2014年度秋学期 応用数学（解析） 第５部・測度論ダイジェスト ／ 第１４回 ルベーグ測度と完全加法性 (2015. 1. 15)
•
5 likes•1,327 views
関西大学総合情報学部 「応用数学（解析）」（担当：浅野晃）
Recommended
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to 2014年度秋学期 応用数学（解析） 第５部・測度論ダイジェスト ／ 第１４回 ルベーグ測度と完全加法性 (2015. 1. 15)
Similar to 2014年度秋学期 応用数学（解析） 第５部・測度論ダイジェスト ／ 第１４回 ルベーグ測度と完全加法性 (2015. 1. 15) (11)
More from Akira Asano
More from Akira Asano (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (10)
2014年度秋学期 応用数学（解析） 第５部・測度論ダイジェスト ／ 第１４回 ルベーグ測度と完全加法性 (2015. 1. 15)
- 4. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 積分 f(x) x p q 定積分を習った時に，「任意の a について，関数 f(x) の a か ある」すなわち「幅が 0 の積分は 0」ということを習っ ということは，図 1(a) のように，積分 q p f(x)dx から き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面 幅 0 の積分は 0 なのだから，a の１カ所だけでなく，図 はり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減ら ての有理数の位置にある幅 0 の線を抜き取っても，すな 積は減らないのでしょうか？ どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までな 精密にとらえる必要があることを示しています。
- 5. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 積分 f(x) x p q 定積分を習った時に，「任意の a について，関数 f(x) の a か ある」すなわち「幅が 0 の積分は 0」ということを習っ ということは，図 1(a) のように，積分 q p f(x)dx から き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面 幅 0 の積分は 0 なのだから，a の１カ所だけでなく，図 はり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減ら ての有理数の位置にある幅 0 の線を抜き取っても，すな 積は減らないのでしょうか？ どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までな 精密にとらえる必要があることを示しています。 p q
- 6. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 積分 f(x) x p q 定積分を習った時に，「任意の a について，関数 f(x) の a か ある」すなわち「幅が 0 の積分は 0」ということを習っ ということは，図 1(a) のように，積分 q p f(x)dx から き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面 幅 0 の積分は 0 なのだから，a の１カ所だけでなく，図 はり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減ら ての有理数の位置にある幅 0 の線を抜き取っても，すな 積は減らないのでしょうか？ どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までな 精密にとらえる必要があることを示しています。 p qa
- 7. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 積分 f(x) x p q 定積分を習った時に，「任意の a について，関数 f(x) の a か ある」すなわち「幅が 0 の積分は 0」ということを習っ ということは，図 1(a) のように，積分 q p f(x)dx から き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面 幅 0 の積分は 0 なのだから，a の１カ所だけでなく，図 はり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減ら ての有理数の位置にある幅 0 の線を抜き取っても，すな 積は減らないのでしょうか？ どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までな 精密にとらえる必要があることを示しています。 p q だから， のきっかけになった「疑問」を説明し，集合の基本 本的な性質である完全加法性，そしてその帰結とし ) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 x から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， a
- 8. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 aのところで幅0の 直線を抜いても 積分の値は変わらない 積分 f(x) x p q 定積分を習った時に，「任意の a について，関数 f(x) の a か ある」すなわち「幅が 0 の積分は 0」ということを習っ ということは，図 1(a) のように，積分 q p f(x)dx から き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面 幅 0 の積分は 0 なのだから，a の１カ所だけでなく，図 はり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減ら ての有理数の位置にある幅 0 の線を抜き取っても，すな 積は減らないのでしょうか？ どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までな 精密にとらえる必要があることを示しています。 p q だから， のきっかけになった「疑問」を説明し，集合の基本 本的な性質である完全加法性，そしてその帰結とし ) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 x から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， a
- 9. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q ) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 x から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， は減らないはずです。ならば，p と q の間にあるす ，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やはり までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，よ
- 10. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q ) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 x から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， は減らないはずです。ならば，p と q の間にあるす ，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やはり までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，よ p q
- 11. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q ) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 x から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， は減らないはずです。ならば，p と q の間にあるす ，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やはり までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，よ 可算無限個の直線を 抜いても p q
- 12. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q ) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 x から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， は減らないはずです。ならば，p と q の間にあるす ，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やはり までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，よ 可算無限個の直線を 抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる
- 13. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q ) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 x から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， は減らないはずです。ならば，p と q の間にあるす ，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やはり までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，よ 可算無限個の直線を 抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらない のか？
