2014年度秋学期　応用数学（解析）　第２部・基本的な微分方程式　／　第５回　微分方程式とは，変数分離形 (2014. 10. 23)

A. Asano, Kansai Univ.
2014年度秋学期　応用数学（解析）
第２部・基本的な微分方程式
微分方程式とは，変数分離形
浅野　晃
関西大学総合情報学部
第５回

微分方程式とは

この場合は，「周期が無限大である」と考えます。すなL としましたが，今回はL→∞となったときの極限をフーリエ級数の式（前回の(1) 式）
f(x)dx がふつうの方程式は，解は「数」
(1)
微分方程式は，解が「関数」で，
その微分が含まれる方程式
f(x)dx x がt の関数x(t) であるとき，その１階および２階導関x′′ − 5x′ + 6x = 0などは微分方程式です。x2 − 5x + 3 x が t の関数（つまりx(t)）のとき，
2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.
" a
0
t の関数x(t) であるとき，その１階および２階導関数をx′, x′′ で− 5x′ + 6x = 0などは微分方程式です。x2 − 5x + 3 = 0
f′(x) (2)
(3)
x′′ で表すと，x′ = x やx′−5x+3t = 0，
f(x) =
f(a) − a − f(a) − f(0)
lim
a→0
a − 0
=
df (dx
" a
0

(1)
f(x)dx x がt の関数x(t) であるとき，その１階および２階導関x′′ − 5x′ + 6x = 0などは微分方程式です。x2 − 5x + 3 関x が t の関数（つまりx(t)）のとき，
" a
0
f′(x) (2)
(3)
x′′ で表すと，x′ = x やx′−5x+3t = 0，
f(x) =
f(a) − a − f(a) − f(0)
lim
a→0
a − 0
=
df (dx
" a
0
数は「量の変化」
微分方程式は「変化の条件」

(1)
f(x)dx x がt の関数x(t) であるとき，その１階および２階導関x′′ − 5x′ + 6x = 0などは微分方程式です。x2 − 5x + 3 関x が t の関数（つまりx(t)）のとき，
" a
0
f′(x) (2)
(3)
x′′ で表すと，x′ = x やx′−5x+3t = 0，
f(x) =
f(a) − a − f(a) − f(0)
lim
a→0
a − 0
=
df (dx
" a
0
数は「量の変化」
微分方程式は「変化の条件」
微分方程式を解くと，「どう変化するか」がわかる

a − 0
dx
!!!!
1階" x=0
a
・２階，常微分・偏微分
１階導関数に関する微分方程式：
　１階微分方程式
f(x)dx 0
１階および２階導関数をx′, x′′ で表すと，x′ = x やx′−5x+3t = です。x2 − 5x + 3 = 0
２階導関数に関する微分方程式：
　２階微分方程式
x がt の関数x(t) であるx′′ − 5x′ + 6x = 0などは⋮
１変数関数の微分方程式は常微分方程式
２変数以上の関数の偏微分に関する
　微分方程式は偏微分方程式

微分方程式を解くとは
微分方程式を「解く」とは，
その方程式を満たす関数を見つけること
微分方程式は
特定のパターンのものしか解けない
解ける微分方程式の基本的なパターンを
いくつか紹介します。

微分方程式の例

微分方運程動式方の例
程式
微分方程式は，対象としている量がある条件の下です。
微分方程式を解くとは，その条件下で，対象す。このような問題は，物理学において現れてきた例えば，力F，物体の質量m，物体の加速度a のとが知られています。加速度は速度の微分で，速度を化するとき，その量と条件の関係を記したもの
ている量がどのように変化するかを知ることで
物体に働く力と，その運動との関係
力 F
物体の質量 m
物体の加速度 a
ニュートン運動方程式F = ma が成り立つこ
置の微分ですから，時刻t における物体の位置
式です。この方程式を解いてx(t) を求めると，
加速度は速度の微分，
速度は位置の微分だから，
x(t) とすると，運動方程式はF = mx′′ という微ある時刻時に刻 t おのけ物体るの物位体置をの位x(t)
置が求まります。
とすると
さらに，運動方程式を物体の落下の問題にあては下向きの重力と，上向きの空気抵抗力を受けます。また，空気抵抗力は速度の2 乗に比例することが知みます。物体が空気中を落下するとき，物体は
はUniv.
Kansai 重力加速度をg とするとmg で表されます。
てAsano, おり，これはk を正の定数とすると−k(x′)2
A. なります。
2014年度秋学期　これを解いて関数 x(t) を求めると，
時刻 t での物体の位置がわかる

