1. 内部拘束を持つ 3 次元運動の最適計算法と幾何学的モデル選択への応用
Optimal Computation of Internally Constrained 3-D Motion and Its Application
to Geometric Model Selection
○ 松永 力 †, 金谷 健一 ‡
Chikara MATSUNAGA † and Kenichi KANATANI ‡
† 株式会社朋栄佐倉研究開発センター，matsunaga@for-a.co.jp
‡ 岡山大学大学院自然科学研究科，kanatani@suri.cs.okayama-u.ac.jp
概要： 空間をわずかに移動する複数の点の移動前後の位置を 3 次元センサーで計測し，どのような
並進，回転，スケール変化が生じているのか，あるいは生じていないのかを判断するモデル選択の
ために，誤差のある 3 次元データにさまざまな運動モデルを最適に当てはめる新しい方法を提案す
る．これは，3 次元アフィン変換の部分群が変数にさまざまな内部拘束を指定して得られることに着
目して，内部拘束をもつ 3 次元アフィン変換を拡張 FNS 法によって計算するものである．これによ
り，従来のように運動ごとに別々のパラメータを導入する必要がなく，すべての部分群が同一の方法
で計算できる．そして，この手法をステレオ視による 3 次元復元シミュレーションデータや GPS で
計測した地盤の移動データに対する幾何学的 AIC，幾何学的 BIC，幾何学的 MDL によるモデル選
択に応用する．
＜キーワード＞ 3 次元アフィン変換，拡張 FNS 法，幾何学的モデル選択，ステレオ視，GPS 測量データ
1 はじめに しかし，従来の方法はモデルごとに計算法が異なって
いる．それはパラメータが異なるからである．例えば
ステレオ視やレンジファインダーなどの 3 次元セン 並進はその x, y, z 成分を指定すればよいが，回転が加
サーによって空間をわずかに移動する複数の点の移動 わると，四元数 [12],[17] やリー代数の方法 [5] などのパ
前後の位置を計測したとき，どのような並進，回転，ス ラメータが必要である．そして，パラメータごとに残
ケール変化が生じているのか，あるいは生じていない 差のパラメータに関する導関数が異なり，別々に評価
のかを判断する問題を考える．これは静止した対象を しなければならない．
複数のセンサーで計測したとき，結果が同一であるの 本論文ではモデル間の階層構造を利用して，何らの
か，異なるのか，すなわち，これは数値的な差が観測 パラメータを導入することなしに異なるモデルを同じ
の精度を考慮すれば無視できる差なのか，それとも意 方法で統一的に計算する手法を提案する．本論文で考
味のある差なのかを判断する問題でもある．そのため えるモデルは恒等変換，並進，回転，拡大縮小，および
には，二組の 3 次元位置が同一である，スケールが異 それらの組せである．これらはすべてアフィン変換の
なっている，位置が異なっている，向きが異なってい 部分群であり，部分群に対する最適計算はアフィン変換
る，あるいはそれらが組み合わさっているなどのさま に対する最適計算に拘束条件を付加したものであるこ
ざまなモデルを導入して，その妥当性を判断すること とに着目する．拘束条件を付加した最適計算を統一的
になる． に計算する手法として「拡張 FNS 法」[14] が提案され
モデルの妥当性は誤差の統計的性質を考慮した残差 ている．これはもともと 2 画像の点対応から基礎行列
（正確には「マハラノビス距離」）で測るのが普通であ を計算するために考案された方法である．基礎行列 F
るが，よく知られたように，複雑な（すなわち多数のパ は対応点データに対して「エピ極線方程式」と呼ばれ
ラメータを持つ）モデルほど残差が小さくなる．この る拘束条件を満たす [3]．そのようなデータに対する拘
残差とモデルの複雑さをバランスさせた評価法が「モ 束を「外部拘束」と呼ぶ．一方，基礎行列 F は det F
デル選択」である．そして，幾何学的モデルに対する = 0 という拘束がある [3]．そのようなパラメータ自身
モデル選択規準として， 幾何学的 AIC」[9]， 幾何学的
「 「 の拘束を「内部拘束」と呼ぶ．内部拘束に対処する方
BIC」[11]，
「幾何学的 MDL」[10] が提案されている． 法として，古くから
幾何学的モデル選択のためには，まず各モデルを最 （1）内部拘束を考えずに最適化し，内部拘束を満たす
適に当てはめて，その残差を計算しなければならない． ように事後的に補正する，

2. （2）内部拘束が満たされるようにパラメータ化して， u = (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u0 ) ,
そのパラメータ空間を探索する，
(1)
ξ = (x/L0 , y/L0 , z/L0 , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, −x /L0 ) ,
の二通りがあったが，拡張 FNS 法は新たなパラメータ ξ(2) = (0, 0, 0, x/L0 , y/L0 , z/L0 , 0, 0, 0, 0, 1, 0, −y /L0 ) ,
