
dt
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
と表されるdt
ら，とすると
M(x, t)
N(x, t)
M(とx, 表t)
される時，もしもM,N が=
と
dt
N(x, t)
積の微分

同次形
一般には
の同次形の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
dt
dx
dt
x
t
dx
x
). dt
程式は，x
= f(
). とx
t
x
t
= f(
). は，x
x
t
). = f(
). x/= f(
dt
くととdx
du
u x = おx くut = とut ででx すす= かかut らでら，す，かdx
dt
ら，dx
+ u du
となり，
+ u とdt
dt
dt
t
。
と表される時，もしもこ= t
の両辺を微分
= t
dt
t
du
dt
dt
= t
du
dt
+ u = f(u)
f(u) − u
1
du =
1
t
t
dt
+ u となり，
+ u = f(u)
f(u) − u
du =
1
t
dt
す。
できます。
変数分離形になった
M(x, t) がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk 次いての微分方程式がdx
よって
1
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
とおくと
dt
式は，x
t
du
+ u とt
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
t
1
f(u) u
du t
M(x, t)
=
t
dt
= t
dt
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
と表されるdt
ら，とすると
M(x, t)
N(x, t)
M(とx, 表t)
される時，もしもM,N が=
と
dt
N(x, t)
積の微分

同次関数
f(u) − u
関数が k 次の同次関数であるとは
t
数分離形に変形できます。
ころで，関M(x, t) がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk 次の。関数x(t) についての微分方程式がdx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される時，もしもM,なら，x = ut とすると
dx
dt
=
の形になっていること
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(xt
, 1)
N(xt
, 1)
り，(1) 式の形になります。同次形という名前はここからきています。
数x(t) についての微分方程式x′ =
t − x
t + x
の一般解を求めてください。
解答）右辺の分母分子をt で割ると
dx
1 − xt
f(u) − u
du =
t
dt
できます。
x, t) がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk いての微分方程式がdx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される時，もしすると
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(xt
, 1)
N(xt
, 1)
なります。同次形という名前はここからきています。

同次関数
f(u) − u
t
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
dx
dt
=
tk をくくり出せる
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(xt
, 1)
N(xt
, 1)
t − x
t + x
dx
1 − xt
f(u) − u
du =
t
dt
できます。
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(xt
, 1)
N(xt
, 1)

同次関数
f(u) − u
t
du
dt
+ u = f(u)
1
1
t
f(u) − u
du =
dt
形できます。
M(x, t) がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk 次の同次関数ついての微分方程式がdx
M(x, t)
N(x, t)
と表される時，もしもM,N がとすると
微分方程式が
=
dt
M, N がどちらも k 次の同次関数なら，x = ut とおいて
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
の形で
M(u, 1)
N(u, 1)
t
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(xt
, 1)
N(xt
, 1)
t − x
t + x
=
M(xt
, 1)
N(xt
, 1)
になります。同次形という名前はここからきています。
dx
1 − xt
f(u) − u
du =
t
dt
できます。
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(xt
, 1)
N(xt
, 1)

同次関数
f(u) − u
= t
t
du
dt
du
dt
+ u となり，
+ u = f(u)
とおくとx = ut ですから，dx
1
1
t
dt
du
dt
関数が k t
次の+ 同u 次f(関u)
数であるとは
f(u) − u
du =
dt
1
1
t
形できます。
dt
きます。
M(x, t)
t) がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk 次の同次関数であるとN(x, t)
ての微分方程式がdx
f(u) − u
du =
微分方程式が
=
dt
と表される時，もしもM,N が同じk 次のると
dx
dt
dt
=
=
M(x, t)
N(x, M(x, t)
N(x, t)
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
の形で
M(u, 1)
N(u, 1)
dx
dt
=
t
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(xt
, 1)
N(xt
, 1)
数tkM(u, 1)
tkN(u, 1)
M(u, 1)
N(u, 1)
x(t) についての微分方程式x′ =
t − x
t + x
=
M(xt
, 1)
N(xt
, 1)
M(xt
, 1)
=
=
=
N(xt
dx
, 1)
1 − xt
f(u) − u
du =
t
dt
できます。
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(xt
, 1)
N(xt
, 1)
ります。同次形という名前はここからきています。