うな問題は，物理学において現れてきたものです。
力F，物体の質量m，物体の加速度a の間にニューています。加速度は速度の微分で，速度は位置の微ると，運動方程式はF = mx′′ という微分方程式でおける物体の位置が求まります。
運動方程式を物体の落下の問題にあてはめてみます力と，上向きの空気抵抗力を受けます。重力は重力抵抗力は速度の2 乗に比例することが知られておりすから，運動方程式はmg − k(x′)2 = mx′′ となりま射性物質の崩壊においては，「崩壊の速度が，現在す。そこで，時刻での物質の量をとすると，ないます落。
下の問題
ないのは，微分方程式は特別な形のものしか解けないことです。そこで対する解法が研究されている一方で，方程式を解かずに解の挙動（t→∞知る「定性的理論」という研究があります。この講義では，解ける方程ら順に説明していきます。
ものです。
間にニューは位置物の微体トがン空の運気動中方を程式落F 下= すma が成り立つこ
分ですから，時刻t におけるると物体き
の位置
方程式です。この方程式を解いてx(t) を求めると，
力 F
　＝下向きの重力 mg
　　＋上向きの抵抗力
めてみます。物体が空気中を落下するとき，物体は
重力は重力加速度をg とするとmg で表されます。
られており，これはk を正の定数とすると−k(x′)2
mx′′ となります。
度が，現在存在する物質の量に比例」こ知
とすると，k を正の定数として，x(t) は微分方程式
としている量くとは，そ抵の抗が力あはる速条度件のの下で変化するとき，その量と条件の関係を記条件下で，対２象乗とにし比てい例るす量る
がどのように変化するかを知，物理学において現れてきたものです。
の質量m，物体の加速度a の間にニュートンの運動方程式F = ma が成加Univ.
速度は速運度動の方微程分式では
，速度は位置の微分ですから，時刻t における物方Kansai 程式はF = mx′′ といのうで
微分方程式です。この方程式を解いてx(t) をのAsano, 位置が求まります。
A. 2014年度秋学期　を物体の落下の問題にあてはめてみます。物体が空気中を落下するとき

放射性物質の崩壊
崩壊の速度は，現在存在する物質の量に
比例する
また，空気抵と表されますまた，放射られていますx′ 時刻 t の時点で存在する
物質の量を x(t)
= kx を満とすると
−一般解と特殊放射性物質

一般解・特殊解・特異解

一般解と特殊解
また，放射性物質られています。そこx′ 時刻 t の時点で存在する
物質の量をとすると
= −kx を満たしx(t) 定数 k が決まったら，解は
ひとつの関数に決まるか？
放射性物質の崩壊このとき，x(t) はひでの物質の量ですからないからです。こsolution)，初期値に形の解を一般解

= x(t) −kx を満たし定数 k が決まったら，解は
決まらない
放射性物質の崩壊最初 t = 0 に存在する
このとき，x(t) はひ物質の量 x(0) が
での物質の量ですかわからないと
解はひとつに決まらない
らないからです。こsolution)，初期値に形の解を一般解

= −kx を満たしx(t) 定数 k が決まったら，解は
放初射期値性と物いう
決まらない
質の崩壊最初 t = 0 に存在する
このとき，x(t) はひ物質の量 x(0) が
での物質の量ですかわからないと
解はひとつに決まらない
らないからです。こsolution)，初期値に形の解を一般解

初期値が定まったときに求められる解を
特殊解(particular solution)
という
初期値が定まっていないとき，
初期値を代入したらひとつの特殊解が求められる
ような形の解を
一般解(general solution)
という
表されます。このことから，
!
1
x
dx = −
!
kdt
log |x| + C1 = −kt + C2
log |x| = −kt + (C2 − C1)
x = ±exp{−kt + (C2 − C1)}
x = ±exp(C2 − C1) exp(−kt)
なります。C1, C2 は積分定数です。そこで，±exp(C2 C1) をあらため式の一般例解：
− はx(t) = C exp(−kt) となります。この計算ではx̸= 0としま程式に代入すると解であることがわかります。この解は一般解でC = 0と，これも１つの特殊解です。ここで，初期値であるならば，

初期値が定まったときに求められる解を
特殊解(particular solution)
という
初期値が定まっていないとき，
初期値を代入したらひとつの特殊解が求められる
ような形の解を
一般解(general solution)
という
表されます。このことから，
!
1
x
dx = −
!
kdt
log |x| + C1 = −kt + C2
log |x| = −kt + (C2 − C1)
x = ±exp{−kt + (C2 − C1)}
初期値が定まって
はじめて決まる
なります。C1, C2 は積分定数です。そこで，±exp(パC2 ラメ− ーC1) 例：タ
をあらため式の一般解はx(t) = C exp(−kt) となります。この計算ではx̸= 0としま程式に代入すると解であることがわかります。この解は一般解でC = 0と，これも１つの特殊解です。ここで，初期値であるならば，

特異解と解の一意性
x′ = x
3
2（C は定数）て確かめてみてください）。一方，x ≡ 0 も明らかに解ですても出てきません。このように一般解からは出てこない解たときに解がひとつだけに定まることを，解が一意(unique) が1
3
3 を考えます。x = {
2（(はC 定は数定）
数て確かめてみてください）。一方，x ≡ 0 も明らかに解でても出てきません。このように一般解からは出てこないたときに解がひとつだけに定まることを，解が一意(unique) が3
2 しますから，解が一意ではありません。
である（十分）条件としてよく知られているものに，Lipschitz（す。これは，微分方程式がx′(t) = f(t, x) の形で表されの3
2 がしますから，解が一意ではありません。
Univ.
であKansai る（十分）条件としてよく知られているものに，Lipschitz（す。Asano, これは，微分方程式がx′(t) = f(t, x) の形で表されるA. えたとき，初期値のまわ2014り年度で秋学期ど　んなx1, x2 に対しても
2
3
(t+C)}
x(0) = 0 のとき，一般解からはC = 0でx = (
2
3
t)
一般解
方程式x′ = x
1
2
3
(t+C)}
2
3
t)