- 14. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 「数えられる」無限 自然数とは，数えるための数字 1, 2, 3, … 自然数の集合と同じ無限を 「数えられる無限」すなわち ［可算無限］という そして，「無限」 その「個数」は［可算基数］ つ, みっつ, . . . 」と物を数えるために 「. . . 」と書いたように，人類にとっ 無限であることと同じ意味での無限 数」はもちろん無限ですから，数字 ，これを可算基数といい，ℵ0（アレ（アレフゼロ） （よく「可算無限個」という）
- 15. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 「数えられる」無限 自然数とは，数えるための数字 1, 2, 3, … 自然数の集合と同じ無限を 「数えられる無限」すなわち ［可算無限］という そして，「無限」 その「個数」は［可算基数］ つ, みっつ, . . . 」と物を数えるために 「. . . 」と書いたように，人類にとっ 無限であることと同じ意味での無限 数」はもちろん無限ですから，数字 ，これを可算基数といい，ℵ0（アレ（アレフゼロ） （よく「可算無限個」という） ？
- 16. 2014 A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … 集合A = {a, b, c, …} 自然数
- 17. 2014 A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … 集合A = {a, b, c, …} 自然数
- 18. 2014 A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … 集合A = {a, b, c, …} 自然数
- 19. 2014 A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … 集合A = {a, b, c, …} 自然数
- 20. 2014 A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … 集合A = {a, b, c, …} 自然数
- 21. 2014 A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … 集合A = {a, b, c, …} 自然数 １対１対応がつく （［全単射］が 存在する）なら
- 22. 2014 A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … この集合の［基数］（［濃度］）は ［可算無限集合］という つ, ふたつ, みっつ, . . . 」と物を数えるた ここで「. . . 」と書いたように，人類に 集合が無限であることと同じ意味での 数の「個数」はもちろん無限ですから， 考えて，これを可算基数といい，ℵ0（ 集合 A の要素を数えることは，A の各 集合A = {a, b, c, …} 自然数 １対１対応がつく （［全単射］が 存在する）なら
- 23. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数 自然数 2, 4, 6, …, 2n, …
- 24. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数 自然数 2, 4, 6, …, 2n, …
- 25. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数 自然数 2, 4, 6, …, 2n, …
- 26. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数 自然数 2, 4, 6, …, 2n, …
- 27. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数 自然数 2, 4, 6, …, 2n, …
- 28. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数 自然数 １対１対応がつく （全単射が存在する） 2, 4, 6, …, 2n, …
- 29. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数の基数も たつ, みっつ, . . . 」と物を数えるために で「. . . 」と書いたように，人類にとっ が無限であることと同じ意味での無限 個数」はもちろん無限ですから，数字 て，これを可算基数といい，ℵ0（アレ 偶数 自然数 １対１対応がつく （全単射が存在する） 2, 4, 6, …, 2n, … 自然数と「個数」は同じ
- 35. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き f(x) x p 長方形で近似 q
- 36. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
- 37. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の
- 38. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて，
- 39. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限
- 40. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限
- 41. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限 「極限」とは，無限ではなく有限
- 54. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度の性質 ジョルダン可測な集合Aの ジョルダン測度をJ(A)とする に面積が測れる図形（一般には測度が定められる集合）を ジョルダン測度には，次の性質があります。ここで， J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。
- 55. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度の性質 ジョルダン可測な集合Aの ジョルダン測度をJ(A)とする 空集合の測度は0 に面積が測れる図形（一般には測度が定められる集合）を ジョルダン測度には，次の性質があります。ここで， J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。
- 56. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度の性質 ジョルダン可測な集合Aの ジョルダン測度をJ(A)とする 空集合の測度は0 に面積が測れる図形（一般には測度が定められる集合）を ジョルダン測度には，次の性質があります。ここで， J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。 に面積が測れる図形（一般には測度が定められる集合）を ジョルダン測度には，次の性質があります。ここで，ジ J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。
- 57. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度の性質 ジョルダン可測な集合Aの ジョルダン測度をJ(A)とする 空集合の測度は0 重なりのない２つの集合については 和集合の測度は測度の和 に面積が測れる図形（一般には測度が定められる集合）を ジョルダン測度には，次の性質があります。ここで， J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。 に面積が測れる図形（一般には測度が定められる集合）を ジョルダン測度には，次の性質があります。ここで，ジ J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。
- 58. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度の性質 ジョルダン可測な集合Aの ジョルダン測度をJ(A)とする 有限加法性という 空集合の測度は0 重なりのない２つの集合については 和集合の測度は測度の和 に面積が測れる図形（一般には測度が定められる集合）を ジョルダン測度には，次の性質があります。ここで， J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。 に面積が測れる図形（一般には測度が定められる集合）を ジョルダン測度には，次の性質があります。ここで，ジ J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。
- 61. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = の積分は 0」ということを習ったと思います。 ように，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線 すなわち図のグレーの部分の面積は減らないということになります。 ら，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても 図のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば，p と q の間にある 幅 0 の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やは か？ します。この疑問は，今までなんとなく考えてきた「幅」という概念を， ることを示しています。 f(x) x p 長方形で近似 q
- 62. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = の積分は 0」ということを習ったと思います。 ように，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線 すなわち図のグレーの部分の面積は減らないということになります。 ら，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても 図のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば，p と q の間にある 幅 0 の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やは か？ します。この疑問は，今までなんとなく考えてきた「幅」という概念を， ることを示しています。 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
