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- 2. 離散フーリエ変換 • 補足01：離散フーリエ変換の基本定理Ⅱの証明 • 課題22 ：離散フーリエ変換の行列表示 • 課題23 ：画像データの格納方法 • 課題24 ：フーリエ変換の手計算 • 課題25 ：線形定理における信号の系列長 • 補足02：離散畳み込みの証明 • 課題26 ：離散畳み込みの手計算
- 3. 補足01 任意の正定数Nに対して 𝑇 = 𝑇𝑝 𝑁 , 𝜔𝑠 = 2𝜋 𝑇 , Ω = 𝜔 𝑠 𝑁 = 2𝜋 𝑁𝑇 とすると 𝐹 𝑘Ω = 𝑇 𝑛=0 𝑁−1 𝑓(𝑛𝑇)𝑊𝑁 𝑘𝑛 を証明しなさい． ただし𝑊𝑁 = 𝑒−𝑗 2𝜋 𝑁 を表す．
- 4. 補足01 • そもそも離散フーリエ変換の基本定理Ⅰ・Ⅱとは… • 周期関数化されたf(t)とF(ω)の関係を示している • 周期信号化すると離散フーリエ変換を有限で表現できる 基本定理Ⅰ 基本定理Ⅱ 切り出す 切り出す
- 5. 補足01 基本定理Ⅰと証明方法はほぼ同じ m m )()( ss を使うと、 )(*)()( ~ s FF 関数のフーリエ級数展開 教科書p20の式(2.14) m m T mTtmTTf mTttTf ttf tfF s s )()( )()( )()(2 )}({)(2)}( ~ { 1 -1-1 FF m jmT meF )( ~ m m mTtF )()}( ~ { 1- F 両辺の 逆フーリエ変換 j tj et e )( )(2 0 0 より ※課題５参照 m jmT m jmT emTfTemTTfF )()()( ~
- 6. 補足01 m jmT emTfTF )()( ~ sT 2 ):,10(, rNnrNnmk 整数 を代入すると kn N N n N n r N kn j N n r kr N n j N n r TkrNnj WnTfT eTrNnfT eTrNnfT eTrNnfTF 1 0 1 0 2 1 0 )(2 1 0 )( )( ~ ))(( ))(( ))(()( ~ N T N T s 2 N j N r p eW rTnTfnTf 2 )()( ~ 【離散フーリエ変換の基本定理Ⅱ 証明終わり】
- 7. 課題22 離散フーリエ変換の行列式はどのような行列であるか？ 𝑋 0 𝑋 1 𝑋 2 ⋮ 𝑋 𝑘 ⋮ 𝑋 𝑁 − 1 = 𝑊𝑁 0 . . 𝑊𝑁 0 𝑁−1 𝑊𝑁 0 . . 𝑊𝑁 1 𝑁−1 𝑊𝑁 0 . . 𝑊𝑁 2 𝑁−1 . . . . . 𝑊𝑁 𝑘𝑛 . . . . . . 𝑊𝑁 0 . . 𝑊𝑁 𝑁−1 𝑁−1 𝑥 0 𝑥 1 𝑥 2 ⋮ 𝑥 𝑘 ⋮ 𝑥 𝑁 − 1 ただし𝑊𝑁 = 𝑒−𝑗 2𝜋 𝑁 Wとする
- 8. 課題22 • i行j列目の要素とj行i列目の要素は𝑊𝑁 𝑖𝑗 = 𝑊𝑁 𝑗𝑖 よりこの行列は対 称行列である • また任意の二つの行について 𝑘=0 N−1 𝑊𝑁 𝑘𝑛1 𝑊𝑁 𝑘𝑛2 = 𝑘=0 N−1 𝑊𝑁 𝑘(𝑛1+𝑛2) = 𝑘=0 𝑁−1 𝑒−𝑗 2𝜋 𝑁 𝑘(𝑛1+𝑛2) • 𝑛1 = −𝑛2のとき 𝑘=0 𝑁−1 𝑒−𝑗 2𝜋 𝑁 𝑘(𝑛1+𝑛2) = 𝑁 • 𝑛1 ≠ −𝑛2のとき 𝑘=0 𝑁−1 𝑒−𝑗 2𝜋 𝑁 𝑘(𝑛1+𝑛2) = 1−𝑒 −𝑗 2𝜋 𝑛1+𝑛2 𝑁 𝑁 1−𝑒 −𝑗 2𝜋 𝑛1+𝑛2 𝑁 (等比数列の和)
- 9. 課題22 𝑒−𝑗 2𝜋 𝑛1+𝑛2 𝑁 𝑁 = 𝑒−𝑗2𝜋 𝑛1+𝑛2 = 1であるから 𝑘=0 𝑁−1 𝑒−𝑗 2𝜋 𝑁 𝑘(𝑛1+𝑛2) = 0 よって 𝑘=0 N−1 𝑊𝑁 𝑘𝑛1 𝑊𝑁 𝑘𝑛2 = 𝑁 𝑛1 + 𝑛2 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑁) 0 𝑒𝑙𝑠𝑒 よってこの行列と対称行列の積をとると対角成分がN，他が0と なる つまり 𝑊 𝑇 𝑊 = 𝑁 0 … 0 0 𝑁 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 … 0 𝑁 →Wを1/ 𝑁倍すればユニタリー行列になる
