Dokumen tersebut membahas tentang transformasi linear dari satu himpunan ke himpunan lain. Secara singkat, dibahas mengenai definisi fungsi dan transformasi linear, jenis-jenis transformasi linear seperti rotasi, refleksi, ekspansi, dan komposisi dari beberapa transformasi linear. Representasi geometris dan matriks standar dari berbagai transformasi linear pun dijelaskan.

1. 2017 | PPs UNM
1KAPITA SELEKTA
1
TRANSFORMASI LINEAR DARI KE
A. Fungsi dari ke
Fungsi adalah suatu aturan yang mengasosiasikan setiap elemen himpunan
dengan hanya satu elemen dalam himpunan . Jika mengasosiasikan elemen dengan
elemen maka dan mengatakan bahwa adalah bayangan (image) dari
karena atau adalah nilai (value) dari pada .
Himpunan disebut domain dari dan himpuan disebut kodomain dari . Suatu
subhimpunan dari yang terdiri dari semua nilai yang mungkin untuk ketika nilai
bervariasi sepanjang disebut range dari .
Terdapat beberapa jenis fungsi, yakni:
1. Fungsi bernilai real dari suatu variabel real
2. Fungsi bernilai real dari vektor pada atau
Rumus Contoh Klasifikasi Keterangan
Fungsi bernilai real
dari satu variabel real
Fungsi dari ke
Fungsi bernilai real
dari dua variabel real
Fungsi dari ke
Fungsi bernilai real
dari tiga variabel real
Fungsi dari ke
Fungsi bernilai real
dari variabel real
Fungsi dari ke
Dua fungsi dan dianggap sama (equal), yang ditulis sebagai , jika keduanya
memiliki domain yang sama dan untuk semua pada domain tersebut.

2. 2017 | PPs UNM
2KAPITA SELEKTA
2
B. Fungsi dari ke
Jika domain dari fungsi adalah dan kodomainnya adah ( dan mungkin
sama) maka disebut sebagai peta (map) atau transformasi (transformation) dari ke
. Secara ringkas disebut fungsi memetakan ke dan dinotasikan
Fungsi - fungsi pada Tabel 1 adalah transformasi di mana . Pada kasus dimana
, transformasi disebut operator pada . Baris pertama pada tabel
adalah suatu operator pada .
Transformasi didefinisikan dengan persamaan dalam bentuk
Dinotasikan
Contoh 1:
Persamaan – persamaan
Mendefinisikan suatu transformasi . Dengan transformasi ini, bayangan
dari titik adalah
,
Jadi,

3. 2017 | PPs UNM
3KAPITA SELEKTA
3
C. Transformasi Linear dari ke
Transformasi linear didefinisikan dengan persamaan linear dalam bentuk:
atau dalam notasi matriks
[ ] [ ] [ ]
Atau singkatnya
Matriks disebut matriks standar (standart matrix) untuk transformasi linear
, dan disebut perkalian dengan (multiplication by A)
Contoh 2:
Transformasi linear didefinisikan dengan persamaan-persamaan
dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut
[ ] [ ] [ ]
Sehingga matriks standar untuk
[ ]
Oleh karena itu jika dimisalkan maka akan diperoleh

4. 2017 | PPs UNM
4KAPITA SELEKTA
4
D. Representasi Geometris dari Transformasi Linear
Jika adalah perkalian dengan dan jika penekanan sebagai matriks
standar untuk T adalah hal yang penting, maka kita akan menotasikan transformasi linear
sebagai , sehingga
Dari persamaan ini dapat dipahami bahwa vektor x pada dinyatakan sebagai suatu
matriks kolom.
(a) memetakan titik ke titik (b) memetakan vetor ke vektor
Contoh 3:
Transformasi nol dari ke
Jika 0 adalah matriks nol m x n dan 0 adalah vektor nol pada maka untuk setiap
vektor x pada .
Sehingga perkalian dengan nol memetakan setiap vektor pada ke vektor nol pada
sehingga sebagai transformasi nol (zero transformation) dari ke .
Kadang-kadang transformasi nol dinotasikan dengan 0. Walaupun ini merupakan
notasi yang sama yang digunakan untuk matriks nol, interpretasi yang sesuai biasanya
dapat diketahui dengan jelas dari konteksnya.
Untuk setiap matriks A, terdapat suatu transformasi linear TA (perkalian dengan A) yang
bersesuaian, dan untuk setiap transformasi linear T: 𝑅 𝑛
=> 𝑅 𝑚
terdapat matriks [T], m x
n (matriks standar untuk T) pada 𝑅 𝑛
ke suatu titik (atau vektor) baru

5. 2017 | PPs UNM
5KAPITA SELEKTA
5
Contoh 4:
Operator Identitas pada
Jika I adalah matriks identitas n x n, maka untuk setiap vektor pada .
Sehingga perkalian dengan I memetakan setiap vektor pada yang dinotasikan
dengan I. Meskipun notasi yang digunakan ini sama dengan notasi untuk matriks
identitas, interpretasi yang sesuai biasanya dapat dikethui dengan jelas dari
konteksnya.
E. Transformasi Linear Bidang
Transformasi bidang merupakan transformasi linear dari ke . Jika
adalah transformasi bidang dan
* +
adalah mariks baku untuk , maka:
(| |) * + * + [ ]
baik sebagai komponen-komponen vektor maupun koordinat-koordinat titik. Dengan
tafsiran yang pertama, memetakan panah menjadi panah, dan dengan tafsiran yang
kedua, memetakan titik menjadi titik. Pilihan tersebut hanyalah alternative bagi anda.
Dalam pembahasan berikutnya, kita meninjau transformasi linear bidang pemetaan titik
ke titik.
Contoh 5:
Misalkan adalah transformasi linear yang memetakan masing-masing
titik ke daam bayangan simetriknya terhadap sumbu . Carilah matriks baku untuk .

