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2022年度秋学期 応用数学（解析） 第8回 2階線形微分方程式（２） (2022. 11. 17)
関西大学総合情報学部・応用数学（解析）（担当・浅野晃） http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/AMA/
2022年度秋学期 応用数学（解析） 第8回 2階線形微分方程式（２） (2022. 11. 17)
- 1. 浅野 晃 関西大学総合情報学部 2022年度秋学期 応用数学（解析） 第２部・基本的な微分方程式２階線形微分方程式（２） 第８回
- 2.
- 3.
- 4. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x + P(t)x + Q(t)x = R(t)
- 5. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x + P(t)x + Q(t)x = R(t)
- 6. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x + P(t)x + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］
- 7. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x + P(t)x + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］ 一番簡単なのは x + ax + bx = 0
- 8. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x + P(t)x + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］ 一番簡単なのは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式
- 9. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式 3 一般には とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］ x + P(t)x + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］ 一番簡単なのは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式
- 10. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式 3 一般には とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］ x + P(t)x + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］ 一番簡単なのは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 それ以外には？
- 11. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式の解 4 x + ax + bx = 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2 eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0
- 12. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式の解 4 x + ax + bx = 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2 eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0
- 13. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x + ax + bx = 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2 eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0
- 14. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x + ax + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2 eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0
- 15. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x + ax + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2 eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t
- 16. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x + ax + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2 eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t x ≡ 0 を含む
- 17. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x + ax + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2 eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t x ≡ 0 を含む
- 18. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式を解く 5 定数係数の 斉次形２階線形微分方程式 x + ax + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解
- 19. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式を解く 5 定数係数の 斉次形２階線形微分方程式 x + ax + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という
- 20. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式を解く 5 定数係数の 斉次形２階線形微分方程式 特性方程式の解の形によって，３パターン x + ax + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という
- 21. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２階線形微分方程式を解く 5 定数係数の 斉次形２階線形微分方程式 特性方程式の解の形によって，３パターン x + ax + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という 異なる２つの実数解の場合 異なる２つの虚数解の場合 重解の場合
- 22. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数解が２つの場合 6 特性方程式の 異なる２つの実数解 λ1, λ2 eλ1t, eλ2t 微分方程式の １次独立な解 一般解は x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t 解 表
- 23. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数解が２つの場合 6 特性方程式の 異なる２つの実数解 （つまり，最初のとおり） λ1, λ2 eλ1t, eλ2t 微分方程式の １次独立な解 一般解は x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t 解 表
- 24. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が２つの場合 7 一般解は x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
- 25. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が２つの場合 7 さらに計算すると 一般解は x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
- 26. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が２つの場合 7 さらに計算すると 一般解は x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは， また先で
- 27. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が２つの場合 7 さらに計算すると 一般解は x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは， また先で x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 定数を置き直して，一般解は
- 28. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が２つの場合 7 さらに計算すると 一般解は x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは， また先で x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 定数を置き直して，一般解は 振動を表している
- 29. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が２つの場合 7 さらに計算すると 一般解は x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは， また先で x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 定数を置き直して，一般解は 振動を表している これも先で
- 30. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 8 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1eλ1t
- 31. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1eλ1t
- 32. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1eλ1t teλ1t
- 33. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1eλ1t teλ1t 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる
- 34. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1eλ1t teλ1t (teλ1t ) = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t ) = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1t + 2λ1)eλ1t 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる
- 35. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1eλ1t teλ1t (teλ1t ) = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t ) = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1t + 2λ1)eλ1t 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる 微分方程式の左辺に代入すると
- 36. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1eλ1t teλ1t (teλ1t ) = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t ) = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1t + 2λ1)eλ1t 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると
- 37. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1eλ1t teλ1t (teλ1t ) = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t ) = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1t + 2λ1)eλ1t 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると
- 38. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は λ1は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1eλ1t teλ1t (teλ1t ) = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t ) = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1t + 2λ1)eλ1t 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると
- 39. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は λ1は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1eλ1t teλ1t (teλ1t ) = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t ) = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1t + 2λ1)eλ1t 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると
- 40. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は λ1は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1eλ1t teλ1t (teλ1t ) = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t ) = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1t + 2λ1)eλ1t 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0
- 41. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は λ1は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1eλ1t teλ1t (teλ1t ) = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t ) = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1t + 2λ1)eλ1t 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0 C1eλ1t + C2teλ1t 一般解は
- 42. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は λ1は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1eλ1t teλ1t (teλ1t ) = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t ) = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1t + 2λ1)eλ1t 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0 見つけ方は前回のテキストで （定数変化法） C1eλ1t + C2teλ1t 一般解は
- 43.