x′ = x
3
3
数て確かめてみてください）。一方，x ≡ 0 も明らかに解でても出てきません。このように一般解からは出てこないたときに解がひとつだけに定まることを，解が一意(unique) がしますから，解が一意ではありません。
である（十分）条件としてよく知られているものに，Lipschitz（す。これは，微分方程式がx′(t) = f(t, x) の形で表されるえたとき，初期値のまわりでどんなx1, x2 に対しても
3
2 値を満たしますから，解が一意ではありません。
Univ.
解がKansai 一意である（十分）条件としてよく知られているものに，Lipschitz（があAsano, ります。これは，微分方程式がx′(t) = f(t, x) の形で表され関数A. と考えたとき，初期値の2014ま年度秋わ学期　りでどんなx1, x2 に対しても
2
3
(t+C)}
2
3
t)
3
一般解
方程式x′ = x
1
2
3
(t+C)}
2
3
t)
(なぜならば）
{
3
C)}
に代入して確かめてみてください）。一方，x ≡ 0 も明らかに解でどう変えても出てきません。このように一般解からは出てこないます。
x′ =
3
2{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
つ定まったときに解がひとつだけに定まることを，解が一意(unique) ，初期値がx(0) = 0 のとき，一般解からはC = 0でx = (
2
3
t)

x′ = x
3
3
数て確かめてみてください）。一方，x ≡ 0 も明らかに解でても出てきません。このように一般解からは出てこないたときに解がひとつだけに定まることを，解が一意(unique) がの一般解
しますから，解が一意ではありません。
である（十分）条件としてよく知られているものに，Lipschitz（す。これは，微分方程式がx′(t) = f(t, x) の形で表され3
3
Univ.
2
3
(t+C)}
2
3
t)
3
一般解
方程式x′ = x
1
2
3
(t+C)}
2
3
t)
(なぜならば）
{
3
C)}
x′ =
3
2{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
2
3
t)
えます。x = {
2
3
(t+C)}
3
2（C は定数）はこの方程式の一般
さい）。一方，x ≡ 0 も明らかに解ですが，この解は上の一
このように一般解からは出てこない解を，特異解(singular
だけに定まることを，解が一意(unique) であるといいま
一般解からはC = 0でx = (
2
3
t)
3
2 が得られ，一方特異解
一意ではありません。
としてよく知られているものに，Lipschitz（リプシッツ）
程式がの形で表されるときに，をあ

x′ = x
3
3
でも，x ≡ 0 も解では？
3
Univ.
2
3
(t+C)}
2
3
t)
3
一般解
方程式x′ = x
1
2
3
(t+C)}
2
3
t)
(なぜならば）
{
3
C)}
x′ =
3
2{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
2
3
t)
えます。x = {
2
3
(t+C)}
3
2
3
t)
3

x′ = x
3
3
解の一意性でも，x ≡ 0 も解では？
関数x(t) に関する微分方程式x′ = x
般解には
一2（3
3
C は定数）2 は値を満たしますか解です（方程式に代入して確かめてみてください）。一方，x ≡ 0 も明らかに解ですが般解らで定，数C 解をがどう一変え意てもで出てはきまあせりん。まこのせようんに一。
般解からは出てこない解をUniv.
solution) 解がKansai 一意である（十分）条件としてよく知られているものに，Lipschitz（3
があAsano, ります。これは，微分方程式がの形で表さ2 がれ得x ≡ 0 もこの初期値を満たしますかx′(ら，t) 解が= 一意f(ではt, ありx) ません。
関数A. と考えたとき，微初分方期程式値の解の2014が一ま年度意秋わ学で期あ　りる（で十分ど）条ん件なとしてx1, よくx2 知られにて対いるしものてに，も
Lipschitz（2
3
(t+C)}
2
3
t)
3
一般解
方程式x′ = x
1
2
3
(t+C)}
2
3
t)
(なぜならば）
{
3
C)}
x′ =
3
2{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
2
3
t)
えます。x = {
2
3
(t+C)}
3
1
Cをどう変えても含まれない
2
3
t)
3
2
3
(t+C)}
といいます。
初期値がひとつ定まったときに解がひとつだけに定まることを，解が一意(unique) す。上の例では，初期値がx(0) = 0 のとき，一般解からはC = 0でx = (
2
3
t)

x′ = x
3
3
x
般解には
一2（3
3
Lipschitz（2
3
(t+C)}
2
3
t)
3
一般解
方程式x′ = x
1
2
3
(t+C)}
2
3
t)
(なぜならば）
{
3
C)}
x′ =
3
2{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
2
3
t)
えます。x = {
2
3
(t+C)}
3
2
3
t)
3
t
一般解
1
2
3
(t+C)}
といいます。
2
3
t)

x′ = x
3
3
x
般解には
一2（3
3
Lipschitz（2
3
(t+C)}
2
3
t)
3
一般解
方程式x′ = x
1
2
3
(t+C)}
2
3
t)
(なぜならば）
{
3
C)}
x′ =
3
2{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
2
3
t)
えます。x = {
2
3
(t+C)}
3
2
3
t)
3
t
C = 0
一般解
1
2
3
(t+C)}
といいます。
2
3
t)

x′ = x
3
3
x
般解には
一2（3
3
Lipschitz（2
3
(t+C)}
2
3
t)
3
一般解
方程式x′ = x
1
2
3
(t+C)}
2
3
t)
(なぜならば）
{
3
C)}
x′ =
3
2{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
2
3
t)
えます。x = {
2
3
(t+C)}
3
2
3
t)
3
t
C = 0
– C
1
2
3
(t+C)}
といいます。
2
3
t)

x′ = x
3
3
x
般解には
一2（3
3
Lipschitz（2
3
(t+C)}
2
3
t)
3
一般解
方程式x′ = x
1
2
3
(t+C)}
2
3
t)
(なぜならば）
{
3
C)}
x′ =
3
2{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
2
3
t)
えます。x = {
2
3
(t+C)}
3
2
3
t)
3
t
C = 0
– C
C > 0
1
2
3
(t+C)}
といいます。
2
3
t)

x′ = x
3
3
x
般解には
一2（3
3
Lipschitz（2
3
(t+C)}
2
3
t)
3
一般解
方程式x′ = x
1
2
3
(t+C)}
2
3
t)
(なぜならば）
{
3
C)}
x′ =
3
2{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
2
3
t)
えます。x = {
2
3
(t+C)}
3
2
3
t)
3
t
C = 0
– C
C > 0
C < 0
一般解
1
2
3
(t+C)}
といいます。
2
3
t)

