Integral Tak Tentu

INTEGRAL TAK TENTU &
PENGGUNAANNYA
OLEH : WASIS SUROSO

Hal.: 2 Integral
INTINTEEGRAL TAK TENTUGRAL TAK TENTU
Misal : y = F(x) maka turunannya adalah y’ = F’(x) = f(x)
F(x) = X4
turunannya
F(x) = X4
- 5 turunannya
F(x) = X4
+ 1 turunannya
F(x) = X4
+ 50 turunannya
F(x) = X4
+ c turunannya
Proses untuk menentukan fungsi F(x) jika F’(x) diketahui disebut
ANTI TURUNAN atau ANTI DEFERENSIAL atau INTEGRAL
F’(x) = 4x3
F’(x) = 4x3
F’(x) = 4x3
F’(x) = 4x3
F’(x) = 4x3

INTEGRAL TAK TENTUINTEGRAL TAK TENTU
Pengertian Hitung Integral
Hitung Integral adalah kebalikan dari hitung
deferensial
Misal : y = F(x) = x4
maka
==
dx
xdF
dx
dy )(
)(
)(
xf
dx
xdF
=
Hal.: 3 Integral
4x3
= f(x)
dF(x) = f(x) dx
Untuk menyatakan f(x) kembali, digunakan INTEGRAL dengan lambang
""∫
Sehingga dF(x) = f(x)dx F(x) =
∫ dxxf )(
Secara Umum dituliskan bahwa cxFdxxf +=∫ )()(

INTEGRAL TAK TENTUINTEGRAL TAK TENTU
Rumus – rumus Pengintegralan
a.
b.
c.
d.
e.
1,
1
1
−≠+
+
=∫
+
nc
n
x
dxx
n
n
1, −≠= ∫∫ ndxxadxax nn
Hal.: 4 Integral
cxdx
x
dxx +==∫∫
−
ln
11
caxadx +=∫
dxxgdxxfdxxgxf∫ ∫ ∫±=± )()()]()([

Integral Tak TentuIntegral Tak Tentu
Contoh:
1. Tentukan
Penyelesaian
c
x
+
+
+
13
2 13
Hal.: 5 Integral
∫ dxx3
2
=
c
x
+
4
2 4
=
=
cx +4
2
1
2. Integralkanlah
Penyelesaian
∫ dxx3
2
=
= cxxx ++− 23
2
12
3
36
12x3
– 6x2
+ x + c
dxxx∫ +− )11236( 2
dxxx∫ +− )11236( 2

3. Tentukan
Penyelesaian
∫
−
−++ dxxxx )510420( 14
cxxxx +−++ ln510
2
4
5
20 25
Hal.: 6 Integral
∫
−
−++ dxxxx )510420( 14
=
= 4x5
+ 2x2
+ 10x – 5 lnx + c
4. Tentukan dxX
X
)
1
( +∫
=
dxX
X
)
1
( +∫ dxxx )( 2
1
2
1
+∫
−
cxx ++ 2
3
2
1
3
2
2
=
=
cxxx ++
3
2
2
Penyelesaian

5. Tentukan
Penyelesaian
∫ − dxx 2
)13( dxxx )169( 2
+−∫
Hal.: 7 Integral
∫ − dxx 2
)13(
=
= 3x3
- 3x2
+ x + c
6. Tentukan dxxX
x
2
3
)
1
( −∫
7. Tentukan dxxx )1)(3( 23
−−∫
PR halaman 182 no 6 dan 7

PENGGUNAANPENGGUNAAN INTEGRAL TAKINTEGRAL TAK
TENTUTENTU
Contoh :
1. Tentukan fungsi y = F(x) apabila diketahui:
a. F’(x) = x² - 4 dan F(3) = 5
b. F’(x) = 6x² + 1/x² dan F(1) = 7
2. Tentukan persamaan kurva y = F(x) yang
gradien garis singgungnya pada titik (x,y) adalah
3x² +2 dan kurva melalui titik (1,-1)
Hal.: 8 Integral

Hal.: 9 Integral
Media Presentasi Pembelajaran
Integral Tak Tentu & Penggunaannya
Selesai
Terima Kasih

