表現行列の問題

1. mを0でない整数とし,関数fj :R→R(j=1,2,3,4)を,
f1(x) = cos 2mx, f2(x) = sin 2mx, f3(x) = cos(2m − 1)x, f4(x) = sin(2m − 1)x と定める.
R 上の実数値連続関数全体のなす実線形空間において, S = {f1,f2,f3,f4} が生成する
部分空間を V とする.
このとき以下の問に答えよ.
(1) S は V の基底であることを示せ.
(2) V の線形変換D:h →DhおよびT :h →Thを以下のように定める.
(Dh)(x) =
dh(x)
dx
(T h)(x) = h(x + π/2).
このとき,基底 S に関する D および T の表現行列をそれぞれ求めよ.
(3) (Dh)(x) − (T h)(x) = cos 2mx となる h ∈ V をすべて求めよ

2. [mを0でない整数とし,関数fj :R→R(j=1,2,3,4)を,
f1(x) = cos 2mx, f2(x) = sin 2mx, f3(x) = cos(2m − 1)x, f4(x) = sin(2m − 1)x と定める.
R 上の実数値連続関数全体のなす実線形空間において, S = {f1,f2,f3,f4} が生成する
部分空間を V とする..
(1) S は V の基底であることを示せ.
証明
λ1cos 2mx＋λ2sin 2mx＋λ3cos(2m − 1)x＋λ4sin(2m − 1)x ＝０とする。
x=0で𝜆1 + 𝜆3 = 0
𝑥 = 𝜋で𝜆1 𝑐𝑜𝑠2𝑚π＋𝜆3 cos 2𝑚 − 1 𝜋 = 0 𝜆1 − 𝜆3 = 0 よって𝜆1 = 𝜆3 = 0
よって𝜆2 𝑐𝑜𝑠2𝑚x＋𝜆3 cos 2𝑚 − 1 𝑥 = 0
x=π/2で𝜆4=0
よって𝜆2 𝑐𝑜𝑠2𝑚x = 0 𝜆2 = 0
よって１次独立。

3. mを0でない整数とし,関数fj :R→R(j=1,2,3,4)を,
f1(x) = cos 2mx, f2(x) = sin 2mx, f3(x) = cos(2m − 1)x, f4(x) = sin(2m − 1)x と定める.
R 上の実数値連続関数全体のなす実線形空間において, S = {f1,f2,f3,f4} が生成する
部分空間を V とする.
(2) V の線形変換D:h →DhおよびT :h →Thを以下のように定める.
(Dh)(x) =
dh(x)
dx
(T h)(x) = h(x + π/2).
このとき,基底 S に関する D および T の表現行列をそれぞれ求めよ.
計算
D f1(x)=-2m f2(x)
以下同様にして
D(f1,f2,f3,f4)=D(-2mf2,2mf1,-(2m-1)f4,(2m-1)f3)=(f1,f2,f3,f4)
0 2𝑚 0 0
−2𝑚 0 0 0
0 0 0 2𝑚 − 1
0 0 −(2𝑚 − 1) 0
T f1(x)=
−f1(x) 𝑚が奇数の時
f1(x) 𝑚が偶数の時
以下同様にして
T(f1,f2,f3,f4)=T((−1)
𝑚
f1, (−1)
𝑚
f2, (−1)
𝑚
f4, (−1)
𝑚
f3)=(f1,f2,f3,f4)
(−1)
𝑚
0 0 0
0 (−1)
𝑚
0 0
0 0 0 (−1)
𝑚
𝑚

4. mを0でない整数とし,関数fj :R→R(j=1,2,3,4)を,
f1(x) = cos 2mx, f2(x) = sin 2mx, f3(x) = cos(2m − 1)x, f4(x) = sin(2m − 1)x と定める.
R 上の実数値連続関数全体のなす実線形空間において, S = {f1,f2,f3,f4} が生成する
部分空間を V とする.
(3) (Dh)(x) − (T h)(x) = cos 2mx となる h ∈ V をすべて求めよ
計算
h=λ1f1＋λ2f2＋λ3f3＋λ4f4であったとする。
Dh-Th=-2mλ1f2＋2mλ2f1＋(2m-1)λ3f4＋(2m-1)λ4f3
-{(−1)
𝑚
λ1f1＋(−1)
𝑚
λ2f2＋(−1)
𝑚
λ3f4＋(−1)
𝑚
λ4f3}
={2mλ2-(−1)
𝑚+1
λ1} f1-{2mλ1+(−1)
𝑚
λ2}f2＋{(2m-1)λ4＋(−1)
𝑚+1
λ4}f3-{(2m-1)λ3＋(−1)
𝑚
λ3} f4
Dh-Th=f1 の時
0={2mλ2-(−1)
𝑚+1
λ1-1}f1-{2mλ1+(−1)
𝑚
λ2}f2＋{(2m-1)λ4＋(−1)
𝑚+1
λ4}f3-{(2m-1)λ3＋(−1)
𝑚
λ3} f4
S = {f1,f2,f3,f4}の独立性より
{2mλ2-(−1)
𝑚+1
λ1-1}＝０
{2mλ1+(−1)
𝑚
λ2}=０
{(2m-1)λ4＋(−1)
𝑚+1
λ4}＝０
{(2m-1)λ3＋(−1)
𝑚
λ3}＝０
1、２行目からλ1=
−1 𝑚+1
4𝑚2+1
λ2=
2𝑚
4𝑚2+1
３行目から −1 𝑚+1=1の時、2m-1+1=0 m=0だが −1 0+1=-1より矛盾
３行目から −1 𝑚+1
=-1の時、2m-1-1=0 m=1だが −1 1+1
=1より矛盾
したがって2m-1)λ4＋(−1)
𝑚+1
は０でない。したがってλ4＝0
４行目から −1 𝑚=1の時、2m-1+1=0 m=0だが −1 0=1より適切
４行目から −1 𝑚=-1の時、2m-1-1=0 m=1だが −1 1=-1より適切
問題の仮定よりmは０でない
答え mが１でない時:h=
−1 𝑚+1
4𝑚2+1
f1＋
2𝑚
4𝑚2+1
f2 その他の場合：h=
−1 𝑚+1
4𝑚2+1
f1＋
2𝑚
4𝑚2+1
f2 ＋ λ3f3 λ3∈R