Dokumen ini memberikan penjelasan tentang integral tak tentu, integral tentu, integrasi parsial, dan integral substitusi trigonometri. Integral adalah proses kebalikan dari diferensiasi untuk menemukan anti-derivatif dari suatu fungsi. Terdapat beberapa aturan dalam menghitung integral seperti aturan perkalian konstan dan penjumlahan. Integrasi parsial digunakan untuk menghitung integral yang berisi dua atau lebih fungsi. Substitusi trigonometri diterapkan untuk menghilang

1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
Matematika 2
Integral Substitusi Trigonometrik
Beny Nugraha, MT, M.Sc
03FAKULTAS
TEKNIK
TEKNIK
ELEKTRO

2. Definisi
• Integral adalah proses kebalikan dari diferensiasi.
• Apabila diberikan suatu fungsi f(x) dan diinginkan
untuk mencari hasil integrasi F(x) sedemikian sehingga:

3. Definisi
• Setiap fungsi F(x) tersebut dinamakan suatu
anti-derivatif dari fungsi f(x) dan dinotasikan
dengan persamaan:

4. Definisi
• f (x) dinamakan integran (yang diintegralkan)
dan x dinamakan integrator. Integral di atas
dinamakan integral tak tentu sebab tidak
merujuk pada nilai numerik tertentu, atau
tidak menunjuk suatu batas tertentu untuk
daerah integrasi.
• Nilai c disebut juga sebagai konstanta integrasi

5. Definisi
• Integral dari fungsi nol secara tepat adalah
semua fungsi konstan. Dituliskan dengan
persamaan berikut:

6. Integral Tak Tentu
• Telah disebutkan bahwa integral tak tentu
adalah integral yang tidak dibatasi oleh suatu
interval, dan dinotasikan sebagai berikut:
• Di mana nilai c disebut juga sebagai konstanta
integrasi.
• Untuk menghitungnya digunakan rumus:

7. Integral Tak Tentu
Contoh:
1. ∫x5 dx
Jawab:
Dengan rumus:
Maka:

8. Integral Tak Tentu
Contoh:
2. ∫(2x3 + 3x2 + x + 7) dx
Jawab:

9. Integral Tak Tentu
Beberapa Rumus Integral Tak Tentu:

10. Integral Tak Tentu
Contoh:
3. ∫sin 3x sin 2x dx
Jawab:
Dengan rumus trigonometri:
Maka:

11. Integral Tak Tentu
Contoh:
4. ∫e4x dx
Jawab:
∫e4x dx = ¼ e4x + c

12. Integral Tak Tentu
Contoh:
5. ∫ x2 (2x3 + 3)1/2 dx
Jawab:

13. Aturan Dalam Integral
• Aturan Perkalian Konstan:
Jika suatu fungsi f (x) mempunyai anti-
derivatif, maka untuk sembarang bilangan riil
c, dipunyai:

14. Aturan Dalam Integral
• Aturan Penjumlahan:
Jika f (x) dan g (x) mempunyai antiderivatif,
maka:

15. Aturan Dalam Integral
• Contoh penggunaan dua aturan di atas:
6. ∫(x3 + 3x + 1) dx
Jawab:

16. Integrasi Parsial
• Integrasi parsial dinotasikan sebagai berikut:

17. Integrasi Parsial
Contoh:
7. ∫x cos (x) dx
Jawab:
Untuk menghitung integral di atas, diambil u = x
dan dv = cos (x) dx dengan du = dx dan v =∫cos(x)
dx = sin (x) + k, konstanta k dihilangkan karena
hanya dibutuhkan bagian sin(x) saja.

18. Integrasi Parsial
Dengan u = x dan dv = cos (x) dx & du = dx dan v
=∫cos(x) dx = sin (x) + k. Maka:

19. Integral Tentu
• Integral tentu adalah integral yang memiliki
interval. Integral ini dinotasikan sebagai
berikut:
• Di mana nilai a & b adalah interval atau
batasnya.

20. Integral Tentu
Contoh:
8. Hitung hasil dari integral berikut:
Jawab:

21. Integral Substitusi Trigonometri
• Untuk menyelesaikan integral yang memuat
bentuk akar kuadrat maka diperlukan
substitusi trigonometri agar bentuk akarnya
hilang.
• Apabila peubahnya telah diganti dengan
fungsi trigonometri yang sesuai, maka
bentuknya akan berubah menjadi fungsi
trigonometri biasa.

22. Integral Substitusi Trigonometri
• Bentuk konversinya adalah:

23. Integral Substitusi Trigonometri
Contoh:
1. Selesaikan
Jawab:
Dilihat pada tabel, substitusikan x = 3 sin θ  dx = 3 cos
θ dθ. Sehingga:

24. Integral Substitusi Trigonometri
Contoh:
2. Selesaikan
Jawab:
Dilihat pada tabel, substitusikan x = 2 tan θ  dx
= 2 sec2 θ dθ. Sehingga:

25. PR!!!!
Selesaikan

26. Terima Kasih
Beny Nugraha, MT, M.Sc