を導入せず， ξ(3) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, x/L0 , y/L0 , z/L0 , 0, 0, 1, −z /L0 )
（3）内部拘束が次第に満たされ，収束時には内部拘束 (4)
が完全に満たされるように反復する
すると式（3）のアフィン変換は次のように書ける．
解法である．
本論文では，アフィン変換にさまざまな内部拘束を (ξ (1) , u) = 0, (ξ (2) , u) = 0, (ξ(3) , u) = 0 (5)
指定すれば並進，回転，剛体運動，相似変換などの部分
以下，本論文ではベクトル a, b の内積を (a, b) と書く．
群が実現されることに着目して，拡張 FNS 法を 3 次元
点のアフィン変換の最適計算に適用する．従来の拡張
3 アフィン変換の内部拘束
FNS 法はエピ極線方程式のようなスカラ方程式に対す
るものであったが，3 次元点の変換はベクトル方程式で
3 次元アフィン変換はいくつかの同次式 φ1 (u),. . .,
表される．そこで従来の拡張 FNS 法をベクトル方程式
φr (u) を用いて内部拘束を φ1 (u) = 0,. . ., φr (u) = 0
に拡張する．そして，いろいろな内部拘束を付加して
の形で指定すれば，さまざまな部分群を表すことがで
アフィン変換の部分群を統一的に計算する．この考え
きる．
方は既に松永 [16] によって提起され，2 次元/3 次元の
幾何学的変換を射影変換の部分群とみなす統一的な方 【例 1】行列 A が回転行列のとき式（3）は剛体運動と
法論が示されている．本論文ではこれを内部拘束をも なる．A が回転行列である条件は，その各列が互いに
つ 3 次元アフィン変換の計算に適用する．そして，ス 直交する単位ベクトルである．行列式が負なら反転を
テレオ視による 3 次元復元シミュレーションデータや 表すが，ここでは与えられたデータに当てはめる問題
GPS で計測した地盤の移動データを用いて，幾何学的 を考えるので，行列式を考慮する必要はない．したがっ
モデル選択の具体的な実施例を示す． て，剛体運動は次の「2 次形式」が 0 となることで指定
される．
2 3 次元アフィン変換 φ1 (u) = u1 u4 + u2 u5 + u3 u6 ,
移動前と移動後の観測位置をそれぞれ r = (x, y, z) , φ2 (u) = u4 u7 + u5 u8 + u6 u9 ,
r = (x , y , z ) とするとき，移動が「アフィン変換」 φ3 (u) = u7 u1 + u8 u2 + u9 u3 ,
であるとは，ある正則行列 A とベクトル t があって次 φ4 (u) = u2 + u2 + u2 − u2 − u2 − u2 ,
1 2 3 4 5 6
の関係が成り立つことである．
φ5 (u) = u2 + u2 + u2 − u2 − u2 − u9 ,
4 5 6 7 8
2
r = Ar + t (1) φ6 (u) = u2 + u2 + u2 − u2
1 2 3 0 (6)
行列 A の要素とベクトル t の成分を次のように置く． 条件 φ6 (u) = 0 を除けば，A は回転行列の定数倍であ
    り，式（3）は相似変換を表す．
u1 u 2 u3 u10 L0
【例 2】恒等変換 A = I, t = 0 は次の「1 次形式」を 0
A =  u4 u5 u6  , t =  u11 L0  (2)
   
とすることで実現される．
u7 u8 u9 u12 L0
φ7 (u) = u2 , φ8 (u) = u3 , φ9 (u) = u4 , φ10 (u) = u6 ,
ただし，L0 は r, r とほぼ同じ大きさの基準長である．
これは r, r の各成分がほぼ 0∼1 となるような長さの φ11 (u) = u7 , φ12 (u) = u8 , φ13 (u) = u1 − u5 ,
単位を用いることに相当し，これによって有限長の数 φ14 (u) = u5 − u9 , φ15 (u) = u1 − u0 , φ16 (u) = u10 ,
値計算が安定する．式（1）は次のように書ける． φ17 (u) = u11 , φ18 (u) = u12 (7)
u0 x = u1 x + u2 y + u3 z + u10 L0 , 条件 φ15 (u) = 0 を除けば，A は単位行列 I の定数倍で
u0 y = u4 x + u5 y + u6 z + u11 L0 , あり，スケール変化が表せる．条件 φ16 (u) = 0, φ17 (u)
u0 z = u7 x + u8 y + u9 z + u12 L0 (3) = 0, φ18 (u) = 0 を除けば並進が表せる．
内部拘束を満たす u の定義域 U は 13 次元空間 R13
ただし，u0 = 1 である．このダミー変数 u0 を導入し
の多様体である．このとき u0 = 1 であるが，式（5）
て式（1）をパラメータの同次 1 次式に表すことが提案
は u の定数倍の不定性がある．そこで u = 1 となる
方法の眼目である．そして，13 次元ベクトル u, ξ (1) ,
単位ベクトル u を計算してから，最後に u0 = 1 となる
ξ (2) , ξ (3) を次のように定義する．
ように正規化する．