INTEGRAL TERTENTU
OLEH : WASIS SUROSO

Hal.: 11 Integral
=
= 2(2)3
– 2(2)2
– [2(-1)3
– 2(-1)2
]
= 16 – 8 + 2 - 2 = 8
( )∫
−
−
2
1
2
dx46 xx [ ]2
1
23
22 −− xx
Hitunglah nilai dari ( )∫
−
−
2
1
2
dx46 xx
Contoh 2.Contoh 2.
JawabJawab
NextBackHome
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai
berlaku :
Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus
)(F)(F)( abdxxf
b
a
−=∫
[ ] b
ax)(F
Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah

INTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTU
Bentuk umum intergral tertentu
[ ] )()()( )( xfbfdxxf
b
a
b
a
xF −==∫
Hal.: 12 Integral
a disebut batas bawah
b disebut batas bawah
F(x) : fungsi hasil integral dari f(x)
F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b
F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a

Sifat-sifat intergral tertentu
1.
2.
3.
4.
∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
∫ ∫ ∫ ∠∠==
c
a
b
a
c
b
cbadxxfdxxfdxxf ;)()()(
Hal.: 13 Integral
∫ =
a
a
dxxf 0)(
∫ ∫=
b
a
b
a
Konsantakdxxfkdxxkf )(;)()(

Contoh :
1.Tentukan nilai dari ∫
2
1
3
dxx
2
1
4
2
1




x
Hal.: 14 Integral
Penyelesaian
∫
2
1
3
dxx =






−




 44
1
4
1
2.
4
1
=
4 - 4
1
=
=
4
3
3
2. Tentukan nilai dari
Penyelesaian
dxxx )32(
1
0
2
∫ +
dxxx )32(
1
0
2
∫ + = [ ]1
0
32
xx +
=
=
= ( ) ( )3232
00311 +−+
( ) 011 −+
2

LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR

Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Hal.: 16 Integral
9
2
xy =

Hal.: 17 Integral
Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah
dan volume benda putar.
KompetensiKompetensi DasarDasar
Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat :
1. menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh
beberapa kurva.
2. menentukan luas daerah dengan menggunakan
limit jumlah.
3. merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan
menghitungnya.
4. merumuskan integral tentu untuk volume benda
putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu
koordinat dan menghitungnya.
Indikator Hasil BelajarIndikator Hasil Belajar
Penggunaan Integral

Hal.: 18 Integral
Runtuhnya Jembatan Tacoma,
Washington
Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat
bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan
68 km/jam.
NextBack

Hal.: 19 Integral
Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan
kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan
menggunakan integral.
NextBack
Penggunaan Integral

Hal.: 20 Integral
Bola lampu di samping dapat
dipandang sebagai benda putar jika
kurva di atasnya diputar menurut
garis horisontal. Pada pokok
bahasan ini akan dipelajari juga
penggunaan integral untuk
menghitung volume benda putar.
Penggunaan Integral

Hal.: 21 Integral
X
Y
xy sin=
Menentukan luas daerah dengan
limit jumlah dapat diilustrasikan
oleh gambar di samping. Langkah
utama yang dilakukan adalah
memartisi, mengaproksimasi,
menjumlahkan, dan menghitung
limitnya.
Home NextBack
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

Hal.: 22 Integral
Langkah menghitung luas daerah
dengan limit jumlah adalah:
1. Bagilah interval menjadi selang
yang sama panjang.
2. Partisilah daerah tersebut.
3. Masing-masing partisi buatlah
persegi panjang.
4. Perhatikan persegi panjang
pada interval [xi-1 , xi].
y
a
x
0
Li
∆x
xi
)(xfy =
)( ixf
NextBackHome

Hal.: 23 Integral
Langkah menghitung luas
daerah ( lanjutan ) :
5. Tentukan luas persegi
panjang ke-i (Li)
6. Jumlahkah luas semua
persegi panjang
7. Hitung nilai limit jumlahnya
y
a
x
0
Li
∆x
xi
)(xfy =
)( ixf
Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) ∆x
Jumlah luas persegi panjang :L ≈ Σ f(xi) ∆x
Limit jumlah : L = lim Σ f(xi) ∆x ( n → ∞ )
NextBackHome