- 44.
- 45. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 10 前回のは x + ax + bx = 0
- 46. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 10 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式
- 47. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 10 今回は 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式
- 48. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 10 今回は 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t)
- 49. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 10 今回は 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t)
- 50. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 10 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t)
- 51. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t)
- 52. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと
- 53. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝
- 54. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）
- 55. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）
- 56. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解
- 57. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解
- 58. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解
- 59. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x + P(t)x + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x x 1 = x2 x 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す
- 60. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x + P(t)x + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x x 1 = x2 x 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す
- 61. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x + P(t)x + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x x 1 = x2 x 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x 1 x 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で
- 62. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x + P(t)x + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x x 1 = x2 x 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x 1 x 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x = A(t)x + b(t)
- 63. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x + P(t)x + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x x 1 = x2 x 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x 1 x 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x = A(t)x + b(t)
- 64. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x + P(t)x + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x x 1 = x2 x 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x 1 x 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x = A(t)x + b(t)
- 65. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x + P(t)x + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x x 1 = x2 x 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x 1 x 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x = A(t)x + b(t)
- 66. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x + P(t)x + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x x 1 = x2 x 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x 1 x 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x = A(t)x + b(t)
- 67. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x + P(t)x + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x x 1 = x2 x 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x 1 x 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x = A(t)x + b(t) １階線形微分方程式の形になる
- 68. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x + P(t)x + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x x 1 = x2 x 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x 1 x 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x = A(t)x + b(t) １階線形微分方程式の形になる 何階線形微分方程式でも，この形にできる
- 69. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 13 非斉次形 n 階線形微分方程式 の一般解 x = A(t)x + b(t) の任意の特殊解 xp(t) と xs(t)は 対応する斉次形方程式 x = A(t)x x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 の一般解 xh(t) の 和で表される。 xs(t) = xh(t) + xp(t)
- 70. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 13 非斉次形 n 階線形微分方程式 の一般解 x = A(t)x + b(t) の任意の特殊解 xp(t) と xs(t)は 対応する斉次形方程式 x = A(t)x x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 の一般解 xh(t) の 和で表される。 xs(t) = xh(t) + xp(t)
- 71. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 13 非斉次形 n 階線形微分方程式 の一般解 x = A(t)x + b(t) の任意の特殊解 xp(t) と xs(t)は 対応する斉次形方程式 x = A(t)x x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 の一般解 xh(t) の 和で表される。 xs(t) = xh(t) + xp(t)
- 72. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般的にいうと 13 非斉次形 n 階線形微分方程式 の一般解 x = A(t)x + b(t) の任意の特殊解 xp(t) と xs(t)は 対応する斉次形方程式 x = A(t)x x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 の一般解 xh(t) の 和で表される。 xs(t) = xh(t) + xp(t) 何階微分方程式でも 定数係数でなくても
- 73. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が まず
- 74. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 まず
- 75. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 まず
- 76. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 まず
- 77. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) まず
- 78. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) まず
- 79. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) まず
- 80. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t)) + (xp(t)) まず
- 81. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t)) + (xp(t)) まず
- 82. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t)) + (xp(t)) まず 斉次形 x = A(t)x
- 83. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t)) + (xp(t)) まず 斉次形 x = A(t)x
- 84. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t)) + (xp(t)) まず 斉次形 x = A(t)x
- 85. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t)) + (xp(t)) まず 斉次形 非斉次形 x = A(t)x x = A(t)x + b(t)
- 86. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t)) + (xp(t)) まず 斉次形 非斉次形 x = A(t)x x = A(t)x + b(t)
- 87. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t)) + (xp(t)) = (xs(t)) まず 斉次形 非斉次形 x = A(t)x x = A(t)x + b(t)
- 88. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t)) + (xp(t)) = (xs(t)) （左辺） まず 斉次形 非斉次形 x = A(t)x x = A(t)x + b(t)
- 89. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 14 x = A(t)x + b(t) の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) 本当に一般解か？ どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？ が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t)) + (xp(t)) = (xs(t)) （左辺） まず 斉次形 非斉次形 x = A(t)x x = A(t)x + b(t)
- 90. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 15 x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 の一般解 xs(t) について どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？
- 91. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 15 x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 を考える の一般解 xs(t) について どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？
- 92. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 15 x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x = A(t)x の一般解 xh(t) について どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？
- 93. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 15 x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？
- 94. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 15 x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？
- 95. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 15 x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？
- 96. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 15 x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？
- 97. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 15 x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 だから，これで 非斉次形方程式の解で初期値を xs(t0) = x0 としたことになっている どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？
- 98. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 15 x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 だから，これで 非斉次形方程式の解で初期値を xs(t0) = x0 としたことになっている この斉次形方程式は一意だから， 斉次形方程式でこの初期値の特殊解はひとつ どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？
- 99. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 証明は，割と簡単 15 x = A(t)x + b(t) 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 だから，これで 非斉次形方程式の解で初期値を xs(t0) = x0 としたことになっている この斉次形方程式は一意だから， 斉次形方程式でこの初期値の特殊解はひとつ 非斉次形方程式の特殊解もひとつ どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？
- 100.