3. 4 共分散行列 法により ξ α を消去すると，残差 J が次のように表さ
¯ (k)
れる（式の導出は [6],[7] 参照）．
3 次元空間を移動する N 点を測定し，移動前と
移動後の測定位置をそれぞれ r α , r α とする（α =
N 3
J= Wα (ξ (k) , u)(ξ (l) , u)
(kl)
(12)
1, . . . , N ）．測定は誤差を含むとし，それぞれの共分
α α
α=1 k,l=1
散行列を σ 2 V0 [r α ], σ 2 V0 [r α ] とする．σ は誤差の絶対的
これを u の定義域 U 上で最小化すればよい．ただし，
な大きさを表す定数（ 「ノイズレベル」 ）であり，V0 [r α ],
Wα は (u, V0 [ξ α ]u) を (kl) 要素とする 3 × 3 行列
(kl) (kl)
V0 [r α ] は誤差の分布を表す行列（ 「正規化共分散行列」 ）
の逆行列の (kl) 要素であり，次のように書く．
である．以下，ノイズレベル σ は未知，正規化共分散
行列 V0 [r α ], V0 [r α ] は既知とする．このように分離する
−1
(kl) (kl)
Wα = (u, V0 [ξ α ]u) (13)
のは，誤差の絶対的な大きさを知ることが難しいこと
と，および以下に示すようにノイズレベルによらずに 5 内部拘束を持つアフィン変換の最適計算
正規化共分散行列のみから最適な推定ができるためで
ある．このため σ と V0 [r α ], V0 [r α ] の分離は便宜的で 式（12）を u で微分すると次のようになる [6],[7]．
ある．
uJ = 2(M − L)u (14)
データ r α , r α から計算した式（4）の ξ (k) を ξ (k) と α
すると，その誤差 ∆ξ (k) は式（4）より誤差 ∆xα , ∆yα ,
α ここで，行列 M , L は次のように置いた．
∆zα , ∆xα , ∆yα , ∆zα と次の線形関係がある． N 3
M = Wα ξ (k) ξ (l) ,
(kl)
α α
∆ξ (1)
α = T 1 ∆xα , ∆ξ (2)
α = T 2 ∆xα , α=1 k,l=1
∆ξ (3)
α = T 3 ∆xα (8) N 3
(kl)
(k) (l)
L= vα vα V0 [ξ α ] (15)
ここで，∆xα = (∆xα , ∆yα , ∆zα , ∆xα , ∆yα , ∆zα ) で α=1 k,l=1
ある．各 T k は次のようになる．
上式中の vα は次のように定義する．
(k)
1 I O O O 0 3
T1 = ,
L0 O O O O −i
(k)
vα = Wα (ξ (l) , u)
(kl)
α (16)
l=1
1 O I O O 0
T2 =
L0
, 式（12）を最小にするには式（14）より (M − L)u =
O O O O −j
0 を解けばよく，固有値問題を反復して解く FNS 法 [2]
T3 =
1 O O I O 0
(9) を用いることができるが，u には内部拘束が存在する
L0 O O O O −k ので，内部拘束を自動的に満たすように FNS 法を拡張
ただし，O は 3 × 3 零行列，0 は 3 次元零ベクトルであ した拡張 FNS 法 [6],[7],[14],[16] の手順を以下に示す．
り，i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0) , k = (0, 0, 1) と置い
た．以上より ξ (k) の共分散行列が次のようになる． 1. u の初期解を与える．
α
2. 式（15）の行列 M , L を計算する．
3. 内部拘束の勾配ベクトル u φ1 (u), . . . , u φr (u) を
(kl)
σ 2 V0 [ξ α ] = E[∆ξ(k) ∆ξ (l) ]
α α
V0 [r α ] O 計算し，これにシュミットの直交化を施した正規
= σ2 T k T l (10)
O V0 [r α ] 直交系 {u1 , . . . , ur } を求める．
4. 次の射影行列 P V を計算する．
観測値 ξ (k) の真値を ξ α とすると，アフィン変換の
α
¯(k)
r
最尤推定はマハラノビス距離（以下「残差」と呼ぶ） P V = I 13×13 − um um (17)
m=1
¯(1)
 
ξ(1) − ξα
I 13×13 は 13 次単位行列である．
N α
J = ( ξ(2) − ξ(2)  ,
¯
α
(3)
α
¯(3) 5. 次の行列 Y を計算する．
α=1 ξ −ξ α α
−1 
(11) (12) (13) ¯(1)
 
V0 [ξα ] V0 [ξα ] V0 [ξα ] ξ(1) − ξα
α Y = P V (M − L)P V (18)
(21)
V0 [ξα ]
(22)
V0 [ξα ]
(23)
V0 [ξα ]   ξ(2) − ξ(2) )
¯
6. 固有値問題

α α
(31) (32) (33) (3) ¯(3)
V0 [ξα ] V0 [ξα ] V0 [ξα ] ξα − ξα
(11) Y v = λv (19)
を最小化することである．ただし，真値 ξ α は式（5） の小さい r + 1 個の固有値に対する単位固有ベクト