3
x
般解には
一3
2（C は定数）3
2 は値を満たしますか解でらす（，方程解式にが代入一し意て確でかめはてみあてCくりをだまさどいせう）。一変ん方え。
，x て≡ も0 も明らかに解ですが般解で定数C をどう変えても出てきません。このように一般解から含は出まてれこなないい
解をUniv.
solution) 解がKansai 一意である（十分）条件としてよく知特ら異れ解て(いsingular
るものに，Lipschitz（があAsano, ります。これは，もこ微の初分期方値を程満た式しまがすかx′(ら，t) 解が= 一solution)意f(ではt, ありx) ませのんと。
形いでう
3
表さ2 がれ得x ≡ 0 関数A. と考えたとき，微初分方期程式値の解の2014が一ま年度意秋わ学で期あ　りる（で十分ど）条ん件なとしてx1, よくx2 知られにて対いるしものてに，も
Lipschitz（x′ = x
1
2
3
(t+C)}
2
3
t)
3
一般解
方程式x′ = x
1
2
3
(t+C)}
2
3
t)
(なぜならば）
{
3
C)}
x′ =
3
2{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
2
3
t)
えます。x = {
2
3
(t+C)}
3
2
3
t)
3
t
C = 0
– C
C > 0
C < 0
一般解
1
2
3
(t+C)}
といいます。
2
3
t)

方程式x′ = x
1
2
3
(t+C)}
微分方程式x′ = x
1
2
3
(t+C)}
3
して確かめて変えても出初て期み値てくがだひさいと）。つ一定方，まx っ≡ 0 たもと明らきかにに解，
ですが，この解は上の一
きません。このように一般解からは出てこない解を，特異解(singular
。
解がひとつだけに決まることを，
まったとき解にが解が一ひ意とつ(unique)だけに定まるでことあをる，解とがい一意う
(unique) であるといいま
期値がx(0) = 0 のとき，一般解からはC = 0でx = (
2
3
t)
3
満たしま一すか意ら性，の解が十一分意条では件あのりひまとせんつ。
「リプシッツ条件」
一意である（十分）条件としてよく知られているものに，Lipschitz（リプシッツ）
ります。これは，微分方程式がx′(t) = f(t, x) の形で表されるときに，f(t, x) をあ
考えたとき，初期値のまわりでどんなx1, x2 に対しても
微分方程式が
のとき，
初期のまわりでどんな x1, x2 についても
|f(t, x1) − f(t, x1 − x2| (1)
となる定数 L があるなら，その初期値について一意
するならば，この微分方程式のその初期値を満たす解は一意に定まる，というもの
録１）。(1) 式は，関数f(t, x) がx のわずかな変化に対していくらでも急峻に変化
，という条件を表しています。
方程式x′ = x
3
て確かめてみてください）。一方，x ≡ 0 も明らかに解ですが，この解は上の一
ても出てきません。このように一般解からは出てこない解を，特異解(singular
たときに解がひとつだけに定まることを，解が一意(unique) であるといいま
がx(0) = 0 のとき，一般解からはC = 0でx = (
2
3
t)
3
たしますから，解が一意ではありません。
である（十分）条件としてよく知られているものに，Lipschitz（リプシッツ）
す。これは，微分方程式がx′(t) = f(t, x) 形で表されるときに，f(t, x) をあ
えたとき，初期値のまわりでどんなx1, x2 に対しても
|f(t, x1) − f(t, x2)| ! L|x1 − x2| (1)
ならば，この微分方程式値を満たす解は一意に定まる，というもの
１）。(1) 式は，関数f(t, x) x ずかな変化に対していくらでも急峻に変化
という条件を表しています。
程式x′ = x
x のわずかな変化について，
f がいくらでも大きく変化する，ということはない
1
3 では，f(t, x) = x
1
3 では，f(t, x) = x
1
3 です。この関数はx = 0で微分不可能で，x = 0
1
くらでも大きくなります。したがって，x = 0に近づけば近づくほど，x のわずか
x) の変化はいくらでも大きくなり，Lipschitz 条件を満たしていません3。
でも大きくなります。したがって，x = 0に近づけば近づくほど，x のわずか
の変化はいくらでも大きくなり，Lipschitz 条件を満たしていません3。

変数分離形

また，放射性物質の崩壊においては，「られています。そこで，時刻t での物質のx′ 変数分離形
= −kx を満解く
たします1。
放射性物質の崩壊に関する上の方程式このとき，x(t) はひとつの関数に決まるでの物質の量ですから，それは「最初にらないからです。このx(0) を初期値といsolution)，初期値に関するパラメータを形の解を一般解(general solution) といい2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.

