2022年度秋学期　応用数学（解析）　第14回　測度論ダイジェスト(1) ルベーグ測度と完全加法性 (2023. 1. 12)

1. 浅野晃関西大学総合情報学部 2022年度秋学期応用数学（解析）第４部・「その先の解析学」への導入測度論ダイジェスト(1) ルベーグ測度と完全加法性第14回

3. 2 積分に対する疑問🤔🤔

4. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 3 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx

5. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 3 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p q

6. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 3 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p q a

7. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 3 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p q だから， a a f(x)dx = 0 a

8. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 3 aのところで幅0の直線を抜いても積分の値は変わらない積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p q だから， a a f(x)dx = 0 a

9. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0

10. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0 p q

11. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0 可算無限個の直線を抜いても p q

12. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても，びっしりと直線がならんでいる

13. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても，びっしりと直線がならんでいる積分の値は変わらないのか？

14. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃「数えられる」無限（再び） 5 自然数とは，数えるための数字 1, 2, 3, … 自然数の集合と同じ無限を「数えられる無限」すなわち［可算無限］というそして，「無限」その「個数」は［可算基数］ ℵ0（アレフゼロ）（よく「可算無限個」という）

15. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃「数えられる」無限（再び） 5 自然数とは，数えるための数字 1, 2, 3, … 自然数の集合と同じ無限を「数えられる無限」すなわち［可算無限］というそして，「無限」その「個数」は［可算基数］ ℵ0（アレフゼロ）（よく「可算無限個」という）？

16. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃どうやって数えるのか（再び） 6 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … この集合の［基数］（［濃度］）は［可算無限集合］という ℵ0 集合A = {a, b, c, …} 自然数過不足なく１対１対応がつく（［全単射］が存在する）なら

21. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃偶数の集合の濃度は（再び） 7 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数自然数１対１対応がつく（全単射が存在する） 2, 4, 6, …, 2n, …

26. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃偶数の集合の濃度は（再び） 7 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数の基数も ℵ0 偶数自然数１対１対応がつく（全単射が存在する） 2, 4, 6, …, 2n, … 自然数と「個数」は同じ

27. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 8 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても，びっしりと直線がならんでいる積分の値は変わらないのか？

28. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 8 この疑問に答えるには，「幅」「面積」というものをもっと精密に考える必要がある可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても，びっしりと直線がならんでいる積分の値は変わらないのか？

29. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 8 この疑問に答えるには，「幅」「面積」というものをもっと精密に考える必要がある「測度論」可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても，びっしりと直線がならんでいる積分の値は変わらないのか？

31. 9 ジョルダン測度📏📏

32. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃区分求積法で積分を求める 10 積分は，分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を重なりのない，有限個の区間に分けて，その上の長方形の面積の極限

33. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃区分求積法で積分を求める 10 積分は，分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を重なりのない，有限個の区間に分けて，その上の長方形の面積の極限「極限」とは，無限ではなく有限

34. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃数列の収束の定義（再び） 11 数列{an}が α に収束するとは a1 α α – ε α + ε ε ε

35. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃数列の収束の定義（再び） 11 εをどんなに小さくしても数列{an}が α に収束するとは a1 α α – ε α + ε ε ε

36. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃数列の収束の定義（再び） 11 εをどんなに小さくしてもそういうNがある数列{an}が α に収束するとは a1 α α – ε α + ε ε ε

37. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃数列の収束の定義（再び） 11 εをどんなに小さくしてもそういうNがある数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 α α – ε α + ε ε ε

38. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃数列の収束の定義（再び） 11 εをどんなに小さくしてもそういうNがある数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 α α – ε α + ε ε ε

39. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃数列の収束の定義（再び） 11 εをどんなに小さくしてもそういうNがある数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε

40. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃数列の収束の定義（再び） 11 εをどんなに小さくしてもそういうNがある数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε …

41. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃数列の収束の定義（再び） 11 εをどんなに小さくしてもそういうNがある数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1

42. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃数列の収束の定義（再び） 11 εをどんなに小さくしてもそういうNがある数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN

43. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃数列の収束の定義（再び） 11 εをどんなに小さくしてもそういうNがある数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

44. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃数列の収束の定義（再び） 11 εをどんなに小さくしてもそういうNがある数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

45. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃数列の収束の定義（再び） 11 εをどんなに小さくしてもそういうNがある数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

46. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃数列の収束の定義（再び） 11 εをどんなに小さくしてもそういうNがある数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る …

47. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン内測度と外測度 12 f(x) x p q グラフの下側の部分の内部におさまる長方形 f(x) x p q グラフの下側の部分を内部に含む長方形

48. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン内測度と外測度 12 f(x) x p q グラフの下側の部分の内部におさまる長方形区間の分け方をいろいろ変えた時 f(x) x p q グラフの下側の部分を内部に含む長方形

49. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン内測度と外測度 12 f(x) x p q グラフの下側の部分の内部におさまる長方形区間の分け方をいろいろ変えた時こちらの上限 f(x) x p q グラフの下側の部分を内部に含む長方形

50. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン内測度と外測度 12 f(x) x p q グラフの下側の部分の内部におさまる長方形区間の分け方をいろいろ変えた時こちらの上限 f(x) x p q グラフの下側の部分を内部に含む長方形［ジョルダン内測度］

51. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン内測度と外測度 12 f(x) x p q グラフの下側の部分の内部におさまる長方形区間の分け方をいろいろ変えた時こちらの上限 f(x) x p q グラフの下側の部分を内部に含む長方形［ジョルダン内測度］こちらの下限

52. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン内測度と外測度 12 f(x) x p q グラフの下側の部分の内部におさまる長方形区間の分け方をいろいろ変えた時こちらの上限 f(x) x p q グラフの下側の部分を内部に含む長方形［ジョルダン内測度］こちらの下限［ジョルダン外測度］

53. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン測度 13 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p q ジョルダン内測度こちらの下限ジョルダン外測度

54. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン測度 13 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p q ジョルダン内測度こちらの下限ジョルダン外測度両者が一致するとき［ジョルダン測度］という

55. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン測度 13 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p q ジョルダン内測度こちらの下限ジョルダン外測度両者が一致するとき［ジョルダン測度］という２次元の場合これを［面積］という

56. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン測度 13 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p q ジョルダン内測度こちらの下限ジョルダン外測度両者が一致するとき［ジョルダン測度］という２次元の場合これを［面積］というジョルダン測度が定まる図形（集合）を［ジョルダン可測］という

57. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン測度 14 積分の例（区分求積法）に限らずこれの上限がジョルダン内測度ジョルダン測度が定まる図形（集合）をジョルダン可測というこれの下限がジョルダン外測度両者が一致するときジョルダン測度２次元の場合これを面積という

58. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン測度の性質 15 ジョルダン可測な集合Aの，ジョルダン測度を J(A) とする

59. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン測度の性質 15 ジョルダン可測な集合Aの，ジョルダン測度を J(A) とする J(∅) = 0

60. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン測度の性質 15 ジョルダン可測な集合Aの，ジョルダン測度を J(A) とする空集合の測度は0 J(∅) = 0

61. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン測度の性質 15 ジョルダン可測な集合Aの，ジョルダン測度を J(A) とする空集合の測度は0 J(∅) = 0 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B)

62. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン測度の性質 15 ジョルダン可測な集合Aの，ジョルダン測度を J(A) とする空集合の測度は0 重なりのない２つの集合については和集合の測度は測度の和 J(∅) = 0 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B)

63. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ジョルダン測度の性質 15 ジョルダン可測な集合Aの，ジョルダン測度を J(A) とする［有限加法性］という空集合の測度は0 重なりのない２つの集合については和集合の測度は測度の和 J(∅) = 0 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B)

64. 16

65. 16 ルベーグ測度📏📏

66. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃「有限個の長方形」 17 積分は，分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を重なりのない，有限個の区間に分けて，その上の長方形の面積の極限ジョルダン測度

67. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃「有限個の長方形」 17 積分は，分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を重なりのない，有限個の区間に分けて，その上の長方形の面積の極限ジョルダン測度極限は，「無限」とは違う

68. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃「有限個の長方形」 17 積分は，分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を重なりのない，有限個の区間に分けて，その上の長方形の面積の極限ジョルダン測度極限は，「無限」とは違う有限だが，好きなだけ大きくできる

69. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有限個の長方形では，困る 18 幅0の直線を可算無限個抜いても，積分の値は変わらないのか？ p q どれだけ拡大してみても，びっしりと直線がならんでいる

70. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有限個の長方形では，困る 18 幅0の直線を可算無限個抜いても，積分の値は変わらないのか？ p q どれだけ拡大してみても，びっしりと直線がならんでいる可算無限個の隙間があるところに有限個の長方形は配置できない

71. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有限個の長方形では，困る 18 こういう場合でも積分や面積を考えられるようにするには幅0の直線を可算無限個抜いても，積分の値は変わらないのか？ p q どれだけ拡大してみても，びっしりと直線がならんでいる可算無限個の隙間があるところに有限個の長方形は配置できない

72. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有限個の長方形では，困る 18 こういう場合でも積分や面積を考えられるようにするには幅0の直線を可算無限個抜いても，積分の値は変わらないのか？ p q どれだけ拡大してみても，びっしりと直線がならんでいる可算無限個の長方形にもとづく測度が必要可算無限個の隙間があるところに有限個の長方形は配置できない

73. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ルベーグ外測度 19 Sを重なりを許した可算無限個の長方形で覆う … 図形（集合）S

74. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ルベーグ外測度 19 Sを重なりを許した可算無限個の長方形で覆うルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S)

75. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ルベーグ外測度 19 Sを重なりを許した可算無限個の長方形で覆うルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S) m∗(∅) = 0

76. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ルベーグ外測度 19 Sを重なりを許した可算無限個の長方形で覆うルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S) m∗(∅) = 0 空集合の外測度は0

77. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ルベーグ外測度 19 Sを重なりを許した可算無限個の長方形で覆うルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S) m∗(∅) = 0 空集合の外測度は0 S ⊂ T = m∗(S) m∗(T)

78. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃ルベーグ外測度 19 Sを重なりを許した可算無限個の長方形で覆うルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S) m∗(∅) = 0 空集合の外測度は0 S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 包含関係と外測度の大小関係は一致

79. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性 20 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？

80. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性 20 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については完全劣加法性 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？

81. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性 20 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については完全劣加法性 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？有界な集合の列S1, S2, …について ∞ i=1 Si が有界ならば m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si)

82. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性 20 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については完全劣加法性 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？有界な集合の列S1, S2, …について ∞ i=1 Si が有界ならば m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) 可算無限個の和集合

83. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性 20 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については完全劣加法性 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？有界な集合の列S1, S2, …について ∞ i=1 Si が有界ならば m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) 可算無限個の和集合可算無限個の和集合の外測度

84. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性 20 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については完全劣加法性 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？有界な集合の列S1, S2, …について ∞ i=1 Si が有界ならば m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) 可算無限個の和集合可算無限個の外測度の和可算無限個の和集合の外測度

85. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, …

86. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, …

87. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … Siを長方形で覆う

88. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) Siを長方形で覆う

89. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) Siを長方形で覆う

90. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) Siを長方形で覆う

91. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う

92. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆うこの覆い方は

93. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . この覆い方は

94. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| m∗ (Si) + ε 2i この覆い方は

95. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| m∗ (Si) + ε 2i 面積の和がこの覆い方は

96. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| m∗ (Si) + ε 2i その下限面積の和がこの覆い方は

97. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| m∗ (Si) + ε 2i その下限よりも少し大きい面積の和がこの覆い方は

98. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), …が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| m∗ (Si) + ε 2i その下限よりも少し大きい面積の和がこの覆い方は

99. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), …が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| m∗ (Si) + ε 2i その下限よりも少し大きい面積の和がこの覆い方は他のSiについても同様だから

100. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), …が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| m∗ (Si) + ε 2i その下限よりも少し大きい面積の和がこの覆い方は他のSiについても同様だから ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i)

101. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), …が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| m∗ (Si) + ε 2i その下限よりも少し大きい面積の和がこの覆い方は他のSiについても同様だから ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 各Siについて

102. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), …が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| m∗ (Si) + ε 2i その下限よりも少し大きい面積の和がこの覆い方は他のSiについても同様だから ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 各Siについて I1(i), I2(i), I3(i), … で覆う

103. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 22 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合可算無限個の長方形の和集合と同じ

104. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数は可算か 23 有理数の集合は，可算基数をもつか分母を横軸，分子を縦軸とすると，有理数は図の黒点（格子点） ※分母0の点は除く ※重複あり分母分子 0 1 2 3 1 2 3

105. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数は可算か 23 有理数の集合は，可算基数をもつか分母を横軸，分子を縦軸とすると，有理数は図の黒点（格子点） ※分母0の点は除く ※重複あり分母分子 0 1 2 3 1 2 3 すべての格子点を一筆でたどれば自然数と一対一対応がつく👉👉可算基数をもつ

106. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数は可算か 23 有理数の集合は，可算基数をもつか分母を横軸，分子を縦軸とすると，有理数は図の黒点（格子点） ※分母0の点は除く ※重複あり分母分子 0 1 2 3 1 2 3 すべての格子点を一筆でたどれば自然数と一対一対応がつく👉👉可算基数をもつ

107. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 24 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合可算無限個の長方形の和集合と同じ

108. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 24 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合可算無限個の長方形の和集合と同じ m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε

109. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 24 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合可算無限個の長方形の和集合と同じ m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε ∞ n=1 |In(i)| m∗ (Si) + ε 2i

110. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 24 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合可算無限個の長方形の和集合と同じ m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε ∞ n=1 |In(i)| m∗ (Si) + ε 2i

111. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 24 εは正の数であればいくらでも小さくできる ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合可算無限個の長方形の和集合と同じ m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε ∞ n=1 |In(i)| m∗ (Si) + ε 2i

112. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全劣加法性の証明 24 εは正の数であればいくらでも小さくできる ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合可算無限個の長方形の和集合と同じ m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε ∞ n=1 |In(i)| m∗ (Si) + ε 2i m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si)

113. 25

114. 25 ルベーグ測度と完全加法性

115. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃可測集合 26 であるとき， m∗ (E) = m∗ (E ∩ S) + m∗ (E ∩ Sc ) 集合Sが，任意の集合Eについて

116. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃可測集合 26 であるとき， m∗ (E) = m∗ (E ∩ S) + m∗ (E ∩ Sc ) 集合Sが，任意の集合Eについて Sは［ルベーグ可測］である（［可測集合］である）という

117. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃可測集合 26 であるとき， m∗ (E) = m∗ (E ∩ S) + m∗ (E ∩ Sc ) 集合Sが，任意の集合Eについて Sは［ルベーグ可測］である（［可測集合］である）というを［ルベーグ測度］（あるいは単に［測度］）という m(S) ≡ m*(S)

118. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃可測集合 26 であるとき， m∗ (E) = m∗ (E ∩ S) + m∗ (E ∩ Sc ) 集合Sが，任意の集合Eについて Sは［ルベーグ可測］である（［可測集合］である）というを［ルベーグ測度］（あるいは単に［測度］）という m(S) ≡ m*(S) Eの外測度

119. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃可測集合 26 であるとき， m∗ (E) = m∗ (E ∩ S) + m∗ (E ∩ Sc ) 集合Sが，任意の集合Eについて Sは［ルベーグ可測］である（［可測集合］である）というを［ルベーグ測度］（あるいは単に［測度］）という m(S) ≡ m*(S) Eの外測度 Eのうち Sである部分の外測度

120. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃可測集合 26 であるとき， m∗ (E) = m∗ (E ∩ S) + m∗ (E ∩ Sc ) 集合Sが，任意の集合Eについて Sは［ルベーグ可測］である（［可測集合］である）というを［ルベーグ測度］（あるいは単に［測度］）という m(S) ≡ m*(S) Eの外測度 Eのうち Sである部分の外測度 Eのうち Sでない部分の外測度

121. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？

122. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？ E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列

123. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？ E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei)

124. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？可算無限個の和集合 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei)

125. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？可算無限個の和集合測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei)

126. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？完全加法性可算無限個の和集合測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei)

127. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？完全加法性可算無限個の和集合測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei) 和集合の測度は測度の和

128. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？完全加法性可算無限個の和集合測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei) 可算無限個に分けた場合でもそうなる和集合の測度は測度の和

129. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も同じような性質がなりたたないか？完全加法性可算無限個の和集合測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei) 可算無限個に分けた場合でもそうなる和集合の測度は測度の和（証明はテキストで）

130. 28

131. 28 零集合と「ほとんどいたるところ」💭💭

132. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 29 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても，びっしりと直線がならんでいる積分の値は変わらないのか？

133. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 29 この疑問に答えるために， pとqの間にある有理数全体が占める幅を考える可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても，びっしりと直線がならんでいる積分の値は変わらないのか？

134. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃積分に対する疑問 29 この疑問に答えるために， pとqの間にある有理数全体が占める幅を考える可算無限個ある可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても，びっしりと直線がならんでいる積分の値は変わらないのか？

135. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 30 可算無限個ある有理数の幅を考えるにはルベーグ測度の考え方が必要

136. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 30 可算無限個ある有理数の幅を考えるにはルベーグ測度の考え方が必要有理数全体の集合が数直線上で持つ幅（測度）

137. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 30 可算無限個ある有理数の幅を考えるにはルベーグ測度の考え方が必要有理数全体の集合が数直線上で持つ幅（測度）有理数全体を，区間の組み合わせで覆ったときの

138. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 30 可算無限個ある有理数の幅を考えるにはルベーグ測度の考え方が必要有理数全体の集合が数直線上で持つ幅（測度）有理数全体を，区間の組み合わせで覆ったときの「区間の長さの合計」の下限

139. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を εを任意の正の数とすると

140. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を εを任意の正の数とすると

141. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を a1 εを任意の正の数とすると

142. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を a1 a2 εを任意の正の数とすると

143. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 εを任意の正の数とすると

144. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 εを任意の正の数とすると …

145. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 εを任意の正の数とすると …

146. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 εを任意の正の数とすると …

147. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 εを任意の正の数とすると …

148. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる区間の長さの合計有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 εを任意の正の数とすると …

149. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる区間の長さの合計有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε εを任意の正の数とすると …

150. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる区間の長さの合計有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε εを任意の正の数とすると … その下限は0

151. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる区間の長さの合計有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε εを任意の正の数とすると … その下限は0 有理数全体のルベーグ測度は0

152. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃零集合と「ほとんどいたるところ」 32 測度が0の集合を零集合という有理数全体のルベーグ測度は0 「測度が0の集合を除いた部分で」を（この場合，「有理数を除いた部分で」）「ほとんどいたるところで」（a.e.）という

153. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃今日のまとめ 33 ルベーグ外測度可算無限個の長方形で図形を覆ったときの，長方形の面積の合計の下限可測集合のルベーグ外測度がルベーグ測度零集合と「ほとんどいたるところ」有理数の集合のルベーグ測度は0 測度0の集合を「零集合」という零集合を除いた部分を「ほとんどいたるところ」という

154. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃次回は 34 最初の疑問はまだ解決していない「有理数の位置にある可算無限個の直線を抜いた」積分は，どうやって求めるのか？ p q ジョルダン測度にもとづく積分では，可算無限個の分割はできない

155. 34 2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃次回は 34 最初の疑問はまだ解決していない「有理数の位置にある可算無限個の直線を抜いた」積分は，どうやって求めるのか？ p q ジョルダン測度にもとづく積分では，可算無限個の分割はできないルベーグ測度にもとづくルベーグ積分を考える

2022年度秋学期　応用数学（解析）　第14回　測度論ダイジェスト(1) ルベーグ測度と完全加法性 (2023. 1. 12)

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