¯ (k)
の制約を満たしているとする．ラグランジュ未定乗数 ル v 0 , . . . , v r を求める．

4. 7. 現在の解 u を次のように {v 0 , . . . , v r } に射影した
u を計算する．
ˆ
r
ˆ
u= (u, v m )v m (20)
m=0
8. 次の u を計算する．
u = N [P V u]
ˆ (21)
N [ · ] は単位ベクトルへの正規化作用素である
【運動前】
（N [a] = a/ a ）．
9. u ≈ u なら u を返して終了する．そうでなけれ
ば，u ← N [u + u ] としてステップ 2 に戻る．
r = 0 とすると，P V = I 13×13 であり，u は Y の最小
固有値に対する固有ベクトルとなり，通常の u = 1
以外の内部拘束が存在しない場合の FNS 法に帰着する． 【運動後】
6 ステレオ視による 3 次元復元データ実験 図1 いろいろな運動をする曲面格子ステレオ視によ
る 3 次元計測と誤差楕円体，および運動前後のステレ
オシミュレーション画像（運動 1 の場合）．
図 1 のように曲面を原点を通るある回転軸の周りに
角度 Ω だけ回転し，t だけ平行移動し，スケールを s1 ,
s2 , s3 , s 倍する．次の 9 通りの場合の運動を考える．
（0）アフィン変換: Ω = 10◦ , t = (100, 100, 300) , s1
= 1.01, s2 = 1.02, s3 = 0.99
（1）相似変換: Ω = 10◦ , t = (100, 100, 300) , s = 図2 3 次元アフィン変換の部分群の包含関係．
1.01（すべての軸で等しいスケール変化）
（2）剛体運動: Ω = 10◦ , t = (100, 100, 300) , s = 1 （2）剛体運動: φ1 (u), . . . , φ6 (u)
（3）回転・スケール変化: Ω = 10◦ , t = 0, s = 1.01 （3）回転・スケール変化: φ1 (u), . . . , φ5 (u), φ16 (u),
（4）並進・スケール変化: Ω = 0, t = (100, 100, 300) , φ17 (u), φ18 (u)
s = 1.01 （4）並進・スケール変化: φ7 (u), . . . , φ14 (u)
（5）回転: Ω = 10◦ , t = 0, s = 1 （5）回転: φ1 (u), . . . , φ6 (u), φ16 (u), φ17 (u), φ18 (u)
（6）並進: Ω = 0, t = (100, 100, 300) , s = 1 （6）並進: φ7 (u), . . . , φ15 (u)
（7）スケール変化: Ω = 0, t = 0, s = 1.01 （7）スケール変化: φ7 (u), . . . , φ14 (u), φ16 (u),
（8）恒等変換: Ω = 0, t = 0, s = 1 φ17 (u), φ18 (u)
（8）恒等変換: φ7 (u), . . . , φ18 (u)
そしてステレオ視によって各格子点の運動前後の 3 次
元位置を計測する．曲面格子はその中心の格子点が世 これらの部分群の包含関係を図 2 に示す．反復の初期
界座標の原点にあり，2 台のカメラはそれを 10 度で見 値としては回転 R，並進 t，スケール変化 s を最小二乗
込む位置に配置している．画像サイズは 500 × 800 画 法で推定する (計算式は [5],[12],[17] 参照）．
素，焦点距離は 600 画素を想定している．各格子点を対
応点とし，その x, y 座標に期待値 0，標準偏差 1 画素 7 幾何学的モデル選択実験
の正規乱数を加え，それぞれ Kanatani ら [15] の方法で
各モデルに対する幾何学的 AIC，幾何学的 BIC，幾何
各格子点の 3 次元位置を最適に計算する．そして復元
学的 MDL はそれぞれ次のようになる [9],[10],[11] （幾
位置 r α , r α の正規化共分散行列 V0 [ˆ α ], V0 [ˆ α ] を予測
ˆ ˆ r r
何学的 BIC と幾何学的 MDL は同じ値となる）．
する (計算式は [5],[12],[17] 参照）．そして，式（6） 7）
（
の次の内部拘束式で指定されるアフィン変換の 9 通り ˆ
G-AIC = J + 2(3N + p)ˆ 2 ,
σ
の部分群（モデル）を拡張 FNS 法によって最適に当て σ2
ˆ
ˆ
G-BIC = G-MDL = J − (3N + p)ˆ 2 log 2 (22)
はめる．ただし，基準長 L0 は 1000 とした． σ
L0
（0）アフィン変換: 内部拘束なし ただし，J は当てはめた残差 J の値であり，N はデー
ˆ
（1）相似変換: φ1 (u), . . . , φ5 (u) タ数である（この実験では格子点の数 91） p はモデル
．

5. よる結果である．これから正しいモデルが選ばれる割
表1 幾何学的 AIC によって各モデルが選ばれた割合
合が大きいが，必ずしも常に真のモデルが選ばれるとは
（% ）．
運動 0 1 2 3 4 5 6 7 8 限らないことがわかる．ただし，自由度の小さいモデル
