2014年度秋学期　応用数学（解析）　第１回　イントロダクション (2014. 9. 25)

A. Asano, Kansai Univ.
2014年度秋学期　応用数学（解析）
イントロダクション―
ちょっとかっこいい数学を
浅野　晃
関西大学総合情報学部
第１回

数学を学ぶこと

数学を学ぶこととは
「問題を解くこと」ではありません
大事なのは「わかる」こと。
数学の考え方や思想を理解しましょう。
2014 A. Asano, Kansai Univ.
試験では問題を解いてはもらいますが…

数学の特徴は
抽象化・一般化
微分や積分は，量の変化を調べる。
ー乗り物の速度
ー放射性元素の崩壊
ー気候の変化
何にでも使えます

「無限」の理解

無限と数学
微分・積分は「無限」でできている
微分は「無限に短い時間での変化」
積分は「図形を無限に細かく分けて
　　　　面積を求める」

微分とは
が，今回はL→∞なったときの極限を考えます。
数の式（前回の(1) 式）
この線の傾きは
f(x) =
f(kΔx)Δx (2)
" a
f(x)
x
0 a
f(a) − f(0)
a − 0
(1)
n!−1
k=0
0
f(x)dx (3)

微分とは
f(x) =
f(kΔx)Δx (2)
" a
a → 0
幅を無限に狭く
f(x)
x
0 a
f(a) − f(0)
a − 0
(1)
n!−1
k=0
0
f(x)dx (3)

微分とは
f(x) =
f(kΔx)Δx (2)
" a
a → 0
f(x)
x
0 a
f(a) − f(0)
a − 0
(1)
n!−1
k=0
0
f(x)dx (3)
f(x)
x
0

微分とは
f(x) =
f(kΔx)Δx (2)
" a
a → 0
f(x)
x
0 a
f(a) − f(0)
a − 0
(1)
n!−1
k=0
0
f(x)dx (3)
f(x)
x
0a

第１部・画像のサンプリングと周波数／フーリエ変換とサンプリフーリエ変換
前回は，周期関数を三角関数（虚数指数の指数関数）の級数，すなわちフーリエ級数について説明しました。では，元の関数が，周期関数でないるでしょうか。
この場合は，「周期が無限大である」と考えます。すなわち，前回の例L としましたが，今回はL→∞となったときの極限を考えます。
フーリエ級数の式（前回の(1) 式）
微分とは
f(x) =
f(kΔx)Δx (2)
" a
a → 0
f(x)
x
0 a
f(a) − f(0)
a − 0
(1)
n!−1
k=0
0
f(x)dx (3)
f(x)
x
0a
f(x) =
f(a) − f(0)
a − 0
lim
a→0
f(a) − f(0)
a − 0
=
= f′(x) " df (x)
dx
!!!!
x=0
a
0
f(x)dx

第１部・画像のサンプリングと周波数／フーリエ変換とサンプリフーリエ変換
前回は，周期関数を三角関数（虚数指数の指数関数）の級数，すなわちフーリエ級数について説明しました。では，元の関数が，周期関数でないるでしょうか。
この場合は，「周期が無限大である」と考えます。すなわち，前回の例L としましたが，今回はL→∞となったときの極限を考えます。
微分とは
f(kΔx)Δx (2)
" a
a → 0
f(x)
x
0 a
これが微分
f(x) =
f(a) − f(0)
a − 0
(1)
n!−1
k=0
0
f(x)dx (3)
f(x)
x
0a
f(x) =
f(a) − f(0)
a − 0
lim
a→0
f(a) − f(0)
a − 0
=
= f′(x) " df (x)
dx
!!!!
x=0
a
0
f(x)dx

積分とは
この面積を!
求めたい
f(x)
x
0 a

積分とは
この面積を!
求めたい
2Δx nΔx
f(x)
x
f(x)
x
0
Δx
幅が Δx の!
長方形で近似
0 a

積分とは
この面積を!
求めたい
2Δx nΔx
f(x)
x
f(x)
x
0
Δx
幅が Δx の!
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a

るでしょうか。
この場合は，「周期が無限大である」と考えます。すなわち，前L としましたが，今回はL→∞となったときの極限を考えます。
積分とは
この面積を!
求めたい
#
dx f(f(kΔx)Δx は，関数f(x) が2Δx 基本周nΔx
期がL, L/2, L/3, . . . ,L/n, . . . の波の足しこでL が大きくなると，n/L と(n + 1)/L の差1/L は小さくなり級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくそこで，この周波数の差1/L をΔν で表すことにします。このリエ係数の式（前回の(5) 式）
f(x)
x
f(x) =
∞!
n=−∞
an exp
"
i2π
n
L
x
n!−1
k=0
1
$ L
2
f(x) exp
"
−i2π
n
x
x)
x
0
Δx
幅が Δx の!
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a