同次関数
= t
t
du
dt
du
dt
+ u となり，
+ u = f(u)
とおくとx = ut ですから，dx
1
1
t
dt
du
dt
関数が k t
次の+ 同u 次f(関u)
数であるとは
f(u) − u
du =
dt
1
1
t
形できます。
dt
きます。
M(x, t)
t) がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk 次の同次関数であるとN(x, t)
ての微分方程式がdx
f(u) − u
du =
微分方程式が
=
dt
と表される時，もしもM,N が同じk 次のると
dx
dt
dt
=
=
M(x, t)
N(x, M(x, t)
N(x, t)
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
の形で
M(u, 1)
N(u, 1)
dx
dt
=
前ページの
形になる
f(u) − u
t
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(xt
, 1)
N(xt
, 1)
数tkM(u, 1)
tkN(u, 1)
M(u, 1)
N(u, 1)
x(t) についての微分方程式x′ =
t − x
t + x
=
M(xt
, 1)
N(xt
, 1)
M(xt
, 1)
=
=
=
N(xt
dx
, 1)
1 − xt
f(u) − u
du =
t
dt
できます。
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(xt
, 1)
N(xt
, 1)
ります。同次形という名前はここからきています。

例題
を解いて，一般解を求めよ。
方程式x′ =
t − x
t + x
をt で割ると
xtdx
1 =
− dt
1 + 式は同次形です。そこでxt
x
t
= u とおくとdx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt

例題
いての微分方程式x′ =
t − x
t + x
方程式x′ =
t − x
t + x
をt で割ると
xtdx
1 =
− dt
x
t
= u とおくとdx
dt
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt
分母分子を t でわると
の分母分子をt で割ると
dx
dt
=
1 − xt
1 + xt
，この方程式は同次形です。そこでx
t
= u とおくとdx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt

例題
いての微分方程式x′ =
t − x
t + x
方程式x′ =
t − x
t + x
をt で割ると
xtdx
1 =
− dt
x
t
= u とおくとdx
dt
同次形
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt
dx
dt
=
1 − xt
1 + xt
t
= u とおくとdx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt

程式の解を積分によって求める方法を求積法といいます。今回は，式変し，求積法で解ける形の方程式を紹介します。
形の微分方程式
数x(t) についての同次形の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
方前程回式はの，解変を数積分，方求程積式法例ので解解題
分分離に形のよ微っ分て方求程め式ると方，法そをれを求積分法にとよいっいてま解すく方。法今を回説は明，し式ま変し形たをけ積る分に形よのっ方て程求式めをる紹方介法しを求ま積す法。
といいます。今回は，式変形によ着いして，の求積微法分で方解け程る式形のx′ 方程式t − を紹x
=
介します。
の方微程分式方程x′ 式
t − x
のを一解般t + x
次形の微分方程=
解を求めてく式
いて，一般解だをさ求い。
めよ。
t + x
関をx(数t) にでつ割にいt x(t) るつていと
のて同の同次次形形のの微微分分方方程程式式ととはは，，次次のの形形ののももののをいをいいまいすま。
す。
dx
dx
1 − dx
= f(
=
dt
1 + dt
dt
式は同次形です。そこでx
t
と表される時，もしもM,xtxt
と表される時，もしもよ= u とおくとdx
dt
同次形
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt
dx
dt
=
1 − xt
1 + xt
t
= u とおくとdx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
とおくと
dx
dt
= f(
x
t
). 程式は，x
t
= u くとx = ut ですから，dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
ろで，関数M(x, t) がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk 次の関数x(t) についての微分方程式がdx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
x
t
). 方程式は，x
t
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
ころで，関数M(x, t) がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk 次。関数x(t) についての微分方程式がdx
M(x, t)
=
り
= f(
x
t
). の方程式は，x
t
= くとx = ut で，dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
変数分離形に変形できます。
ところで，関数M(x, t) がM(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数M はk 次の同次す。関数x(t) についての微分方程式がdx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される時，もしもM,N 数なら，x = ut とすると