- 101.
- 102. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t)
- 103. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと
- 104. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝
- 105. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）
- 106. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）
- 107. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解
- 108. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解
- 109. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解
- 110. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 これを見つけるには，右辺の形に注目 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x+ax+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解
- 111. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2
- 112. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける
- 113. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける
- 114. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると
- 115. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると
- 116. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると −(3a + 3)t2 + (4a − 3b − 3)t + (2a + 2b − 3c + 2) = 0
- 117. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると −(3a + 3)t2 + (4a − 3b − 3)t + (2a + 2b − 3c + 2) = 0 これが t に関係なくなりたつから 3a + 3 = 0 4a − 3b − 3 = 0 2a + 2b − 3c + 2 = 0
- 118. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると −(3a + 3)t2 + (4a − 3b − 3)t + (2a + 2b − 3c + 2) = 0 これが t に関係なくなりたつから 3a + 3 = 0 4a − 3b − 3 = 0 2a + 2b − 3c + 2 = 0 これを解くと a = −1, b = − 7 3 , c = − 14 9
- 119. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると −(3a + 3)t2 + (4a − 3b − 3)t + (2a + 2b − 3c + 2) = 0 これが t に関係なくなりたつから 3a + 3 = 0 4a − 3b − 3 = 0 2a + 2b − 3c + 2 = 0 これを解くと a = −1, b = − 7 3 , c = − 14 9 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は
- 120. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は
- 121. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は 対応する斉次形の方程式は x + 2x − 3x = 0 解 定数
- 122. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は 対応する斉次形の方程式は x + 2x − 3x = 0 解 定数 特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0
- 123. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は 対応する斉次形の方程式は x + 2x − 3x = 0 解 定数 特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0 その解は λ = 1, −3
- 124. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は 対応する斉次形の方程式は x + 2x − 3x = 0 解 定数 特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0 その解は λ = 1, −3 異なる２つの実数解なので，斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t
- 125. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は 対応する斉次形の方程式は x + 2x − 3x = 0 解 定数 特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0 その解は λ = 1, −3 以上から，与えられた非斉次形方程式の一般解は 異なる２つの実数解なので，斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t
- 126. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は 対応する斉次形の方程式は x + 2x − 3x = 0 解 定数 特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0 その解は λ = 1, −3 以上から，与えられた非斉次形方程式の一般解は 異なる２つの実数解なので，斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t x = C1et + C2e−3t − t2 − 7 3 t − 14 9
- 127. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = e2t
- 128. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t
- 129. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t
- 130. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t
- 131. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t これが t に関係なくなりたつから a = 1 5
- 132. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t これが t に関係なくなりたつから a = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = 解は C 1 5 e2t
- 133. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t 対応する斉次形の方程式は x + 2x − 3x = 0 解 定数 一般解は x = C1et + C2e−3t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t これが t に関係なくなりたつから a = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = 解は C 1 5 e2t
- 134. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t 対応する斉次形の方程式は x + 2x − 3x = 0 解 定数 一般解は x = C1et + C2e−3t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t これが t に関係なくなりたつから a = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = 解は C 1 5 e2t 以上から，非斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t + 1 5 e2t
- 135. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 2 cos t
- 136. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 2 cos t 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t
- 137. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 2 cos t 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t