- 63. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = の積分は 0」ということを習ったと思います。 ように，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線 すなわち図のグレーの部分の面積は減らないということになります。 ら，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても 図のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば，p と q の間にある 幅 0 の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やは か？ します。この疑問は，今までなんとなく考えてきた「幅」という概念を， ることを示しています。 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の
- 64. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = の積分は 0」ということを習ったと思います。 ように，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線 すなわち図のグレーの部分の面積は減らないということになります。 ら，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても 図のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば，p と q の間にある 幅 0 の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やは か？ します。この疑問は，今までなんとなく考えてきた「幅」という概念を， ることを示しています。 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて，
- 65. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = の積分は 0」ということを習ったと思います。 ように，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線 すなわち図のグレーの部分の面積は減らないということになります。 ら，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても 図のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば，p と q の間にある 幅 0 の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やは か？ します。この疑問は，今までなんとなく考えてきた「幅」という概念を， ることを示しています。 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限
- 66. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = の積分は 0」ということを習ったと思います。 ように，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線 すなわち図のグレーの部分の面積は減らないということになります。 ら，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても 図のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば，p と q の間にある 幅 0 の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やは か？ します。この疑問は，今までなんとなく考えてきた「幅」という概念を， ることを示しています。 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限 ジョルダン測度
- 67. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = の積分は 0」ということを習ったと思います。 ように，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線 すなわち図のグレーの部分の面積は減らないということになります。 ら，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても 図のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば，p と q の間にある 幅 0 の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やは か？ します。この疑問は，今までなんとなく考えてきた「幅」という概念を， ることを示しています。 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限 ジョルダン測度 極限は，「無限」とは違う
- 68. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = の積分は 0」ということを習ったと思います。 ように，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線 すなわち図のグレーの部分の面積は減らないということになります。 ら，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても 図のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば，p と q の間にある 幅 0 の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やは か？ します。この疑問は，今までなんとなく考えてきた「幅」という概念を， ることを示しています。 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限 ジョルダン測度 極限は，「無限」とは違う 有限だが，好きなだけ大きくできる
- 69. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α – ε α + ε ε ε
- 70. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る εをどんなに小さくしても α – ε α + ε ε ε
- 71. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても
- 72. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても
- 73. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN
- 74. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN
- 75. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN …
- 76. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN そういうNがある …
- 77. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = の積分は 0」ということを習ったと思います。 ように，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線 すなわち図のグレーの部分の面積は減らないということになります。 ら，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても 図のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば，p と q の間にある 幅 0 の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やは か？ します。この疑問は，今までなんとなく考えてきた「幅」という概念を， ることを示しています。 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限 ジョルダン測度 極限は，「無限」とは違う 有限だが，好きなだけ大きくできる
- 83. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を
- 84. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき， を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表し ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちま 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T)
- 85. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき， を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表し ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちま 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長方形の面 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有界ならば
- 86. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき， を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表し ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちま 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長方形の面 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有界ならば 空集合の外測度は0