Hal.: 24 Integral
Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2
, sumbu X, dan garis x = 3 dengan
menggunakan cara limit jumlah.
Contoh 1.Contoh 1.
1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah
selang yang sama panjang; yaitu 3/n.
2. Partisi daerah tersebut menurut persegi
panjang luar.
3. Tentukan ukuran persegi panjang pada
interval [xi , xi+1] dan hitunglah luasnya.
x0 = 0
x1 = 3/n
x2 = (3/n) × 2 = 6/n
Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n
y
0
x
3
Li
3/n
2
1+ix
2
)( xxf =
xi+1
xix1 x2
x3
( )2
3i 1
27
L += i
n
( ) nn
i
nix 3
2)1(332
1iL ×=×=
+
+
JawabJawab
NextBackHome
Luas Sebagai Limit Jumlah
Luas Daerah

Hal.: 25 Integral
4. Jumlahkan luas semua partisi
( )∑
−
=
+≈
1
0
2
3
1
27
L
n
i
i
n
( )222
3
...21
27
L n
n
+++≈
)12)(1(
6
127
L 3
++×≈ nnn
n
)2)(1(
2
9
L 11
nn
++≈
5. Tentukan limitnya
)2)(1(
2
9
L 11
lim nn
n
++=
∞→
9)02)(01(
2
9
L =++=
Jadi luas daerah = 9 satuan
6
)12)(1(
1
2 ++
=
=∑
nnnn
k
k
0
x
3
Li
3/n
2
1+ix
2
)( xxf =
xi+1
xix1 x2
x3
y
NextBackHome

Hal.: 26 Integral
Perhatikan gambar di bawah ini!
Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n
bagian (lebar tidak harus sama) dengan
lebar selang ke-i adalah ∆xi = xi – xi-1.
Pada selang [xi-1, xi] diambil titik sampel
xk maka jumlah Riemann dituliskan
sebagai :
k
n
k
k xxf Δ)(
1
∑
=
y
a
x
0 b
xi-1 xi
xk
∆ xi
NextBackHome
Selanjutnya didefinisikan bahwa: k
n
k
k
n
xxfdxxf Δ)(lim)(
1
b
a
∑∫
=∞→
=
Bentuk ∫
b
a
)( dxxf disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann)

Hal.: 27 Integral
=
= 2(2)3
– 2(2)2
– [2(-1)3
– 2(-1)2
]
= 16 – 8 + 2 - 2 = 8
( )∫
−
−
2
1
2
dx46 xx [ ]2
1
23
22 −− xx
Hitunglah nilai dari ( )∫
−
−
2
1
2
dx46 xx
Contoh 2.Contoh 2.
JawabJawab
NextBackHome
berlaku :
berlaku :
Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus
)(F)(F)( abdxxf
b
a
−=∫
[ ] b
ax)(F

Hal.: 28 Integral
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai
luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].
y
x
0 a b∆x
y
a
x
0 b
∫
b
a
dxxf )(
Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral
Tentukan limitnya
n → ∞
)(xf
∑
=
n
i
ii xxf
1
)( ∆
)(xf
i
n
i
i
n
b
a
xxfdxxfL ∆== ∑∫
=∞→ 1
)()( lim
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral

Hal.: 29 Integral
Kegiatan pokok dalam menghitung luas
daerah dengan integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah partisi
Li ≈ f(xi) ∆xi
4. Jumlahkan luas partisi
L ≈ ∑ f(xi) ∆xi
5. Ambil limitnya L = lim ∑ f(xi) ∆xi
6. Nyatakan dalam integral
x
0
y
)(xfy =
a
∆xi
xi
)( ixf
Li
∫=
a
dxxf
0
)(L
NextBackHome

Hal.: 30 Integral
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2
, sumbu x, dan garis x = 3
Contoh 3.Contoh 3.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li ≈ xi
2
∆xi
4. Jumlahkan luasnya L ≈ ∑ xi
2
∆xi
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim ∑ xi
2
∆xi
6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya
y
0
x
3
2
)( xxf =
dxx∫=
3
0
2
L
903
33
3
0
3
3
L =−=



= x
Li
∆xi
xi
2
ix
JawabJawab
NextBackHome

Hal.: 31 Integral
Langkah penyelesaian:
1. Gambar dan Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li ≈ (4xi - xi
2
)∆xi dan
Aj ≈ -(4xj - xj
2
)∆xj
4. Jumlahkan : L ≈ ∑(4xi - xi
2
)∆xi dan
A ≈ ∑ -(4xj - xj
2
)∆xj
5. Ambil limitnya L = lim ∑ (4xi - xi
2
)∆xi
dan A = lim ∑ -(4xj - xj
2
)∆xj
6. Nyatakan dalam integral
y
0
x54
2
4)( xxxf −=
dxxx∫ −=
4
0
2
)4(L dxxx∫ −−=
5
4
2
)4(A
∆xi
Li
xi
xj
Aj
∆xj
2
4 ii xx −
)4(0 2
xx −−
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2
, sumbu x,
dan garis x = 5
ContohContoh 44..
JawabJawab
NextBackHome