積分とは
この面積を!
求めたい
#
期がL, L/2, L/3, . . . ,L/n, . . . の波の足しこでL が大きくなると，n/L と(n + 1)/L の差1/L は小さくなり級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくそこで，この周波数の差1/L をΔν で表すことにします。このリエ係数の式（前回の(5) 式）
f(x)
x
f(x) =
Δx → 0
区切りを無限に細かく
∞!
n=−∞
an exp
"
i2π
n
L
x
n!−1
k=0
1
$ L
2
f(x) exp
"
−i2π
n
x
x)
x
0
Δx
幅が Δx の!
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a

て説明積しま分しとた。は
では，元の関数が，周期関数でない一般の関数期が無限大である」と考えます。すなわち，前回の例では，周期関回はこの面積を!
L→∞求めたい
となったときの極限を考えます。
（前回の(1) 式）
#
期がL, L/2, L/3, . . . ,L/n, . . . の波の足しこでL が大きくなるとf(，kΔx)n/L とΔx (n + 1)/L の差1/L は小さくなり級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆく$ そこで，この周波数の差1/L をΔν で表すことにします。このリエ係数の式（前回の(5) 式）
f(x)
x
f(x) =
Δx → 0
区切りを無限に細かく
∞!
n=−∞
an exp
"
i2π
n
L
x
n!−1
k=0
f(x)dx こ$ L
1
2
基本周期がL, L/2, L/3, . . . ,L/n, . . . の波の足しf(合x) わexp
せであること"
−i2π
n
x
x)
x
0
Δx
幅が Δx の!
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a
f(x) =
∞!
n=−∞
an exp
"
i2π
n
L
x
#
n!−1
k=0
a
0
れが積分

無限とは，「多い」だけではない
ゼノンのパラドックス
A地点からB地点に行くには，
A B

A B
無限個の２分点を通らなければならないから，
永遠にたどり着かない？

A B
無限個の２分点を通らなければならないから，
永遠にたどり着かない？
数学が，これをどうやって克服してき
たかをお話しします。

基本的な微分方程式

この場合は，「周期が無限大である」と考えます。すなL としましたが，今回はL→∞となったときの極限をフーリエ級数の式（前回の(1) 式）
微分方程式とは
f(x)dx がふつうの方程式は，解は「数」
(1)
微分方程式は，解が「関数」で，
その微分が含まれる方程式
f(x)dx x がt の関数x(t) であるとき，その１階および２階導関x′′ − 5x′ + 6x = 0などは微分方程式です。x2 − 5x + 3 関x が t の関数（つまりx(t)）のとき，
" a
0
t の関数x(t) であるとき，その１階および２階導関数をx′, x′′ で− 5x′ + 6x = 0などは微分方程式です。x2 − 5x + 3 = 0
f′(x) (2)
(3)
x′′ で表すと，x′ = x やx′−5x+3t = 0，
f(x) =
f(a) − a − f(a) − f(0)
lim
a→0
a − 0
=
df (dx
" a
0
数は「量の変化」
微分方程式は「変化の条件」
微分方程式を解くと，「どう変化するか」がわかる

基本的な微分方程式
微分方程式は，
特定のパターンのものしか解けない
基本的なパターンを
いくつか紹介します。

微分方程式に関する話題

微分方程式の応用例
放射性原子核の崩壊
原子が崩壊して，数が半分になるまでの
時間（半減期）は，いつの時点でも同じ
振動と共鳴
振動は，運動と反対方向に復元力が働い
て起きる
強制力を加えると，振動が無限に大きく
なることある（共鳴）