- 87. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき， を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表し ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちま 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長方形の面 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有界ならば 空集合の外測度は0 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長方形の面積 |I を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有界ならば，m
- 88. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき， を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表し ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちま 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長方形の面 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有界ならば 空集合の外測度は0 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長方形の面積 |I を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有界ならば，m 包含関係と外測度の大小関係は一致
- 89. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。 ルベーグ測度 ジョルダン測度では「有限個の長方形」を考えていま 「極限」を考えています。しかし，第４回の講義で説明し えることは，無限個の長方形を考えることとは違うこと なだけ細かく分ければ，その極限に好きなだけ近づける 有限個の長方形について想定されているものです。 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？
- 90. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については 完全劣加法性 J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。 ルベーグ測度 ジョルダン測度では「有限個の長方形」を考えていま 「極限」を考えています。しかし，第４回の講義で説明し えることは，無限個の長方形を考えることとは違うこと なだけ細かく分ければ，その極限に好きなだけ近づける 有限個の長方形について想定されているものです。 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？
- 91. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については 完全劣加法性 J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。 ルベーグ測度 ジョルダン測度では「有限個の長方形」を考えていま 「極限」を考えています。しかし，第４回の講義で説明し えることは，無限個の長方形を考えることとは違うこと なだけ細かく分ければ，その極限に好きなだけ近づける 有限個の長方形について想定されているものです。 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 有界な集合の列S1, S2, …について ったとき，それらの長方形の面積 |I1|, |I2|, . . . の和の下限 inf ∞ i=1 |Ii| S) で表します。 なりたちます。 するとき， ∞ i=1 Si が有界ならば，m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) ものです。この性質は，次のように証明されます。 が有界ならば . で覆ったとき，それらの長方形の面積 |I1|, |I2|, . . . の和の下限 inf ∞ i=1 |Ii| い，m∗(S) で表します。 性質がなりたちます。 T) 合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有界ならば，m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) ばれるものです。この性質は，次のように証明されます。
- 92. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については 完全劣加法性 J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。 ルベーグ測度 ジョルダン測度では「有限個の長方形」を考えていま 「極限」を考えています。しかし，第４回の講義で説明し えることは，無限個の長方形を考えることとは違うこと なだけ細かく分ければ，その極限に好きなだけ近づける 有限個の長方形について想定されているものです。 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 有界な集合の列S1, S2, …について ったとき，それらの長方形の面積 |I1|, |I2|, . . . の和の下限 inf ∞ i=1 |Ii| S) で表します。 なりたちます。 するとき， ∞ i=1 Si が有界ならば，m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) ものです。この性質は，次のように証明されます。 が有界ならば . で覆ったとき，それらの長方形の面積 |I1|, |I2|, . . . の和の下限 inf ∞ i=1 |Ii| い，m∗(S) で表します。 性質がなりたちます。 T) 合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有界ならば，m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) ばれるものです。この性質は，次のように証明されます。 可算無限個の和集合
- 93. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については 完全劣加法性 J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。 ルベーグ測度 ジョルダン測度では「有限個の長方形」を考えていま 「極限」を考えています。しかし，第４回の講義で説明し えることは，無限個の長方形を考えることとは違うこと なだけ細かく分ければ，その極限に好きなだけ近づける 有限個の長方形について想定されているものです。 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 有界な集合の列S1, S2, …について ったとき，それらの長方形の面積 |I1|, |I2|, . . . の和の下限 inf ∞ i=1 |Ii| S) で表します。 なりたちます。 するとき， ∞ i=1 Si が有界ならば，m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) ものです。この性質は，次のように証明されます。 が有界ならば . で覆ったとき，それらの長方形の面積 |I1|, |I2|, . . . の和の下限 inf ∞ i=1 |Ii| い，m∗(S) で表します。 性質がなりたちます。 T) 合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有界ならば，m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) ばれるものです。この性質は，次のように証明されます。 可算無限個の和集合 外測度の可算無限個の和
- 94. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については 完全劣加法性 J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。 ルベーグ測度 ジョルダン測度では「有限個の長方形」を考えていま 「極限」を考えています。しかし，第４回の講義で説明し えることは，無限個の長方形を考えることとは違うこと なだけ細かく分ければ，その極限に好きなだけ近づける 有限個の長方形について想定されているものです。 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 有界な集合の列S1, S2, …について ったとき，それらの長方形の面積 |I1|, |I2|, . . . の和の下限 inf ∞ i=1 |Ii| S) で表します。 なりたちます。 するとき， ∞ i=1 Si が有界ならば，m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) ものです。この性質は，次のように証明されます。 が有界ならば . で覆ったとき，それらの長方形の面積 |I1|, |I2|, . . . の和の下限 inf ∞ i=1 |Ii| い，m∗(S) で表します。 性質がなりたちます。 T) 合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有界ならば，m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) ばれるものです。この性質は，次のように証明されます。 可算無限個の和集合 外測度の可算無限個の和
- 97. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … Siを長方形 で覆う
- 98. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i)Siを長方形 で覆う
- 99. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) Siを長方形 で覆う
- 100. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) Siを長方形 で覆う
- 101. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う
- 102. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う この覆い方は
