2013年度秋学期　統計学　第１３回「不確かな測定の不確かさを測る ― 不偏分散とt分布」

2013年度秋学期統計学

A. Asano, Kansai Univ.

不確かな測定の不確かさを測る
― 不偏分散とt分布

浅野晃
関西大学総合情報学部


ちょっと前回までの復習

正規分布の場合の区間推定
例題
母集団
（受験者全体）


母平均μ


例題
母集団
母平均μの95%信頼区間が
知りたい


母平均μ


例題
母集団

知りたい


母平均μ

標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn


例題
母集団

標本平均 X
知りたい


母平均μ

サイズn


例題
母集団


母平均μ
正規分布
と仮定する

サイズn
標本平均 X
知りたい


例題
母集団


母平均μ
正規分布
と仮定する

サイズn
標本平均 X
知りたい

2がわかっているものとする
母分散σ

例題
母集団


母平均μ
正規分布
と仮定する

サイズn
標本平均 X
知りたい

（説明の都合です）
2がわかっているものとする
母分散σ

区間推定の考え方


データをいくつか抽出して標本平均




X


仮に，何度も抽出したとすると


X


X


X


X
X


X


X
X
X


X


X
X
X


X
母平均（実際にはわからない）


X
X
X


X
のまわりにばらついている

標本平均の
期待値
＝母平均

X
X
X


X

標本平均の
期待値
＝母平均

X
X
X


X

データ１個
より
ばらつきが
小さくなる




標本平均の
期待値
＝母平均

標本平均の
分散
＝母分散
標本サイズ

X
X
X
X

データ１個
より
ばらつきが
小さくなる


標本平均の左右に区間をつける
X
X
X


X


X
X
X


X
母平均


X
X
X


X

母平均
（実際にはわからない）


区間は母平均を

X
X
X


X

母平均



X

含む

X
X


X

母平均



X
X

含む
含む

X


X

母平均



X
X
X

含む
含む
含まない


X

母平均



X
X
X

含む
含まない

X

含む

含む

母平均


どの回の区間が
母平均を含むか・
含まないかは
わからないが

X
X
X

含む
含まない

X

含む

含む

母平均




どの回の区間が
母平均を含むか・
含まないかは
わからないが

X
X
X

確率95%で
母平均を含むように
区間を設定できる

含む
含む
含まない

X

含む

母平均


信頼区間

X
X
X


X

含む
含む
含ま
ない

確率95%で
母平均を含むように計
算した区間だから，そ
の１回も含むと信じる

含む

母平均


信頼区間

X
X
X


X

含む
含む
含ま
ない
含む

母平均

確率95%で

母平均の
［信頼係数］95%の
［信頼区間］という


信頼区間

X
X
X


X

含む
含む
含ま
ない
含む

母平均

確率95%で

母平均の
［信頼係数］95%の
［信頼区間］という
（［95%信頼区間］）



不偏分散

母分散は，ふつうはわからない


母集団のすべてのデータは調べていない
し，母平均もわからない
（わからないから，いま推定しようとし
ている）


ている）


それなのに，母分散がわかるはずがない


ている）


それなのに，母分散がわかるはずがない
母分散の「代用品」を，標本を使って計
算できないか。

標本を使って分散を計算


分散＝(偏差)2の平均




（データ）ー（データの平均）




標本を使って分散を計算する。




データ：標本X1, ... Xn




データの平均：




データの平均：本当は母平均だが，




データの平均：本当は母平均だが，
わからないので
標本平均 X で代用

（不偏標本分散）といい，標本サイズを n，標本を X1 , X2 , . . . , X
散 s2 は
1
2
¯ 2 + (X2 − X)2 + · · · + (Xn − X)2
¯
¯
s標本を使った分散
=
(X1 − X)
n−1
1
2
¯ 2 + (X2 − X)2 + · · · + (Xn − X)2
¯
¯
S =
(X1 − X)
n


本サイズの n そのものではなく，n − 1 で割ることに注意してく


，その期待値が母分散に等しくなるように調整された分散です
りかえし標本を取り出して，そのつど不偏分散の値を計算したと
は毎回異なるので，不偏分散の値も毎回違います。毎回違います
同じ，というものです。

