Akira Asano, profile picture
Uploaded byAkira Asano
1,194 views

2015年度春学期　画像情報処理　第４回　離散フーリエ変換 (2015. 4.30)

関西大学総合情報学部　「画像情報処理」（担当：浅野晃）

Embed presentation

A.Asano,KansaiUniv. 2015年度春学期 画像情報処理 浅野 晃 関西大学総合情報学部 離散フーリエ変換 第４回
A.Asano,KansaiUniv.
A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) = f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) = f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) = f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並 べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。 さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため，fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」はコンヴォリューション （convolution, 畳み込み積分）という演算で， f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) = f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並 べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。 さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため，fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」はコンヴォリューション （convolution, 畳み込み積分）という演算で， f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13 ＝
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) = f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並 べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。 さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため，fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」はコンヴォリューション （convolution, 畳み込み積分）という演算で， f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13 ＝ サンプリングされた関数のフーリエ変換
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) = f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並 べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。 さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため，fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」はコンヴォリューション （convolution, 畳み込み積分）という演算で， f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13 ＝ 換 は，連続な関数を扱うほうが簡単な場合が多いのですが，コンピュータで けです。そこで，サンプリングによって離散化された関数のフーリエ変換 法について考えてみましょう。 関数 f(t) を間隔 T でサンプリングした関数 fT (t) は，前回説明した，デル 形関数 combT (x) を使って fT (x) = f(x)combT (x) された関数 fT (x) のフーリエ変換は，FT でフーリエ変換を表すとして FT[fT (x)](ν) = FT[f(x)combT (x)](ν) = ∞ −∞ f(x)combT (x) exp(−i2πνx)dx サンプリングされた関数のフーリエ変換
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ... ... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ... ... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ... ... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換こちらは離散的だが
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ... ... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換こちらは離散的だが こちらは離散的でない →コンピュータで扱えない
2015 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s]
2015 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング 周波数空間で，１周期あたり x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s]
2015 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング 周波数空間で，１周期あたり x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s]
2015 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング 周波数空間で，１周期あたり x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] N 点のサンプリングをする
2015 A.Asano,KansaiUniv. 実空間ではどうなる？ x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] 実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる x[s] 周期NT[s]の周期関数
2015 A.Asano,KansaiUniv. 実空間ではどうなる？ x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] 実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる 周波数空間でサンプリング→実空間で周期的に現れる x[s] 周期NT[s]の周期関数
2015 A.Asano,KansaiUniv. 実空間ではどうなる？ x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] 実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる 周波数空間でサンプリング→実空間で周期的に現れる x[s] 周期NT[s]の周期関数
2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数
2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている
2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換
2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換
2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換 とはだいぶ違う
2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす
2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT (nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 x[s]
2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT (nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を x[s]
2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT (nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を x[s]
2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT (nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を 合計するだけ x[s]
2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT (nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を 合計するだけ u(n) = fT (nT) までの説明で述べたように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 みなしていますから，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわ だけを計算することにします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとあ する形になっています。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以 ら，ある関数とデルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数 値だけを切り出したものになります。 ，離散的に計算する場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのそ ります。したがって，(2) 式のフーリエ変換のかわりに U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT (nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を 合計するだけ u(n) = fT (nT) までの説明で述べたように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 みなしていますから，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわ だけを計算することにします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとあ する形になっています。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以 ら，ある関数とデルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数 値だけを切り出したものになります。 ，離散的に計算する場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのそ ります。したがって，(2) 式のフーリエ変換のかわりに U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT (nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を 合計するだけ u(n) = fT (nT) までの説明で述べたように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 みなしていますから，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわ だけを計算することにします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとあ する形になっています。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以 ら，ある関数とデルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数 値だけを切り出したものになります。 ，離散的に計算する場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのそ ります。したがって，(2) 式のフーリエ変換のかわりに U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x)とみると T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) と見ると 1 / T [1/s] フーリエ変換 u(n)とみると 1[刻み] = 1[Ts] n k[刻み] U(k) とみると 1[刻み] x[s] n[刻み] N[刻み] = N[Ts]     = NT[s]周期の 周期関数とみなしている 離散フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) とみると 1 / NT [1/s] ν [1/s] 図 1: 離散フーリエ変換．
2015 A.Asano,KansaiUniv. 第２部へ 第２部は画像データ圧縮 画像の細かいところを，見た目にはわからないよ うにごまかして，データ量を減らす
2015 A.Asano,KansaiUniv. 第２部へ 第２部は画像データ圧縮 画像の細かいところを，見た目にはわからないよ うにごまかして，データ量を減らす 「細かいところ」はどのように表現されるか？ →周波数で表現される
2015 A.Asano,KansaiUniv. 第２部へ 第２部は画像データ圧縮 画像の細かいところを，見た目にはわからないよ うにごまかして，データ量を減らす 「細かいところ」はどのように表現されるか？ →周波数で表現される そういうわけで，もう少しフーリエ変換とおつき あいください。
2015 A.Asano,KansaiUniv. 第２部へ 第２部は画像データ圧縮 画像の細かいところを，見た目にはわからないよ うにごまかして，データ量を減らす 「細かいところ」はどのように表現されるか？ →周波数で表現される そういうわけで，もう少しフーリエ変換とおつき あいください。 もっと一般的な原理から説明します。まずは 数学の「行列」から。