Hal.: 32 Integral
dxxx∫ −=
4
0
2
)4(L
dxxx∫ −−=
5
4
2
)4(A
y
0
x54
2
4)( xxxf −=
∆xi
Li
xi
xj
Aj
∆xj
2
4 ii xx −
)4(0 2
xx −−
[ ]4
0
3
3
12
2L xx −=
3
643
3
12
320)4()4(2L −=−−=
[ ]5
4
3
3
12
2A xx +−=
( )3
3
123
3
12
)4()4(2)5()5(2A +−−+−=
3
64
3
125
3250A −++−=
18A 3
61
−=
1832daerahLuas 3
61
3
64
−+−=
13daerahLuas =
NextBackHome

Hal.: 33 Integral
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang
[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,
jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas
daerah antara dua kurva tersebut.
2. Aproksimasi : Li ≈ [ f(x) – g(x) ] ∆x
4. Jumlahkan : L ≈ ∑ [ f(x) – g(x) ] ∆x
5. Ambil limitnya :
L = lim ∑ [ f(x) – g(x) ] ∆x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
y
ba
[ ]dxxgxf
b
a
∫ −= )()(L
)(xfy =
)(xgy =
0
x
Li
∆x
x
)()( xgxf −
NextBackHome

Hal.: 34 Integral
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2
dan garis y = 2 - x
Contoh 5.Contoh 5.
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2
= 2 – x → x2
+ x – 2 = 0 → (x + 2)(x – 1) = 0
diperoleh x = -2 dan x = 1
4. Aproksimasi luasnya
Li ≈ (2 - x - x2
)∆x
4. Jumlahkan luasnya
L ≈ ∑ (2 - x - x2
)∆x
5. Tentukan limit jumlah luasnya
L = lim ∑ (2 - x - x2
)∆x
dxxx∫
−
−−=
1
2
2
)2(L
0
x
1 2-1-2-3
2
xy =
xy −= 2
y
1
2
3
4
5
Li
∆x
x
2
)2( xx −−
JawabJawab
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah

Hal.: 35 Integral
dxxx∫
−
−−=
1
2
2
)2(L
0
x
1 2-1-2-3
2
xy =
xy −= 2
y
1
2
3
4
5
Li
∆x
x
2
)2( xx −−
1
2
3
3
2
2L
−


 −−= xx
x






−−−−



 −−=
−−
3
3)2(
2
2)2(
3
31
2
21
)2(2)1(2L
( ) ( )3
8
3
1
2
1
242L +−−−−−=
3
8
3
1
2
1
242L −++−−=
2
1
2
1
45L =−=
NextBackHome

Hal.: 36 Integral
Untuk kasus tertentu pemartisian
secara vertikal menyebabkan ada
dua bentuk integral. Akibatnya
diperlukan waktu lebih lama untuk
menghitungnya.
)(xfy =
y
a b
Li∆x
∆x
)()( xgxf −
)(2 xf
Ai
0
x
)(xgy =
Luas daerah = ∫
a
dxxf
0
)(2 ( )∫+ −
b
a
dxxgxf )()(
NextBackHome

Hal.: 37 Integral
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh
satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga
penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.
)()( yfxxfy =⇔=
y
0
x
)()( ygxxgy =⇔=
Luas daerah = ( )∫ −
d
c
dyyfyg )()(
Li ∆y
c
d
)()( yfyg −
NextBackHome

Hal.: 38 Integral
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2
= x, garis x + y = 6, dan sumbu x
ContohContoh 66..
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2
= 6 – y → y2
+ y – 6 = 0 → (y + 3)(y – 2) = 0
diperoleh y = - 3 dan y = 2
4. Aproksimasi luasnya
Li ≈ (6 - y - y2
)∆y
4. Jumlahkan luasnya
L ≈ ∑ (6 - y - y2
)∆y
5. Tentukan limitnya
L = lim ∑ (6 - y - y2
)∆y
Luas daerah = ( )∫ −−
2
0
2
6 dyyy
2
yx =
yx −= 6
2
y
6
x
0
6
Li
∆y
y
2
)6( yy −−
JawabJawab
NextBackHome