モデル 0 100 3 6 6 3 1 3 3 0 に対しては幾何学的 BIC ／ MDL によって正しいモデ
モデル 1 0 97 17 5 9 2 1 2 2
モデル 2 0 0 77 0 2 10 6 0 3 ルがよく選ばれている．これは幾何学的 BIC ／ MDL
モデル 3 0 0 0 89 0 16 0 11 1 のモデルの自由度に対すペナルティが幾何学的 AIC よ
モデル 4 0 0 0 0 85 0 19 7 0
モデル 5 0 0 0 0 0 71 0 0 4 り大きいことから説明される．
モデル 6 0 0 0 0 1 0 71 0 7
モデル 7
8 地盤の GPS 計測データ解析
0 0 0 0 0 0 0 77 5
モデル 8 0 0 0 0 0 0 0 0 78
測地学者は世界中で地盤の変形を GPS によってモニ
表 2 幾何学的 MDL によって各モデルが選ばれた ターしている．表 4 は 2010 年 4 月，2011 年 1 月，2012
割合（%） ． 年 1 月における東北地方の電子基準点 8 点の x, y, z 座標
運動 0 1 2 3 4 5 6 7 8
モデル 0 39 0 0 0 0 0 0 0 0
（単位はメートル）である1 ．表 4 中の基準点の ID0036，
モデル 1 61 46 0 0 0 0 0 0 0 0172，0175，0549，0550，0914，0916，0918 はそれぞ
モデル 2
れ図 3 に示すように女川，気仙沼，志津川，矢本，牡
0 54 100 0 0 0 0 0 0
モデル 3 0 0 0 86 0 0 0 0 0
モデル 4 0 0 0 0 33 0 0 0 0 鹿，東和，南方，河北である．各データの共分散行列
モデル 5 0 0 0 14 0 100 0 0 0
 
σ11 σ12 σ31
モデル 6 0 0 0 0 67 0 100 0 0
モデル 7  σ12 σ22 σ23  の各要素を表 3 に示す．これを用
 
0 0 0 0 0 0 0 100 0
モデル 8 0 0 0 0 0 0 0 0 100 σ31 σ23 σ33
いて，2010 年 4 月と 2011 年 1 月のデータ，および 2011
の自由度であり，上記のモデル（0）,（1）,. . .,（8）に 年 1 月と 2012 年 1 月のデータに対して本論文の方法に
対してそれぞれ p = 12, 7, 6, 4, 4, 3, 3, 1, 0 である．σˆ 2 よってアフィン変換のさまざまな部分群を最適に当て
は σ の推定値である．モデル（1）,. . .,（7）はすべて
2 はめる（当てはめる部分群は前節と同じ） ．そしてどの
3 次元アフィン変換の部分群であるから，どのモデルが 部分群が生じていると見なせるかを各モデルに対する
正しいとしても次のように推定できる [8]． 幾何学的 AIC，幾何学的 BIC ／ MDL を計算してモデ
ル選択する．
ˆ
J0
2
σ =
ˆ (23) 2010 年 4 月 と 2011 年 1 月 の デ ー タ に 対 し て ，
3N − 12
(−3899900, 3116600, 3956400) を原点とする仮の座標系
ただし，J0 はアフィン変換（モデル（0）
ˆ ）を当てはめ をとり，基準長を L0 = 1000 として計算し，結果を元
た残差である．モデル選択規準が最小になるモデルが の座標系に戻すと，最適なアフィン変換は式（24）の
残差と自由度をバランスする最適なモデルになる． ようになる．
幾何学的 AIC は「赤池の AIC」[1] に基づいている． こ れ は GPS で 採 用 さ れ て い る WGS84（World
赤池の AIC は Kullback-Leibler 情報量の評価にバイア Geodetic System 1984）と呼ぶ地球を基準とする座標
ス補正を加えたものをデータ数 N → ∞ に対して漸近 系 [4] によるものであるが，これを地表を基準とする座
評価したものである．これをノイズレベル σ → 0 で 標系に変換して GMT（Generic Mapping Tools）2 と呼
近似すると幾何学的 AIC が得られる [8],[9],[10]．幾何 ぶ作図ツールで地表の動きとして表示したものが図 4
学的 BIC は「Schwarz の BIC」[20] に基づいている． （a）である．ただし，動きを 1000 倍に拡大している．
Schwarz の BIC は各モデルに対する事後確率をラプラ このアフィン変換が残差を最小にするものであり，そ
ス近似したものをデータ数 N → ∞ に対して漸近評価 の部分群を当てはめるとモデルの自由度が小さくなる
したものである．これをノイズレベル σ → 0 で近似す ので，必然的に残差が増加する．モデル選択はこの残
ると幾何学的 BIC が得られる [11]．幾何学的 MDL は 差の増加と自由度とのバランスを測るものである．各
「Rissanen の MDL」[19] に基づいている．Rissanen の 部分群に対して計算した残差 J と G-AIC，G-BIC（=
MDL は最小記述長に最適に実数の量子化を施したもの G-MDL）の値を表 5，表 6 に示す．下線は選ばれたモ
をデータ数 N → ∞ に対して漸近評価したものである． デルを示す．これを見ると分かるように幾何学的 AIC
