1. 課題解説（その３）

2. 離散フーリエ変換
• 課題22 ：離散フーリエ変換の基本定理Ⅱの証明
• 課題23 ：離散フーリエ変換の行列表示
• 課題24 ：画像データの格納方法
• 課題25 ：フーリエ変換の手計算
• 課題26 ：線形定理における信号の系列長
• 課題27 ：離散畳み込みの証明
• 課題28 ：離散畳み込みの手計算

3. 課題22
任意の正定数Nに対して
𝑇=
𝑇𝑝
𝑁
, 𝜔𝑠 =
𝐹 𝑘Ω = 𝑇
2𝜋
𝜔
2𝜋
, Ω = 𝑠 = とすると
𝑇
𝑁
𝑁𝑇
𝑘𝑛
𝑁−1
𝑛=0 𝑓 (𝑛𝑇)𝑊 𝑁 を証明しなさい．
ただし𝑊 𝑁 = 𝑒
−𝑗
2𝜋
𝑁
を表す．

4. 課題22
• そもそも離散フーリエ変換の基本定理Ⅰ・Ⅱとは…
• 周期関数化されたf(t)とF(ω)の関係を示している
• 周期信号化すると離散フーリエ変換を有限で表現できる
基本定理Ⅰ
基本定理Ⅱ
切り出す
切り出す

5. 課題22
基本定理Ⅰと証明方法はほぼ同じ
  ( ) 
両辺の
逆フーリエ変換
s

  (  m ) を使うと、
m  
~
F ( )  F ( ) * s ( )
~
F {F ( )}  2f (t ) F -1 { s ( )}
-1
関数のフーリエ級数展開
教科書p20の式(2.14)
~
F ( ) 

 m e jmT

m  
 2f (t ) s  T (t )
1
e

j0t
 2 (  0 ) より
 (t   )  e  j 
 Tf (t )   (t  mT )
~
F {F ( )} 
-1
m  

s

~
F ( ) 

m  
 Tf (mT ) (t  mT )
m  
※課題５参照


Tf (mT )e
m  
jmT
m
T
  (t  mT )

 f (mT )e
m  
 jmT

6. 課題22
~
F ( )  T

f (mT )e  jmT

T  2 s
m  
  k, m  n  rN (0  n  N 1, r :
整数 )を代入すると
N 1 
~
F ( )  T   f ((n  rN )T )e  j ( n  rN )Tk
n  0 r  
N 1 
 T   f ((n  rN )T )e
 j 2 (
T 
s
N
T
2
N
n
r )k
N
n  0 r  
N 1 
 T   f ((n  rN )T )e
 j 2
n  0 r  
N 1
~
kn
 T  f (nT )WN
n 0
【離散フーリエ変換の基本定理Ⅱ 証明終わり】
kn
N
~
f (nT ) 

 f (nT  rT )
r  
WN  e
j
2
N
p

7. 課題23
離散フーリエ変換の行列式はどのような行列であるか？
𝑋0
𝑋1
𝑋2
⋮
𝑋 𝑘
⋮
𝑋 𝑁−1
ただし𝑊 𝑁 =
0 𝑁−1
𝑊0
𝑁
.
𝑊𝑁
𝑊0
𝑁
.
.
𝑊𝑁
𝑊0
𝑁
.
.
.
𝑊0
𝑁
=
.
.
.
𝑊 𝑁𝑘𝑛
.
.
.
.
.
.
.
𝑊𝑁
1 𝑁−1
2 𝑁−1
𝑊𝑁
.
.
.
𝑁−1
𝑁−1
2𝜋
𝑒 −𝑗 𝑁
Wとする
𝑥0
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑘
⋮
𝑥 𝑁−1

