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2022年度秋学期　画像情報処理　第10回　Radon変換と投影切断面定理 (2022. 12. 2)

関西大学総合情報学部　画像情報処理（担当・浅野晃） http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/IPPR/ 【第10回資料】 テキスト http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/IPPR/2022a_ippr10.pdf ハンドアウト http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/IPPR/2022a_ippr10_slide_hor.pdf 講義動画 https://youtu.be/uiqofRiEC6o

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2022年度秋学期 画像情報処理 浅野 晃 関西大学総合情報学部 Radon変換と投影切断面定理 第10回
2
2 CTスキャナとは🤔🤔
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 CTスキャナとは 3 CT(computed tomography) ＝ 計算断層撮影法 体の周囲からX線撮影を行い，そのデータから断面像を計算で求める （「わんパグ」http://kids.wanpug.com/illust234.html）
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 CTを実現するには 4 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s ある方向からX線を照射し， その方向での吸収率（投影）を調べる すべての方向からの投影がわかれば， 元の物体における吸収率分布がわかる
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線が 入射
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される X線が 入射
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射 投影＝吸収率の線積分 直線上の吸収率の合計であって， どの点で吸収されたかはわからない
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は x y f(x, y)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) どうやって求めるかは，あとで説明します。
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 各方向からの投影のしかた 7
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 各方向からの投影のしかた 7 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 各方向からの投影のしかた 7 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 実際はこのようにX線を当てる
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 各方向からの投影のしかた 7 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 実際はこのようにX線を当てる 物体の１点について考えれば，投影する順番が異なるだけで， 各方向の投影が得られるのは同じ
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8 Radon変換とray-sum🤔🤔
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ つまり
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する ( ) g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する ( ) g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy デルタ関数で表せる
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ディラックのデルタ関数δ(x) 10 x = 0 の１点以外すべてゼロ δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 x = 0 をはさんで積分すると1 0 x こんなふうに表さざるを得ない 高さは，何だともいえない ∞ −∞ kδ(x)dx = k （「無限」でもない。なぜなら→
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 11 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する ( ) g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy デルタ関数で表せる
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では Radon変換 x cos θ + y sin θ − s = 0 g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u (x, y) を (s, u) で表す
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du (x, y) を (s, u) で表す
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では s が一定で u が変化 (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du (x, y) を (s, u) で表す
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では s が一定で u が変化 ray-sum (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du (x, y) を (s, u) で表す
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14 投影切断面定理🤔🤔
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 「断面」がすべてそろえば，２次元逆フーリエ変換で２次元関数が再構成できる
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 16 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 16 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 16 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du ray-sum
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u dxdy = dsdu
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
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19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
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  • 4.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 CTスキャナとは 3 CT(computed tomography) ＝ 計算断層撮影法 体の周囲からX線撮影を行い，そのデータから断面像を計算で求める （「わんパグ」http://kids.wanpug.com/illust234.html）
  • 5.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 CTを実現するには 4 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s ある方向からX線を照射し， その方向での吸収率（投影）を調べる すべての方向からの投影がわかれば， 元の物体における吸収率分布がわかる
  • 6.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
  • 7.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線が 入射
  • 8.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される X線が 入射
  • 9.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射
  • 10.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射
  • 11.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射
  • 12.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射 投影＝吸収率の線積分 直線上の吸収率の合計であって， どの点で吸収されたかはわからない
  • 13.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は x y f(x, y)
  • 14.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
  • 15.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
  • 16.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
  • 17.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
  • 18.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
  • 19.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) どうやって求めるかは，あとで説明します。
  • 20.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 各方向からの投影のしかた 7
  • 21.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 各方向からの投影のしかた 7 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体
  • 22.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 各方向からの投影のしかた 7 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 実際はこのようにX線を当てる
  • 23.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 各方向からの投影のしかた 7 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 実際はこのようにX線を当てる 物体の１点について考えれば，投影する順番が異なるだけで， 各方向の投影が得られるのは同じ
  • 24.
  • 25.
  • 26.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
  • 27.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
  • 28.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では
  • 29.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ
  • 30.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ つまり
  • 31.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり
  • 32.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する
  • 33.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する
  • 34.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する ( ) g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy
  • 35.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する ( ) g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy デルタ関数で表せる
  • 36.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ディラックのデルタ関数δ(x) 10 x = 0 の１点以外すべてゼロ δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 x = 0 をはさんで積分すると1 0 x こんなふうに表さざるを得ない 高さは，何だともいえない ∞ −∞ kδ(x)dx = k （「無限」でもない。なぜなら→
  • 37.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 11 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する ( ) g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy デルタ関数で表せる
  • 38.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
  • 39.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
  • 40.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では
  • 41.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0
  • 42.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0
  • 43.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
  • 44.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では Radon変換 x cos θ + y sin θ − s = 0 g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
  • 45.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
  • 46.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転
  • 47.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u
  • 48.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u (x, y) を (s, u) で表す
  • 49.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du (x, y) を (s, u) で表す
  • 50.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では s が一定で u が変化 (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du (x, y) を (s, u) で表す
  • 51.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では s が一定で u が変化 ray-sum (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du (x, y) を (s, u) で表す
  • 52.
  • 53.
  • 54.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
  • 55.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
  • 56.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
  • 57.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
  • 58.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
  • 59.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 「断面」がすべてそろえば，２次元逆フーリエ変換で２次元関数が再構成できる
  • 60.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 16 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds
  • 61.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 16 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds
  • 62.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 16 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du ray-sum
  • 63.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu
  • 64.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u
  • 65.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u
  • 66.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u dxdy = dsdu
  • 67.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形
  • 68.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形
  • 69.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形
  • 70.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形
  • 71.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
  • 72.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy
  • 73.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
  • 74.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
  • 75.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
  • 76.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
  • 77.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
  • 78.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
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    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない
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    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない →補間を行う
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    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
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    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
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    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
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    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
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    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
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    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標
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    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標
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    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 周波数空間での誤差は，画像全体にひろがる アーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標
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    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 周波数空間での誤差は，画像全体にひろがる アーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標 コンピュータの能力が低かった時代は精密な計算が難しかった →さてどうした？