- 10. 課題23 大きさが横N画素、縦 M画素の画像をラスター走査で画素を走 査しながら処理を行うプログラムを考える。 ただし、 ・1画素のデータは1バイトで記憶される ・N、Mは非常に大きい ・使用するコンピュータは、ページサイズがKバイトの 仮想記憶 メモリ方式を用いている とする。 この時、 CおよびFORTRANでプログラムを書く場合、画像を 表す配列 はどのように定義すれば計算効率の低下を生じさせないか考 えなさい。
- 11. 課題23 言語によって行列の格納方 法が異なる (矢印の方向) C言語 x[0][0] x[0][1] x[0][2] x[1][0] x[1][1] x[1][2] x[2][0] x[2][1] x[2][2] FORTRAN x(1,1) x(1,2) x(1,3) x(2,1) x(2,2) x(2,3) x(3,1) x(3,2) x(3,3) この格納方法の順に読み込む 方が効率が良い 良い例 悪い例
- 15. 課題24 2*2の場合 2次元離散フーリエ変換の行列式は 𝑋 0 𝑋[2] 𝑋 1 𝑋[3] = 𝑊2 0 𝑊2 0 𝑊2 0 𝑊2 1 𝑥 0 𝑥[2] 𝑥 1 𝑥[3] 𝑊2 0 𝑊2 0 𝑊2 0 𝑊2 1 = 1 1 1 𝑒−𝑗 2𝜋 2 𝑥 0 𝑥[2] 𝑥 1 𝑥[3] 1 1 1 𝑒−𝑗 2𝜋 2 = 1 1 1 −1 𝑥 0 𝑥[2] 𝑥 1 𝑥[3] 1 1 1 −1 xは(a)-(e)で を代入すればよい（あとは行列の代入だけなので省略） 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0
- 16. 課題24 4*4の場合 離散フーリエ変換の行列式は 𝑋 0 𝑋 4 𝑋[8] 𝑋[12] 𝑋 1 𝑋 5 𝑋[9] 𝑋[13] 𝑋[2] 𝑋[6] 𝑋[10] 𝑋[14] 𝑋[3] 𝑋[7] 𝑋[11] 𝑋[15] = 𝑊4 0 𝑊4 0 𝑊4 0 𝑊4 0 𝑊4 0 𝑊4 1 𝑊4 2 𝑊4 3 𝑊4 0 𝑊4 2 𝑊4 4 𝑊4 6 𝑊4 0 𝑊4 3 𝑊4 6 𝑊4 9 𝑥 0 𝑥 4 𝑥[8] 𝑥[12] 𝑥 1 𝑥 5 𝑥[9] 𝑥[13] 𝑥[2] 𝑥[6] 𝑥[10] 𝑥[14] 𝑥[3] 𝑥[7] 𝑥[11] 𝑥[15] 𝑊4 0 𝑊4 0 𝑊4 0 𝑊4 0 𝑊4 0 𝑊4 1 𝑊4 2 𝑊4 3 𝑊4 0 𝑊4 2 𝑊4 4 𝑊4 6 𝑊4 0 𝑊4 3 𝑊4 6 𝑊4 9 = 1 1 1 1 1 −𝑗 −1 𝑗 1 −1 1 −1 1 𝑗 −1 −𝑗 𝑥 0 𝑥 4 𝑥[8] 𝑥[12] 𝑥 1 𝑥 5 𝑥[9] 𝑥[13] 𝑥[2] 𝑥[6] 𝑥[10] 𝑥[14] 𝑥[3] 𝑥[7] 𝑥[11] 𝑥[15] 1 1 1 1 1 −𝑗 −1 𝑗 1 −1 1 −1 1 𝑗 −1 −𝑗 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1代入
- 17. 課題24 解答… 2x2 4x4
- 18. 課題25 離散フーリエ変換の線形定理において max 𝑁1, 𝑁2 = 𝑁1 = 𝑁としたとき，𝑥2 𝑛 𝑁2 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 および𝑋2 𝑘 𝑁2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 − 1 の値はどうするのか考えなさい.