上で述べた核= 崩壊−にkx 関するを方満解程式く
たx′ し= −まkx すを考1え。
てみましょう。
dx
一般= dt
−解kx とと直特す
殊解
(2)
，x̸= 0として
1
dx
放射性物質の崩壊に関する上の方程式= −k (3)
こx
dt
のとき，x(t) はひとつの関数に決まる!
での!
物質の量ですから，それは「最初に1
dx
dt =
Univ.
x
dt
らない(−かk)dt らです。この(4)
x(0) を初期値といことKansai で
Asano, !
solution)，!
初期値に関するパラメータをA. 1
x
形dx =
の解(−k)をdt 一般解2014年度秋学期　(general solution) (5)
といい

また，放射性物質の崩壊においては，「られています。そこで，時刻t での物質のx′ 離形
とも簡単変な微数分方程分式と離して形
，上で述べた核崩壊に関する方程式x′ = −kx を考えてみ程式は，
上で述べた核= 崩壊−にkx 関するを方満解程式く
dx
= dt
−kx ことができdx
一ま般す= 。−解こkx のとと方程直特式す
を殊，x̸= 解
0ととしして
て
(2)
dt
，x̸= 0として
1
dx
= k x
dt
−し，両辺を1
dx
t で放積分射す性ると物，
質の崩壊に関する上の方程式= k x
dt
−!
(3)
このとき，x(t) はひと(−つk)dt の関数に決まるます!
が，左で辺のは置物換積質分をの使う量ことでで
すから，それは「最初に1
dx
x
dt
らないからです。このx(0) を初期値といsolution)，初期値に関するパラメータを形の解を一般解(general solution) といいdt =
!
(−k)dt 3Lipschitz !
1
x
dx
dt
dt =
!
(−k)dt !
(4)
1
x
ことで
!
条件は解が一意であるための十分条件ですから，Lipschitz 条件を満たさないからといって解が一意いえません。
1
x
dx =
dx =
!
(−k)dt (5)

また，放射性物質の崩壊においては，「られています。そこで，時刻t での物質のx′ 離形
とも簡単な微分方程式として，上で述べた核崩壊に関する方程式x′ = −kx を考えてみ程式は，
変数分離形
= kx dt
−ができます。この方程式を，x̸= 0として
上述べた核= 崩壊−にkx 関するを方満解程式く
dx
= dt
−kx 1
dx
ことができdx
一ま般す。解このとと方程直特式す
を殊，x̸= 解
0ととしして
て
とdt
x
dt
放射性物質の崩壊に関する上の方程式このとき，x(t) はひとつの関数に決まるでの物質の量ですから，それは「最初にらないからです。このx(0) !
を初期値といsolution)，初期値に関するパ(−ラk)メdt ータを形の解を一般解(general solution) といい= −k 両辺をt で積分すると，
変形する
= −kx (2)
，x̸= 0として
= −k し，両辺をt で積分すると，
1
dx
!
x
dt
(−k)dt が，左辺は置換積分を使うことで
1
x
dx
dt
!
= −k (3)
!
(−k)dt ます!
が，左辺は置換積分を使うことで
1
x
dx
dt
1
x
dx
dt
dt =
!
1
x
dx
dt
dt =
dt =
!
(−k)dt !
(4)
1
x
ことで
!
1
x
dx =
!
1
x
dx =
dx =
!
(−k)dt (5)

また，放射性物質の−崩壊においては，「られています。そこで，時刻t での物質のx′ 離形
とも簡単な微分方程式として上で述べた核崩壊に関する方程式x′ = −kx を考えてみ程式は，
変数分離形
= kx ます。この方程式を，x̸= 0として
dt
−ができます。この方程式を，x̸= 0として
上述べた核= 崩壊−にkx 関するを方満解程式く
dx
1
dx
= −kx = k dt
x
dt
−dx
1
dx
ことでがで積き一分ま般すす。る解ことのとと方，
程直特式す
を殊，x̸= 解
0ととしして
て
とt dt
x
dt
放射性物質の崩壊に関する上の方程式このとき，x(t) はひとつの関数に決まるでの物質の量ですから，それは「最初にらないからです。このx(0) !
変形する
= −kx (2)
!
(−k)dt 辺は置換積分を使うことで
，x̸= 0として
!
1
x
dx
dt
dt =
両辺を t で積分
1
dx
!
x
dt
1
x
dx
dt
!
= −k (3)
!
(−k)dt ますが，左辺は置換積分を使うことで
!
!
1
dx
k)dt x
dt
(−解が一意であるための十分条件ですから，Lipschitz 条件を満たさないから。
1
x
dx
dt
!
1
x
dt =
!
1
x
dx
dt
dt =
dt =
!
(−k)dt !
(4)
1
x
dx =
ことで
!
1
x
dx =
!
1
x
dx =
dx =
!
(−k)dt (5)

