Tugas Kalkulus bab 8

1. bab 8
teknIk dasar Integral
Integral dengan substItusI
Tidak satu pun dari formula atau aturan integrasi dari Bab 7 yang sesuai secara langsung
dengan integral berikut: ∫( + 4) 2x dx,∫ dx, or ∫
dx. Untuk menemukan integral
seperti ini, Anda dapat menggunakan metode yang disebut integrasi dengan substitusi (sering
disebut Integrasi oleh μ - Substitusi). Integrasi dengan substitusi bergantung pada aturan rantai
yang Anda gunakan. (Lihat Bab 5 untuk diskusi tentang penggunaan aturan rantai dalam
diferensiasi.) Diintegrasikan dengan substitusi Anda mengganti variabel baru untuk ekspresi
fungsional yang dipilih secara bijaksana dalam integrand; Dan kemudian setelah mengubah
integral asli, sesuai kebutuhan, berdasarkan pemahaman Anda tentang aturan rantai, Anda
mengintegrasikan sehubungan dengan variabel baru. Saat mengubah integral, tujuannya adalah
menciptakan integral yang memiliki bentuk ∫ ( ) ′( ) .
Biasanya, variabel u digunakan sebagai variabel substitusi, seperti yang ditunjukkan pada
contoh berikut:
Masalah : Temukan ∫( + 3) 2x dx.
Solusi : jika kamu memisalkan u = + 3, lalu du = 2xdx. Bila Anda membuat substitusi ini,
integral mengambil bentuk fungsi daya, Yang bisa Anda integrasikan seperti yang ditunjukkan di
bawah ini.
∫( + 3) 2x dx = ∫ du Mengganti u = + 3 dan du = 2xdx
= + C Mengintegrasikan dengan hormat kepada u
=
( )
+ C Mengganti + 3 = u Sehingga solusinya adalah dari segi
variabel aslinya
Masalah : Temukan ∫ dx

2. Solusi : Jika kamu memisalkan u = , lalu du = 3 dx. Karena konstanta 3 tidak muncul
dalam integrand asli, Anda perlu mentransformasikan integrand dengan mengalikan integrand
dengan 1 dalam bentuk 3, dan kemudian melakukan anjuran dari integral, seperti yang
ditunjukkan di sini.
∫ dx = ∫ 3 dx Kalikan dengan 3
= ∫ 3 dx = ∫ du Anjak luar dan menggantikan u= dan du = 3 dx
= + C Mengintegrasikan dengan hormat kepada u
= + C Mengganti = u Sehingga solusinya adalah dalam hal
variabel aslinya
Catatan: Kamu dapat menggunakan teknik ini (ditunjukkan pada contoh di atas) untuk
mengalikan integrand dengan 1 dalam bentuk k, dan kemudian melakukan anjak
dari integral
untuk setiap konstanta nol, k; Namun, teknik yang sama dengan variabel tidak valid. Adalah
salah untuk menentukan suatu ekspresi yang mengandung variabel dari suatu integral.
Masalah : Temukan ∫
dx.
Solusi : Jika kamu memisalkan u = +2, lalu du = 4 dx. Karena konstanta 4 tidak muncul
dalam integrand asli, Anda perlu mengubah integral dengan mengalikan integrand dengan 1
dalam bentuk 4, dan kemudian menghasilkan dari integral, seperti yang ditunjukkan di sini.
∫
dx = ∫ dx Kalikan dengan 4
= ∫
dx = ∫ Anjak luar dan mengganti u = +2 and du = 4 dx
= ln |u| + C Mengintegrasikan dengan hormat kepada u
= ln ( +2) + C Mengganti +2 = u Sehingga solusinya adalah dari segi variabel aslinya