Hal.: 39 Integral
Luas daerah = ( )∫ −−
2
0
2
6 dyyy
2
yx =
yx −= 6
2
y
6
x
0
6
Li ∆y
y
2
)6( yy −−
Luas daerah =
2
0
3
3
2
6










−−
yy
y
Luas daerah = 0
3
32
2
2)2(6 −−− 







Luas daerah = 





−−
3
8112
Luas daerah = 3
25
Home Back Next

Hal.: 40 Integral
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu sejauh
360º, maka akan terbentuk suatu
benda putar. Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda putar
dengan integral adalah: partisi,
aproksimasi, penjumlahan,
pengambilan limit, dan menyatakan
dalam integral tentu. Gb. 4
Home NextBack
Volume Benda Putar

Hal.: 41 Integral
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
0 x
y
x
0
x
1 2-
2
-
1
y
1
2
3
4
NextBackHome
Volume Benda Putar

Hal.: 42 Integral
Metode cakram yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan volume
mentimun dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Cakram

Hal.: 43 Integral
Bentuk cakram di samping dapat
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
r = f(x), tinggi h = ∆x. Sehingga
volumenya dapat diaproksimasi sebagai
∆V ≈ πr2
h atau ∆V ≈ π f(x)2
∆x.
Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam integral
diperoleh:
V ≈ ∑ π f(x)2
∆x
V = lim ∑ π f(x)2
∆x
dxxf
a
∫=
0
2
)]([v π
∆x
h=∆x
x
x
y
0 x
y
x
a
)(xf
)(xfr =
NextBackHome

Hal.: 44 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2
+ 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 7.Contoh 7.
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
y
2x
12
+x
∆x
12
+= xy
1
y
h=∆x
x
x
12
+= xr
x
JawabJawab
NextBackHome

Hal.: 45 Integral
y
h=∆x
x
x
12
+= xr
∆V ≈ πr2
h
∆V ≈ π(x2
+ 1)2
∆x
V ≈ ∑ π(x2
+ 1)2
∆x
V = lim ∑ π(x2
+ 1)2
∆x
dxxV ∫ +=
2
0
22
)1(π
dxxxV ∫ ++=
2
0
24
)12(π
[ ]2
0
3
3
25
5
1 xxxV ++=π
ππ 15
11
3
16
5
32 13)02( =−++=V
NextBackHome

Hal.: 46 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2
,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 8.Contoh 8.
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk
partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam
bentuk integral.
2
y
∆y
2
xy =
x
y
y
x
y
h=∆y
y
yr =
JawabJawab
NextBackHome

Hal.: 47 Integral
∆V ≈ πr2
h
∆V ≈ π(√y)2
∆y
V ≈ ∑ πy ∆y
V = lim ∑ πy ∆y
dyyV ∫=
2
0
π
[ ]2
0
2
2
1
yV π=
)04(2
1
−×= πV
x
y
h=∆y
y
yr =
2
dyyV ∫=
2
0
π
π2=V
NextBackHome

Hal.: 48 Integral
Metode cincin yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti
menentukan volume bawang bombay
dengan memotong-motongnya yang
potongannya berbentuk cincin.
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Cincin

Hal.: 49 Integral
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume
cincin seperti gambar di samping,
yaitu V= π(R2
– r2
)h
h
r
R
Gb. 5
NextBackHome

Hal.: 50 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2
dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 9.Contoh 9.
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
4
y
y = 2x
2
2
xy =
x
∆x
x
x2
2x
y
x
JawabJawab
NextBackHome

Hal.: 51 Integral
y
x
4
y
y = 2x
2
2
xy =
x
∆x
x
r=x2
R=2x
∆V ≈ π(R2
– r2
) h
∆V ≈ π [ (2x)2
– (x2
)2
] ∆x
∆V ≈ π (4x2
– x4
) ∆x
V ≈ ∑ π (4x2
– x4
) ∆x
V = lim ∑ π (4x2
– x4
) ∆x
dxxxV ∫ −=
2
0
42
)4(π
[ ]2
0
5
5
13
3
4 xxV −=π
)(
5
32
3
32 −=πV
)(
15
96160−= πV
π15
64=V
NextBackHome

Hal.: 52 Integral
Metode kulit tabung yang digunakan
untuk menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar disamping.
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