More Related Content

PDF
2015年度春学期　画像情報処理　第３回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2015. 4.22)
byAkira Asano
 
PDF
2013年度春学期　画像情報処理　第４回「離散フーリエ変換」
byAkira Asano
 
PDF
2015年度春学期　画像情報処理　第９回　離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2015. 6. 17)
byAkira Asano
 
PDF
2014年度春学期　画像情報処理　第４回　離散フーリエ変換 (2014. 5. 7)
byAkira Asano
 
PDF
2013年度春学期　画像情報処理　第９回「離散フーリエ変換と離散コサイン変換」
byAkira Asano
 
PDF
2014年度春学期　画像情報処理　第９回　離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2014. 6. 18)
byAkira Asano
 
PDF
PRML chapter7
byTakahiro (Poly) Horikawa
 
PDF
2021年度秋学期　画像情報処理　第9回　離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2021. 11. 26)
byAkira Asano
 
2015年度春学期　画像情報処理　第３回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2015. 4.22)
byAkira Asano
 
2013年度春学期　画像情報処理　第４回「離散フーリエ変換」
byAkira Asano
 
2015年度春学期　画像情報処理　第９回　離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2015. 6. 17)
byAkira Asano
 
2014年度春学期　画像情報処理　第４回　離散フーリエ変換 (2014. 5. 7)
byAkira Asano
 
2013年度春学期　画像情報処理　第９回「離散フーリエ変換と離散コサイン変換」
byAkira Asano
 
2014年度春学期　画像情報処理　第９回　離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2014. 6. 18)
byAkira Asano
 
PRML chapter7
byTakahiro (Poly) Horikawa
 
2021年度秋学期　画像情報処理　第9回　離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2021. 11. 26)
byAkira Asano
 

What's hot

PDF
2016年度秋学期　画像情報処理　第３回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2016. 10. 13)
byAkira Asano
 
PDF
第8章 ガウス過程回帰による異常検知
byChika Inoshita
 
PDF
2014年度春学期　画像情報処理　第３回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2014. 4.23)
byAkira Asano
 
PDF
2013年度春学期　画像情報処理　第３回「フーリエ変換とサンプリング定理」
byAkira Asano
 
PDF
Prml07
byTsukasa Fukunaga
 
PDF
パターン認識 05 ロジスティック回帰
bysleipnir002
 
ZIP
今さら聞けないカーネル法とサポートベクターマシン
byShinya Shimizu
 
PDF
Prml sec6
byKeisuke OTAKI
 
PDF
Sparse estimation tutorial 2014
byTaiji Suzuki
 
PDF
パターン認識と機械学習6章（カーネル法）
byYukara Ikemiya
 
PDF
PRML 6.1章 カーネル法と双対表現
byhagino 3000
 
PDF
Crfと素性テンプレート
byKei Uchiumi
 
PDF
TokyoNLP#7 きれいなジャイアンのカカカカ☆カーネル法入門-C++
bysleepy_yoshi
 
PDF
パターン認識と機械学習 §6.2 カーネル関数の構成
byPrunus 1350
 
PDF
PRML 第4章
byAkira Miyazawa
 
PDF
サンプリング定理
byToshihisa Tanaka
 
PDF
行列およびテンソルデータに対する機械学習（数理助教の会 2011/11/28）
byryotat
 
PDF
Aishima140714
bynwpmq516
 
PDF
PRML 5.2.1-5.3.3 ニューラルネットワークの学習 (誤差逆伝播) / Training Neural Networks (Backpropa...
byAkihiro Nitta
 
PDF
Chapter9 2
byTakuya Minagawa
 
2016年度秋学期　画像情報処理　第３回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2016. 10. 13)
byAkira Asano
 
第8章 ガウス過程回帰による異常検知
byChika Inoshita
 
2014年度春学期　画像情報処理　第３回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2014. 4.23)
byAkira Asano
 