はなく n − 1 で割るのでしょうか？それを直観的に理解するため
本当にこれでいいの？
。図 1 では標本サイズを２つ（２つしか標本をとらない）とし

散 s2 は
1
2
¯ 2 + (X2 − X)2 + · · · + (Xn − X)2
¯
¯
=
(X1 − X)
n−1
1
2
¯ 2 + (X2 − X)2 + · · · + (Xn − X)2
¯
¯
S =
(X1 − X)
n


標本サイズで割る




散 s2 は
1
2
¯ 2 + (X2 − X)2 + · · · + (Xn − X)2
¯
¯
=
(X1 − X)
n−1
1
2
¯ 2 + (X2 − X)2 + · · · + (Xn − X)2
¯
¯
S =
(X1 − X)
n


標本サイズで割る


2の平均
分散＝(偏差)
だから当然だけど…


標本平均を用いた偏差


標本サイズ n=2 とする標本は X1, X2




X1



X2


X1


母平均

X2


X1


母平均
母平均との隔たり（偏差）

X2


X1


母平均

X

X2


X1


母平均

X1

X

X2


標本平均との隔たり


母平均

X1

X

X2


X1


母平均

X1

X

X2

X2


X1


母平均

X1

X

X2


X1 X X2


母平均

X1

X

X2


X1 X X2
X1

母平均

X1

X

X2


X1 X X2
X1

X2

母平均

X1

X

X2


X1 X X2
X1 X X2

母平均

X1

X

X2


X1 X X2
X1 X X2

標本平均との隔
たりのほうが
たいてい小さい

母集団の
度数分布


別の説明


母集団の
度数分布

別の説明


X


母集団の
度数分布

別の説明


X

これなら
「標本平均との隔たり」と
「母平均との隔たり」は
かわらない


母集団の
度数分布

別の説明


X

これなら
かわらない

X

母集団の
度数分布

別の説明

これなら
かわらない


X

こんなふうに偏っていると
「標本平均との隔たり」
のほうが小さい

X


不偏分散


不偏分散


母平均との隔たりよりも
標本平均との隔たりのほうが


不偏分散


標本平均との隔たりを使って分散を計算
すると，母分散よりもたいてい小さめに
なる


不偏分散


標本平均との隔たりを使って分散を計算
すると，母分散よりもたいてい小さめに
なる
では，計算のときに少し大きめ
にしておけば？

不偏分散


計算のときに少し大きめにする

「不偏」とは？

の母分散のかわりに，標本から推定した分散を使って，母平均を推測
各データの，期待値（平均）からのへだたり）の２乗の，そのまた期
応して「
（各標本の，標本平均からのへだたり）の２乗の，そのまた
（不偏標本分散）といい，標本サイズを n，標本を X1 , X2 , . . . , Xn ，
散 s2 は
1
2
¯ 2 + (X2 − X)2 + · · · + (Xn − X)2
¯
¯
s =
(X1 − X)
n−1
1
2
¯ 2 + (X2 − X)2 + · · · + (Xn − X)2
¯
¯
S =
(X1 − X)
n

不偏分散

本サイズの n そのものではなく，n − 1 で割ることに注意してくださ

1。
は，その期待値が母分散に等しくなるように調整された分散です

くりかえし標本を取り出して，そのつど不偏分散の値を計算したとす
本は毎回異なるので，不偏分散の値も毎回違います。毎回違いますが
と同じ，というものです。

応して「
散 s2 は
1
2
¯ 2 + (X2 − X)2 + · · · + (Xn − X)2
¯
¯
s =
(X1 − X)
n−1
1
2
¯ 2 + (X2 − X)2 + · · · + (Xn − X)2
¯
¯
S =
(X1 − X)
（標本サイズ - 1)で割る
n

不偏分散


1。


応して「
散 s2 は
1
2
¯ 2 + (X2 − X)2 + · · · + (Xn − X)2
¯
¯
s =
(X1 − X)
n−1
1
2
¯ 2 + (X2 − X)2 + · · · + (Xn − X)2
¯
¯
S =
(X1 − X)
（標本サイズ - 1)で割る
n