- 19. 課題25 長さが異なれば足し合わせることができないので短い方に0を 補間する →パワースペクトルの波形が変わる 実際，短い方に値をどのように補間しても線形性を保つことが できないので x1 n : 長さN1 ↔ 𝐹1[𝑘] x2 n : 長さN2 ↔ 𝐹2[𝑘](𝑁2 < 𝑁1) において𝑥2 𝑛 に0を𝑁2 − 𝑁1個だけ追加した𝑥2’ 𝑛 を考える この時𝑦 𝑛 = 𝑎𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑥2’[𝑛]とすると Y k = aX1 k + bX2′[k]というのが正しい表記である
- 20. 補足02 𝑥 𝑘 𝑛 = 𝑥 𝑛 (𝑘𝐿 ≤ 𝑘 + 1 𝐿 − 1, 𝑘 > 0) 0 (その他) このときx[n]とy[n]の離散畳み込みw[n]は 𝑤 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑦 𝑛 = 𝑘=0 ∞ 𝑥 𝑘 𝑛 ∗ 𝑦[𝑛] であることを証明しな さい
- 21. 補足02 𝑤 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑦 𝑛 離散畳み込みの式より = 𝑘=0 ∞ 𝑥 𝑙 𝑦[𝑛 − 𝑙] x[n]を長さLの部分系列の和で表現して = 𝑙=−∞ ∞ 𝑘=0 ∞ 𝑥 𝑘 𝑙 𝑦[𝑛 − 𝑙] 線形性より = 𝑙=−∞ ∞ 𝑘=0 ∞ 𝑥 𝑘 𝑙 𝑦[𝑛 − 𝑙] = 𝑘=0 ∞ 𝑥 𝑘 𝑛 ∗ 𝑦[𝑛]
- 22. 補足02 • 課題9の解釈１を思い出してみよう…. これはf(t)を長さ１に分割したものといえる 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 0 0 1 1 1 0 0 0 0だけ動かしたとき f(t) g(t) f(0) …0 0 3 3 3 0 0 0… 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 0 0 1 1 1 0 0 0 1だけ動かしたとき f(t) g(t) f(1) …0 0 3 3 3 0 0 0…+ +……+ すべて足し合わせると となる…0 0 3 6 9 9 9 9… × ×
- 23. 課題26 信号:𝑥 𝑛 = … , 0, 𝑥 −1 = 0, 𝑥 0 = 1, 𝑥 1 = 1,1, … に対して， フィルタ関数: 𝑦1 𝑛 = {… , 0, 𝑦 −1 = 1/3, 𝑥 0 = 1/3, 𝑥 1 = 1/3,0, … } 𝑦2 𝑛 = {… , 0, 𝑦 0 = 1/3, 𝑥 1 = 1/3, 𝑥 2 = 1/3,0, … } を用いた離散畳み込みを計算し，両者の結果の関係がどのよ うになるかを考察しなさい.
- 24. 課題26 x[n] y[n] 0 1 2 …… -1 0 1 …… x[n]とy[n]の離散畳み込みz[n]を計算する 𝑧 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑦[𝑛]
- 25. 課題26 x[n] y[n] 0 1 2 …… -1 0 1 …… 1 1/3 𝑧 0 = 0 × 1 3 + 1 × 1 3 + 1 × 1 3 = 2 3 z[n] 2/3 0 1 2 …… y[n]をdだけ動かした時𝑧 𝑑 = 𝑛=−∞ 𝑛=∞ 𝑥 𝑛 𝑦[𝑛 − 𝑑] d=0の時
- 26. 課題26 x[n] y[n] 0 1 2 …… -1 0 1 …… 1 1/3 𝑧 1 = 1 × 1 3 + 1 × 1 3 + 1 × 1 3 = 1 z[n] 1 0 1 2 …… y[n]をdだけ動かした時𝑧 𝑑 = 𝑛=−∞ 𝑛=∞ 𝑥 𝑛 𝑦[𝑛 − 𝑑] d=0の時
- 27. 課題26 x[n] y[n] 0 1 2 …… -1 0 1 …… 1 1/3 𝑧 1 = 1 × 1 3 + 1 × 1 3 + 1 × 1 3 = 1 z[n] 1 0 1 2 …… y[n]をdだけ動かした時𝑧 𝑑 = 𝑛=−∞ 𝑛=∞ 𝑥 𝑛 𝑦[𝑛 − 𝑑] d=0の時
- 28. 課題26 x[n] y[n] 0 1 2 …… -1 0 1 …… 1 1/3 z[n] 1 0 1 2 …… x[n]にy[n]を畳み込むことによって0と1の境界部分が滑らかに変 化するようになる
- 29. 課題26 x[n] y[n] 0 1 2 …… -1 0 1 …… 1 1/3 z[n] 1 -1 0 1 …… 𝑦2[𝑛]の場合も同様に計算して図のようになる．
- 31. 課題26 clear all %前処理 close all im=imread('lena.jpg'); %画像の読み込み im= rgb2gray(im); %グレ－スケール化 subplot(1,2,1); imshow(im); %元画像の表示 im=double(im); %uint8→double型へ f=[1,1,1;1,1,1;1,1,1]/9; %フィルタの作成 imout=filter2(f,im,'same');%元画像とフィルタの畳み込み imout=uint8(imout); %double→uint型へ subplot(1,2,2); imshow(imout); %平滑化した画像の表示
- 32. 課題26 −1 -1 −1 −1 9 −1 −1 −1 −1 1 0 −1 2 0 −2 1 0 −1 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 平滑化フィルタ ソーベルフィルタ （エッジ抽出） ラプラシアンフィルタ （エッジ強調）