2. Konsep Vektor
• Vektor adalah sebuah besaran yang memiliki nilai dan arah.
• Suatu vektor biasanya digambarkan dengan sebuah garis yang
salah satu ujungnya memiliki ujung panah sebagai arahnya.
• Sedangkan nilainya diwakili oleh panjang anak panah tersebut.
3. Konsep Vektor
• Pada contoh di atas, vektor AB adalah (2,5) dan vektor CD adalah (2,-
3).
• Sebuah vektor dapat dinotasikan dengan salah satu dari tiga cara
berikut:
– Huruf kecil tebal.
– Dua buah notasi titik dengan tanda panah di atasnya
– Huruf kecil dengan tanda panah di atasnya
4. Konsep Vektor
• Panjang sebuah vektor disebut juga modulus vektor. Misalnya
dari contoh vektor AB di atas memiliki panjang:
6. Kesamaan dan Lawan Vektor
• Dua buah vektor dikatakan sama apabila memiliki arah dan
panjang yang sama. Contoh:
• Secara matematis dapat ditulis: a = b jika dan hanya arahnya
sama dan |a| = |b|.
7. Kesamaan dan Lawan Vektor
• Dua buah vektor dikatakan berlawanan apabila panjangnya
sama namun arahnya berlawanan, seperti pada gambar di
bawah ini:
8. Operasi Pada Vektor
1. Perkalian Vektor Dengan Skalar
Sebuah vektor yang dikalikan dengan bilangan riil akan
menghasilkan sebuah
vektor baru yang searah dengan yang lama. Panjang vektor
yang baru akan sebanding dengan bilangan riil pengalinya.
Jika terdapat vektor a yang dikalikan dengan skalar k, maka
panjang/modulus vektor baru tersebut adalah: k.|a|
Contoh:
Terdapat vektor a seperti berikut:
9. Operasi Pada Vektor
1. Perkalian Vektor Dengan Skalar
Kemudian vektor tersebut dikalikan dengan 3. Maka bentuk
vektornya menjadi:
10. Operasi Pada Vektor
2. Penjumlahan Dua Buah Vektor
Dua buah vektor yang dijumlahkan akan menghasilkan vektor
baru di mana titik awal-nya sama dengan vektor pertama, dan
titik akhirnya sama dengan vektor kedua. Contoh: terdapat
vektor a = (3,1) dan vektor b = (-2,3). Maka a + b = (3+ -2, 1+3)
= (1,4). Ilustrasi penjumlahan kedua vektor ini dapat dilihat
pada gambar berikut:
11. Operasi Pada Vektor
3. Pengurangan Dua Buah Vektor
Pengurangan atau selisih dari dua buah vektor adalah
penjumlahan vektor pertama dengan lawan vektor kedua,
atau dapat dinotasikan: a – b = a + (-b). Contoh: vektor a =
(3,1) dan vektor b = (-2,3). Terlebih dahulu dicari lawan dari b,
yaitu –b = (2,-3). Maka a – b = a + -b (3+2, 1+ -3) = (5,-2).
Ilustrasi pengurangan kedua vektor ini dapat dilihat pada
gambar berikut:
12. Operasi Pada Vektor
• Latihan:
Terdapat vektor a = (3, 6), b = (-3, 4), dan c = (7, -5)
Tentukan:
a. a + b + c
b. 2a – 3b
c. -c – 4a
13. Vektor Satuan dan Vektor Nol
• Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya adalah 1. Untuk
memperoleh vektor satuan dari sebuah vektor, maka vektor
tersebut harus dibagi dulu dengan modulusnya.
• Contoh: terdapat vektor a = (-3,4). Modulus dari a adalah |a| =
(−3)2+ 42 = 5. Kemudian vektor tersebut dibagi dengan
modulusnya menjadi: ea = (-3/5, 4/5) = (-0.6, 0.8).
• Vektor nol adalah vektor yang memiliki arah yang tidak tentu
dan tidak memiliki besar (modulus = 0). Vektor nol dinotasikan
dengan: a = (0,0).
14. Hukum Aljabar Vektor
• Jika terdapat tiga buah vektor a, b & c dan terdapat bilangan
skalar m & n. Maka ketiga vektor tersebut memenuhi sifat:
1. Komutatif Penjumlahan a + b = b + a
2. Asosiatif Penjumlahan a + (b + c) = (a + b) + c
3. Asosiatif Perkalian Skalar m(n.a) = m.n(a) = n(m.a)
4. Distributif:
(m + n).a = m.a + n.a
m(a + b) = m.a + m.b
15. Vektor Dalam Ruang 3D
• Vektor posisi dalam ruang memiliki tiga komponen yang
masing-masing mewakili panjang tertentu dengan arah sejajar
sumbu x, y, z dengan titik pangkal titik sumbu sistem
koordinat. Ketiga komponen tersebut dinotasikan: a = (ax, ay,
az). Contoh vektor dalam ruang 3D dapat dilihat pada gambar
berikut:
16. Vektor Dalam Ruang 3D
• Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa komponen x adalah 2,
komponen y adalah 3, dan komponen z adalah 2. Lebih lanjut
lagi, Vektor basis sejajar sumbu x disebut i, Vektor basis sejajar
sumbu y disebut j, Vektor basis sejajar sumbu z disebut k,
sehingga notasi untuk vektor 3D di atas adalah: a = 2i + 3j + 2k.
17. Vektor Dalam Ruang 3D
• Untuk menentukan modulus dari vektor 3D dapat digunakan
rumus:
• Maka: |a| = 22 + 32 + 22 = 17
18. Jarak Antara Dua Titik
• Misal terdapat dua buah vektor 3D, a = (x1, y1, z1) dan b = (x2,
y2, z2), seperti pada gambar berikut:
• Maka jarak |AB| dapat dihitung dengan rumus:
19. Sudut Antara Dua Vektor
• Misal terdapat dua buah vektor 3D, a = (x1, y1, z1) dan b = (x2,
y2, z2), seperti pada gambar berikut:
• Maka sudut yang dibentuk kedua vektor tersebut dapat dicari
dengan menggunakan rumus:
20. Sudut Antara Dua Vektor
• Contoh: Tentukan sudut antara vektor a = (3,1,2) dan vektor b
= (4,3,6).
• Jawab:
Perkalian modulus vektor:
Perkalian skalar vektor:
Perhitungan sudut θ:
21. PR!!!!!!!!
Terdapat vektor a = (-5, 3, 6) dan vektor b = (-4, -2, -8).
Tentukan:
a. |a| dan |b|
b. Sudut antara vektor a dan vektor b