3. Menjadi ahli dalam memilih substitusi u membutuhkan latihan. Kamu harus menghafal
formula integrasi dasar yang disajikan pada Bab 7 untuk memfasilitasi prosesnya. Berikut adalah
beberapa panduan umum: Gantikan u untuk
 sebuah ekspresi dalam tanda kurung
 eksponen dalam ekspresi eksponensia
 penyebut pecahan atau pecahanan
 Ekspresi di bawah tanda radikal (kecuali bila integrand memiliki bentuk turunan
dari fungsi sinus atau sekering terbalik)
8.1 Gunakan integrasi dengan substitusi untuk menemukan integral tak tentu yang paling umum.
1. ∫ 3( − 5) dx 6. ∫
2. ∫ dx 7. ∫ cos(3 + 1)
3. ∫ dt 8. ∫
√ ( √
√
4. ∫( -3x) (5 -3) dx 9. ∫
dx
5. ∫ ( )
10. ∫ 6 dt
IntegrasI oleh bagIan
Integrasi oleh bagian adalah teknik yang ampuh untuk mengintegrasikan integral rumit
tertentu seperti ∫ sin 3 , ∫ ln , ∫ Yang tidak meminjamkan diri pada
formula integrasi dasar atau teknik penggabungan dengan substitusi. Jika u dan v adalah fungsi
terdiferensialkan, maka persamaan untuk integrasi oleh bagian diberikan oleh
= . − .
Inti yang diberikan adalah∫ , Yang memiliki dua "bagian": u dan dv. Tujuan
integrasi oleh bagian adalah dengan bijak memilih kedua bagian ini sehingga integral yang

4. dihasilkan di sebelah kanan, ∫ . , Lebih mudah untuk mengintegrasikan daripada integral asli
di sebelah kiri, . Untuk melihat bagaimana formula bekerja, pertimbangkan contoh berikut.
Masalah : Temukan∫ sin 3 .
Solusi : misalkan u = x dan dv = sin 3x dx. lalu du = dx dan v = ∫ sin 3 = − cos 3 .
Catatan: Konstanta integrasi ditambahkan pada akhir proses. Sekarang, dengan menggunakan
integrasi dengan persamaan bagian, kamu dapatkan
= . − .
∫ sin 3 . = (x) (− cos 3x) – ∫( − cos 3x) dx
= − x cos 3x + ∫ cos 3
= − x cos 3x + sin 3x
= − x cos 3x + sin 3x + C
Masalah : Temukan ∫ ln
Solusi : misalkan u = in x dan dv = dx. Lalu du = dan v = ∫ =
Sekarang, dengan menggunakan integrasi dengan persamaan bagian, kamu dapatkan
= . − .
∫ ln = (in x) ( ) − ∫
= - ∫
= -
= - +

5. Terkadang, kamu mungkin perlu menerapkan integrasi lebih banyak dari sekali seperti
ditunjukkan pada contoh berikut.
Masalah : Temukan ∫
Solusi : misalkan u = and dv = . Lalu du = 2x dx and v = ∫ = -
Sekarang, dengan menggunakan integrasi dengan persamaan bagian, kamu dapatkan
= . − .
∫ = ( ) – − ∫ − 2
= - + ∫ 2
Seperti yang kamu lihat, integral di sebelah kanan tidak sesuai dengan formula integrasi
dasar. Untuk mengintegrasikan integral itu, kamu dapat menerapkan integrasi oleh suku cadang
untuk kedua kalinya.
Kali ini, misalkan u = 2x dan dv =
Lalu du = 2x dx dan v = ∫ = -
Sekarang, dengan menggunakan integrasi dengan persamaan bagian, kamu dapatkan
= . − .
∫ 2
= (2
) – − ∫ − 2
= -2 + 2 ∫
= -2
− 2
Menggabungkan kedua hasil ini, Kamu dapatkan
∫ = - − 2
− 2
Berikut adalah beberapa panduan umum yang harus diikuti untuk integrasi oleh bagian-
bagiannya :

6. 1. Cobalah membiarkan dv menjadi bagian paling rumit dari integrand yang Anda kenali
sebagai integrable.
2. Selalu sertakan perbedaan sebagai bagian dari dv.
3. Cobalah membiarkan u menjadi bagian dari integral yang turunannya lebih sederhana dari
pada u.
4. Untuk integral yang terdiri dari faktor tunggal kali diferensial, biar dv menjadi diferensial.
5. Bersiaplah untuk menerapkan integrasi beberapa bagian lebih dari satu kali dalam masalah
yang sama.
8.2 Gunakan integrasi oleh bagian-bagian untuk menemukan integral tak tentu yang paling
umum.
1. ∫ 2 sin 2 6. ∫ dx
2. ∫ 7. ∫ ( − 3)
3. ∫
8. ∫ (4 )
4. ∫ cos 9. ∫ ( + 5)
5. ∫ ( ) 10. ∫ √ + 2 dx
IntegrasI dengan menggunakan tabel rumus Integral
Teknik integrasi lainnya adalah mengintegrasikan dengan menggunakan tabel rumus
integral. Tabel dari 67 formula integral umum diberikan di Lampiran C untuk kenyamanan
Anda. Berikut ini adalah beberapa informasi bermanfaat tentang tabel integral secara umum:
1. Huruf di awal alfabet (mis., A, b, c, dan d) mewakili konstanta.
2. Huruf n sering digunakan untuk mewakili eksponen konstan (mis., X n).
3. Huruf k sering digunakan untuk mewakili konstanta dalam ekspresi eksponensial (mis., Ekx).
4. Jika integrand mengandung fraksi, perbedaannya mungkin berada dalam pembilang fraksi.
5. Konstanta integrasi mungkin diabaikan.
6. Logaritma alami bisa ditulis sebagai log (x) dan bukan ln x.