方前程回式はの，解変を数積分分離に形のよ微っ分て方求程め式ると方，法そをれを求積分法にとよいっいてま解すく方。法今を回説は明，し式ま変し形た分，方求程積式法例ので解解題
をけ積る分に形よのっ方て程求式めをる紹方介法しを求ま積す法。
といいます。今回は，式変形によ着いして，の求積微法分で方解け程る式形のx′ 方=
程式t − を紹x
介します。
の方方微程程分式式方x′ t 程=
式
− t − x
のx
一の般一解般をt 解求+ をめx
求てくめだてさくいだ。
さい。
次形の微分x′ 方程=
t 式
+ x
をt + x
をx(t) t で割ると
関数にでつ割にいるつていと
のて同の同次次形形のの微微分分方方程程式式ととはは，，次次のの形形ののももののをいをいいまいまt x(t) す。
す。
dx
1 =
− dx
(4)
dt
dx
1 + 1 dx
= f(
=
− dt
dt
dt
1 + とおくとdx
du
= u + u となり，与えられた
dt
t
と表される時，もしもM,xtxt
xt
xt
よ= t
dt
と表される時，もしも= u とおくとdx
よって
t
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
dt
同次形
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1−u
1+u − u
1
t
dt
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt
dx
dt
=
1 − xt
1 + xt
t
= u とおくとdx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
とおくと
dx
dt
= f(
x
t
). 程式は，x
t
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
(5)
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
x
t
). 方程式は，x
t
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
M(x, t)
=
り
= f(
x
t
t
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
年度秋学期）　第６回(2014. 10. 30) http://racco.mikeneko.jp/　1/3 ページ

方前程回式はの，解分，方求程積式法例変を数積題
分分離に形のよ微っ分て方求程め式ると方，法そをれを求積分法にとよいっいてま解すく方。法今を回説は明，し式ま変し形たので解解をけ積る分に形よのっ方て程求式めをる紹方介法しを求ま積す法。
といいます。今回は，式変形によ着い程して，式の求x′ 積微法分でt =
方t − 解け− 程x
るの式形方程式一のx′ 般方解程式をt =
− を求紹めx
介てしくまだす。
さい。
の方微程分式方x′ 程x′ =
式
=
t + t x
t + − x
のx
求てくめ次形の微分方程式
x
を解いて，一だて般さくい解だ。
をさ求い。
めよ。
をt で割t でに割るると
と
t + x
関をx(数t) でつt x(t) 割にいるつていと
のて同の同次形の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
次形の1 微− 分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
=
1 =
− dt
dt
dx
1 1 + dx
dx
1 − (4)
+ = f(
=
dt
dt
1 + dt
ととおおくくととdx
dx
du
du
= u u + u + とu なとりな，り与，え与らえれらた
dt
dt
t
t
と表される時，もxtxt
xt
xt
xt
xt
しもM,よ= = t
t
dt
dt
は同次形です。そこでx
式は同次形です。そよって
t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
+ u =
1
1−u
1+u − u
du =
1 − u
1 + u
1
t
1
t
dt
1−u
1+u − u
du =
dt
dt
同次形
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
u + 1
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1−u
1+u − u
1
t
dt
du =
1
t
dt
u2 + 2u − 1
u + 1
du = −
u2 du 1
t
dt
= −
1
dt
dx
dt
=
1 − xt
1 + xt
t
= u とおくとdx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
とおくと
dx
dt
= f(
x
t
). 程式は，x
t
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
(5)
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
x
t
). 方程式は，x
t
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
M(x, t)
=
り
= f(
x
t
t
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)