不偏分散


これを不偏分散（不偏標本分散）といい，
1。
母分散の代用に用いる




「不偏」とは「えこひいきしない」こと



標本平均との隔たりを使って分散を計算す
ると，母分散よりもたいてい小さめになる




計算のときに少し大きめにすると？




計算のときに少し大きめにすると？
母分散と一致するわけではないが
母分散より大きくも小さくも
平等にはずれる


不偏分散を用いた区間推定

考え方


標本は，母集団分布と同じ確率分布に
したがう


考え方


2)
したがう
正規分布N(μ, σ


考え方


2)
したがう

標本平均は，やはり正規分布にしたが
うが，分散が1/nになる


考え方


2)
したがう

うが，分散が1/nになる［性質２］


考え方


2)
したがう

うが，分散が1/nになる［性質２］
2/n)

考え方
標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう
正規分布N(μ, σ2)


X
標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散
が1/nになる正規分布N(μ, σ2/n) ［性質２］


考え方
標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう
X
標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散


正規分布の［性質１］により


2

規分布 N (µ, σ ) にしたがうならば，それらの
考え方
がう標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう

X
質の標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散
X1 , ..., Xn にあてはまっていますから，

す。



Z=

¯ −µ
X

2 /n
σ

は標準正規分布にしたがう

で述べた「正規分布の性質１」から，Z は標準

2

規分布 N (µ, σ ) にしたがうならば，それらの
考え方
がう標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう

X
質の標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散
X1 , ..., Xn にあてはまっていますから，

す。



Z=

¯ −µ
X

2 /n
σ
N(0, 1)



母分散はわからない


Z=

¯ −µ
X

2 /n
σ
N(0, 1)



である区間」はどういうものか考えてみましょ
したように，Z がある区間に入る確率は，標準
応する部分の面積になります。この部分の面積
ことにし，図 3(a) のように表します。このと

Z=

¯ −µ
X

2 /n
σ
N(0, 1)

本当は母分散はわからない



Z=

¯ −µ
X

2 /n
σ
N(0, 1)



不偏分散で代用する

¯
X −µ

Z=
2 /n
σ
¯ −µ
X
Z=
したがうことを説明しました。これまでの例
2 /n
σ
N(0, 1)
ました。
2 の２つ
ょう。このとき，(3) 式には µ と σ
2 を，標本から計算される不偏分
，母分散 σ

¯ − がある区間に入る確率は，標準
したように，Zµ
X
t=
2 /n
s

¯
X −µ

Z=
2 /n
σ
¯ −µ
X
Z=
2 /n
σ
N(0, 1)
ました。
2 の２つ
，母分散 σ

したように，Zµ 不偏分散
X
t=
2 /n
s

¯
X −µ

Z=
2 /n
σ
¯ −µ
X
Z=
2 /n
σ
N(0, 1)
ました。
2 の２つ
，母分散 σ

したように，Zµ 不偏分散
X
t=
2 /n
s
何分布にしたがう？

2
。そこで，母分散 σ

t分布

t統計量

t=

を，標本から計算され

¯ −µ
X

2 /n
s

t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし
？

布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1
れを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度
右対称の形になっています。

2

t分布

t統計量

t=


¯ −µ
X

2 /n
s

は

？


2

t分布

t統計量

t=


¯ −µ
X

2 /n
s

は

自由度(n-1)のt分布にしたがう
？


2

t分布

t統計量

t=


¯ −µ
X

2 /n
s

は

？
t(n-1)


2

t分布

t統計量

t=


¯ −µ
X

2 /n
s

は

？
t(n-1)

（「スチューデントのt分布」という）

2

t分布

t統計量

t=


¯ −µ
X

2 /n
s

は

？
t(n-1)

（「スチューデントのt分布」という）
発見者ウィリアム・ゴセットのペンネーム

この例題は
母集団


母平均μ
正規分布
と仮定する

サイズn
標本平均 X
知りたい


この例題は
母集団


母平均μ
正規分布
と仮定する

サイズn
標本平均 X
知りたい

2がわか
母分散σ

この例題は
母集団


母平均μ
正規分布
と仮定する

サイズn
標本平均 X
知りたい

2がわからないので，
母分散σ

この例題は
母集団


母平均μ
正規分布
と仮定する

サイズn
標本平均 X
知りたい
2で代用
不偏分散s

2がわからないので，
母分散σ

しょう。このとき，(3) 式には µ と σ の２つの未知の量がある
で，母分散 σ 2 を，標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた

t分布を用いた区間推定

t=

¯
X −µ

s2 /n

(4)
は自由度(n-1)のt分布にしたがう

t(n-1)