- 103. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ Si) ∞ ∞ |In(i)| この覆い方は
- 104. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ Si) ∞ ∞ |In(i)| このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の下 ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ ∗ ε この覆い方は
- 105. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ Si) ∞ ∞ |In(i)| このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の下 ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ ∗ ε 面積の和が この覆い方は
- 106. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ Si) ∞ ∞ |In(i)| このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の下 ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ ∗ ε その 下限 面積の和が この覆い方は
- 107. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ Si) ∞ ∞ |In(i)| このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の下 ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ ∗ ε その 下限 よりも 少し大きい 面積の和が この覆い方は
- 108. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), … が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ Si) ∞ ∞ |In(i)| このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の下 ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ ∗ ε その 下限 よりも 少し大きい 面積の和が この覆い方は
- 109. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), … が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ Si) ∞ ∞ |In(i)| このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の下 ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ ∗ ε その 下限 よりも 少し大きい 面積の和が この覆い方は 他のSiについても同様だから
- 110. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), … が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ Si) ∞ ∞ |In(i)| このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の下 ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ ∗ ε その 下限 よりも 少し大きい 面積の和が この覆い方は 他のSiについても同様だから 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は，次のように 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， ∞ ∞ ∞
- 111. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), … が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ Si) ∞ ∞ |In(i)| このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の下 ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ ∗ ε その 下限 よりも 少し大きい 面積の和が この覆い方は 他のSiについても同様だから 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は，次のように 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， ∞ ∞ ∞ 各Siに ついて
- 112. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), … が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ Si) ∞ ∞ |In(i)| このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の下 ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| ∞ ∗ ε その 下限 よりも 少し大きい 面積の和が この覆い方は 他のSiについても同様だから 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は，次のように 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， ∞ ∞ ∞ 各Siに ついて I1(i), I2(i), I3(i), … で覆う
- 113. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 す 3。 ると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) (2) 可算無限個の長方形の可算無限個の和集合」になっていますが，これは と同じです 4。そこで， ∞ =1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i （(1) 式より） = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε (3) らでも小さくできるので，性質３がなりたちます。■ 測度」の形で定義されます。すなわち，S を内部に含む長方形 J を考え 可算無限個の長方形の， 可算無限個の和集合
- 114. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 す 3。 ると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) (2) 可算無限個の長方形の可算無限個の和集合」になっていますが，これは と同じです 4。そこで， ∞ =1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i （(1) 式より） = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε (3) らでも小さくできるので，性質３がなりたちます。■ 測度」の形で定義されます。すなわち，S を内部に含む長方形 J を考え 可算無限個の長方形の， 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ
- 115. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 問題1 有理数は，可算基数をもつか 分母を横軸， 分子を縦軸とすると， 有理数は図の黒点 （格子点） ※分母0の点は除く 分母 分子 0 1 2 3 1 2 3
- 116. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 問題1 有理数は，可算基数をもつか 分母を横軸， 分子を縦軸とすると， 有理数は図の黒点 （格子点） ※分母0の点は除く 分母 分子 0 1 2 3 1 2 3 すべての格子点を一筆でたどれれば 自然数と一対一対応がつく
- 117. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 す 3。 ると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) (2) 可算無限個の長方形の可算無限個の和集合」になっていますが，これは と同じです 4。そこで， ∞ =1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i （(1) 式より） = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε (3) らでも小さくできるので，性質３がなりたちます。■ 測度」の形で定義されます。すなわち，S を内部に含む長方形 J を考え 可算無限個の長方形の， 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ
- 118. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 す 3。 ると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) (2) 可算無限個の長方形の可算無限個の和集合」になっていますが，これは と同じです 4。そこで， ∞ =1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i （(1) 式より） = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε (3) らでも小さくできるので，性質３がなりたちます。■ 測度」の形で定義されます。すなわち，S を内部に含む長方形 J を考え 可算無限個の長方形の， 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ . が存在します 3。 も同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) (2) 式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合」になっていますが，これは 形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i （(1) 式より） = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε (3) 数であればいくらでも小さくできるので，性質３がなりたちます。■ 「補集合の外測度」の形で定義されます。すなわち，S を内部に含む長方形 J を考え ーグ内測度 m∗(S) を