これをノイズレベル σ → 0 で近似すると幾何学的 MDL は，例えば相似変換よりもずっと残差の大きいにもか
が得られる [10]． かわらず，単に並進が起こったと判断している．それに
表 1 は σ = 1 とする 100 通りの独立な誤差を加えて 対して，幾何学的 BIC ／ MDL は地盤はまったく動い
9 個の運動に対して 9 個のモデルを当てはめて，幾何学 1 国土地理院のサイト（http://www.gsi.go.jp/）から取得した
RINEX 形式 [18] の GPS 観測データファイルを元に以下のサイト
的 AIC によってそれぞれのモデルが選ばれる割合（%）
により計算した．http://apps.gdgps.net/index.php
を示したものである．表 2 は幾何学的 BIC ／ MDL に 2 http://gmt.soest.hawaii.edu/

6. 39˚00'
Kesennuma 0172
38˚48'
Towa 0914
Shizugawa 0175
Minamikata 0916
38˚36'
Kahoku 0918
Onagawa 0036
Yamoto 0549
38˚24'
Oshika 0550
38˚12'
km
0 10 20 2011/3/11 M9.0
38˚00'
141˚12' 141˚36' 142˚00' 142˚24' 142˚48'
図3 東北地方の電子基準点 8 点（黒丸）と 2011 年 3 月 11 日に起きた地震の震源（星印）．
ていないと判定している．幾何学的 BIC ／ MDL は幾 をもつ 3 次元アフィン変換を拡張 FNS 法によって計算
何学的 AIC に比べて自由度の少ないモデルを選ぶ傾向 するものである．これにより，従来のように運動のタイ
が高いことが知られているが [9],[10],[11]，ここにもそ プごとに別々のパラメータを導入する必要がなく，す
れが現れている．いずれにしても，この時期は地盤が べての部分群が同一の方法で計算できる．そして，こ
非常に安定していて，例え動いたとしてもわずかな並 れを用いてステレオ視による 3 次元復元シミュレーショ
進のみであると結論される．一方，2011 年 1 月と 2012 ンデータや GPS で計測した地盤の移動のデータを解析
年 1 月のデータに対して同様に計算すると，最適なア し，曲面格子物体の運動や東日本大震災による地盤の
フィン変換は式（25）のようになる． 変形がどのようなものかを判定する幾何学的モデル選
これを図 4（a）と同様にして表示したものが同図（b） 択の具体的な実施例を示した．式の導出や拡張 FNS 法
である（1000 倍に拡大）．これを見ると地盤は南東の の証明は [6],[7],[14] 参照．
震源（図 3 の右下の星印）の方向に向かって一様に並 謝辞: GPS 計測および測地学に関する有益なご意見を
進しているように思える．しかし，幾何学的モデル選 頂いたトルコ Istanbul 工科大学の Orhan Akyilmaz 准
択を行うと，表 6 から分かるように幾何学的 AIC も幾 教授に感謝します．本研究の一部は日本学術振興会科
何学的 BIC ／ MDL もアフィン変換そのものを選んで 学研究費（挑戦的萌芽研究 24650086）の助成によった．
いる．すなわち，この地盤の動きはどの部分群によっ
ても説明できないと判定している．これは 2011 年 3 月 参考文献
11 日にこの地方で起きたマグニチュード 9.0 の大地震
[1] H. Akaike, A new look at the statistical model identifi-
を反映するものである． cation, IEEE Trans. Autom. Control., 26-6 (1974-12),
716–723.
9 まとめ [2] W. Chojnacki, M. J. Brooks, A. van den Hengel and
D. Gawley, On the fitting of surfaces to data with
covariances, IEEE Trans. Patt. Anal. Mach. Intell.,
本論文ではセンサーによって計測した二組の 3 次元 22-11 (2000), 1294–1303.
データがどのように並進，回転，スケール変化している [3] R. Hartley and A. Zisserman, Multiple View Geome-
のか，あるいはしていないのかを判断するモデル選択 try in Computer Vision, 2nd ed., Cambridge Univer-
sity Press, Cambridge, U.K., 2004.
のために，データにさまざまな運動モデルを最適に当
[4] 萩原幸男, 「測地学入門」, 東京大学出版会, 1982 年 5
てはめる新しい方法を提案した．本論文の方法は 3 次 月.
元アフィン変換の部分群がパラメータにさまざまな内 [5] 原裕貴, 新妻弘崇, 金谷健一, 不均一な誤差分布をもつ空
部拘束を指定して得られることに着目して，内部拘束 間データからの 3 次元相似変換の最適計算, 情報処理学
会研究報告, 2011-CVIM-176-15 (2011-3), 1–8.