- 138. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 2 cos t 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (2A + 2B − 2) cos t + (−2A + 2B) sin t = 0
- 139. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 2 cos t 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (2A + 2B − 2) cos t + (−2A + 2B) sin t = 0 cos, sinは独立
- 140. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 2 cos t 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (2A + 2B − 2) cos t + (−2A + 2B) sin t = 0 cos, sinは独立 −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0
- 141. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 2 cos t 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (2A + 2B − 2) cos t + (−2A + 2B) sin t = 0 cos, sinは独立 −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0 A = − 2 5 , B = 1 5
- 142. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x + 2x − 3x = 2 cos t 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (2A + 2B − 2) cos t + (−2A + 2B) sin t = 0 cos, sinは独立 −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0 A = − 2 5 , B = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − 2 5 cos t + 1 5 sin t
- 143. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 の一般解を求めよ。 対応する斉次形の方程式は x + 2x − 3x = 0 解 定数 一般解は x = C1et + C2e−3t x + 2x − 3x = 2 cos t 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (2A + 2B − 2) cos t + (−2A + 2B) sin t = 0 cos, sinは独立 −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0 A = − 2 5 , B = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − 2 5 cos t + 1 5 sin t
- 144. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 の一般解を求めよ。 対応する斉次形の方程式は x + 2x − 3x = 0 解 定数 一般解は x = C1et + C2e−3t x + 2x − 3x = 2 cos t 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (2A + 2B − 2) cos t + (−2A + 2B) sin t = 0 cos, sinは独立 −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0 A = − 2 5 , B = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − 2 5 cos t + 1 5 sin t 以上から，非斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t − 2 5 cos t + 1 5 sin t
- 145.
- 146.
- 147. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t)と x2(t)が１次独立とは，
- 148. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t)と x2(t)が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0
- 149. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t)と x2(t)が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 を t で微分すると
- 150. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t)と x2(t)が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 を t で微分すると C1x 1(t) + C2x 2(t) = 0
- 151. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t)と x2(t)が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 を t で微分すると C1x 1(t) + C2x 2(t) = 0 まとめて行列で書くと x1(t) x2(t) x 1(t) x 2(t) C1 C2 = 0 0
- 152. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t)と x2(t)が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 を t で微分すると C1x 1(t) + C2x 2(t) = 0 まとめて行列で書くと x1(t) x2(t) x 1(t) x 2(t) C1 C2 = 0 0 解が C1 = C2 = 0 だけになるのは，この行列に逆行列が存在する時
- 153. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t)と x2(t)が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 を t で微分すると C1x 1(t) + C2x 2(t) = 0 まとめて行列で書くと x1(t) x2(t) x 1(t) x 2(t) C1 C2 = 0 0 解が C1 = C2 = 0 だけになるのは，この行列に逆行列が存在する時 x1(t) x2(t) x 1(t) x 2(t) ≡ 0 つまり
- 154. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t)と x2(t)が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 を t で微分すると C1x 1(t) + C2x 2(t) = 0 まとめて行列で書くと x1(t) x2(t) x 1(t) x 2(t) C1 C2 = 0 0 解が C1 = C2 = 0 だけになるのは，この行列に逆行列が存在する時 x1(t) x2(t) x 1(t) x 2(t) ≡ 0 つまり Wronskianという
- 155. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 今日のまとめ 24 定数係数・非斉次形の ２階線形微分方程式 x+ax+bx = R(t)
- 156. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 今日のまとめ 24 定数係数・非斉次形の ２階線形微分方程式 x+ax+bx = R(t) 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解
- 157. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 今日のまとめ 24 定数係数・非斉次形の ２階線形微分方程式 x+ax+bx = R(t) 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解 x + ax + bx = 0
- 158. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 今日のまとめ 24 定数係数・非斉次形の ２階線形微分方程式 x+ax+bx = R(t) 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解 x + ax + bx = 0
- 159. 24 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 今日のまとめ 24 定数係数・非斉次形の ２階線形微分方程式 x+ax+bx = R(t) 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解 これを見つけるには右辺の形に注目 x + ax + bx = 0