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2022年度秋学期　画像情報処理　第11回　逆投影法による再構成 (2022. 12. 9)

関西大学総合情報学部　画像情報処理（担当・浅野晃） http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/IPPR/ 【第11回資料】 テキスト http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/IPPR/2022a_ippr11.pdf ハンドアウト http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/IPPR/2022a_ippr11_slide_hor.pdf 講義動画 https://youtu.be/6xVVlRK5jwc

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2022年度秋学期 画像情報処理 浅野 晃 関西大学総合情報学部 逆投影法による再構成 第11回
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2 投影切断面定理の復習
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 「断面」がすべてそろえば，２次元逆フーリエ変換で２次元関数が再構成できる
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない →補間を行う
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 5 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 周波数空間の誤差は，画像全体にひろがる アーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標 コンピュータの能力が低かった時代は 精密な計算が難しかった →さてどうした？
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6 逆投影法💡💡
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 x y f(x, y)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて合計してみれば？
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて合計してみれば？ どの線積分にも f(x, y) は含まれているのだから， 合計したら f(x, y) が強調される？
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 復元できているのか？ f(x, y) とどれほど違うのだろうか？
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 逆投影
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h(θk)| δ[θ − θk]
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h(θk)| δ[θ − θk] (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y−y √ (x−x)2+(y−y)2 = sin−1 x−x √ (x−x)2+(y−y)2 三角関数を合成
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h(θk)| δ[θ − θk] (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y−y √ (x−x)2+(y−y)2 = sin−1 x−x √ (x−x)2+(y−y)2 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h(θk)| δ[θ − θk] (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y−y √ (x−x)2+(y−y)2 = sin−1 x−x √ (x−x)2+(y−y)2 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) よって
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) よって コンヴォリューションになっている
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)]
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 周波数0の成分は
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 全体の平均が0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 全体の平均が0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 全体の平均が0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 全体の平均が0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる 全体の平均が0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 全体の平均が0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 全体の平均が0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 全体の平均が0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず 全体の平均が0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも fx = fy = 0 で発散している 全体の平均が0
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元 ２次元逆フーリエ変換
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy 復元 ２次元逆フーリエ変換
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ dfx dfy 正方座標の微小面積
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 投影切断面定理より dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影切断面定理より dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ s = x cos θ + y sin θ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ とおくと，
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ĝ(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと，
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ĝ(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと， 投影を，「周波数空間で |ξ| 倍するフィルタ」を適用してから，逆投影
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ĝ(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 最初からこれを定義しておけば，フーリエ変換の必要はない コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ĝ(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 最初からこれを定義しておけば，フーリエ変換の必要はない コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ĝ(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション 極座標→直交座標の変換は実空間で行うので， 誤差が画面全体に拡散することはない
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c)
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ|
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19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 高い周波数成分を増幅すると ノイズを強調してしまうので，抑える
19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 高い周波数成分を増幅すると ノイズを強調してしまうので，抑える ※現代のCTスキャナでは， 初期状態の物体から計算で投影を求める→実際の投影と比較して，物体を修正する という操作を繰り返すことで，実際の物体に近づけていく，という方法（逐次近似法）も 用いられています