2013年度春学期　画像情報処理　第３回「フーリエ変換とサンプリング定理」
byAkira Asano
 
Prml07
byTsukasa Fukunaga
 
パターン認識 05 ロジスティック回帰
bysleipnir002
 
今さら聞けないカーネル法とサポートベクターマシン
byShinya Shimizu
 
Prml sec6
byKeisuke OTAKI
 
Sparse estimation tutorial 2014
byTaiji Suzuki
 
パターン認識と機械学習6章（カーネル法）
byYukara Ikemiya
 
PRML 6.1章 カーネル法と双対表現
byhagino 3000
 
Crfと素性テンプレート
byKei Uchiumi
 
TokyoNLP#7 きれいなジャイアンのカカカカ☆カーネル法入門-C++
bysleepy_yoshi
 
パターン認識と機械学習 §6.2 カーネル関数の構成
byPrunus 1350
 
PRML 第4章
byAkira Miyazawa
 
サンプリング定理
byToshihisa Tanaka
 
行列およびテンソルデータに対する機械学習（数理助教の会 2011/11/28）
byryotat
 
Aishima140714
bynwpmq516
 
PRML 5.2.1-5.3.3 ニューラルネットワークの学習 (誤差逆伝播) / Training Neural Networks (Backpropa...
byAkihiro Nitta
 
Chapter9 2
byTakuya Minagawa
 

Similar to 2015年度春学期　画像情報処理　第４回　離散フーリエ変換 (2015. 4.30)

PDF
2021年度秋学期　画像情報処理　第4回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2021. 10. 15)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　画像情報処理　第4回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2022. 10. 14)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　画像情報処理　第5回　離散フーリエ変換，フーリエ変換の実例 (2022. 10. 21)
byAkira Asano
 
PDF
2018年度秋学期　画像情報処理　第３回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2018. 10. 5)
byAkira Asano
 
PDF
2019年度秋学期　画像情報処理　第3回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2019. 10. 11)
byAkira Asano
 
PDF
2013年度春学期　画像情報処理　第２回「空間周波数とフーリエ級数」
byAkira Asano
 
PDF
2016年度秋学期　画像情報処理　第４回　離散フーリエ変換 (2016. 10. 20)
byAkira Asano
 
PDF
2020年度秋学期　画像情報処理　第3回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2020. 10. 9)
byAkira Asano
 
PDF
Fourier transform
byShinoharaTakuto
 
PDF
2020年度秋学期　画像情報処理　第4回　離散フーリエ変換 (2020. 10. 16)
byAkira Asano
 
PDF
2020年度秋学期　画像情報処理　第11回　Radon変換と投影定理 (2020. 12. 4)
byAkira Asano
 
PDF
2021年度秋学期　画像情報処理　第5回　離散フーリエ変換 (2021. 10. 22
byAkira Asano
 
PPTX
Digital Image Processing Chapter 5 – Image Restoration and Reconstruction- Fr...
byShunsuke KITADA
 
PDF
2020年度秋学期　画像情報処理　第9回　離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2020. 11. 20)
byAkira Asano
 
PDF
東京都市大学 データ解析入門 4 スパース性と圧縮センシング1
byhirokazutanaka
 
PDF
2021年度秋学期　画像情報処理　第3回　フーリエ級数とフーリエ変換 (2021. 10. 8)
byAkira Asano
 
PDF
2021年度秋学期　画像情報処理　第11回　逆投影法による再構成 (2021. 12. 3)
byAkira Asano
 
PDF
Cv 14th
byJunichi Ido
 
PDF
2013年度春学期　画像情報処理　第１４回「CTスキャナ ― 投影からの画像の再構成/ 逆投影法による再構成」
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　画像情報処理　第10回　Radon変換と投影切断面定理 (2022. 12. 2)
byAkira Asano
 
2021年度秋学期　画像情報処理　第4回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2021. 10. 15)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第4回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2022. 10. 14)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第5回　離散フーリエ変換，フーリエ変換の実例 (2022. 10. 21)
byAkira Asano
 
2018年度秋学期　画像情報処理　第３回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2018. 10. 5)
byAkira Asano
 
2019年度秋学期　画像情報処理　第3回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2019. 10. 11)
byAkira Asano
 
