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代数トポロジー入門
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- 19. 可微分な関数可微分な関数//多様体が対象です多様体が対象です x sin( )x 1 などはなどは( 0( 0 で微分不可能なのでで微分不可能なので))，今⽇日は考えません，今⽇日は考えません
- 21. 11 変数関数変数関数 y = f(x) に対し，に対し， f (x ) = 0′ 0 なる点なる点 x0 を臨界点と⾔言を臨界点と⾔言 うう 臨界点を臨界点を 22 次導関数で分類次導関数で分類 f (x ) = 0 ⇔′′ 0 f (x ) ≠ 0 ⇔′′ 0 x0 x0 は⾮非退化は⾮非退化(non-degenerate)(non-degenerate) は退化は退化(degenerate)(degenerate)
- 22. ex)y = x + ax3
- 23. 1) a = 0 退化した臨界点退化した臨界点 00 を持つを持つ 2) a > 0 臨界点を持たない臨界点を持たない ⾮非退化な臨界点⾮非退化な臨界点 3) a < 0 ±√ 3 −a を持つを持つ
- 24. 22 変数の場合変数の場合
- 25. z = f(x, y)がが 22 変数関数変数関数(x , y ) ∈ R0 0 2 の臨界点の臨界点:: では，退化はどう定義する？？では，退化はどう定義する？？ ２次導関数を使うんだったな２次導関数を使うんだったな...... ∇f(x , y ) = = 00 0 ( (x , y )∂x ∂f 0 0 (x , y )∂y ∂f 0 0 )
- 26. HesseHesse ⾏行列⾏行列 H (p ) =f 0 ( (p )∂x2 ∂ f2 0 (p )∂y∂x ∂ f2 0 (p )∂x∂y ∂ f2 0 (p )∂y2 ∂ f2 0 ) p = (x , y )0 0 0 におけるにおける ff のの HesseHesse ⾏行列という⾏行列という 22 変数関数変数関数 ff に対し次で与える⾏行列をに対し次で与える⾏行列を
- 27. ff の臨界点の臨界点 p = (x , y )0 0 0 が⾮非退化が⾮非退化 ⇔ detH (p ) = ≠ 0f 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (p )∂x2 ∂ f2 0 (p )∂y∂x ∂ f2 0 (p )∂x∂y ∂ f2 0 (p )∂y2 ∂ f2 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ HesseHesse ⾏行列⾏行列 H (p )f 0 が正則が正則 すなわち
- 28. ex1) f(x, y) = x + y2 2 H =f { 2 0 0 2 } 臨界点臨界点 (0, 0) におけるにおける HesseHesse ⾏行列⾏行列 は正則は正則 ⇒⇒ ⾮非退化⾮非退化
- 30. ex2) f(x, y) = x − y2 2 H =f { 2 0 0 −2 } 臨界点臨界点 (0, 0) におけるにおける HesseHesse ⾏行列⾏行列 は正則は正則⇒⇒ ⾮非退化⾮非退化
- 32. ex3) f(x, y) = −x − y2 2 臨界点で最⼤大値を持っていることが⾒見える臨界点で最⼤大値を持っていることが⾒見える
- 33. ex4) f(x, y) = xy (0, 0) が⾮非退化特異点が⾮非退化特異点
- 34. どこか， x − y2 2 と似ていると似ている...... 実際 =( X Y ) ( 2 x+y 2 x−y ) とすると xy = X − Y2 2 となり，座標変換で互いに移り合うとなり，座標変換で互いに移り合う
- 36. Thm(Morse Lemma) p0 をを ff の⾮非退化臨界点とする．このときの⾮非退化臨界点とする．このとき の周りの座標系の周りの座標系p0 (X, Y ) ff は次のいずれかの形で記述できるは次のいずれかの形で記述できる:: を上⼿手くとることでを上⼿手くとることで 1) f = +X + Y + c2 2 2) f = +X − Y + c2 2 3) f = −X − Y + c2 2