方前程回式はの，解分，方求程積式法例変を数積題
分分離に形のよ微っ分て方求程め式ると方，法そをれを求積分法にとよいっいてま解すく方。法今を回説は明，し式ま変し形たので解解をけ積る分に形よのっ方て程求式めをる紹方介法しを求ま積す法。
といいます。今回は，式変形によ着い程して，式の求x′ 積微法分でt =
方t − 解け− 程x
るの式形方程式一のx′ 般方解程式をt =
− を求紹めx
介てしくまだす。
さい。
の方微程分式方x′ 程x′ =
式
=
t + t x
t + − x
のx
求てくめ次形の微分方程式
x
を解いて，一だて般さくい解だ。
をさ求い。
めよ。
をt で割t でに割るると
と
t + x
関をx(数t) でつt x(t) 割にいるつていと
のて同の同次形の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
次形の1 微− 分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
=
1 =
− dt
dt
dx
1 1 + dx
dx
1 − (4)
+ = f(
=
dt
dt
1 + dt
ととおおくくととdx
dx
du
du
= u u + u + とu なとりな，り与，え与らえれらた
dt
dt
t
t
と表される時，もxtxt
xt
xt
xt
xt
しもM,よ= = t
t
dt
dt
式は同次形です。そよって
t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
+ u =
1
1−u
1+u − u
du =
1 − u
1 + u
1
t
1
t
dt
1−u
1+u − u
du =
dt
dt
同次形
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
u + 1
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1−u
1+u − u
1
t
dt
du =
1
t
dt
u2 + 2u − 1
u + 1
du = −
u2 du 1
t
dt
= −
t と u を分離
1
dt
dx
dt
=
1 − xt
1 + xt
t
= u とおくとdx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
とおくと
dx
dt
= f(
x
t
). 程式は，x
t
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
(5)
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
x
t
). 方程式は，x
t
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
M(x, t)
=
り
= f(
x
t
t
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)

方前程回式はの，解例変を数積題
分分離に形のよ微っ分て方求程め式ると方，法そをれを求積分法にとよいっいてま解すく方。法今を回説は明，し式ま変し形た分，り方求ま程す積式。法の同で解次解を形け積とる分いに形うよの名っ方前て程は求式こめをこるか紹方ら介法きしをて求まい積すま法。
すと。
いいます。今回は，式変形によ着い程して，式の求積微法分でt 方− 解け程x
るの式形一のx′ 般方解程式をt x
方程式x′ =
− を求紹め介します。
x′ =
t の方微程分式方程=
式
t + − x
の一般てください。
x′ t =
x
x
t + − x
のを一解解般をt い解求+ てをめx
求，てくめ一だて般さくい解だ。
をさ求い。
次形の微分方程式
めよ。
t + x
関x(数t) につにいつていのて同の同次次形形のの微微分分方方程程式式ととはは，，次次のの形形ののももののをいをいいまいすま。
す。
x(t) と表される時，もしもM,微t 分で方割程る式と
x′ =
をt で割ると
をt で割ると
t − x
t + x
dx
dt
dx
dt
=
=
1 − xt
1 + xt
1 − xt
1 + xt
子をt で割ると
dx
1 1 xtxt
=
− − dt
1 + 1 + 式は同次形です。そこxt
xt
でx
= u とおくとdx
u とおくとdx
dx
dt
=
(4)
+ u となり，与えら= u とおくとdx
t
t
dx
dt
= f(
dx
dt
(4)
du
dt
du
dt
+ u となり，与えられた
よ= = t
t
dt
dt
du
dt
式は同次形です。そ程式は同次形です。そこでx
よって
t
du
dt
t
du
dt
t
+ u =
1 − u
1 + u
t
1
+ u =
1
du
dt
1
1−u
1+u − u
+ u =
du =
1 − u
1 + u
1 − u
1 + u
1
t
1
t
dt
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
du =
dt
= t
dt
同次形
+ u となり，与えられた
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1−u
u
1+u − 1
u + 1
u + 1
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1−u
1+u − u
1
t
dt
du =
1
t
dt
u2 + 2u − 1
u2 + 2u − 1
u + 1
1
dt
du du = = −
u2 du 1
t
= −
t と u を分離
1
dt
の母分子をt で割ると
dx
dt
=
1 − xt
1 + xt
t
= u とおくとdx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
とおくと
dx
dt
= f(
x
t
). 程式は，x
t
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
(5)
(5)
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
x
t
). 方程式は，x
t
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
M(x, t)
=
り
= f(
x
t
t
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dt
=
M(x, t)
N(x, t)

例題
方程式x′ =
t − x
t + x
をt で割ると
xtdx
1 =
− dt
x
t
= u とおくとdx
dt
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
（解析）（2014 年度秋学期）　第６回(2014. 10. 30) http://racco.