8. 課題23
𝑖𝑗
𝑗𝑖
• i行j列目の要素とj行i列目の要素は𝑊 𝑁 = 𝑊 𝑁 よりこの行列は対
称行列である
• また任意の二つの行について
N−1
𝑘=0
𝑘𝑛
𝑊𝑁 1
𝑘𝑛
𝑊𝑁 2
=
N−1
𝑘=0
𝑘(𝑛 +𝑛 )
𝑊𝑁 1 2
• 𝑛1 = −𝑛2 のとき
2𝜋
𝑁−1 −𝑗 𝑁 𝑘(𝑛1 +𝑛2 )
𝑘=0 𝑒
= 𝑁
• 𝑛1 ≠ −𝑛2 のとき
2𝜋
𝑁−1 −𝑗 𝑁 𝑘(𝑛1 +𝑛2 )
𝑘=0 𝑒
=
1−𝑒
−𝑗
2𝜋 𝑛1 +𝑛2 𝑁
𝑁
2𝜋 𝑛1 +𝑛2
−𝑗
𝑁
1−𝑒
(等比数列の和)
=
2𝜋
𝑁−1 −𝑗 𝑁 𝑘(𝑛1 +𝑛2 )
𝑘=0 𝑒

9. 課題24
𝑒
2𝜋 𝑛1 +𝑛2 𝑁
−𝑗2𝜋
𝑁
2𝜋
𝑁−1 −𝑗 𝑁 𝑘(𝑛1 +𝑛2 )
−𝑗
𝑘=0
= 𝑒
𝑒
𝑛1 +𝑛2
= 1であるから
=0
よって
𝑁 𝑛1 + 𝑛2 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑁)
=
0
𝑒𝑙𝑠𝑒
よってこの行列と対称行列の積をとると対角成分がN，他が0と
なる
𝑁 0 … 0
𝑁 ⋱ ⋮
𝑇 𝑊 = 0
つまり 𝑊
⋮ ⋱ ⋱ 0
0 … 0 𝑁
→Wを1/ 𝑁倍すればユニタリー行列になる
N−1
𝑘=0
𝑘𝑛
𝑊𝑁 1
𝑘𝑛
𝑊𝑁 2

10. 課題24
大きさが横N画素、縦 M画素の画像をラスター走査で画素を走
査しながら処理を行うプログラムを考える。
ただし、
・1画素のデータは1バイトで記憶される
・N、Mは非常に大きい
・使用するコンピュータは、ページサイズがKバイトの 仮想記憶
メモリ方式を用いている
とする。
この時、
CおよびFORTRANでプログラムを書く場合、画像を 表す配列
はどのように定義すれば計算効率の低下を生じさせないか考
えなさい。

11. 課題24
言語によって行列の格納方
法が異なる
(矢印の方向)
C言語
x[0][0] x[0][1] x[0][2]
x[1][0] x[1][1] x[1][2]
x[2][0] x[2][1] x[2][2]
FORTRAN
x(1,1) x(1,2) x(1,3)
x(2,1) x(2,2) x(2,3)
x(3,1) x(3,2) x(3,3)
この格納方法の順に読み込む
方が効率が良い
良い例
悪い例

12. 課題24
MATLABで実験してみた
巨大な画像の画素をfor文で回しR,G,Bの成分を入れ替える
縦走査と横走査で処理時間を計測する

13. 課題24
10240x7680の画像で実験した結果
横走査→178.927 s
縦走査→172.965 s
…
(思ったより変わらなかったが…)MATLABはFORTRAN型なの
で縦走査の方が計算時間が速くなるのは妥当である．

14. 課題25
以下の画像のフーリエ変換を計算し，そのパワースペクトルを
求めなさい．なお，計算は手計算で行うこととし， 白画素，黒画
素の値はそれぞれ１，０とし，画像の大きさは、2*2、4*4の２つ
の場合を 求めなさい．

15. 課題25
2*2の場合
2次元離散フーリエ変換の行列式は
0
0
0
𝑋0
𝑋[2]
𝑊2
𝑊2 𝑥 0
𝑥[2] 𝑊2
=
0
0
1
𝑋1
𝑋[3]
𝑥[3] 𝑊2
𝑊2
𝑊2 𝑥 1
1
1
1
𝑥0
𝑥[2] 1
2𝜋
2𝜋
=
−𝑗 2
−𝑗 2
𝑥1
𝑥[3] 1 𝑒
1 𝑒
𝑥0
𝑥[2] 1 1
1 1
=
𝑥[3] 1 −1
1 −1 𝑥 1
xは(a)-(e)で
1 1
1 1
0 0
0 0
0 0
1 1
0 1
0 1
を代入すればよい（あとは行列の代入だけなので省略）
0
𝑊2
1
𝑊2
0 1
1 0