7. Kesennuma 0172 Kesennuma 0172
Towa 0914 Towa 0914
Shizugawa 0175 Shizugawa 0175
Minamikata 0916 Minamikata 0916
Kahoku 0918 Kahoku 0918
Onagawa 0036 Onagawa 0036
Yamoto 0549 Yamoto 0549
Oshika 0550 Oshika 0550
(a) (b)
図 4 （a）2010 年 4 月と 2011 年 1 月の間の地盤の動き， b）2011 年 1 月と 2012 年 1 月の間の地盤の動き（いずれ
（
も 1000 倍に拡大）．
x 0.999971299834119 0.000022846760455 0.000029511830098 x −299.8902360559441
y = 0.000032692122035 0.999974183470998 −0.000033202523519 y + 339.3263535494916
z 0.000010763169341 0.000008714718681 1.000011020834165 z −112.7441873988137
(24)
x 1.001228379683353 −0.000959897405742 −0.001235998473807 x 12668.80530537805
y = 0.000950467968687 0.999279166869626 −0.000926414154749 y + 9615.24810701143
z 0.000338476069078 −0.000240252011947 0.999671735382466 z 3365.90110431844
(25)
[6] 本田卓士, 松永力, 金谷健一, 誤差のあるデータからの内部 [15] K. Kanatani, Y. Sugaya, and H. Niitsuma, Triangula-
拘束を持つ 3 次元運動の計算法と幾何学的モデル選択への tion from two views revisited: Hartley-Sturm vs. op-
応用, 情報処理学会研究報告, 2012-CG149CVIM184-20 timal correction, Proc. 19th British Machine Vision
(2012-12), 1–8. Conf. (BMVC 2008), Leeds, U.K., 173–182, Septem-
[7] 本田卓士, 松永力, 金谷健一, GPS 計測データの階層的 ber 2008.
運動モデル当てはめによる東日本大震災の地盤変形解析, [16] 松永力, 2 次元/3 次元幾何学変換の統一的な最適計算,
計測自動制御学会第 17 回パターン計測シンポジウム資 第 18 回画像センシングシンポジウム（SSII2012）講演
料 (2012-12). 論文集, 2012 年 6 月, 横浜, IS4-04, pp. 1–8.
[8] K. Kanatani, Statistical Optimization for Geometric [17] H. Niitsuma and K. Kanatani, Optimal computa-
Computation: Theory and Practice, Elsevier Science, tion of 3-D rotation under inhomogeneous anisotropic
Amsterdam, The Netherlands, 1996; reprinted Dover noise, Proc. 12th IAPR Conf. Machine Vision Appl.
Publications, New York, U.S.A., 2005. (MVA 2011), Nara, Japan, 112–115, June 2011.
[9] K. Kanatani, Geometric information criterion for [18] RINEX: The Receiver Independent Exchange Format
model selection, Int. J. Comput. Vis., 26-3 (1998- Version 2.11, http://igscb.jpl.nasa.gov/igscb/
02/03), 171–189. data/format/rinex211.txt
[10] K. Kanatani, Uncertainty modeling and model selec- [19] J. Rissanen, Stochastic Complexity in Statistical In-
tion for geometric inference, IEEE Trans. Patt. Anal. quiry, World Scientific, Singapore, 1989.
Mach. Intell., 26-10 (2004-10), 1307–1319.
[20] G. Schwarz, Estimating the dimension of a model,
[11] K. Kanatani, Geometric BIC, IEICE Trans. Inf. & Annals Statis., 6-2 (1987-7), 461–464.
Syst., E93-D-1 (2010-1), 144–151.
[12] K. Kanatani and H. Niitsuma, Optimal computation 松永 力： 1988 年室蘭工大・工・電子卒，1990 年同大学院修
of 3-D similarity: Gauss-Newton vs. Gauss-Helmert,
Comp. Stat. Data Anal., 56-12 (2012-12), 4470–4483. 士課程了．同年，
（株）朋栄入社．業務用映像機器の開発，画
[13] K. Kanatani and Y. Sugaya, Performance evaluation 像処理，コンピュータビジョンの研究に従事．博士（工学）．
of iterative geometric fitting algorithms, Comp. Stat. 金谷 健一： 1972 年東大・工・計数（数理工学）卒，1979 年
Data Anal., 52-2 (2007-10), 1208–1222.
同大学院博士課程了．工学博士．群馬大学教授を経て，岡山
[14] K. Kanatani and Y. Sugaya, Compact fundamental
大学大学院教授．コンピュータビジョンの数理的解析の研究
matrix computation, IPSJ Trans. Comput. Vis. Appl.