- 37. def(index) ((⾮非退化臨界点の指数⾮非退化臨界点の指数)) =(=(先の局所座標表⽰示によるマイナス係数の個数先の局所座標表⽰示によるマイナス係数の個数)) f = x + y + c ⇒ 02 2 f = x − y + c ⇒ 12 2 f = −x − y + c ⇒ 22 2
- 38. ((証明のスケッチ証明のスケッチ)) 1.1. 平⾏行移動平⾏行移動 ++ 定数を加えて臨界点を原点にもっていく定数を加えて臨界点を原点にもっていく 2.2. 次の多変数微積分から得られる公式を使う：次の多変数微積分から得られる公式を使う： f(0, 0) = 0 ⇒ ∃g, h s.t. f(x, y) = xg(x, y) + yh(x, y) 3. (0,0)3. (0,0) が臨界点なのでが臨界点なので g(0, 0) = h(0, 0) = 0
- 39. ((続続)) 4.4. g, hg, h に対して，上の公式を使うとに対して，上の公式を使うと g = xh (x, y) + yh (xy)1,1 1,2 h = xh (x, y) + yh (x, y)2,1 2,2 これを，これを， ff に代⼊入してに代⼊入して f = x H + 2xyH + y H2 1,1 1,2 2 2,2 5. Hesse5. Hesse ⾏行列計算すると⾏行列計算すると...... H (0, 0) =f ( 2H1,1 2H1,2 2H1,2 2H2,2 ) ٩٩( ''ω'' )( ''ω'' )وو 頑張れ頑張れ
- 40. ((続続)) 6.6. xx に関して平⽅方完成に関して平⽅方完成⇒⇒ XX と置くと置く f = ±X + y2 H1,1 H H −2H1,1 2,2 1,2 2 (*)(*) ⾮非退化と⾮非退化とHesseHesse ⾏行列の計算から⾏行列の計算から yy の係数の係数≠≠００ 7.7. ((結論結論))yy の係数の符号に応じての係数の符号に応じて f = ±X ± Y2 2 と書けると書ける 必要なら，必要なら，X, YX, Y の⼊入れ替えを⾏行えばおｋの⼊入れ替えを⾏行えばおｋ ■■ H ≠ 01,1 を仮定してもよいことを⽰示してからを仮定してもよいことを⽰示してから
- 47. 曲⾯面上の関数の臨界点曲⾯面上の関数の臨界点//退化性は局所座標で考える退化性は局所座標で考える i.e.i.e. f : M → R の臨界点の臨界点 pp が⾮非退化が⾮非退化 (p) = 0, (p) = 0∂x ∂f ∂y ∂f ⇔ (x,y)(x,y) をを pp の周りの局所座標系とするとの周りの局所座標系とすると 退化も同様．退化も同様． i.e.i.e. f : M → R ⇔ pp の周りの局所座標系を取った時のの周りの局所座標系を取った時の HesseHesse ⾏行列⾏行列 H (p)f が正則⾏行列が正則⾏行列
- 48. lem : 閉曲⾯面上の閉曲⾯面上の MorseMorse 関数の臨界点は⾼高々有限関数の臨界点は⾼高々有限 f : M → R がが MorseMorse 関数関数 ⇔⇔ 全ての臨界点が⾮非退化全ての臨界点が⾮非退化 def : recall:recall: MM がコンパクトからがコンパクトから ff は最⼤大値は最⼤大値//最⼩小値を持つ最⼩小値を持つ
- 49. ex)S = (x, y, z) ∈R ∣x + y + z = 12 { 3 2 2 2 } (0, 0, ±1) 上の⾼高さ関数上の⾼高さ関数 :: h(x, y, z) = z LagrangeLagrange の未定乗数法から臨界点はの未定乗数法から臨界点は とわかるとわかる 臨界点周りの座標系を標準の臨界点周りの座標系を標準の (x, y)(x, y) で⼊入れるとで⼊入れると H (0, 0, ±1) =h ( ∓1 0 0 ∓1 ) より，より，hh はは MorseMorse 関数関数
- 50. 補⾜足補⾜足((上の逆上の逆 version)version) Thm 閉曲⾯面閉曲⾯面 MM 上に臨界点が上に臨界点が 22 つだけのつだけの MorseMorse 関数が存在関数が存在 ⇒⇒ MM はは 球⾯面と微分同相球⾯面と微分同相 ** 同相は任意の次元で成⽴立するが，同相は任意の次元で成⽴立するが， 77次元以上では微分同相とは限らない次元以上では微分同相とは限らない(7(7 次元球⾯面上の次元球⾯面上の 2828 個の微分構造個の微分構造))