例題
方程式x′ =
t − x
t + x
をt で割ると
（解析）（2014 年度秋学期）　第６回(2014. 10. 30) http://racco.微xtdx
1 =
− dt
x
t
= u とおくとdx
dt
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
分の関係に
なっている

例題
方程式x′ =
t − x
t + x
をt で割ると
xtdx
1 =
− dt
x
形になります。ここでd の微分が
(u2 + 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両辺を数として
t
= u とおくとdx
du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = −log |t| + C って，別の定数A を使って
dt
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
log(|1
u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
ます。ここでこでd
（解析）（2014 年du
度秋学期）　第６回(2014. 10. 30) http://racco.(u2 + 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両辺を積分する
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = −log |t| + C (6)
の定数A を使って
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
(7)
す1。u =
x
t
ですからこれを代入すると，この方程式の解はx2 + 2tx − t2 = A
ができます1。u =
になるから，
x
ですからこれを代入すると，この方程式の解はx2 + 2tx 微分の関係に
なっている

例題
方程式x′ =
t − x
t + x
をt で割ると
xtdx
1 =
− dt
x
形になります。ここでd の微分が
du
上の式の両辺を積分すると
t
= u とおくとdx
1
2
dt
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
log(|1
u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
（解析）（2014 年du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = −log |t| + C (6)
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
(7)
す1。u =
x
t
になるから，
x
なっている

例題
方程式x′ =
t − x
t + x
をt で割ると
xtdx
1 =
− dt
x
形になります。ここでd (u2 + の2u 微分− が
1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両数として
du
t
= u とおくとdx
1
2
dt
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
log(|1
u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
（解析）（2014 年du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = −log |t| + C (6)
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
(7)
す1。u =
x
t
になるから，
x
なっている
形になります。ここでd
du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
x
ですからこれを代入すると，この方程式の解はx2 +

例題
方程式x′ =
t − x
t + x
をt で割ると
になります。ここでd
x
ですからこれを代入すると，この方程式の解はx2 + 形(u2 + 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両数として
xtdx
1 =
− dt
x
du
t
= u とおくとdx
1
2
dt
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
log(|1
u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
（解析）（2014 年du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = −log |t| + C (6)
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
(7)
す1。u =
x
t
になるから，
x
なっている
du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
x
t

例題
方程式x′ =
t − x
t + x
をt で割ると
x
xtdx
1 =
− dt
x
du
t
= u とおくとdx
1
2
dt
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
log(|1
u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
（解析）（2014 年du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = −log |t| + C (6)
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
(7)
す1。u =
x
t
になるから，
x
なっている
du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
x
t
対数の和→
真数の積

例題
方程式x′ =
t − x
t + x
をt で割ると
x
xtdx
1 =
− dt
x
du
t
= u とおくとdx
1
2
dt
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
log(|1
u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
（解析）（2014 年du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = −log |t| + C (6)
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
(7)
す1。u =
x
t
になるから，
x
なっている
du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
x
t
対数の和→
真数の積
対数の◯倍→
真数の◯乗

例題
方程式x′ =
t − x
t + x
をt で割ると
x
xtdx
1 =
− dt
x
du
t
= u とおくとdx
1
2
dt
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
log(|1
u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 du = −
1
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
（解析）（2014 年du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = −log |t| + C (6)
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
(7)
す1。u =
x
t
になるから，
x
なっている
du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
x
t
対数の和→
真数の積
対数の◯倍→
真数の◯乗
ですからこれを代入すると，この方程式の解はx2 + 定数は任意なので，絶対値が外れる

例題
方程式x′ =
t − x
t + x
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両辺を積分する
をt で割ると
x
1 − xt
1 + xt式は同次形です。そこでx
という変数分離形になります。ここでd
dx
dt
=
(u2 + 2u − 1) = 2(u + 1) ですからと，C を積分定数として
形2u にな− り1|) ます= 。−ここlog で|t| d + (u2 C + の2u 微分− が
1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式(の6)
両数として
du
t
= u とおくとdx
1
2
2u − 1|) = log(A|t|−2)
2u − 1) = A
dt
= t
du
dt
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
log(|1
u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
らこれを代入すると，この方程式の解はx2 + 2tx − t2 = A
u + 1
u2 du = −
に戻すと
1
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
（解析）（2014 年du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = −log |t| + C (6)
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
(7)
(7)
す1。u =
x
t
になるから，
x
なっている
du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
x
t
対数の和→
真数の積
対数の◯倍→
真数の◯乗
ですからこれを代入すると，この方程式の解はx2 + 定数は任意なので，絶対値が外れる
du
1
2
log(|u2 + 2u − 1|) = −log |t| + C となります。よって，別の定数A を使って
log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u − 1) = A
とあらわすことができます1。u =
x
t
ですからこれを代入すると，この方程となります。■