2013年度春学期　画像情報処理　第２回「空間周波数とフーリエ級数」
byAkira Asano
 
2016年度秋学期　画像情報処理　第４回　離散フーリエ変換 (2016. 10. 20)
byAkira Asano
 
2020年度秋学期　画像情報処理　第3回　フーリエ変換とサンプリング定理 (2020. 10. 9)
byAkira Asano
 
Fourier transform
byShinoharaTakuto
 
2020年度秋学期　画像情報処理　第4回　離散フーリエ変換 (2020. 10. 16)
byAkira Asano
 
2020年度秋学期　画像情報処理　第11回　Radon変換と投影定理 (2020. 12. 4)
byAkira Asano
 
2021年度秋学期　画像情報処理　第5回　離散フーリエ変換 (2021. 10. 22
byAkira Asano
 
Digital Image Processing Chapter 5 – Image Restoration and Reconstruction- Fr...
byShunsuke KITADA
 
2020年度秋学期　画像情報処理　第9回　離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2020. 11. 20)
byAkira Asano
 
東京都市大学 データ解析入門 4 スパース性と圧縮センシング1
byhirokazutanaka
 
2021年度秋学期　画像情報処理　第3回　フーリエ級数とフーリエ変換 (2021. 10. 8)
byAkira Asano
 
2021年度秋学期　画像情報処理　第11回　逆投影法による再構成 (2021. 12. 3)
byAkira Asano
 
Cv 14th
byJunichi Ido
 
2013年度春学期　画像情報処理　第１４回「CTスキャナ ― 投影からの画像の再構成/ 逆投影法による再構成」
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第10回　Radon変換と投影切断面定理 (2022. 12. 2)
byAkira Asano
 

More from Akira Asano

PDF
2022年度秋学期　統計学　第15回　分布についての仮説を検証するー仮説検定（２） (2023. 1. 17)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第15回　測度論ダイジェスト(2) ルベーグ積分 (2023. 1. 19)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第14回　測度論ダイジェスト(1) ルベーグ測度と完全加法性 (2023. 1. 12)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　統計学　第14回　分布についての仮説を検証するー仮説検定（１） (2023. 1. 10)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第13回　複素関数論ダイジェスト(2) 孤立特異点と留数 (2022. 12. 22)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　統計学　第13回　不確かな測定の不確かさを測る － 不偏分散とt分布 (2022. 12. 20)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第12回　複素関数論ダイジェスト(1) 複素関数・正則関数 (2022. 12. 15)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　統計学　第12回　分布の平均を推測する － 区間推定 (2022. 12. 13)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　画像情報処理　第11回　逆投影法による再構成 (2022. 12. 9)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第11回　振動と微分方程式 (2022. 12. 8)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　統計学　第１１回　分布の「型」を考える － 確率分布モデルと正規分布 (2022. 12. 6)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第10回　生存時間分布と半減期 (2022. 12. 1)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　統計学　第１０回　分布の推測とはー標本調査，度数分布と確率分布 (2022. 11. 29)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　統計学　第８回　問題に対する答案の書き方 (2022. 11. 15)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　画像情報処理　第9回　離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2022. 11. 25)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　統計学　第９回　確からしさを記述するー確率 (2022. 11. 22)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　画像情報処理　第8回　行列の直交変換と基底画像 (2022. 11. 18)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第8回　2階線形微分方程式（２） (2022. 11. 17)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　画像情報処理　第7回　主成分分析とKarhunen-Loève変換 (2022. 11. 11)
byAkira Asano
 
PDF
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第7回　2階線形微分方程式（１） (2022. 11. 10)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　統計学　第15回　分布についての仮説を検証するー仮説検定（２） (2023. 1. 17)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第15回　測度論ダイジェスト(2) ルベーグ積分 (2023. 1. 19)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第14回　測度論ダイジェスト(1) ルベーグ測度と完全加法性 (2023. 1. 12)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　統計学　第14回　分布についての仮説を検証するー仮説検定（１） (2023. 1. 10)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第13回　複素関数論ダイジェスト(2) 孤立特異点と留数 (2022. 12. 22)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　統計学　第13回　不確かな測定の不確かさを測る － 不偏分散とt分布 (2022. 12. 20)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第12回　複素関数論ダイジェスト(1) 複素関数・正則関数 (2022. 12. 15)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　統計学　第12回　分布の平均を推測する － 区間推定 (2022. 12. 13)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第11回　逆投影法による再構成 (2022. 12. 9)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第11回　振動と微分方程式 (2022. 12. 8)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　統計学　第１１回　分布の「型」を考える － 確率分布モデルと正規分布 (2022. 12. 6)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第10回　生存時間分布と半減期 (2022. 12. 1)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　統計学　第１０回　分布の推測とはー標本調査，度数分布と確率分布 (2022. 11. 29)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　統計学　第８回　問題に対する答案の書き方 (2022. 11. 15)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第9回　離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2022. 11. 25)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　統計学　第９回　確からしさを記述するー確率 (2022. 11. 22)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第8回　行列の直交変換と基底画像 (2022. 11. 18)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第8回　2階線形微分方程式（２） (2022. 11. 17)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第7回　主成分分析とKarhunen-Loève変換 (2022. 11. 11)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第7回　2階線形微分方程式（１） (2022. 11. 10)
byAkira Asano
 