量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが，t はどのよ

標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（スチューデント
n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく
の形になっています。
t

合でも，標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める
しょう。

0

であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無
を平均したところ 50 点で，またこの 10 人の点数の不偏分



t=

¯
X −µ

s2 /n

(4)

t(n-1)


t(n-1)の
確率密度関数

t

しょう。

0




¯ µ
X − σ 2 の正規分布で，そこから n 個の標本を取り出したとき
平均 µ，母分散
t=
(4)
s2 /n
¯
t(n-1)
X −µ
Z=
(
σ 2 /n

t(n-1)の
(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では，Z のこの性
確率密度関数


定を行いました。
るとしましょう。このとき，(3) 式には µ と σ 2 の２つの未知の量がある
2 を，標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた
t
ん。そこで，母分散 σ 0
¯
X −µ
しょう。
t=
(
s2 /n が

この区間に入っている確率=95%とすると
を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが，t はどのよ
？



¯ µ
t=
(4)
s2 /n
¯
t(n-1)
X −µ
Z=
(
σ 2 /n

t(n-1)の
面積=95%
確率密度関数


t
¯
X −µ
しょう。
t=
(
s2 /n が

？



¯ µ
t=
(4)
s2 /n
¯
t(n-1)
X −µ
Z=
(
σ 2 /n

t(n-1)の
面積=95%
確率密度関数


t
境界の値はいくら？
¯ −µ
X
しょう。
t=
(
s2 /n が

？

面積=95%

0

t


0


t

面積=95%

0

t

面積=2.5%
（左右で5%）


0


t

面積=95%

0

t

面積=2.5%
（左右で5%）


0

t

境界の値は自由度によってちがうので

面積=95%

0

t

面積=2.5%
（左右で5%）


0

t

t0.025(n-1)としておく

面積=95%

0

t

面積=2.5%
（左右で5%）


0

t

t0.025(n-1)としておく
［上側2.5%点］という

t(n-1)


0


t

2
団分布が母平均 µ，母分散 σ

の正規分布で，そこから n 個の標本を取

あるとき，
Z=

t(n-1)

¯
X −µ

σ 2 /n

正規分布 N (0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では
µ の区間推定を行いました。

が不明であるとしましょう。このとき，(3) 式には µ と
の２つの未
t
20
ができません。そこで，母分散 σ を，標本から計算される不偏分散 s2
2
σ

t=

¯
X −µ

s2 /n

が


す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが
この区間に入っている確率=95%
でしょうか？

たがう確率分布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（ス
率分布で，これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正

2


あるとき，
Z=

t(n-1)

¯
X −µ

σ 2 /n

面積=95%

の２つの未
t
20
2
σ

t=

¯
X −µ

s2 /n

が


でしょうか？


2


あるとき，
Z=

t(n-1)

¯
X −µ

σ 2 /n

面積=95%

の２つの未
t
20
2
σ

t=

¯
X −µ

s2 /n

が


でしょうか？

t0.025(n-1)

2


あるとき，
Z=

t(n-1)

¯
X −µ

σ 2 /n

面積=95%

の２つの未
t
20
2
σ

t=

¯
X −µ

s2 /n

が


でしょうか？

-t0.025(n-1)
t0.025(n-1)

しょう。このとき，(3) 式には µ と σ 2 の２つの未知の量がある

¯
X −µ

が -t0.025(n-1) と
(4)
s2 /n
t0.025(n-1) の間に入って
いる確率が95%
t=



ましょう。



¯
X −µ

が -t0.025(n-1) と
(4)
s2 /n
いる確率が95%
t=

式で書くと


ましょう。


t

0

–t0.025(n –1)

t0.025(n –1)

¯
X −µ

が -t0.025(n-1) と
(4)
tが入る確率95%の区間
s2 /n
図 2: t 分布と区間推定
いる確率が95%
t=

あるような値」とすると

式で書くと

¯
X −µ
P −t0.025
t0.025 (n − 1) = 0.95
の形になっています。 (n − 1)
s2 /n

立ちます（図 2）
。この式から，

ましょう。

P

¯
X − t0.025 (n − 1)

s2
n

µ

¯
X + t0.025 (n − 1)

s2
n

ますから，µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。

= 0.95

t

0

–t0.025(n –1)

t0.025(n –1)