16. 課題25
4*4の場合
離散フーリエ変換の行列式は
𝑋0
𝑋4
𝑋[8]
𝑋1
𝑋5
𝑋[9]
𝑋[2] 𝑋[6] 𝑋[10]
𝑋[3] 𝑋[7] 𝑋[11]
𝑊40
𝑊40
𝑊40
1
𝑊40
𝑊4
𝑊42
=
𝑊40
𝑊42
𝑊44
𝑊40
𝑊43
𝑊46
1 1
1
1
1 −𝑗 −1
𝑗
=
1 −1 1 −1
1
𝑗 −1 −𝑗
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
𝑋[12]
1 1
𝑋[13]
代入
1 1
𝑋[14]
𝑋[15]
0
𝑊40 𝑥 0
𝑊40
𝑥4
𝑥[8]
𝑥[12] 𝑊4
1
𝑊43 𝑥 1
𝑊4
𝑥5
𝑥[9]
𝑥[13] 𝑊40
𝑊46 𝑥[2] 𝑥[6] 𝑥[10] 𝑥[14] 𝑊40
𝑊42
𝑊49 𝑥[3] 𝑥[7] 𝑥[11] 𝑥[15] 𝑊40
𝑊43
𝑥0
𝑥4
𝑥[8]
𝑥[12] 1 1
1
𝑥1
𝑥5
𝑥[9]
𝑥[13] 1 −𝑗 −1
𝑥[2] 𝑥[6] 𝑥[10] 𝑥[14] 1 −1 1
𝑗 −1
𝑥[3] 𝑥[7] 𝑥[11] 𝑥[15] 1
𝑊40
𝑊42
𝑊44
𝑊46
1
𝑗
−1
−𝑗
𝑊40
𝑊43
𝑊46
𝑊49

17. 課題26
解答…
2x2
4x4

18. 課題26
離散フーリエ変換の線形定理において
max 𝑁1 , 𝑁2 = 𝑁1 = 𝑁としたとき，
𝑥2 𝑛 𝑁2 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 および𝑋2 𝑘 𝑁2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 − 1 の値は
どうするのか考えなさい.

19. 課題26
長さが異なれば足し合わせることができないので短い方に0を
補間する →パワースペクトルの波形が変わる
実際，短い方に値をどのように補間しても線形性を保つことが
できないので
x1 n : 長さN1 ↔ 𝐹1 [𝑘]
x2 n : 長さN2 ↔ 𝐹2 [𝑘](𝑁2 < 𝑁1 )
において𝑥2 𝑛 に0を𝑁2 − 𝑁1 個だけ追加した𝑥2 ’ 𝑛 を考える
この時𝑦 𝑛 = 𝑎𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑥2 ’[𝑛]とすると
Y k = aX1 k + bX 2 ′[k]というのが正しい表記である

20. 課題27
𝑥𝑘 𝑛 =
𝑥 𝑛 (𝑘𝐿 ≤ 𝑘 + 1 𝐿 − 1, 𝑘 > 0)
0 (その他)
このときx[n]とy[n]の離散畳み込みw[n]は
𝑤 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑦 𝑛 = ∞ 𝑥 𝑘 𝑛 ∗ 𝑦[𝑛] であることを証明しな
𝑘=0
さい

21. 課題27
𝑤 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑦 𝑛
離散畳み込みの式より
= ∞ 𝑥 𝑙 𝑦[𝑛 − 𝑙]
𝑘=0
x[n]を長さLの部分系列の和で表現して
∞
= ∞
𝑙=−∞
𝑘=0 𝑥 𝑘 𝑙 𝑦[𝑛 − 𝑙]
線形性より
∞
= ∞
𝑙=−∞
𝑘=0 𝑥 𝑘 𝑙 𝑦[𝑛 − 𝑙]
= ∞ 𝑥 𝑘 𝑛 ∗ 𝑦[𝑛]
𝑘=0