- 119. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 す 3。 ると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) (2) 可算無限個の長方形の可算無限個の和集合」になっていますが，これは と同じです 4。そこで， ∞ =1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i （(1) 式より） = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε (3) らでも小さくできるので，性質３がなりたちます。■ 測度」の形で定義されます。すなわち，S を内部に含む長方形 J を考え 可算無限個の長方形の， 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ . が存在します 3。 も同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) (2) 式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合」になっていますが，これは 形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i （(1) 式より） = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε (3) 数であればいくらでも小さくできるので，性質３がなりたちます。■ 「補集合の外測度」の形で定義されます。すなわち，S を内部に含む長方形 J を考え ーグ内測度 m∗(S) を i=1 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は，次のように証 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I2( このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の下 ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， ∞ ∞ ∞
- 120. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 す 3。 ると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) (2) 可算無限個の長方形の可算無限個の和集合」になっていますが，これは と同じです 4。そこで， ∞ =1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i （(1) 式より） = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε (3) らでも小さくできるので，性質３がなりたちます。■ 測度」の形で定義されます。すなわち，S を内部に含む長方形 J を考え 可算無限個の長方形の， 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ . が存在します 3。 も同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) (2) 式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合」になっていますが，これは 形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i （(1) 式より） = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε (3) 数であればいくらでも小さくできるので，性質３がなりたちます。■ 「補集合の外測度」の形で定義されます。すなわち，S を内部に含む長方形 J を考え ーグ内測度 m∗(S) を i=1 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は，次のように証 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I2( このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の下 ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， ∞ ∞ ∞
- 121. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 εは正の数であればいくらでも 小さくできる す 3。 ると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) (2) 可算無限個の長方形の可算無限個の和集合」になっていますが，これは と同じです 4。そこで， ∞ =1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i （(1) 式より） = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε (3) らでも小さくできるので，性質３がなりたちます。■ 測度」の形で定義されます。すなわち，S を内部に含む長方形 J を考え 可算無限個の長方形の， 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ . が存在します 3。 も同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) (2) 式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合」になっていますが，これは 形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i （(1) 式より） = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε (3) 数であればいくらでも小さくできるので，性質３がなりたちます。■ 「補集合の外測度」の形で定義されます。すなわち，S を内部に含む長方形 J を考え ーグ内測度 m∗(S) を i=1 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は，次のように証 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I2( このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の下 ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， ∞ ∞ ∞
- 122. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 εは正の数であればいくらでも 小さくできる す 3。 ると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) (2) 可算無限個の長方形の可算無限個の和集合」になっていますが，これは と同じです 4。そこで， ∞ =1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i （(1) 式より） = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε (3) らでも小さくできるので，性質３がなりたちます。■ 測度」の形で定義されます。すなわち，S を内部に含む長方形 J を考え 可算無限個の長方形の， 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ . が存在します 3。 も同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) (2) 式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合」になっていますが，これは 形の和集合」と同じです 4。そこで， m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si) + ε 2i （(1) 式より） = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε (3) 数であればいくらでも小さくできるので，性質３がなりたちます。■ 「補集合の外測度」の形で定義されます。すなわち，S を内部に含む長方形 J を考え ーグ内測度 m∗(S) を i=1 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は，次のように証 有界な集合の列 S1, S2, . . . のうちのひとつの集合 Si を，長方形 I1(i), I2( このとき，Si のルベーグ外測度 m∗(Si) は Si を覆う長方形の面積の和の下 ついて， Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . かつ ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i となる I1(i), I2(i), . . . が存在します 3。 他の S についても同様に考えると， ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) となります。この式の右辺は，「可算無限個の長方形の可算無限個の和集合 「可算無限個の長方形の和集合」と同じです 4。そこで， ∞ ∞ ∞ で覆ったとき，それらの長方形の面積 |I1|, |I2|, . . . の和の下限 inf ∞ i=1 |Ii| ，m∗(S) で表します。 性質がなりたちます。 ) の列とするとき， ∞ i=1 Si が有界ならば，m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si)
- 123. A.Asano,KansaiUniv.