複素関数論の基礎

は抜きにして，複素関数とその微積分について概略を説明しますさい。
複素関数とは
複素数とは
を紹介します。
程式でも必ず解が存の在す解るはよ？
うに，i = √−1 としてx + yi（x, されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です，もとは，x2 = −1 のような，実数の範
。しかし，複素数にはそれにとどまら
その実関数の積分への利用法について，
，「波」を表す数学として非常に重要で
複素関数とは
複素数の関数で，値も複素数
これを使うと，
x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部をらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります面でのひとつの点で表されます。図1 に示すように，複素数z は，からその点に向かう直線と実軸とがなす角θ を使って，z = r(cos θ+複素Univ.
数z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間，Kansai 複素数そのものの間には大小関係はありません。
Asano, ex A. をテイラー展開すると，
2014 す。長さ，面積，体積，質量など，もの
何かを測った結果を測度(measure) と
きるものとは何か」をつきつめていっ
として
x がx′′ − 5x′ ±i
・三角関数を指数関数で表せる
・実関数で解けない積分が解ける

測度論の基礎

測度論とは
長さ・面積・体積・質量など，
いろいろな測り方があるけれど
これらを一般的に「測度」という
「測る」とは何か？
測ることのできる集合とは何か？

積分に対する疑問
区間に分けて，その上に，その関数のグラフの下の部分におさまるように積分を習った時に，「任意のa について，関数f(x) のa からa までの積分である」すなわち「幅が0 の積分は0」ということを習ったと思います。
ということは，図1(a) のように，積分
p q
定線を１本抜く
数学（解析）（2012 年度春学期）　第１４回(2012. 7. 9) http://racco.f(x)dx ，p とq の間にあ抜き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減らないとを抜いたもの
幅0 の積分は0 なのだから，a の１カ所だけでなく，図1(b) のように幅やはり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減らないはずです。べての有理数の位置にある幅0 の線を抜き取っても，すなわち可算無限個面積は減らないのでしょうか？
どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までなんとなく考えてり精密にとらえる必要があることを示しています。
この面積は
f(x)
! q
p
a p q
f(x)
(a) (b)
図1: 積分に対する疑問．
ジョルダン測度
から
f(x) のa からa までの積分は0，すなわち
! a
a
f(x)dx = 0
ことを習ったと思います。
x)dx から，p とq の間にあるa のところだけ幅0 の線を
の部分の面積は減らないということになります。
でなく，図1(b) のように幅0 の線を何本抜き取っても，
面積は減らないはずです。ならば，p とq の間にあるす
ても，すなわち可算無限個の線を抜き取っても，やはり
，今までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，よ

p q
この面積は
f(x)
! q
p
a p q
f(x)
幅が0のとき，積分は0だから
(a) (b)
から
! a
a
f(x)dx = 0

p q
この面積は
f(x)
! q
p
a p q
f(x)
(a) (b)
面積は変わらない
から
! a
a
f(x)dx = 0

区間に分けて，その上に，その関数のグラフの下の部分におさまるようにp q
す。
積分を習った時に，「任意のa について，関数f(x) のa からa までの積分である」すなわち「幅が0 の積分は0」ということを習ったと思います。
数学（解析）（2012 年度春学期）　第１４回(2012. 7. 9) http://racco.定f(x)dx ，p とq の間にあ抜き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減らないとを抜いたもの
幅の積分はなのだから，の１カ所だけでなく，図のように幅や思はい0 ます。これ0 は，ある関数の積a 分区間を「重なりのない，
1(b) り積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減らないはずです。べグてラのフ有の理下数のの部位分置ににおあさるま幅るよのう線にを配抜置きし取たっ長て方も形，（す図
0 なわち可算無限個面積は減らないのでしょうか？
この面積は
f(x)
! q
p
a p q
f(x)
(a) (b)
p q
から
! a
a
f(x)dx = 0
f(x)
，今までなんとなく考(b)
えてきた「幅」という概念を，よ
全ての有理数の位置の線を
全部抜いても
本当に面積は変わらないか？
線を１本抜く
面積は変わらない

思います。これは，ある関数の積分区間を「重なりのない，
ラフの下の部分におさまるように配置した長方形（図
結論だけいえば
p q
f(x)
(b)
変わらない。
「有理数全体の集合」の測度は0
に対する疑問．
全部抜いても
2012. 7. 9) http://racco.mikeneko.jp/　1/6 ページ

思います。これは，ある関数の積分区間を「重なりのない，
ラフの下の部分におさまるように配置した長方形（図
結論だけいえば
p q
f(x)
(b)
変わらない。
「有理数全体の集合」の測度は0
に対する疑問．
「アルデンテ」のとき
芯は存在するが，測度は0(?)
全部抜いても
2012. 7. 9) http://racco.mikeneko.jp/　1/6 ページ

今日のまとめ
ちょっと，かっこいい数学を。

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第１回　イントロダクション (2014. 9. 25)

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