２．１階線形

式
ての１階微分方程式が
１階線形微分方程式
一般にはdx
の形になっているもの
dt
+ P(t)x = Q(t) ，この方程式を１階線形微分方程式といいます。
!"
p(t) = exp
P(t)dt
# とおくと，(p(t)x)′ が
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)P(t)x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
C を積分定数として
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
%&
1
'

式
t) についての１階微分方程式が
p(t)P(t)x + p(t)x′
= p(t)
一般にはの形になっているもの
' = )
P(t)x + x′
+ P(t)x = Q(t) dx
けるとき，この方程式を１dt
階線形微分方程式といいます。
程式は，p(t) = exp
dx
dt
+ P(t)x = Q(t) ，この方程式を１階線形微分方程式といいます。
p(t) = exp
!"
# ' P(t)dt
とおくと，(p(t)x)′ が
と解く(p(こt)とx)′ がで= き(p(まt))′す。
x + p(t)x′
$
%&
例題
=
exp
P(t)dt
関数x(t) についての微分方程式x′ + x = t の一般解を求めてください。
（解答）この方程式は１階線形微分方程式で，(8) 式にあてはめるとP(12014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
%&
1
' と置くと，
一般解は
!"
P(t)dt
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
とから，C を積分定数として
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
p(t)Q(t)dt + C
*
= p(t)Q(t)
となることから，C を積分定数として
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
p(t)Q(t)dt + C
定数には適宜± をつけてよいので，絶対値が外れることに注意してください。
浅野　晃／応用数学（解析）（年度秋学期）　第６回

式
= p(t)
' = )
P(t)x + x′
式
+ P(t)x = Q(t) dx
dx
dt
+ P(t)x = Q(t) ，この方程式を１階線dx
形微分方程式といいます。
dt
p(t) = exp
+ P(t)x = Q(t) (8)
!"
' と解くことができます。
例題
（解答）この方程式は１階線形微分方程式で，(8) 式にあてはめるとP(1，この方程式を１P(階t)線dt
p(t) = exp
なぜな(p(らt)ば
x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
$
%&
=
exp
P(t)dt
浅野　晃／応用数学（解析）（年度秋学期）　第６回2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
%&
1
' と置くと，
一般解は
!"
P(t)dt
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
p(t)Q(t)dt + C
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
p(t)Q(t)dt + C
!"
P(t)dt
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
(9)
を積分定数として
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
%&
1
' (10)

式
= p(t)
' = )
P(t)x + x′
式
+ P(t)x = Q(t) dx
dx
dt
dt
p(t) = exp
+ P(t)x = Q(t) (8)
!"
例題
p(t) = exp
x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
$
%&
=
exp
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
%&
1
' と置くと，
一般解は
!"
P(t)dt
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
p(t)Q(t)dt + C
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
p(t)Q(t)dt + C
!"
P(t)dt
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
(9)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
%&
1
' (10)
積の微分

式
= p(t)
' = )
P(t)x + x′
式
+ P(t)x = Q(t) dx
dx
dt
dt
p(t) = exp
+ P(t)x = Q(t) (8)
!"
例題
p(t) = exp
x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
$
%&
=
exp
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
%&
1
' と置くと，
一般解は
!"
P(t)dt
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
p(t)Q(t)dt + C
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
p(t)Q(t)dt + C
!"
P(t)dt
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
(9)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
%&
1
' (10)
積の微分
指数の合成関数の微分