また，放射性x̸= 物質の−崩壊においては，「られています。そこで，時刻t での物質のx′ 離形
変数分離形
= kx ます。この方程式を，x̸= 0と1
し−dx
て
dt
ができます。この方程式を，x
x̸= dt
0として
= −k を上述べた核= 崩壊にkx 関するを方満解程式く
たx′ し= kx を考1えてみましょう。
dx
1
dx
−ます。
t で積分す−ると，
= −kx = k dt
x
dt
−ことができdx
ます。このと方程直式す
を，x̸= !
1
!
dx
t で積一分般する解とと，
特殊解
0ととしして
て
とdt
x
dt
(−k)dt 左辺は置放換積射分性を使物う質このとで
崩壊に関する上の方程式このとき，x(t) はひとつの関数に決まるでの物質の量ですから，それは「最初にらないからです。このx(0) !
変形する
= −kx (2)
1
x
dx
dt
dt =
!
，x̸= 0として
!
1
x
dx
dt
dt =
1
dx
!
x
dt
1
x
dx
dt
!
= −k (3)
!
!
!
1
k)dt x
(−は解が一意であるための十分条件ですから，Lipschitz 条件を満たさないからん。
置換積分をする
dx =
（解析）（2014 年度春学期）　第５回(2014. 10. 23) http://racco.!
!
1
dx
k)dt x
dt
1
x
dx
dt
!
1
x
dt =
!
1
x
dx
dt
dt =
dt =
!
(−k)dt !
(4)
1
x
dx =
ことで
!
1
x
dx =
!
1
x
dx =
dx =
!
(−k)dt (5)

変数分離形
し−dx
て
dt
x̸= dt
0として
dx
1
dx
−ます。
= −kx = k dt
x
dt
を，x̸= !
1
!
dx
特殊解
0ととしして
て
とdt
x
dt
変形する
= −kx (2)
1
x
dx
dt
dt =
!
，x̸= 0として
!
1
x
dx
dt
dt =
1
dx
!
x
dt
1
x
dx
dt
!
= −k (3)
!
!
!
1
k)dt x
dx =
（解析）（2014 年度春学期）　第５回(2014. 10. 23) http://racco.ます。このことから，
!
!
1
dx
k)dt x
dt
1
x
dx
dt
!
1
x
!
!
dt =
!
1
x
dx
dt
dt =
dt =
!
(−k)dt !
(4)
1
x
dx =
1
x
ことで
dx !
= −
1
x
kdt
dx =
積分を解く
!
1
x
dx =
dx =
log |x| + C1 = −kt + C2
!
(−k)dt (5)
log |x| = −kt + (C2 − C1)

変数分離形
し−dx
て
dt
x̸= dt
0として
dx
1
dx
−ます。
= −kx = k dt
x
dt
を，x̸= !
1
!
dx
特殊解
0ととしして
て
とdt
x
dt
変形する
= −kx (2)
1
x
dx
dt
dt =
!
，x̸= 0として
!
1
x
dx
dt
dt =
1
dx
!
x
dt
1
x
dx
dt
!
= −k (3)
!
!
!
1
k)dt x
dx =
（解析）（2014 年度春学期）　第５回(2014. 10. 23) http://racco.ます。このことから，
!
!
1
dx
k)dt x
dt
1
x
dx
dt
!
1
x
!
!
dt =
!
1
x
dx
dt
dt =
dt =
!
(−k)dt !
(4)
1
x
dx =
1
x
ことで
dx !
= −
1
x
kdt
dx =
積分を解く
C1, C2は
積分定数
!
1
x
dx =
dx =
log |x| + C1 = −kt + C2
!
(−k)dt (5)
log |x| = −kt + (C2 − C1)

たします1。
一積般解と特殊解
放射性物質の崩壊に関する上の方程式このとき，x(t) はひとつの関数に決まるでの物質の量ですから，それは「最初にらないからです。このx(0) を初期値といsolution)，初期値に関するパラメータを形の解を一般解(general solution) といいと表されます。このことから，
分を解く
!
1
x
dx = −
!
kdt
log |x| + C1 = −kt + C2
log |x| = −kt + (C2 − C1)
x = ±exp{−kt + (C2 − C1)}
となります。C1, C2 は積分定数です。そこで，±exp(C2 − C1) をあらためて定数C とおくと，程式の一般解はx(t) = C exp(−kt) となります。この計算ではx̸= 0としましたが，一方x ≡ 0 方程式に代入すると解であることがわかります。この解は一般解でC = 0とすると表すことがでで，これも１つの特殊解です。ここで，初期値x(0) = x0 であるならば，x0 = C exp(0) となるのの時の特殊解はx(t) = x0 exp(−kt) となります。
ところで，このような導出の過程を，通常は(2) 式から
dx
x
= −kdt とあたかも分数の計算のように変形し，ここから(5) 式を導きます。この式では，左辺にx，右辺

たします1。
放射性物質の崩壊に関する上の方程式このとき，x(t) はひとつの関数に決まるでの物質の量すから，それは「最初にらないからです。このx(0) を初期値といsolution)，初期値に関するパラメータを形の解を一般解(general solution) といい。このことから，
と表されます。このことか!
ら，
!
!
1
!
1
分を解く
dx = x
x
−
dx = −
kdt
kdt
log |x| + log C1 |x| = + −C1 kt = −+ kt C2
+ C2
log |x| = −kt + (C2 − C1)
log |x| = −x kt = ±+ exp{−(C2 − kt + C1)
(C2 − C1)}
x = ±x exp{−= ±exp(kt C2 + − C1) (C2 exp(−− C1)}
kt)
となります。C1, C2 は積分定数ですx 。= そ±こでexp(，±C2 exp(− C2 C1) − C1) exp(−をあらkt)
ためて定数C とおくと，程式の一般解はx(t) = C exp(−kt) となります。この計算ではx̸= 0としましたが，一方x ≡ 0 方程式に代入すると解であることがわかります。この解は一般解でC = 0とすると表すことがでで，これも１つの特殊解です。ここで，初期値x(0) = x0 であるならば，x0 = C exp(0) となるのの時の特殊解はとなります。
Univ.
x(t) = x0 exp(−kt) Kansai ところで，このような導出の過程を，通常は(2) 式から
Asano, dx
= x
−kdt A. とあたかも分数の計算のように変形し2014，年こ度秋こ学か期　ら(5) 式を導きます。この式では，左辺にx，右辺C1, C2 は積分定数です。そこで，±exp(C2 − C1) をあらためて定数C とおはx(t) = C exp(−kt) となります。この計算ではx̸= 0としましたが，一方すると解であることがわかります。この解は一般解でC = 0とすると表すこつの特殊解です。ここで，初期値x(0) = x0 であるならば，x0 = C exp(0) とはx(t) = x0 exp(−kt) となります。
このような導出の過程を，通常は(2) 式から