- 125. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度，ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は
- 126. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度，ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ内測度 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は
- 127. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度，ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ内測度 補集合の外測度で 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は
- 128. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度，ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ内測度 補集合の外測度で となり，ε は正の数であればいくらで 一方，内測度は「補集合の外測度」 るとき，S のルベーグ内測度 m∗(S) を 3 面積の和が下限となる覆い方よりも，少 4 整数が可算無限個存在するのに対して，ど ということと同じです。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は
- 129. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度，ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ内測度 補集合の外測度で となり，ε は正の数であればいくらで 一方，内測度は「補集合の外測度」 るとき，S のルベーグ内測度 m∗(S) を 3 面積の和が下限となる覆い方よりも，少 4 整数が可算無限個存在するのに対して，ど ということと同じです。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は ルベーグ外測度とルベーグ内測度が一致するとき ルベーグ可測
- 130. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度，ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ内測度 補集合の外測度で となり，ε は正の数であればいくらで 一方，内測度は「補集合の外測度」 るとき，S のルベーグ内測度 m∗(S) を 3 面積の和が下限となる覆い方よりも，少 4 整数が可算無限個存在するのに対して，ど ということと同じです。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は ルベーグ外測度とルベーグ内測度が一致するとき ルベーグ可測 と定義します。 外測度と内測度が一致するとき，すなわち m∗(S) = といい，m(S) ≡ m∗(S) = m∗(S) を S のルベーグ測度 なお，S がルベーグ可測であるとき，任意の集合 E m∗ (E) = m∗ (E ∩ S というカラテオドリの意味の可測性もなりたつことが ３を満たす m∗ を外測度といい，それがある集合に対
- 131. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度，ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ測度 ルベーグ内測度 補集合の外測度で となり，ε は正の数であればいくらで 一方，内測度は「補集合の外測度」 るとき，S のルベーグ内測度 m∗(S) を 3 面積の和が下限となる覆い方よりも，少 4 整数が可算無限個存在するのに対して，ど ということと同じです。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は ルベーグ外測度とルベーグ内測度が一致するとき ルベーグ可測 と定義します。 外測度と内測度が一致するとき，すなわち m∗(S) = といい，m(S) ≡ m∗(S) = m∗(S) を S のルベーグ測度 なお，S がルベーグ可測であるとき，任意の集合 E m∗ (E) = m∗ (E ∩ S というカラテオドリの意味の可測性もなりたつことが ３を満たす m∗ を外測度といい，それがある集合に対
- 132. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度，ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ測度 ルベーグ内測度 補集合の外測度で となり，ε は正の数であればいくらで 一方，内測度は「補集合の外測度」 るとき，S のルベーグ内測度 m∗(S) を 3 面積の和が下限となる覆い方よりも，少 4 整数が可算無限個存在するのに対して，ど ということと同じです。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は ルベーグ外測度とルベーグ内測度が一致するとき ルベーグ可測 と定義します。 外測度と内測度が一致するとき，すなわち m∗(S) = といい，m(S) ≡ m∗(S) = m∗(S) を S のルベーグ測度 なお，S がルベーグ可測であるとき，任意の集合 E m∗ (E) = m∗ (E ∩ S というカラテオドリの意味の可測性もなりたつことが ３を満たす m∗ を外測度といい，それがある集合に対 ルベーグ可測な集合Sは