2 (2010-3), 59–70. に従事．

8. 表3 東北地方の電子基準点 8 点における 2010 年 4 月，2011 年 1 月，2012 年 1 月の GPS 測量データの共分散行列．
2010 年 4 月
ID 0036 0172 0175 0549 0550 0914 0916 0918
σ11 543.81468 2600.5301 588.95526 299.42994 2298.3728 2580.3350 510.26601 2230.8269
σ22 425.88304 2395.0165 557.68621 206.77237 2204.4857 2378.9566 473.90957 2148.0015
σ33 320.91074 1180.6302 306.88459 187.97368 970.31985 1113.2217 255.43911 958.60970
σ23 204.01142 655.80839 222.80817 129.75187 555.38549 609.86213 181.32306 530.02453
σ31 −262.01505 −765.87092 −252.43021 −173.89883 −658.16237 −830.68293 −225.06877 −625.30146
σ12 −143.09649 −145.37253 −155.31865 −117.32354 −141.02400 −180.97003 −143.14545 −98.325922
2011 年 1 月
ID 0036 0172 0175 0549 0550 0914 0916 0918
σ11 287.87533 249.12117 452.82105 247.77608 2300.5173 2509.0785 1664.8206 803.41570
σ22 208.37832 192.85768 371.08918 189.61635 1811.4054 1958.3768 1707.0988 592.74803
σ33 186.80209 161.45344 230.58634 154.45626 869.80636 978.14059 822.11796 316.10716
σ23 125.56468 110.72924 143.89346 106.81192 412.96236 417.99055 400.88891 182.73249
σ31 −170.69383 −143.73564 −198.90161 −139.79921 −627.57330 −766.42047 −523.79020 −261.03986
σ12 −112.37926 −93.520583 −101.24319 −90.106188 −71.178480 −71.479138 −43.792427 −84.101060
2012 年 1 月
ID 0036 0172 0175 0549 0550 0914 0916 0918
σ11 305.96250 250.29374 384.59613 250.86478 273.56924 2514.4584 586.20375 274.97742
σ22 215.96414 191.07272 222.83353 182.75383 195.10014 1960.5877 568.93574 178.45872
σ33 212.30943 161.34809 219.11424 157.11409 162.31885 1000.0640 300.81322 156.79702
σ23 135.52470 108.43137 141.58703 103.04156 111.27658 42.292048 179.18146 101.31024
σ31 −190.15388 −145.39350 −211.37678 −141.09274 −154.20913 −771.60432 −299.18962 −140.78606
σ12 −122.02639 −97.485117 −130.11266 −91.186199 −103.82372 −58.595343 −101.51431 −89.699310
表 4 東北地方の電子基準点 8 点における 2010 年 4 表 5 2010 年 4 月と 2011 年 1 月の間の地盤の移
月，2011 年 1 月，2012 年 1 月の GPS 測量データ（単 動の各モデルにおける残差 J と G-AIC，G-BIC（=
位はメートル） ． G-MDL）．下線は選ばれたモデル．
2010 年 4 月 モデル J G-AIC G-BIC ／ MDL
ID x y z 0 1.3501 × 10−7 9.4511 × 10−7 1.3144 × 10−5
0036 −3911124.6109 3117611.8596 3944663.0892 1 1.7364 × 10−7 8.7122 × 10−7 1.1376 × 10−5
0172 −3893613.1472 3089073.9138 3983982.4425 2 1.8844 × 10−7 8.6352 × 10−7 1.1030 × 10−5
0175 −3898936.7310 3106983.5744 3964933.7807 3 9.1579 × 10−7 1.5396 × 10−6 1.1027 × 10−5
0549 −3899954.0638 3134197.0846 3942545.9721 4 2.3434 × 10−7 8.6441 × 10−7 1.0353 × 10−5
0550 −3922366.9569 3119914.9630 3931806.3411 5 1.1678 × 10−6 1.7753 × 10−6 1.0925 × 10−5
0914 −3888499.5166 3113285.6200 3970160.1127 6 2.5143 × 10−7 8.5900 × 10−7 1.0009 × 10−5
0916 −3884406.9622 3127530.4255 3963000.4271 7 9.5613 × 10−7 1.5187 × 10−6 9.9905 × 10−6
0918 −3900409.6500 3124326.0455 3949941.0937 8 1.2199 × 10−6 1.7599 × 10−6 9.8928 × 10−6
2011 年 1 月
ID x y z
0036 −3911124.6161 3117611.8674 3944663.0891
0172 −3893613.1407 3089073.9247 3983982.4331
0175 −3898936.7224 3106983.5798 3964933.7745
0549 −3899954.0672 3134197.0985 3942545.9686 表 6 2011 年 1 月と 2012 年 1 月の間の地盤の移
0550 −3922366.9488 3119914.9518 3931806.3268 動の各モデルにおける残差 J と G-AIC，G-BIC（=
0914 −3888499.9488 3113285.6240 3970160.1054 G-MDL）．下線は選ばれたモデル．
0916 −3884406.9628 3127530.4296 3963000.4215
0918 −3900409.6423 3124326.0532 3949941.0840 モデル J G-AIC G-BIC ／ MDL
2012 年 1 月 0 2.1863 × 10−5 1.5304 × 10−4 1.7949 × 10−3
1 1.8474 × 10−3 1.9603 × 10−3 3.3741 × 10−3
ID x y z
2 2.2985 × 10−3 2.4078 × 10−3 3.7741 × 10−3
0036 −3911128.3589 3117608.0272 3944661.2547 3 2.6768 × 10−1 2.6779 × 10−1 2.6906 × 10−1
0172 −3893616.5621 3089070.9017 3983980.4920 4 2.2029 × 10−3 2.3049 × 10−3 3.5818 × 10−3
0175 −3898940.3307 3106980.2371 3964931.9731 5 2.6772 × 10−1 2.6782 × 10−1 2.6905 × 10−1
0549 −3899957.3856 3134193.9276 3942544.6596 6 2.7320 × 10−3 2.8304 × 10−3 4.0617 × 10−3
0550 −3922370.7681 3119910.6783 3931804.3063 7 2.7270 × 10−1 2.7280 × 10−1 2.7394 × 10−1
0914 −3888502.8233 3113282.7641 3970158.5816 8 2.7282 × 10−1 2.7290 × 10−1 2.7400 × 10−1
0916 −3884410.1104 3127527.7274 3962999.1209
0918 −3900413.1310 3124322.7276 3949939.5679