7. Untuk mengintegrasikan menggunakan tabel formula integral, Anda cukup melihat-lihat
tabel sampai Anda menemukan formula integral dimana integrand persis sama dengan bentuk
integral integral yang ingin Anda integrasikan. Terkadang, tugas untuk menemukan formula
integral semacam itu sangat mudah seperti pada contoh berikut.
Masalah : Temukan ∫
Solusi : Integral ini cocok dengan Formula 38. Oleh karena itu,
∫ = x – ln (1 + ) +
Masalah : Temukan ∫ tan
Solusi : Integral ini cocok dengan Formula 13. Oleh karena itu,
∫ tan = -ln |cos u| + C
Masalah : Temukan ∫ ln
Solusi : Integral ini cocok dengan Formula 40. Oleh karena itu,
∫ ln = t ln t –t + C
Dalam beberapa kasus, Anda mungkin perlu mengganti nilai untuk konstanta yang
muncul dalam formula seperti ditunjukkan pada contoh ini.
Masalah : Temukan ∫ √
dx
Solusi : Integral ini cocok dengan Formula 55 dengan a = 3 dan b = 5. Oleh karena itu, kamu
memiliki
∫ √
dx =
√
ln |
√ √
√ √
| + C
∫ √
dx =
√
ln |
√ √
√ √
| + C
Terkadang, formula integrasi yang tepat mungkin sulit ditemukan. Sebelum menyerah,
bereksperimen dengan teknik berikut untuk mencoba mengubah integral yang diberikan menjadi
satu yang Anda dapat menggunakan tabel formula integral.
1. Perluas ungkapan yang diangkat ke sebuah kekuatan.

8. 2. Menulis kembali ekspresi yang dinaikkan ke kekuatan negatif sebagai ekspresi setara
yang diangkat ke kekuatan positif.
3. Faktor keluar konstanta asing dari integral.
4. Pisahkan pembilang yang memiliki lebih dari satu frase aljabar terpisah.
5. Tuliskan fraksi aljabar yang tidak semestinya sebagai hasil imbuhan plus sisa
penyebutan.
6. Lengkapi kotak untuk ekspresi kuadrat.
Jika garis serangan ini gagal, Anda mungkin harus mengakui bahwa integral tidak dapat
diintegrasikan dengan menggunakan metode dasar.
Catatan: Kalkulator grafik tertentu (mis., TI-92) dan beberapa program perangkat lunak (mis.,
Deriv, Maple, dan Mathematica) mampu menghasilkan hasil integrasi simbolis. Namun, tidak
biasa hasilnya berubah dari apa yang Anda dapatkan melalui cara tradisional. Selanjutnya, Anda
mungkin menemukan bahwa alat integrasi simbolis tidak dapat menemukan antimerivatif untuk
integrand. Namun demikian, alat integrasi simbolis dapat berguna untuk melakukan integrasi
integral yang rumit. Memahami proses seperti yang ditunjukkan dalam bab ini akan sangat
menguntungkan Anda saat menggunakan utilitas semacam itu.
8.3 Gunakan tabel rumus integral pada Lampiran C untuk menemukan integral tak tentu yang
paling umum.
1. ∫ cot 6. ∫ 3
2. ∫ ( )( )
7. ∫ √10 + 3
3. ∫( ) 8. ∫ ( + 5)
4. ∫ cos 9. ∫ √ + 2
5. ∫ ( )
10. ∫