- 55. f : M → R 閉曲⾯面上の閉曲⾯面上の MorseMorse 関数に対し関数に対し def M := p ∈ M∣f(p) ≤ tt { } L := p ∈ M∣f(p) = tt { } 観察：観察： 1.1. MtMt はは tt に関して単調に増⼤大に関して単調に増⼤大 2.2. ff は最⼤大は最⼤大//最⼩小を持つ最⼩小を持つ ⇒ M = ϕ, M = M−∞ ∞
- 57. 何故か？？何故か？？
- 60. 補⾜足：上向きベクトル場補⾜足：上向きベクトル場 def(gradient like vector field) XX ががMorseMorse 関数関数 ff に適合したに適合した gradient-likegradient-likeベクトル場ベクトル場 ⇔ 1) 2) (X ⋅ f)(p) > 0, p : noncritical p : critical pt with index λ X = −2x − ... − 2x1 ∂x1 ∂ λ ∂xλ ∂ + 2x + ... + 2xλ+1 ∂xλ+1 ∂ m ∂xm ∂ ff に対するに対する morsemorse の補題を満たす座標系をとるとの補題を満たす座標系をとると 補題補題: f: f に適合した上向きベクトル場は存在するに適合した上向きベクトル場は存在する
- 61. def : がが ff の臨界値の臨界値c ∈ R0 ⇔ ∃p ∈ M : critial s.t. f(p) = c0 lemma : 閉区間閉区間 [b, c][b, c] の中にの中に ff の臨界値がないの臨界値がない ⇒ M ≅ M (diffeo)b c
- 62. c:c: 臨界値に対し，臨界値に対し，cc を通るときの変化を⾒見るを通るときの変化を⾒見る i.e.i.e. M = p ∈ M∣c − ϵ ≤ f(p) ≤ c + ϵ[c−ϵ,c+ϵ] { } の変化を追うの変化を追う
- 63. a)a) 指数が指数が 00 のときのとき M ≅ M Dc+ϵ c−ϵ ∐ 2
- 64. c)c) 指数が指数が 22 のときのとき M ≅ M ∪ Dc+ϵ c−ϵ ∂D2 2
- 65. b)b) 指数が指数が 11 のときのとき 簡単のため, c=0 とする Morse の補題から p の周りで f(x, y) = x − y2 2 臨界点周りで等⾼高線が動いていく(hyperbolic)
- 66. M ≅ M ∪ D × Dϵ −ϵ ∂D ×D1 1 1 1
- 67. a)a) 指数が指数が 00 のときのとき M ≅ M Dc+ϵ c−ϵ ∐ 2 b)b) 指数が指数が 11 のときのとき M ≅ M ∪ D × Dϵ −ϵ ∂D ×D1 1 1 1 c)c) 指数が指数が 22 のときのとき M ≅ M ∪ Dc+ϵ c−ϵ ∂D2 2 それぞれ，取り付けたパーツをそれぞれ，取り付けたパーツを λ-handleλ-handle というという
- 68. まとめまとめ 臨界値を通るたびに，臨界値を通るたびに， 曲⾯面に曲⾯面に((臨界点の指数に応じた臨界点の指数に応じた) handle) handle がつけ加わるがつけ加わる ThmThm((ハンドル分解ハンドル分解)) 閉曲⾯面は有限個の閉曲⾯面は有限個の handlehandle の和で表すことができるの和で表すことができる
- 69. 補⾜足：補⾜足： handlehandle 分解のテクニックを⽤用いて，分解のテクニックを⽤用いて， SmaleSmale は５は５ 次元次元 以上の以上の PoincaréPoincaré 予想を解いた予想を解いた(1960)(1960) The generalized Poincaré conjecture in higherThe generalized Poincaré conjecture in higher dimensionsdimensions
- 73. セル複体セル複体 def(cell)def(cell) = z ∈R ∣∥z∥ ≤ 1ei { i } e = − ∂i ei ei :: i-i-セルセル 低次元セルに⾼高次元セルを境界で張り付けることで低次元セルに⾼高次元セルを境界で張り付けることで セル複体が定まるセル複体が定まる 具体的には次のように帰納的に定義する具体的には次のように帰納的に定義する