¯
X −µ

が -t0.025(n-1) と
(4)
s2 /n
いる確率が95%
t=


式で書くと

¯
X −µ
P −t0.025
t0.025 (n − 1) = 0.95
の形になっています。 (n − 1)
s2 /n


μの式に直すと
ましょう。
P

¯
X − t0.025 (n − 1)

s2
n

µ

¯
X + t0.025 (n − 1)

s2
n


= 0.95

0.025
t

P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025

–t0.025(n –1)

¯
X − µ –t

0

t0.025(n –1)

t

が -t
(n-1) と
(4)
s2 /n
いる確率が95%
t=

(n –1) 0.0250
t0.025(n –1)
0.025

であるような値」とすると
¯
X −µ
P −t0.025
¯ −µ
の形になっています。 (n − 1) X s2 /n t0.025 (n − 1) = 0.95
P −t0.025 (n − 1)
t0.025 (n − 1) = 0.95
s2 /n
立ちます（図。この式から，
ましょう。 2）
s2
s2
¯
¯
P X − t0.025 (n − 1) s2
µ X + t0.025 (n − 1) s2
= 0.95
¯
¯
n = 0.95
P X − t0.025 (n − 1) n µ X + t0.025 (n − 1)
n
n

式で書くと

μの式に直すと


るような値」とすると

¯
X −µ
P

−t0.025 (n − 1)

s2 /n

t0.025 (n − 1)

= 0.95

ます（図 2）

P

¯
X − t0.025 (n − 1)

s2
n

µ

¯
X + t0.025 (n − 1)

s2
n

= 0.95

から，µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。


なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには，一緒に配布した数表（t
ができます。数表では，各自由度 ν（縦軸）と定数 α（横軸）に対して，tα (ν) が
¯
読むことで求められます。この問題の場合，標本平均 X = 50，不偏分散 s2 = 2
− 1) = 2.262 ですから，µ の 95%信頼区間は「46.4（点）以上 53.6（点）以下」

のように，母分散が 25 とわかっているときには，µ の 95%信頼区間は「46.9（点
でしたから，今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い
不確かであることを意味しています。これは，不偏分散は母分散そのものではな


¯
X −µ
P

−t0.025 (n − 1)

s2 /n

t0.025 (n − 1)

= 0.95

ます（図 2）

P

¯
X − t0.025 (n − 1)

s2
n

µ

¯
X + t0.025 (n − 1)

s2
n

= 0.95

μの95%
信頼区間の
下限
2

¯
読むことで求められます。この問題の場合，標本平均 X = 50，不偏分散 s = 2



¯
X −µ
P

−t0.025 (n − 1)

s2 /n

t0.025 (n − 1)

= 0.95

ます（図 2）

P

¯
X − t0.025 (n − 1)

s2
n

µ

¯
X + t0.025 (n − 1)

s2
n

= 0.95

μの95%
μの95%
信頼区間の
信頼区間の
下限
上限
2

¯



¯
X −µ
P

−t0.025 (n − 1)

例題では

s2 /n

t0.025 (n − 1)

= 0.95

ます（図 2）

P

¯
X − t0.025 (n − 1)

s2
n

µ

¯
X + t0.025 (n − 1)

s2
n

= 0.95

μの95%
μの95%
信頼区間の
信頼区間の
下限
上限
2

¯



¯
X −µ
P

−t0.025 (n − 1)

例題では

s2 /n

t0.025 (n − 1)

= 0.95

ます（図 2）

標本平均=50
P

¯
X − t0.025 (n − 1)

s2
n

µ

¯
X + t0.025 (n − 1)

s2
n

= 0.95

μの95%
μの95%
信頼区間の
信頼区間の
下限
上限
2

¯



¯
X −µ
P

−t0.025 (n − 1)

例題では

s2 /n

t0.025 (n − 1)