たします1。
放射性物質の崩壊に関する上の方程式このとき，x(t) はひとつの関数に決まるでの物質の量すから，それは「最初にらないからです。このx(0) を初期値といsolution)，初期値に関するパラメータを形の解を一般解(general solution) といい。と表されます。このことから，
!
!
1
dx = dx = −
分kdt
を解く
x
−
C1 = −kt + C2
= −kdt とあたかも分数の計算のように変形し，ここから(5) 式を導きます。この式では，左辺にx，右辺log |x| = −kt + (C2 − C1)
x = ±exp{−kt + (C2 − C1)}
をあらためて定数 C とすると
!
kdt
log |x| + C1 = −kt + C2
log |x| = −kt + (C2 − C1)
x = ±exp{−kt + (C2 − C1)}
dx
x
このことから，
!
1
x
dx = −
!
kdt
log |x| + C1 = −kt + C2
log |x| = −kt + (C2 − C1)
x = ±exp{−kt + (C2 − C1)}
1
x
C1, C2 は積分定数です。そこで，±exp(C2 − C1) をあらためて定数C とおはx(t) = C exp(−kt) となります。この計算ではx̸= 0としましたが，一方すると解であることがわかります。この解は一般解でC = 0とすると表すこつの特殊解です。ここで，初期値x(0) = x0 であるならば，x0 = C exp(0) とはx(t) = x0 exp(−kt) となります。
(6)
そこで，±exp(C2 − C1) らためて定数C とおくと，この方
なります。この計算ではx̸= 0としましたが，一方x ≡ 0 も元の
かります。この解は一般解でC = 0とすると表すことができるの
，初期値x(0) = x0 であるならば，x0 = C exp(0) となるので，こ
なります。
，通常は(2) 式から

と表されます。このことから，
!
たします11
。
x
!
!
1
dx = dx = −
分kdt
を解く
x
−
C1 = −kt + C2
x = ±exp{−kt + (C2 − C1)}
dx = −
!
kdt
log |x| + C1 = −kt + C2
log |x| = −kt + (C2 − C1)
x = ±exp{−kt + (C2 − C1)}
dx
x
!
1
x
dx = −
!
kdt
log |x| + C1 = −kt + C2
log |x| = −kt + (C2 − C1)
x = ±exp{−kt + (C2 − C1)}
1
x
C1, C2 は積分定数です。そこで，±exp(C2 − C1) をあらためて定数C とおはx(t) = C exp(−kt) となります。この計算ではx̸= 0としましたが，一方すると解であることがわかります。この解は一般解でC = 0とすると表すこつの特殊解です。ここで，初期値x(0) = x0 であるならば，x0 = C exp(0) とはx(t) = x0 exp(−kt) となります。
(6)
なります。
!
kdt
log |x| + C1 = −kt + C2
log |x| = −kt + (C2 − C1)
x = ±exp{−kt + x = ±exp(C2 − C1) となります。C1, C2 は積分定数です。そこで，±exp(C2 − 程式の一一般解は
x(t) = C exp(−kt) となります。この計算で方程式に代入すると解であることがわかります。この解は一で，これも１つの特殊解です。ここで，初期値x(0) = x0 であの時の特殊解はx(t) = x0 exp(−kt) となります。

また，放射性物質の崩壊においては，「られています。そこで，時刻t での物質のx′ x1) − x2)| ならば変，この数微分分方程離式の形
! L|x1 − x2| その初期値を満たす解は一意に定まる，というもの
１）。(1) 式は，関数f(t, x) がx のわずかな変化に対していくらでも急峻に変化
という条件を表しています。
程式x′ = x
と表されます。このことから，
!
たします11
。
x
!
!
1
dx = dx = −
分kdt
を解く
x
−
C1 = −kt + C2
x = ±exp{−kt + (C2 − C1)}
dx = −
!
kdt
log |x| + C1 = −kt + C2
log |x| = −kt + (C2 − C1)
x = ±exp{−kt + (C2 − C1)}
dx
x
!
1
x
dx = −
!
kdt
log |x| + C1 = −kt + C2
log |x| = −kt + (C2 − C1)
x = ±exp{−kt + (C2 − C1)}
1
x
C1, C2 は積分定数です。そこで，±exp(C2 − C1) をあらためて定数C とおはx(t) = C exp(−kt) となります。この計算ではx̸= 0としましたが，一方すると解であることがわかります。この解は一般解でC = 0とすると表すこつの特殊解です。ここで，初期値x(0) = x0 であるならば，x0 = C exp(0) とはさっきとしたが，
x(t) = x0 exp(−kt) となります。
(6)
なります。
!
kdt
log |x| + C1 = −kt + C2
log |x| = −kt + (C2 − C1)
x = ±exp{−kt + x = ±exp(C2 − C1) となります。C1, C2 は積分定数です。そこで，±exp(C2 − 程式の一一般解は
x(t) = C exp(−kt) となります。この計算で方程式に代入すると解であることがわかります。この解は一で，これも１つの特殊解ですx 。≡ 0 こもこ解でで，，初一期般値解に含まれる。
x(0) = x0 であの時の特殊解はx(t) = x0 exp(−kt) となります。
|1
3 では，f(t, x) = x
1
でも大きくなります。したがって，x = 0に近づけば近づくほど，x のわずか
の変化はいくらでも大きくなり，Lipschitz 条件を満たしていません3。
程式として，上で述べた核崩壊に関する方程式x′ = −kx を考えてみましょう。
dx
dt
= −kx (2)
この方程式を，x̸= 0として
1
dx
= −k (3)