2015年度春学期　画像情報処理　第４回　離散フーリエ変換 (2015. 4.30)

  • 1.
  • 2.
  • 3.
  • 4.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) =f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？
  • 5.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) =f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型
  • 6.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) =f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並 べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。 さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため，fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」はコンヴォリューション （convolution, 畳み込み積分）という演算で， f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13
  • 7.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) =f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並 べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。 さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため，fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」はコンヴォリューション （convolution, 畳み込み積分）という演算で， f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13 ＝
  • 8.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) =f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並 べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。 さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため，fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」はコンヴォリューション （convolution, 畳み込み積分）という演算で， f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13 ＝ サンプリングされた関数のフーリエ変換
  • 9.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) =f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並 べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。 さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため，fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」はコンヴォリューション （convolution, 畳み込み積分）という演算で， f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13 ＝ 換 は，連続な関数を扱うほうが簡単な場合が多いのですが，コンピュータで けです。そこで，サンプリングによって離散化された関数のフーリエ変換 法について考えてみましょう。 関数 f(t) を間隔 T でサンプリングした関数 fT (t) は，前回説明した，デル 形関数 combT (x) を使って fT (x) = f(x)combT (x) された関数 fT (x) のフーリエ変換は，FT でフーリエ変換を表すとして FT[fT (x)](ν) = FT[f(x)combT (x)](ν) = ∞ −∞ f(x)combT (x) exp(−i2πνx)dx サンプリングされた関数のフーリエ変換
  • 10.
  • 11.
  • 12.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ...... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換こちらは離散的だが
  • 13.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ...... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換こちらは離散的だが こちらは離散的でない →コンピュータで扱えない
  • 14.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1/ T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s]
  • 15.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング 周波数空間で，１周期あたり x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1/ T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s]
  • 16.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング 周波数空間で，１周期あたり x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1/ T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s]
  • 17.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング 周波数空間で，１周期あたり x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1/ T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] N 点のサンプリングをする
  • 18.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 実空間ではどうなる？ x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1/ T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] 実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる x[s] 周期NT[s]の周期関数
  • 19.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 実空間ではどうなる？ x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1/ T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] 実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる 周波数空間でサンプリング→実空間で周期的に現れる x[s] 周期NT[s]の周期関数
  • 20.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 実空間ではどうなる？ x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1/ T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] 実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる 周波数空間でサンプリング→実空間で周期的に現れる x[s] 周期NT[s]の周期関数
  • 21.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1/ T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数
  • 22.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1/ T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている
  • 23.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1/ T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換
  • 24.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1/ T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換
  • 25.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1/ T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換 とはだいぶ違う
  • 26.
  • 27.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT(nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 x[s]
  • 28.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT(nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を x[s]
  • 29.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT(nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を x[s]
  • 30.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT(nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を 合計するだけ x[s]
  • 31.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT(nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を 合計するだけ u(n) = fT (nT) までの説明で述べたように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 みなしていますから，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわ だけを計算することにします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとあ する形になっています。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以 ら，ある関数とデルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数 値だけを切り出したものになります。 ，離散的に計算する場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのそ ります。したがって，(2) 式のフーリエ変換のかわりに U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
  • 32.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT(nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を 合計するだけ u(n) = fT (nT) までの説明で述べたように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 みなしていますから，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわ だけを計算することにします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとあ する形になっています。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以 ら，ある関数とデルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数 値だけを切り出したものになります。 ，離散的に計算する場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのそ ります。したがって，(2) 式のフーリエ変換のかわりに U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
  • 33.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT(nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を 合計するだけ u(n) = fT (nT) までの説明で述べたように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 みなしていますから，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわ だけを計算することにします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとあ する形になっています。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以 ら，ある関数とデルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数 値だけを切り出したものになります。 ，離散的に計算する場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのそ ります。したがって，(2) 式のフーリエ変換のかわりに U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
  • 34.
    2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x)とみると T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν)と見ると 1 / T [1/s] フーリエ変換 u(n)とみると 1[刻み] = 1[Ts] n k[刻み] U(k) とみると 1[刻み] x[s] n[刻み] N[刻み] = N[Ts]     = NT[s]周期の 周期関数とみなしている 離散フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) とみると 1 / NT [1/s] ν [1/s] 図 1: 離散フーリエ変換．
  • 35.
  • 36.
  • 37.
  • 38.