= 0.95

ます（図 2）
不偏分散=25

標本平均=50
P

¯
X − t0.025 (n − 1)

s2
n

µ

¯
X + t0.025 (n − 1)

s2
n

= 0.95

μの95%
μの95%
信頼区間の
信頼区間の
下限
上限
2

¯



¯
X −µ
P

−t0.025 (n − 1)

例題では

s2 /n

ます（図 2）
不偏分散=25

標本平均=50
P

¯
X − t0.025 (n − 1)

s2
n

µ

t0.025 (n − 1)

= 0.95

標本サイズ=10

¯
X + t0.025 (n − 1)

s2
n

= 0.95

μの95%
μの95%
信頼区間の
信頼区間の
下限
上限
2

¯



¯
X −µ
P

−t0.025 (n − 1)

例題では

s2 /n

ます（図 2）
不偏分散=25

標本平均=50
P

¯
X − t0.025 (n − 1)

s2
n

µ

t0.025 (n − 1)

= 0.95

標本サイズ=10

¯
X + t0.025 (n − 1)

s2
n

= 0.95

μの95%
μの95%
信頼区間の
信頼区間の
下限
上限
2

¯

0.025

上側2.5%点 t

(n-1) は？

t分布表
面積=2.5%

t0.025(n-1)
t


0


t分布表
面積=2.5%

t0.025(n-1)
t

0

t分布表（自由度の100 パーセント点 t ( )）

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

1

0.3249

0.7265

1.0000

1.3764

1.9626

3.0777

6.3138

12.7062

31.8205

63.6567

2

0.2887

0.6172

0.8165

1.0607

1.3862

1.8856

2.9200

4.3027

6.9646

9.9248

3

0.2767

0.5844

0.7649

0.9785

1.2498

1.6377

2.3534

3.1824

4.5407

5.8409

4

0.2707

0.5686

0.7407

0.9410

1.1896

1.5332

2.1318

2.7764

3.7469

4.6041

5


0.40

0.2672

0.5594

0.7267

0.9195

1.1558

1.4759

2.0150

2.5706

3.3649

4.0321

6

0.2648

0.5534

0.7176

0.9057

1.1342

1.4398

1.9432

2.4469

3.1427

3.7074

7

0.2632

0.5491

0.7111

0.8960

1.1192

1.4149

1.8946

2.3646

2.9980

3.4995

8

0.2619

0.5459

0.7064

0.8889

1.1081

1.3968

1.8595

2.3060

2.8965

3.3554

9

0.2610

0.5435

0.7027

0.8834

1.0997

1.3830

1.8331

2.2622

2.8214

3.2498

10

0.2602

0.5415

0.6998

0.8791

1.0931

1.3722

1.8125

2.2281

2.7638

3.1693

11

0.2596

0.5399

0.6974

0.8755

1.0877

1.3634

1.7959

2.2010

2.7181

3.1058

12

0.2590

0.5386

0.6955

0.8726

1.0832

1.3562

1.7823

2.1788

2.6810

3.0545

13

0.2586

0.5375

0.6938

0.8702
1.0795

1.3502

1.7709

2.1604

2.6503

3.0123

t分布表
面積=2.5%

t0.025(n-1)
t

0


パーセントの値
0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

1

0.3249

0.7265

1.0000

1.3764

1.9626

3.0777

6.3138

12.7062

31.8205

63.6567

2

0.2887

0.6172

0.8165

1.0607

1.3862

1.8856

2.9200

4.3027

6.9646

9.9248

3

0.2767

0.5844

0.7649

0.9785

1.2498

1.6377

2.3534

3.1824

4.5407

5.8409

4

0.2707

0.5686

0.7407

0.9410

1.1896

1.5332

2.1318

2.7764

3.7469

4.6041

5


0.40

0.2672

0.5594

0.7267

0.9195

1.1558

1.4759

2.0150

2.5706

3.3649

4.0321

6

0.2648

0.5534

0.7176

0.9057

1.1342

1.4398

1.9432

2.4469

3.1427

3.7074

7

0.2632

0.5491

0.7111

0.8960

1.1192

1.4149

1.8946

2.3646

2.9980

3.4995

8

0.2619

0.5459

0.7064

0.8889

1.1081

1.3968

1.8595

2.3060

2.8965

3.3554

9

0.2610

0.5435

0.7027

0.8834

1.0997

1.3830

1.8331

2.2622

2.8214

3.2498

10

0.2602

0.5415

0.6998

0.8791