式
= p(t)
' = )
P(t)x + x′
+ P(t)x = Q(t) の形に書けるとき，この方程式を１階線形微分方程式といいます。
この方程式は，p(t) = exp
式
dx
dt
+ P(t)x = Q(t) dx
dx
dt
dt
p(t) = exp
+ P(t)x = Q(t) (8)
!"
例題
p(t) = exp
x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
$
%&
=
exp
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
よ&
p(t)x =
' p(t)Q(t)dt + C
%&
1
' と置くと，
一般解は
!"
P(t)dt
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
p(t)Q(t)dt + C
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
p(t)Q(t)dt + C
!"
P(t)dt
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
(9)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
%&
1
' (10)
積の微分
指数の合成関数の微分
!"
P(t)dt
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
%&
p(t)Q(t)dt + C
って，両辺を積分して

例題
程式x′ + x = t のを一解般い解て，を一求般め解てをく求だめさよい。
。
線形微分方程式で，(8) 式にあてはめるとP(t) ≡ ので，絶対値が外れることに注意してください。
度秋学期）　第６回(2014. 10. 30) http://racco.2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.

例題
。
程式が
dx
+ P(t)x = Q(t) (8)
dt
度秋学期）　第６回(2014. 10. 30) http://racco.１階線形微分方程式といいます。
P(t)dt
t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
(9)
して
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
にあてはめると

例題
。
程式が
dx
+ P(t)x = Q(t) (8)
dt
P(t)dt
t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
(9)
して
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
。
の微分方程式x′ + x = t の一般解を求めてください。
式は１階線形微分方程式で，(8) 式にあてはめるとP(t) ≡ 1, Q(t) = t です。よっ
けてよいので，絶対値が外れることに注意してください。
）（2014 年度秋学期）　第６回(2014. 10. 30) http://racco.mikeneko.jp/　2/3 ペー

例題
関数x(t) についての１階微分方程式が
。
程式が
dx
dx
+ P(t)x = Q(t) + P(t)x = Q(t) dt
(8)
の形に書dt
けるとき，この方程式を１階線形微分方程式といいます。
度秋学期）　第６回(2014. 10. 30) http://racco.１階線形微分方程式といい!"
ます。
P(t)dt
# おくと，(p(t)x)′ が
よって
）（t)x)′ 年= 度(秋p(学t))′期）x 　+ 第p(６回t)x′
2014 (2014. 10. 30) http://racco.mikeneko.jp/　2/3 ペー=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
P(t)dt
とすると
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
(9)
して
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
。
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
p(t)Q(t)dt + C

例題
。
程式が
dx
+ P(t)x = Q(t) (8)
dt
P(t)dt
#
= et でと求められます。■
て# とおくと，(p(t)x)′ が
）（t)x)′ 年= 度(秋p(学t))′期）x 　+ 第p(６回t)x′
2014 (2014. 10. 30) http://racco.mikeneko.jp/　2/3 ペー=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
とすると
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
(9)
して
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
。
p(t) = exp
!"
1dt
よって
dx
dt
この方程式は，!"
p(t) = exp
P(t)dt
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
p(t)Q(t)dt + C

例題
。
程式が
dx
dx
+ P(t)x = Q(t) + P(t)x = Q(t) dt
(8)
の形に書dt
けるとき，この方程式を１階線形微分方程式といいます。
P(t)dt
#
= et でと求められます。■
!"
よって
P(t)dt
とすると
て# とおくと，(p(t)x)′ が
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
$
%&
'(
′
exp
）（2014 年度秋学期）　第６回(2014. 10. 30) http://racco.mikeneko.jp/　2/3 ペー' (と解くことができます。
例題
（解答）この方程式は１階線形微分方程式で，(8) 式にあてはめるとP(t) ≡ 1, Q(t) = t です。よ1t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
=
= p(t)
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
)
P(t)x + x′
(9)
して
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
。
p(t) = exp
!"
1dt
前ページの式から
dt
!"
P(t)dt
(p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′
=
$
exp
%&
P(t)dt
'(
′
x + p(t)x′
= p(t)
)
P(t)x + x′
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
P(t)dt
x + p(t)x′
p(t)Q(t)dt + C
*
= p(t)Q(t)
p(t)x =
&
p(t)Q(t)dt + C
x =
1
p(t)
%&
p(t)Q(t)dt + C

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第２部・基本的な微分方程式　／　第６回　変数分離形の変形 (2014. 10. 30)

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