- 133. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度，ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ測度 ルベーグ内測度 補集合の外測度で となり，ε は正の数であればいくらで 一方，内測度は「補集合の外測度」 るとき，S のルベーグ内測度 m∗(S) を 3 面積の和が下限となる覆い方よりも，少 4 整数が可算無限個存在するのに対して，ど ということと同じです。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は ルベーグ外測度とルベーグ内測度が一致するとき ルベーグ可測 と定義します。 外測度と内測度が一致するとき，すなわち m∗(S) = といい，m(S) ≡ m∗(S) = m∗(S) を S のルベーグ測度 なお，S がルベーグ可測であるとき，任意の集合 E m∗ (E) = m∗ (E ∩ S というカラテオドリの意味の可測性もなりたつことが ３を満たす m∗ を外測度といい，それがある集合に対 ルベーグ可測な集合Sは と定義します。 外測度と内測度が一致するとき，すなわち m∗(S) = m∗(S) がなりたつ といい，m(S) ≡ m∗(S) = m∗(S) を S のルベーグ測度といいます。 なお，S がルベーグ可測であるとき，任意の集合 E に対して m∗ (E) = m∗ (E ∩ S) + m∗ (E ∩ Sc ) というカラテオドリの意味の可測性もなりたつことが知られています。 ３を満たす m∗ を外測度といい，それがある集合に対してカラテオドリ 集合を可測集合といい，その外測度を測度とよびます。 任意のEについて
- 134. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度，ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ測度 ルベーグ内測度 補集合の外測度で となり，ε は正の数であればいくらで 一方，内測度は「補集合の外測度」 るとき，S のルベーグ内測度 m∗(S) を 3 面積の和が下限となる覆い方よりも，少 4 整数が可算無限個存在するのに対して，ど ということと同じです。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 可算無限個の長方形 I1, I2, . . . で覆ったとき，それらの長 を S のルベーグ外測度といい，m∗(S) で表します。 ルベーグ外測度には，次の性質がなりたちます。 1. m∗(∅) = 0 2. S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 3. S1, S2, . . . を有界な集合の列とするとき， ∞ i=1 Si が有 性質３は，完全劣加法性とよばれるものです。この性質は ルベーグ外測度とルベーグ内測度が一致するとき ルベーグ可測 と定義します。 外測度と内測度が一致するとき，すなわち m∗(S) = といい，m(S) ≡ m∗(S) = m∗(S) を S のルベーグ測度 なお，S がルベーグ可測であるとき，任意の集合 E m∗ (E) = m∗ (E ∩ S というカラテオドリの意味の可測性もなりたつことが ３を満たす m∗ を外測度といい，それがある集合に対 ルベーグ可測な集合Sは と定義します。 外測度と内測度が一致するとき，すなわち m∗(S) = m∗(S) がなりたつ といい，m(S) ≡ m∗(S) = m∗(S) を S のルベーグ測度といいます。 なお，S がルベーグ可測であるとき，任意の集合 E に対して m∗ (E) = m∗ (E ∩ S) + m∗ (E ∩ Sc ) というカラテオドリの意味の可測性もなりたつことが知られています。 ３を満たす m∗ を外測度といい，それがある集合に対してカラテオドリ 集合を可測集合といい，その外測度を測度とよびます。 任意のEについて Sは［可測集合］である
- 135. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。 ルベーグ測度 ジョルダン測度では「有限個の長方形」を考えていま 「極限」を考えています。しかし，第４回の講義で説明し えることは，無限個の長方形を考えることとは違うこと なだけ細かく分ければ，その極限に好きなだけ近づける 有限個の長方形について想定されているものです。 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？
- 136. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。 ルベーグ測度 ジョルダン測度では「有限個の長方形」を考えていま 「極限」を考えています。しかし，第４回の講義で説明し えることは，無限個の長方形を考えることとは違うこと なだけ細かく分ければ，その極限に好きなだけ近づける 有限個の長方形について想定されているものです。 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列
- 137. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 完全加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … J(A) とします。 1. J(∅) = 0 2. A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 後者の性質を有限加法性といいます。 ルベーグ測度 ジョルダン測度では「有限個の長方形」を考えていま 「極限」を考えています。しかし，第４回の講義で説明し えることは，無限個の長方形を考えることとは違うこと なだけ細かく分ければ，その極限に好きなだけ近づける 有限個の長方形について想定されているものです。 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ (E) = m∗ (E ∩ S) + m∗ (E ∩ Sc ) 味の可測性もなりたつことが知られています。より一般的には，上の性 といい，それがある集合に対してカラテオドリの意味で可測であるとき その外測度を測度とよびます。 通部分をもたない可測集合列とします。このとき，外測度 m∗ について m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei) たちます。完全加法性は，「ある集合の測度は，それを部分に分けた時の 直感が，「可算無限個に分けた場合」でもなりたつことを示しています。 = ∞ i=1 Ei として，任意の集合 A と任意の n について