1.0931

1.3722

1.8125

2.2281

2.7638

3.1693

11

0.2596

0.5399

0.6974

0.8755

1.0877

1.3634

1.7959

2.2010

2.7181

3.1058

12

0.2590

0.5386

0.6955

0.8726

1.0832

1.3562

1.7823

2.1788

2.6810

3.0545

13

0.2586

0.5375

0.6938

0.8702
1.0795

1.3502

1.7709

2.1604

2.6503

3.0123

t分布表
面積=2.5%

t0.025(n-1)
t

0


0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

1

0.3249

0.7265

1.0000

1.3764

1.9626

3.0777

6.3138

12.7062

31.8205

63.6567

2

0.2887

0.6172

0.8165

1.0607

1.3862

1.8856

2.9200

4.3027

6.9646

9.9248

3

0.2767

0.5844

0.7649

0.9785

1.2498

1.6377

2.3534

3.1824

4.5407

5.8409

4

0.2707

0.5686

0.7407

0.9410

1.1896

1.5332

2.1318

2.7764

3.7469

4.6041

5


0.40

0.2672

0.5594

0.7267

0.9195

1.1558

1.4759

2.0150

2.5706

3.3649

4.0321

6

0.2648

0.5534

0.7176

0.9057

1.1342

1.4398

1.9432

2.4469

3.1427

3.7074

7

0.2632

0.5491

0.7111

0.8960

1.1192

1.4149

1.8946

2.3646

2.9980

3.4995

8

0.2619

0.5459

0.7064

0.8889

1.1081

1.3968

1.8595

2.3060

2.8965

3.3554

9

0.2610

0.5435

0.7027

0.8834

1.0997

1.3830

1.8331

2.2622

2.8214

3.2498

10

0.2602

0.5415

0.6998

例題では n-1 = 9

0.8791

1.0931

1.3722

1.8125

2.2281

2.7638

3.1693

11

0.2596

0.5399

0.6974

0.8755

1.0877

1.3634

1.7959

2.2010

2.7181

3.1058

12

0.2590

0.5386

0.6955

0.8726

1.0832

1.3562

1.7823

2.1788

2.6810

3.0545

13

0.2586

0.5375

0.6938

0.8702
1.0795

1.3502

1.7709

2.1604

2.6503

3.0123

t分布表
面積=2.5%

t0.025(n-1)
t

0



0.025

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

1

0.3249

0.7265

1.0000

1.3764

1.9626

3.0777

6.3138

12.7062

31.8205

63.6567

2

0.2887

0.6172

0.8165

1.0607

1.3862

1.8856

2.9200

4.3027

6.9646

9.9248

3

0.2767

0.5844

0.7649

0.9785

1.2498

1.6377

2.3534

3.1824

4.5407

5.8409

4

0.2707

0.5686

0.7407

0.9410

1.1896

1.5332

2.1318

2.7764

3.7469

4.6041

5


0.40

0.2672

0.5594

0.7267

0.9195

1.1558

1.4759

2.0150

2.5706

3.3649

4.0321

6

0.2648

0.5534

0.7176

0.9057

1.1342

1.4398

1.9432

2.4469

3.1427

3.7074

7

0.2632

0.5491

0.7111

0.8960

1.1192

1.4149

1.8946

2.3646

2.9980

3.4995

8

0.2619

0.5459

0.7064

0.8889

1.1081

1.3968

1.8595

2.3060

2.8965

3.3554

9

0.2610

0.5435

0.7027

0.8834

1.0997

1.3830

1.8331

2.2622

2.8214

3.2498

10

0.2602

0.5415

0.6998


0.8791

1.0931

1.3722

1.8125

2.2281

2.7638

3.1693

11

0.2596

0.5399

0.6974

0.8755

1.0877

1.3634

1.7959

2.2010

2.7181

3.1058

12

0.2590

0.5386

0.6955

0.8726

1.0832

1.3562

1.7823

2.1788

2.6810

3.0545

13

0.2586

0.5375

0.6938

0.8702
1.0795

1.3502

1.7709

2.1604

2.6503

3.0123

t分布表
面積=2.5%

t0.025(n-1)