Hal.: 53 Integral
∆r
r
h
h
2πr
Δr
V = 2πrhΔr
NextBackHome

Hal.: 54 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2
, garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 10.Contoh 10.
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil limitnya,
dan nyatakan dalam bentuk integral.
0
x
1 2
x
∆x
2
xy =
x2
y
1
2
3
4
JawabJawab
NextBackHome

Hal.: 55 Integral
0
x
1 2
x
∆x
2
xy =
x2
y
1
2
3
4
r = x
∆x
h = x2
0
x
1 21 2
y
1
2
3
4
∆V ≈ 2πrh∆x
∆V ≈ 2π(x)(x2
)∆x
V ≈ ∑ 2πx3
∆x
V = lim ∑ 2πx3
∆x
dxxV ∫=
2
0
3
2π
[ ]
2
0
4
4
12 xV π=
π8=V
NextBackHome

Hal.: 56 Integral
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan
sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut
membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode
cincin adalah sebagai berikut.
0
x
1 2-2 -1
y
1
2
3
4
∆V ≈ π(R2
– r2
)∆y
∆V ≈ π(4 - x2
)∆y
V ≈ ∑ π(4 – y)∆y
V = lim ∑ π(4 – y)∆y
( ) dxyV ∫ −=
4
0
4π
[ ]
4
0
2
2
14 yyV −=π
π)816( −=V
π8=V
0
x
1 2
x
2
xy =
y
1
2
3
4
∆y
r=x
R = 2
Home Back Next

Hal.: 57 Integral
Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali
Latihan (6 soal)
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan

Hal.: 58 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
0
X
Y 2xy =
2
4
dxx∫
2
0
2
dyy∫
4
0
dxx∫
4
0
2
dxx∫ −
2
0
2
)4(
dxx∫ −
4
0
2
)4(
Soal 1.Soal 1.
A
B
C
D
E
Home Back Next

Hal.: 59 Integral
Soal 1.Soal 1.
0
X
Y 2xy =
2
4
dxx∫
2
0
2
dyy∫
4
0
dxx∫
4
0
2
dxx∫ −
2
0
2
)4(
dxx∫ −
4
0
2
)4(
A
B
C
D
E
∆ L ≈ (4 – x2
) ∆x
L ≈ ∑ (4 – x2
) ∆x
L = lim ∑ (4 – x2
) ∆x
dxx )4(L
2
0
2
∫ −= ( Jawaban D )
Jawaban Anda Benar
Home NextBack

Hal.: 60 Integral
Soal 1.Soal 1.
dxx∫
2
0
2
dyy∫
4
0
dxx∫
4
0
2
dxx∫ −
2
0
2
)4(
dxx∫ −
4
0
2
)4(
A
B
C
D
E
0
X
Y 2xy =
2
4
∆x
x
4 - x2
∆ L ≈ (4 – x2
) ∆x
L ≈ ∑ (4 – x2
) ∆x
L = lim ∑ (4 – x2
) ∆x
dxx )4(L
2
0
2
∫ −= ( Jawaban D )
Jawaban Anda Salah
Home NextBack

Hal.: 61 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0
X
Y
2
4 xy −=
Home Back Next

Hal.: 62 Integral
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0
X
Y
2
4 xy −=
∆ L ≈ (4 – x2
) ∆x
L ≈ ∑ (4 – x2
) ∆x
L = lim ∑ (4 – x2
) ∆x
dxx )4(L
2
2
2
∫
−
−=
( Jawaban E )
[ ]
2
2
3
3
1
4L −
−= xx
)8()8(L 3
8
3
8
+−−−=
3
2
10L
3
32
==
Jawaban Anda Benar
Home NextBack

Hal.: 63 Integral
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0
X
Y
2
4 xy −=
2-2
∆x
x
∆ L ≈ (4 – x2
) ∆x
L ≈ ∑ (4 – x2
) ∆x
L = lim ∑ (4 – x2
) ∆x
dxx )4(L
2
2
2
∫
−
−=
( Jawaban E )
[ ]
2
2
3
3
1
4L −
−= xx
)8()8(L 3
8
3
8
+−−−=
3
2
10L
3
32
==
Jawaban Anda Salah
Home NextBack

Hal.: 64 Integral
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0
X
Y
2
8 xy −=
xy 2=
Home Back Next