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  • 5.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
  • 6.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
  • 7.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
  • 8.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
  • 9.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 「断面」がすべてそろえば，２次元逆フーリエ変換で２次元関数が再構成できる
  • 10.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
  • 11.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy
  • 12.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
  • 13.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
  • 14.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
  • 15.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
  • 16.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
  • 17.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない
  • 18.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない →補間を行う
  • 19.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 5 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 周波数空間の誤差は，画像全体にひろがる アーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標 コンピュータの能力が低かった時代は 精密な計算が難しかった →さてどうした？
  • 20.
  • 21.
  • 22.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 x y f(x, y)
  • 23.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
  • 24.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
  • 25.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
  • 26.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
  • 27.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて合計してみれば？
  • 28.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて合計してみれば？ どの線積分にも f(x, y) は含まれているのだから， 合計したら f(x, y) が強調される？
  • 29.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
  • 30.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
  • 31.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では
  • 32.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0
  • 33.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり
  • 34.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は
  • 35.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
  • 36.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
  • 37.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
  • 38.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
  • 39.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 復元できているのか？ f(x, y) とどれほど違うのだろうか？
  • 40.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 逆投影
  • 41.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
  • 42.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
  • 43.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
  • 44.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
  • 45.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
  • 46.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
  • 47.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
  • 48.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
  • 49.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
  • 50.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
  • 51.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
  • 52.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h(θk)| δ[θ − θk]
  • 53.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h(θk)| δ[θ − θk] (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y−y √ (x−x)2+(y−y)2 = sin−1 x−x √ (x−x)2+(y−y)2 三角関数を合成
  • 54.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h(θk)| δ[θ − θk] (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y−y √ (x−x)2+(y−y)2 = sin−1 x−x √ (x−x)2+(y−y)2 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
  • 55.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h(θk)| δ[θ − θk] (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y−y √ (x−x)2+(y−y)2 = sin−1 x−x √ (x−x)2+(y−y)2 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
  • 56.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
  • 57.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
  • 58.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
  • 59.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
  • 60.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
  • 61.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) よって
  • 62.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) よって コンヴォリューションになっている
  • 63.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
  • 64.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
  • 65.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2
  • 66.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
  • 67.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
  • 68.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)]
  • 69.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0
  • 70.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 周波数0の成分は
  • 71.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は
  • 72.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は
  • 73.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 全体の平均が0
  • 74.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 全体の平均が0
  • 75.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 全体の平均が0
  • 76.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 全体の平均が0
  • 77.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる 全体の平均が0
  • 78.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 全体の平均が0
  • 79.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 全体の平均が0
  • 80.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 全体の平均が0
  • 81.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず 全体の平均が0
  • 82.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
  • 83.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
  • 84.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
  • 85.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも fx = fy = 0 で発散している 全体の平均が0
  • 86.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
  • 87.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元
  • 88.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元 ２次元逆フーリエ変換
  • 89.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy 復元 ２次元逆フーリエ変換
  • 90.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
  • 91.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
  • 92.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
  • 93.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
  • 94.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
  • 95.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
  • 96.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ dfx dfy 正方座標の微小面積
  • 97.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
  • 98.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
  • 99.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 投影切断面定理より dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
  • 100.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影切断面定理より dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
  • 101.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
  • 102.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
  • 103.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ
  • 104.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ
  • 105.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ
  • 106.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ s = x cos θ + y sin θ
  • 107.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
  • 108.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
  • 109.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
  • 110.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ)
  • 111.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ)
  • 112.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
  • 113.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ とおくと，
  • 114.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ĝ(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと，
  • 115.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ĝ(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと， 投影を，「周波数空間で |ξ| 倍するフィルタ」を適用してから，逆投影
  • 116.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
  • 117.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
  • 118.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍
  • 119.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
  • 120.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ĝ(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
  • 121.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 最初からこれを定義しておけば，フーリエ変換の必要はない コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ĝ(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
  • 122.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 最初からこれを定義しておけば，フーリエ変換の必要はない コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ĝ(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション 極座標→直交座標の変換は実空間で行うので， 誤差が画面全体に拡散することはない
  • 123.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c)
  • 124.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ|
  • 125.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax
  • 126.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax
  • 127.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 高い周波数成分を増幅すると ノイズを強調してしまうので，抑える
  • 128.
    19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 高い周波数成分を増幅すると ノイズを強調してしまうので，抑える ※現代のCTスキャナでは， 初期状態の物体から計算で投影を求める→実際の投影と比較して，物体を修正する という操作を繰り返すことで，実際の物体に近づけていく，という方法（逐次近似法）も 用いられています