t

0



0.025

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

1

0.3249

0.7265

1.0000

1.3764

1.9626

3.0777

6.3138

12.7062

31.8205

63.6567

2

0.2887

0.6172

0.8165

1.0607

1.3862

1.8856

2.9200

4.3027

6.9646

9.9248

3

0.2767

0.5844

0.7649

0.9785

1.2498

1.6377

2.3534

3.1824

4.5407

5.8409

4

0.2707

0.5686

0.7407

0.9410

1.1896

1.5332

2.1318

2.7764

3.7469

4.6041

5


0.40

0.2672

0.5594

0.7267

0.9195

1.1558

1.4759

2.0150

2.5706

3.3649

4.0321

6

0.2648

0.5534

0.7176

0.9057

1.1342

1.4398

1.9432

2.4469

3.1427

3.7074

7

0.2632

0.5491

0.7111

0.8960

1.1192

1.4149

1.8946

2.3646

2.9980

3.4995

8

0.2619

0.5459

0.7064

0.8889

1.1081

1.3968

1.8595

2.3060

2.8965

3.3554

9

0.2610

0.5435

0.7027

0.8834

1.0997

1.3830

1.8331

2.2622

2.8214

3.2498

10

0.2602

0.5415

0.6998


0.8791

1.0931

11

0.2596

0.5399

0.6974

0.8755

1.0877

12

0.2590

0.5386

0.6955

0.8726

13

0.2586

0.5375

0.6938

t0.025(9)=2.262
1.3722

1.8125

2.2281

2.7638

3.1693

1.3634

1.7959

2.2010

2.7181

3.1058

1.0832

1.3562

1.7823

2.1788

2.6810

3.0545

0.8702
1.0795

1.3502

1.7709

2.1604

2.6503

3.0123

t分布表
面積=2.5%

t0.025(n-1)
t

0



0.025

自由度

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

1


0.40
0.3249

0.7265

1.0000

1.3764

1.9626

3.0777

6.3138

12.7062

31.8205

63.6567

2

0.2887

0.6172

0.8165

1.0607

1.3862

1.8856

2.9200

4.3027

6.9646

9.9248

3

0.2767

0.5844

0.7649

0.9785

1.2498

1.6377

2.3534

3.1824

4.5407

5.8409

4

0.2707

0.5686

0.7407

0.9410

1.1896

1.5332

2.1318

2.7764

3.7469

4.6041

5

0.2672

0.5594

0.7267

0.9195

1.1558

1.4759

2.0150

2.5706

3.3649

4.0321

6

0.2648

0.5534

0.7176

0.9057

1.1342

1.4398

1.9432

2.4469

3.1427

3.7074

7

0.2632

0.5491

0.7111

0.8960

1.1192

1.4149

1.8946

2.3646

2.9980

3.4995

8

0.2619

0.5459

0.7064

0.8889

1.1081

1.3968

1.8595

2.3060

2.8965

3.3554

9

0.2610

0.5435

0.7027

0.8834

1.0997

1.3830

1.8331

2.2622

2.8214

3.2498

10

0.2602

0.5415

0.6998


0.8791

1.0931

11

0.2596

0.5399

0.6974

0.8755

1.0877

12

0.2590

0.5386

0.6955

0.8726

13

0.2586

0.5375

0.6938

t0.025(9)=2.262
1.3722

1.8125

2.2281

2.7638

3.1693

1.3634

1.7959

2.2010

2.7181

3.1058

1.0832

1.3562

1.7823

2.1788

2.6810

3.0545

0.8702
1.0795

1.3502

1.7709

2.1604

2.6503

3.0123


¯
X −µ
P

−t0.025 (n − 1)

例題では

s2 /n

t0.025 (n − 1)

= 0.95

t0.025(10-1)=2.262
ます（図 2）
不偏分散=25
標本サイズ=10
標本平均=50
P

¯
X − t0.025 (n − 1)

s2
n

µ

¯
X + t0.025 (n − 1)

s2
n

= 0.95

μの95%
μの95%
信頼区間の
信頼区間の
下限
上限
2

¯


2013年度秋学期　統計学　第１３回「不確かな測定の不確かさを測る ― 不偏分散とt分布」

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