関西大学総合情報学部・応用数学（解析）（担当・浅野晃） http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/AMA/

1. 浅野 晃
関西大学総合情報学部
2022年度秋学期 応用数学（解析）
第３部・微分方程式に関する話題 生存時間分布と半減期
第１０回

2. 2

3. 2
今日は，「寿命」を扱う微分方程式🤔🤔

4. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命は「確率変数」
3
人間の寿命は，各個人によってばらばら
機械の寿命も，同じ型でも個体によってばらばら

5. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命は「確率変数」
3
人間の寿命は，各個人によってばらばら
機械の寿命も，同じ型でも個体によってばらばら
その理由は「偶然」

6. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命は「確率変数」
3
人間の寿命は，各個人によってばらばら
機械の寿命も，同じ型でも個体によってばらばら
その理由は「偶然」
寿命は［確率変数］であるという

7. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命は「確率変数」
3
人間の寿命は，各個人によってばらばら
機械の寿命も，同じ型でも個体によってばらばら
その理由は「偶然」
寿命は［確率変数］であるという
寿命がいくらである確率がどのくらいであるかを
表すのが［確率分布］

8. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命の確率分布を考える
4
寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)

9. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命の確率分布を考える
4
寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率

10. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命の確率分布を考える
4
寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率

11. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命の確率分布を考える
4
寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率

12. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命の確率分布を考える
4
寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率

13. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命の確率分布を考える
4
寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率
単位時間
あたり

14. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命の確率分布を考える
4
寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率
単位時間
あたり

15. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命の確率分布を考える
4
寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率
単位時間
あたり
次の瞬間

16. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命の確率分布を考える
4
寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率
単位時間
あたり
次の瞬間
l(t) は
時刻tまで生存している人が
次の瞬間に死ぬ危険の度合

17. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
寿命の確率分布を考える
4
寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率
単位時間
あたり
次の瞬間
l(t) は
時刻tまで生存している人が
次の瞬間に死ぬ危険の度合
［ハザード関数］

18. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
累積分布関数と「生存関数」
5
確率変数 T に対して ［累積分布関数］
F(t) = P(T ≤ t)

19. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
累積分布関数と「生存関数」
5
確率変数 T に対して ［累積分布関数］
F(t) = P(T ≤ t)
この場合，寿命が t 以下である確率

20. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
累積分布関数と「生存関数」
5
確率変数 T に対して ［累積分布関数］
F(t) = P(T ≤ t)
この場合，寿命が t 以下である確率
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t) ［生存関数］

21. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
累積分布関数と「生存関数」
5
時刻 t の時点でまだ生きている確率
確率変数 T に対して ［累積分布関数］
F(t) = P(T ≤ t)
この場合，寿命が t 以下である確率
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t) ［生存関数］

22. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
累積分布関数と「生存関数」
5
時刻 t の時点でまだ生きている確率
ハザード関数は「瞬間瞬間の死亡の危険」
確率変数 T に対して ［累積分布関数］
F(t) = P(T ≤ t)
この場合，寿命が t 以下である確率
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t) ［生存関数］

23. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
累積分布関数と「生存関数」
5
時刻 t の時点でまだ生きている確率
ハザード関数は「瞬間瞬間の死亡の危険」
確率変数 T に対して ［累積分布関数］
F(t) = P(T ≤ t)
この場合，寿命が t 以下である確率
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t) ［生存関数］
生存関数は，ある時間がたったとき，まだ生きている確率

24. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
（ところで）累積分布関数と確率密度関数
6
ヒストグラム 柱の面積が確率を表す
t
グレーの部分の面積 P(T ≤ t)
t
連続型になると
グレーの部分の面積 = P(T ≤ t)
ヒストグラム（だったもの）の「へり」
［確率密度関数］ f(t)
［累積分布関数］ F(t)

25. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
（ところで）累積分布関数と確率密度関数
6
ヒストグラム 柱の面積が確率を表す
t
グレーの部分の面積 P(T ≤ t)
t
連続型になると
グレーの部分の面積 = P(T ≤ t)
ヒストグラム（だったもの）の「へり」
［確率密度関数］ f(t)
［累積分布関数］ F(t)
t t + Δt

26. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
（ところで）累積分布関数と確率密度関数
6
ヒストグラム 柱の面積が確率を表す
t
グレーの部分の面積 P(T ≤ t)
t
連続型になると
グレーの部分の面積 = P(T ≤ t)
ヒストグラム（だったもの）の「へり」
［確率密度関数］ f(t)
［累積分布関数］ F(t)
t t + Δt
青い部分 の面積 = P(t ≤ T ≤ t + Δt) = F(t + Δt) − F(t)

27. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
（ところで）累積分布関数と確率密度関数
6
ヒストグラム 柱の面積が確率を表す
t
グレーの部分の面積 P(T ≤ t)
t
連続型になると
グレーの部分の面積 = P(T ≤ t)
ヒストグラム（だったもの）の「へり」
［確率密度関数］ f(t)
［累積分布関数］ F(t)
t t + Δt
青い部分 の面積 = P(t ≤ T ≤ t + Δt) = F(t + Δt) − F(t)
青い部分 の高さ =
F(t + Δt) − F(t)
Δt

28. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
（ところで）累積分布関数と確率密度関数
6
ヒストグラム 柱の面積が確率を表す
t
グレーの部分の面積 P(T ≤ t)
t
連続型になると
グレーの部分の面積 = P(T ≤ t)
ヒストグラム（だったもの）の「へり」
［確率密度関数］ f(t)
［累積分布関数］ F(t)
t t + Δt
青い部分 の面積 = P(t ≤ T ≤ t + Δt) = F(t + Δt) − F(t)
青い部分 の高さ =
F(t + Δt) − F(t)
Δt
その の極限
Δt → 0 lim
Δt→0
F(t + Δt) − F(t)
Δt
= F′(t)

29. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
（ところで）累積分布関数と確率密度関数
6
ヒストグラム 柱の面積が確率を表す
t
グレーの部分の面積 P(T ≤ t)
t
連続型になると
グレーの部分の面積 = P(T ≤ t)
ヒストグラム（だったもの）の「へり」
［確率密度関数］ f(t)
［累積分布関数］ F(t)
t t + Δt
青い部分 の面積 = P(t ≤ T ≤ t + Δt) = F(t + Δt) − F(t)
青い部分 の高さ =
F(t + Δt) − F(t)
Δt
その の極限
Δt → 0 lim
Δt→0
F(t + Δt) − F(t)
Δt
= F′(t)
すなわち f(t) = F′(t)

30. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

31. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

32. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
（条件付確率の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

33. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
（条件付確率の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

34. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
（条件付確率の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

35. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
（条件付確率の定義）
含まれる
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

36. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
（条件付確率の定義）
含まれる
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

37. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
（条件付確率の定義）
含まれる
F(t) = P(T ≤ t)
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

38. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
（条件付確率の定義）
含まれる
F(t) = P(T ≤ t)
（累積分布関数の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

39. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
（条件付確率の定義）
含まれる
F(t) = P(T ≤ t)
（累積分布関数の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

40. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
（条件付確率の定義）
含まれる
F(t) = P(T ≤ t)
（累積分布関数の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

41. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
（条件付確率の定義）
含まれる
F(t) = P(T ≤ t)
（累積分布関数の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

42. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
（条件付確率の定義）
含まれる
F(t) = P(T ≤ t)
（累積分布関数の定義）
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

43. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
7
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
（条件付確率の定義）
含まれる
F(t) = P(T ≤ t)
（累積分布関数の定義）
=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

44. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
8
=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
l(t)

45. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
8
=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
l(t)

46. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
8
（微分の定義）
=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
l(t)

47. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
8
（微分の定義）
=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
l(t)
( )
=
1
P(T > t)
F
(t)

48. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
8
（微分の定義）
=
1
P(T t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
l(t)
( )
=
1
P(T t)
F
(t)
（確率密度関数）
f(t) = F(t)

49. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
8
（微分の定義）
=
1
P(T t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
l(t)
( )
=
1
P(T t)
F
(t)
（確率密度関数）
f(t) = F(t)
=
f(t)
S(t)
l(t)

50. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
8
（微分の定義）
=
1
P(T t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
l(t)
( )
=
1
P(T t)
F
(t)
（確率密度関数）
f(t) = F(t)
=
f(t)
S(t)
l(t)

51. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
8
（微分の定義）
=
1
P(T t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
l(t)
( )
=
1
P(T t)
F
(t)
（確率密度関数）
f(t) = F(t)
=
f(t)
S(t)
l(t) S(t) = P(T t)

52. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
8
（微分の定義）
（生存関数の定義）
=
1
P(T t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
l(t)
( )
=
1
P(T t)
F
(t)
（確率密度関数）
f(t) = F(t)
=
f(t)
S(t)
l(t) S(t) = P(T t)

53. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
8
（微分の定義）
（生存関数の定義）
=
1
P(T t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
l(t)
( )
=
1
P(T t)
F
(t)
（確率密度関数）
f(t) = F(t)
=
f(t)
S(t)
l(t) S(t) = P(T t)

54. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
8
（微分の定義）
（生存関数の定義）
=
1
P(T t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
l(t)
( )
=
1
P(T t)
F
(t)
（確率密度関数）
f(t) = F(t)
=
f(t)
S(t)
l(t) S(t) = P(T t)
S
(t) = (1 − F(t))
= −F
(t) = −f(t)

55. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
8
（微分の定義）
（生存関数の定義）
=
1
P(T t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
l(t)
( )
=
1
P(T t)
F
(t)
（確率密度関数）
f(t) = F(t)
=
f(t)
S(t)
l(t) S(t) = P(T t)
S
(t) = (1 − F(t))
= −F
(t) = −f(t)

56. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
生存関数とハザード関数
8
（微分の定義）
（生存関数の定義）
=
1
P(T t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
l(t)
( )
=
1
P(T t)
F
(t)
（確率密度関数）
f(t) = F(t)
=
f(t)
S(t)
l(t) S(t) = P(T t)
S
(t) = (1 − F(t))
= −F
(t) = −f(t)
以上から l(t) = −
S(t)
S(t)
という微分方程式が得られる

57. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
微分方程式を解く
9
l(t) = −
S(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))

58. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
微分方程式を解く
9
l(t) = −
S(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
（両辺を積分）

59. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
微分方程式を解く
9
l(t) = −
S(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
（両辺を積分）
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C

60. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
微分方程式を解く
9
l(t) = −
S(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
（両辺を積分）
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C
時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１
つまり S(0) = 1

61. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
微分方程式を解く
9
l(t) = −
S(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
（両辺を積分）
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C
時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから

62. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
微分方程式を解く
9
l(t) = −
S(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
（両辺を積分）
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C
時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0

63. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
微分方程式を解く
9
l(t) = −
S(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
（両辺を積分）
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C
時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0

64. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
微分方程式を解く
9
l(t) = −
S(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
（両辺を積分）
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C
時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0

65. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
微分方程式を解く
9
l(t) = −
S(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
（両辺を積分）
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C
時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0
1

66. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
微分方程式を解く
9
l(t) = −
S(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
（両辺を積分）
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C
時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0
1
0

67. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
微分方程式を解く
9
l(t) = −
S(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
（両辺を積分）
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C
時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0
1
0
C = 0

68. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
微分方程式を解く
9
l(t) = −
S(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
（両辺を積分）
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C
よって という解が得られる
S(t) = exp
−
t
0
l(u)du
時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0
1
0
C = 0

69. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
微分方程式を解く
9
l(t) = −
S(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
（両辺を積分）
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C
よって という解が得られる
S(t) = exp
−
t
0
l(u)du
時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0
1
0
C = 0
ハザード関数と生存関数の関係

70. 10

71. 10
ワイブル分布と指数分布📈📈

72. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布
11
ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1
と仮定する

73. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布
11
ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1
と仮定する
S(t) = exp
−
t
0
l(u)du
に代入

74. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布
11
ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1
と仮定する
S(t) = exp
−
t
0
l(u)du
に代入
S(t) = exp
−
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp
− [(λu)p
]u=t
u=0
= exp (−(λt)p
)

75. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布
11
ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1
と仮定する
S(t) = exp
−
t
0
l(u)du
に代入
S(t) = exp
−
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp
− [(λu)p
]u=t
u=0
= exp (−(λt)p
)

76. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布
11
ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1
と仮定する
S(t) = exp
−
t
0
l(u)du
に代入
S(t) = exp
−
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp
− [(λu)p
]u=t
u=0
= exp (−(λt)p
)
微積分の関係

77. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布
11
ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1
と仮定する
S(t) = exp
−
t
0
l(u)du
に代入
S(t) = exp
−
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp
− [(λu)p
]u=t
u=0
= exp (−(λt)p
)
微積分の関係
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)

78. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布
11
この形の累積分布関数をもつ確率分布を［ワイブル分布］とよぶ
ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1
と仮定する
S(t) = exp
−
t
0
l(u)du
に代入
S(t) = exp
−
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp
− [(λu)p
]u=t
u=0
= exp (−(λt)p
)
微積分の関係
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)

79. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1

80. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1
λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる

81. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1
λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる
死亡・故障する危険が
どの時刻でも大きくなる

82. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1
λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる
死亡・故障する危険が
どの時刻でも大きくなる
p 1 のときは，

83. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1
λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる
死亡・故障する危険が
どの時刻でも大きくなる
p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が正

84. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1
λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる
死亡・故障する危険が
どの時刻でも大きくなる
p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が正

85. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1
λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる
死亡・故障する危険が
どの時刻でも大きくなる
p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が正
時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる

86. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1
λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる
死亡・故障する危険が
どの時刻でも大きくなる
p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が正
時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる

87. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1
λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる
死亡・故障する危険が
どの時刻でも大きくなる
p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が正
時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる ［摩耗故障］

88. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1
λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる
死亡・故障する危険が
どの時刻でも大きくなる
p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が正
時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる ［摩耗故障］
0 p 1 のときは，

89. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1
λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる
死亡・故障する危険が
どの時刻でも大きくなる
p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が正
時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる ［摩耗故障］
0 p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が負

90. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1
λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる
死亡・故障する危険が
どの時刻でも大きくなる
p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が正
時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる ［摩耗故障］
0 p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が負
時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が小さくなる

91. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1
λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる
死亡・故障する危険が
どの時刻でも大きくなる
p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が正
時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる ［摩耗故障］
0 p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が負
時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が小さくなる

92. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
12
パラメータは λ と p
l(t) = λp(λt)p−1
λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる
死亡・故障する危険が
どの時刻でも大きくなる
p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が正
時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる ［摩耗故障］
0 p 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1
の指数が負
時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が小さくなる ［初期故障］

93. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブル分布のパラメータ
13
t
F(t)
F(t) = 1 – e–t4
F(t) = 1 – e–t2
経過時間
累積分布関数
（ある時刻までに死亡・
故障したものの割合）
p = 2 の場合と p = 4 の場合
どちらも摩耗故障（時間につれて故障しやすくなる）
p = 4 のほうが，急激に故障が増える

94. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブルプロット
14
実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い，
ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する

95. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブルプロット
14
実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い，
ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する
S(t) = exp (−(λt)p
) より
1
S(t)
= exp ((λt)p
)

96. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブルプロット
14
実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い，
ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する
S(t) = exp (−(λt)p
) より
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log
log
1
S(t)
= log {log (exp ((λt)p
))}
両辺の対数を２回とる

97. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブルプロット
14
実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い，
ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する
S(t) = exp (−(λt)p
) より
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log
log
1
S(t)
= log {log (exp ((λt)p
))}
両辺の対数を２回とる
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)

98. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブルプロット
14
実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い，
ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する
S(t) = exp (−(λt)p
) より
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log
log
1
S(t)
= log {log (exp ((λt)p
))}
両辺の対数を２回とる
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
Y

99. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブルプロット
14
実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い，
ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する
S(t) = exp (−(λt)p
) より
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log
log
1
S(t)
= log {log (exp ((λt)p
))}
両辺の対数を２回とる
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
Y
X

100. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブルプロット
14
実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い，
ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する
S(t) = exp (−(λt)p
) より
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log
log
1
S(t)
= log {log (exp ((λt)p
))}
両辺の対数を２回とる
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
Y
X
Y = p(X + log λ)

101. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
ワイブルプロット
14
実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い，
ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する
S(t) = exp (−(λt)p
) より
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log
log
1
S(t)
= log {log (exp ((λt)p
))}
両辺の対数を２回とる
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
Y
X
Y = p(X + log λ)
時刻を上の X ，その時刻での生存割合を上の Y に変換してプロット
→並びを近似する直線の傾きが p

102. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
指数分布
15
で p = 1 の場合
l(t) = λp(λt)p−1

103. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
指数分布
15
で p = 1 の場合
l(t) = λp(λt)p−1
ハザード関数は l(t) = λ

104. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
指数分布
15
で p = 1 の場合
l(t) = λp(λt)p−1
死亡・故障する危険が時刻によらず一定
ハザード関数は l(t) = λ

105. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
指数分布
15
で p = 1 の場合
l(t) = λp(λt)p−1
死亡・故障する危険が時刻によらず一定
［偶発故障］
ハザード関数は l(t) = λ

106. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
指数分布
15
で p = 1 の場合
l(t) = λp(λt)p−1
死亡・故障する危険が時刻によらず一定
［偶発故障］
ハザード関数は l(t) = λ
累積分布関数は F(t) = 1 − e−λt
S(t) = e−λt
生存関数は

107. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
指数分布
15
で p = 1 の場合
l(t) = λp(λt)p−1
死亡・故障する危険が時刻によらず一定
［偶発故障］
ハザード関数は l(t) = λ
［指数分布］
累積分布関数は F(t) = 1 − e−λt
S(t) = e−λt
生存関数は

108. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
指数分布
15
で p = 1 の場合
l(t) = λp(λt)p−1
死亡・故障する危険が時刻によらず一定
［偶発故障］
ハザード関数は l(t) = λ
［指数分布］
累積分布関数は F(t) = 1 − e−λt
S(t) = e−λt
生存関数は
放射性原子核は，どの時刻においても，その時点で
存在する核のうち一定の割合が崩壊する

109. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
指数分布
15
で p = 1 の場合
l(t) = λp(λt)p−1
死亡・故障する危険が時刻によらず一定
［偶発故障］
ハザード関数は l(t) = λ
［指数分布］
累積分布関数は F(t) = 1 − e−λt
S(t) = e−λt
生存関数は
放射性原子核は，どの時刻においても，その時点で
存在する核のうち一定の割合が崩壊する
ハザード関数が一定で，指数分布にしたがう

110. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
半減期
16
ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は，
どの時刻でも一定

111. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
半減期
16
ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は，
どの時刻でも一定
時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする
t t′

112. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
半減期
16
ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は，
どの時刻でも一定
時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする
t t′
S(t
) =
1
2
S(t)

113. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
半減期
16
ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は，
どの時刻でも一定
指数分布の生存関数
時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする
t t′
S(t
) =
1
2
S(t)
S(t) = e−λt

114. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
半減期
16
ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は，
どの時刻でも一定
指数分布の生存関数
時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする
t t′
S(t
) =
1
2
S(t)
S(t) = e−λt

115. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
半減期
16
ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は，
どの時刻でも一定
指数分布の生存関数
時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする
t t′
S(t
) =
1
2
S(t)
S(t) = e−λt
e−λt
=
1
2
e−λt

116. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
半減期
16
ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は，
どの時刻でも一定
指数分布の生存関数
時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする
t t′
S(t
) =
1
2
S(t)
S(t) = e−λt
e−λt
=
1
2
e−λt
対数をとる

117. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
半減期
16
ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は，
どの時刻でも一定
指数分布の生存関数
時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする
t t′
S(t
) =
1
2
S(t)
S(t) = e−λt
e−λt
=
1
2
e−λt
−λt
= − log 2 − λt
t
− t =
log 2
λ
対数をとる

118. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
半減期
16
ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は，
どの時刻でも一定
原子核の数が半分になるまでの時間
指数分布の生存関数
時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする
t t′
S(t
) =
1
2
S(t)
S(t) = e−λt
e−λt
=
1
2
e−λt
−λt
= − log 2 − λt
t
− t =
log 2
λ
対数をとる

119. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
半減期
16
ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は，
どの時刻でも一定
原子核の数が半分になるまでの時間
指数分布の生存関数
時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする
t t′
S(t
) =
1
2
S(t)
S(t) = e−λt
e−λt
=
1
2
e−λt
−λt
= − log 2 − λt
t
− t =
log 2
λ
対数をとる
t によらず一定

120. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
半減期
16
ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は，
どの時刻でも一定
原子核の数が半分になるまでの時間
指数分布の生存関数
時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする
t t′
S(t
) =
1
2
S(t)
S(t) = e−λt
e−λt
=
1
2
e−λt
−λt
= − log 2 − λt
t
− t =
log 2
λ
対数をとる
t によらず一定 ［半減期］

121. 17
2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
今日のまとめ
17
集団中の個体の数が
死亡・故障によって減少して行く この現象を表す
微分方程式
解に仮定を持ち込むことで，
ワイブル分布，指数分布といった
「死亡・故障による現象のモデル」が導かれる