- 74. 0-dim)0-dim) X =0 ∐λ e0 λ の形のものがの形のものが 00 次元セル複次元セル複 体体induction)induction) (i-1)-(i-1)-次元以下のセル複体次元以下のセル複体 h : ∂ → Yi ∐λ ei λ Xi−1 を使ってを使ってi-i-セルを張り付けるセルを張り付ける i.e.i.e. X := X ∪ □i i−1 hi ∐λ ei λ が定義されていると仮定が定義されていると仮定 ((接着写像接着写像))
- 75. 例例)) 球⾯面球⾯面 S2 S = ∪ , h : ∂D = S → ∗2 e0 he2 2 1 円盤を境界で潰すことで得られる 例例)) トーラストーラス T2 T = e ∪ e ∪ e ∪ e2 0 m 1 l 1 2 m, l はそれぞれ meidian と longitude を表す
- 78. 写像写像中中柱柱(mapping cylinder)(mapping cylinder) f : X → Y : continuous に対し，写像柱を次で与えるに対し，写像柱を次で与える M := Y ∪ X × If f ただしただし X × I ⊃ X × 0 ≅ X → Y (x, 0) ≅ x ↦ f(x)
- 79. イメージ図イメージ図 M ∼ Yf h.e.
- 80. homotopyhomotopy f, g : X → Y がが homotopichomotopic とは，とは， ff をを gg にに""連続的に連続的に""変形させることができること変形させることができること i.e.i.e. ∃ϕ : X × I → Y : continuous s.t. ϕ = f, ϕ = g0 1 f : X → Y : continuous がが homotopyhomotopy 同値同値 ∃g : Y → X s.t. g ∘ f ∼ idX f ∘ g ∼ idY
- 81. 例例)) 可縮な空間可縮な空間 D ∼ pt, R ∼ ptm n 例例)) S ∼ R ∖ 0 ≁ pt1 2 { }
- 83. N:N: 最⼤大の指数が最⼤大の指数が ll のハンドル体のハンドル体 このときこのとき Thm : NN は次を満たすは次を満たす ll 次元セル複体次元セル複体XXとホモトピー同値とホモトピー同値 i) ∃h : ∂N → X s.t. N ≅ Mhomeo h ii) i − handle ↔ i − cell1:1
- 84. ((証明はしないけどアイデア証明はしないけどアイデア)) M ≅ M ∪ D × Dc +ϵ0 c −ϵ0 ∂D ×Da b a b ハンドル分解の途中の式ハンドル分解の途中の式( a-( a-ハンドルを張り付けるハンドルを張り付ける)) D × 0a { } :: ⼼心棒⼼心棒 にに D × Da b : handle: handle を潰すを潰す :: 円盤は可縮なので，これは円盤は可縮なので，これは homotopyhomotopy 同値同値Db (*) remark: handle 1 個でうまくいっても同時に上⼿手くつぶせるとは限らない そのためちょっと議論が必要(詳細略)
- 85. homotopyhomotopy 不変量不変量((特に特に [co]homology)[co]homology) をを ハンドル分解を⽤用いて計算できる！！ハンドル分解を⽤用いて計算できる！！
- 86. 例えば例えば…… c :i ii 次の臨界点の個数次の臨界点の個数 (= i(= i 時の時の handlehandle の個数の個数)) χ(M) : euler characterinstic とするととすると χ(M) = (−1) c∑ i i
- 87. 補⾜足：補⾜足：morsemorse 不等式不等式 b :i ii 次次 butchibutchi bettibetti 数数 に対し b ≤ ci i (−1) b ≤ (−1) c∑i=0 d i d−i ∑i=0 d i d−i 1.1. 弱形弱形 2.2. 強形強形
- 89. 時間の都合で割愛時間の都合で割愛