で述べた核= 崩−壊にkx 関をする満解方くた程と式しきx′ ま= ，すふ1−kx つ。
をう考は
えてみましょう一dx
般解と特殊解
= −kx から
(2)
dt
x̸= 0とし放て
射性物質の崩壊に関する上の方程式1
こdx
のとき，x(t) はひとつの関数に決まる= k (3)
x
でdt
の物−質の量ですから，それは「最初にUniv.
らないからです。この!
!
x(0) を初期値といKansai Asano, 1
dx
solution)，dt =
(−k)dt 初期値に関するパラメータを(4)
A. x
dt
形の解を一般解2014年度秋学期　(general solution) といい

また，放射性物質の崩壊においては，「られています。そこで，時刻t での物質のx′ です変。こ数こ分で，初期値x(0) = x0 であるならば，x0 = x0 exp(−kt) と離なり形
ます。
な導出の過程を，通常は(2) 式から
で述べた核= 崩−壊にkx 関をする満解方くた程と式しきx′ ま= ，す−ふ1kx つ。
をう考は
えてみましょう一dx
般解と特殊解
放射性物質の崩壊に関する上の方程式このとき，x(t) はひとつの関数に決まるでの物質の量ですから，それは「最初にらないからです。このx(0) を初期値といsolution)，初期値に関するパラメータを形の解を一般解(general solution) といい= kdt dt
−ように変形し，ここから(5) 式を導きます。この式でで，この形にできる微分方程式を変数分離形といいます変数分離形の微分方程式は，一般には
から
dx
x
= −kx (2)
x̸= 0として
1
x
dx
dt
= −k (3)
!
1
x
dx
dt
dt =
!
(−k)dt (4)
g(x)x′ = f(t) dx
と，分数の計算
のように変形し

ます。
で述べた核= 崩−壊にkx 関をする満解方くた程と式しきx′ ま= ，すふ1−kx つ。
をう考は
えてみましょう!
一dx
般解と特殊解
(−k)dt 置換積分放を射使う性こ物と質で
の崩壊に関する上の方程式このとき，x(t) はひとつの関数に決まるでの物質の量ですから，それは「最初にらないからです。このx(0) を初期値といsolution)，初期値に関するパラメータを形の解を一般解(general solution) といい= kdt dt
−ように変形し，ここから(5) 式を導きます。この式でで，この形にできる微分方程式を変数分離形といいます変数分離形の微分方程式は，一般には
から
dx
x
= −kx (2)
x̸= 0として
!
1
dx
(−k)dt とx
dt
意であるための十分条件ですから，Lipschitz 条件を満たさないから）（年度春学期）　第５回= −k (3)
!
1
x
dx
dt
dt =
!
(−k)dt (4)
g(x)x′ = f(t) dx
1
x
dx
dt
= −k 積分すると，
!
1
x
dx
dt
dt =
!
1
x
dx =
積分する

ます。
= −kx を満解くたとしきま，すふ1つ。
うは
放射性物質の崩壊に関する上の方程式このとき，x(t) はひとつの関数に決まるでの物質の量ですから，それは「最初にらないからx です。このx(0) を初期値といsolution)，初期値に関するパラメータを形の解を一般解(general solution) といいで述べた核崩壊に関する方程式x′ = −kx を考えてみましょうdx
!
から
dx
(−k)dt x
置換積分を使うことで
= −kx = −kdt (2)
ように変形し，ここから(5) 式を導きます。この式でで，この形にできる微分方程式を変数分離形といいます変数分離形の微分方程式は，一般には
!
(−k)dt 意であるための十分条件ですから，Lipschitz 条件を満たさないから）（年度春学期）　第５回と= −k (3)
が左辺，t が右辺に分離しているので
変数分離形という
dt
x̸= 0として
1
x
dx
dt
!
1
x
dx
dt
dt =
!
(−k)dt (4)
g(x)x′ = f(t) dx
1
x
dx
dt
= −k 積分すると，
!
1
x
dx
dt
dt =
!
1
x
dx =
積分する

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第２部・基本的な微分方程式　／　第５回　微分方程式とは，変数分離形 (2014. 10. 23)

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第２部・基本的な微分方程式　／　第５回　微分方程式とは，変数分離形 (2014. 10. 23)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 2014年度秋学期　応用数学（解析）　第２部・基本的な微分方程式　／　第５回　微分方程式とは，変数分離形 (2014. 10. 23)

Similar to 2014年度秋学期　応用数学（解析）　第２部・基本的な微分方程式　／　第５回　微分方程式とは，変数分離形 (2014. 10. 23) (20)

More from Akira Asano

More from Akira Asano (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)