Hal.: 65 Integral
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
∆ L ≈ (8 – x2
-2x) ∆x
dxxx )28(L
2
0
2
∫ −−=
( Jawaban D )3
1
9L
3
28
==
[ ]
2
0
23
3
1
8L xxx −−=
416L 3
8
−−=
0
X
Y
2
8 xy −=
xy 2=
2
Jawaban Anda Benar
Home NextBack

Hal.: 66 Integral
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0
X
Y
2
8 xy −=
xy 2=
2
∆ L ≈ (8 – x2
-2x) ∆x
dxxx )28(L
2
0
2
∫ −−=
( Jawaban D )3
1
9L
3
28
==
[ ]
2
0
23
3
1
8L xxx −−=
416L 3
8
−−=
Jawaban Anda Salah
Home NextBack

Hal.: 67 Integral
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2
dan garis x + y = 2 adalah ….Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2
dan garis x + y = 2 adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
Home Back Next

Hal.: 68 Integral
A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
( Jawaban B )
∆ L ≈ [(2 – y ) – y2
] ∆y
dyxy )2(L
1
2
2
∫
−
−−= 5,4
2
9
L ==
[ ]
1
2
3
3
12
2
1
2L −
−−= yyy
)24()2(L 3
8
3
1
2
1
+−−−−−=
0
X
Y
2
yx =
yx −= 2
-2
1
Jawaban Anda Benar
Home NextBack

Hal.: 69 Integral
( Jawaban B )
∆ L ≈ [(2 – y ) – y2
] ∆y
dyxy )2(L
1
2
2
∫
−
−−= 5,4
2
9
L ==
[ ]
1
2
3
3
12
2
1
2L −
−−= yyy
)24()2(L 3
8
3
1
2
1
+−−−−−=
A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas 0
X
Y
2
yx =
yx −= 2
-2
1
Jawaban Anda Salah
Home NextBack

Hal.: 70 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
A
B
C
D
E
SoalSoal 55..
∫=
4
0
dxxv π
∫=
4
0
2
dxxv π
∫=
4
0
2 dxxxv π
∫ −=
2
0
)16(2 dyyv π
∫=
2
0
dyyv π
0 X
Y
Xy =
4
2
Home Back Next

Hal.: 71 Integral
A
B
C
D
E
SoalSoal 55..
∫=
4
0
dxxv π
∫=
4
0
2
dxxv π
∫=
4
0
2 dxxxv π
∫ −=
2
0
)16(2 dyyv π
∫=
2
0
dyyv π
0 X
Y
Xy =
4
2
( Jawaban D )
∆ V ≈ 2πx√x ∆x
dxxx∫=
4
0
2V π
Jawaban Anda Benar
Home NextBack

Hal.: 72 Integral
( Jawaban D )
∆ V ≈ 2πx√x ∆x
dxxx∫=
4
0
2V π
A
B
C
D
E
SoalSoal 55..
∫=
4
0
dxxv π
∫=
4
0
2
dxxv π
∫=
4
0
2 dxxxv π
∫ −=
2
0
)16(2 dyyv π
∫=
2
0
dyyv π
0 X
Y
Xy =
4
2
x
x
Jawaban Anda Salah
Home NextBack

Hal.: 73 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4π satuan volum
6π satuan volum
8π satuan volum
12π satuan volum
15π satuan volum
0 X
Y
Xy =
4
2
Home Back Next

Hal.: 74 Integral
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4π satuan volum
6π satuan volum
8π satuan volum
12π satuan volum
15π satuan volum
0 X
Y
Xy =
4
2
( Jawaban C )
∆ V ≈ π(√x)2
∆x
∫=
4
0
V dxxπ
[ ]
4
0
2
2
1
V xπ=
π8V =
Jawaban Anda Benar
Home Back Next

Hal.: 75 Integral
( Jawaban C )
∆ V ≈ π(√x)2
∆x
∫=
4
0
V dxxπ
[ ]
4
0
2
2
1
V xπ=
π8V =
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4π satuan volum
6π satuan volum
8π satuan volum
12π satuan volum
15π satuan volum
0 X
Y
Xy =
4
2
x
x
Jawaban Anda Salah
Home Back Next

Hal.: 76 Integral
Media Presentasi Pembelajaran
Penggunaan Integral
Selesai
Terima Kasih

Integral Tak Tentu

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Integral Tak Tentu

Similar to Integral Tak Tentu (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Integral Tak Tentu