22. 課題27
• 課題9の解釈１を思い出してみよう….
0だけ動かしたとき
1だけ動かしたとき
f(t) 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3
×
g(t)
…+
f(t) 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3
×
f(0)
g(t)
0 0 1 1 1 0 0 0
…0 0 3 3 3 0 0 0…
すべて足し合わせると
+
0 0 1 1 1 0 0 0
…0 0 3 3 3 0 0 0…
…0 0 3 6 9 9 9 9… となる
これはf(t)を長さ１に分割したものといえる
f(1)
+…

23. 課題28
信号:𝑥 𝑛 = … , 0, 𝑥 −1 = 0, 𝑥 0 = 1, 𝑥 1 = 1,1, …
に対して，
フィルタ関数:
𝑦1 𝑛 = {… , 0, 𝑦 −1 = 1/3, 𝑥 0 = 1/3, 𝑥 1 = 1/3,0, … }
𝑦2 𝑛 = {… , 0, 𝑦 0 = 1/3, 𝑥 1 = 1/3, 𝑥 2 = 1/3,0, … }
を用いた離散畳み込みを計算し，両者の結果の関係がどのよ
うになるかを考察しなさい.

24. 課題28
x[n]
…0 1
y[n]
2 …
… -1 0
x[n]とy[n]の離散畳み込みz[n]を計算する
𝑧 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑦[𝑛]
1 …

25. 課題28
𝑛=∞
𝑛=−∞
y[n]をdだけ動かした時𝑧 𝑑 =
d=0の時
𝑥 𝑛 𝑦[𝑛 − 𝑑]
1
x[n]
…0 1
2 …
1/3
… -1 0
y[n]
1 …
2/3
z[n]
…0 1 2 …
1
1
1 2
𝑧 0 =0× +1× +1× =
3
3
3 3

26. 課題28
y[n]をdだけ動かした時𝑧 𝑑 =
d=0の時
𝑛=∞
𝑛=−∞
𝑥 𝑛 𝑦[𝑛 − 𝑑]
1
x[n]
…0 1
2 …
1/3
… -1 0
y[n]
1 …
1
z[n]
…0 1 2 …
1
1
1
𝑧 1 =1× +1× +1× =1
3
3
3

27. 課題28
y[n]をdだけ動かした時𝑧 𝑑 =
d=0の時
𝑛=∞
𝑛=−∞
𝑥 𝑛 𝑦[𝑛 − 𝑑]
1
x[n]
…0 1
2 …
1/3
… -1 0
y[n]
1 …
1
z[n]
…0 1 2 …
1
1
1
𝑧 1 =1× +1× +1× =1
3
3
3

28. 課題28
1
x[n]
…0 1
2 …
1/3
… -1 0
y[n]
1 …
1
z[n]
…0 1
2 …
x[n]にy[n]を畳み込むことによって0と1の境界部分が滑らかに変
化するようになる

29. 課題28
1
x[n]
…0 1
2 …
1/3
… -1 0
y[n]
1 …
1
z[n]
… -1 0
1 …
𝑦2 [𝑛]の場合も同様に計算して図のようになる．

30. 課題28
画像のフィルタリング
∗
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
=
この部分を変えることによ
り様々な処理ができる

31. 課題28
clear all
close all
im=imread('lena.jpg');
im= rgb2gray(im);
subplot(1,2,1);
imshow(im);
%前処理
%画像の読み込み
%グレ－スケール化
%元画像の表示
im=double(im);
%uint8→double型へ
f=[1,1,1;1,1,1;1,1,1]/9; %フィルタの作成
imout=filter2(f,im,'same');%元画像とフィルタの畳み込み
imout=uint8(imout);
%double→uint型へ
subplot(1,2,2);
imshow(imout);
%平滑化した画像の表示

32. 課題28
平滑化フィルタ
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
ソーベルフィルタ
（エッジ抽出）
ラプラシアンフィルタ
（エッジ強調）
1
0
−1
−1
-1
−1
2
0
−2
−1
9
−1
1
0
−1
−1
−1
−1