6. 2017 | PPs UNM
6KAPITA SELEKTA
6
Pemecahan:
(* +) * +;
(* +) * +;
Dengan menggunakan dan sebagai vektor-vektor kolom akan kita
peroleh matriks baku
* +
Sebagai pemeriksaan, maka
* + * + * +
Sehingga perkalian oleh akan memetakan titik ke dalam bayangan
simetriknya terhadap sumbu .
Terdapat lima jenis transformasi linier bidang yang mempunyai makna khusus: perputaran
(rotasi), refleksi, ekspansi, kompresi, dan geseran.
1. Operator Perputaran (rotasi)
Suatu operator yang merotasi setiap vekor pada sebesar suatu sudut tertentu
disebut operator rotasi (rotation operator) pada .
Operator Ilustrasi Persamaan
Matriks
Standar
Rotasi sebesar
sudut
* +
Cara yang paling umum untuk menggambarkan suatu sumbu rotasi umum adalah
dengan menentukan suatu vektor taknol u2 yang bergerak sepanjang sumbu rotasi dan
memiliki titik awal pada titik asal.Arah rotasi berlawanan jarum jam terhadap sumbu
,dapat ditentukan kemudian dengan “aturan tangan kanan”.Jika ibu jari tangan kanan
menunjuk kearah u2 maka jari-jari yang tergenggam mengarah ke arah yang
berlawanan arah jarum jam.

7. 2017 | PPs UNM
7KAPITA SELEKTA
7
a) Sudut rotasi b) aturan tangan kanan
Contoh 6:
Jika setiap vektor pada R2
mengalami rotasi sebesar sudut ,maka bayangan w dari vektor
* +
adalah
[ ] * + [
√
√
] * +
[
√
√
]
Sebagian contoh,bayangan dari vektor
* +
[
√
√
]
2. Operator Refleksi
Refleksi terhadap sebuah garis melalui titik asal adalah transformasi yang
memetakan masing-masing titik pada bidang ke dalam bayangan cerminnya terhadap
Secara umum, operator-operator pada dan yang memetakkan setiap vektor ke
bayangan simetriknya sendiri terhadap garis atau bidang tertentu disebut operator
refleksi (pencerminan) (reflection operator). Operator semacam ini adalah linear.

8. 2017 | PPs UNM
8KAPITA SELEKTA
8
Operator Ilustrasi Persamaan
Matriks
Standar
Refleksi
terhadap
sumbu
* +
Refleksi
terhadap
sumbu
* +
Refleksi
terhadap garis
* +
3. Operator Ekspansi dan Kompresi
Jika koordinat dari masing-masing titik pada bidang dikalikan dengan kontstanta
yang positif, maka efeknya adalah memperluas atau mengkompresi masing-masing
gambar dalam arah .
Jika :
a. maka hasilnya adalah kompresi
b. , maka hasilnya adalah ekspansi
Transformasi yang demikian dinamakan ekspansi/kompresi dalam arah dengan
factor . Demikian juga jika koordinar dari masing-masing titik dikalikan dengan
konstanta positif, maka didapatkan sebuah ekspansi/kompresi dalam arah dengan
factor Ekspansi dan kompresi sepanjang sumbu-sumbu koordinat adalah
transformasi linear.

9. 2017 | PPs UNM
9KAPITA SELEKTA
9
Jika adalah ekspansi dalam arah dengan factor , maka
(* +) * +;
(* +) * +;
Sehingga matriks baku untuk adalah
* +
Demikian juga matriks baku untuk ekspansi atau kompresi untuk arah adalah
* +
Kompresi paling ekstrem terjadi ketika dimana tereduksi menjadi
operator nol , yang memperkecil setiap vektor menjadi satu titik. Jika
, maka tereduksi menjadi operator identitas sehingga
setiap vektor tidak berubah.
Operator
Ilustrasi Persamaan
Matriks
Standar
Operator kompresi
dengan faktor pada
* +
Operator ekspansi
dengan faktor pada
* +
4. Operator Proyeksi
Secara umum operator proyeksi (projection operator) (atau lebih tepatnya operator
proyeksi orthogonal) pada adalah operator sebarang yang memetakan setiap
vektor ke proyeksi orthogonalnya pada suatu garis atau suatu bidang yang melewati
titik asal. Dapat diperlihatkan bahwa operator-operator semacam ini adalah linear.

10. 2017 | PPs UNM
10KAPITA SELEKTA
10
Operator Ilustrasi Persamaan
Matriks
Standar
Proyeksi orthogonal
terhadap sumbu
* +
Proyeksi orthogonal
terhadap sumbu
* +
5. Operator Geseran
Sebuah geseran dalam arah dengan faktor aalah transformasi yang menggerakkan
masing-masing titi sejajar dengan sumbu sbanyak menuju kedudukan
yang baru
Titik-titik pada sumbu tidak digerakan karena . Akan tetapi, semakin jauh dari
sumbu , besar semakin bertambah, sehingga titik-titik yang lebih jauh dari sumbu
bergerak sejarak yang lebih besar dari titik-titik yang lebih dekat ke sumbu tersebut.
Operator Ilustrasi Persamaan
Matriks
Standar
Operator
pergeseran
dalam arah
* +
Operator
pergeseran
dalam arah
* +

11. 2017 | PPs UNM
11KAPITA SELEKTA
11
F. Komposisi Transformasi Linear
Jika dan adalah transformasi-transformasi linear .maka
untuk setiap pada , pertama-tama kita dapat menghitung yang merupakan
suatu vektor pada .dan kemudian kita dapat menghitung yaitu suatu vektor
pada Transformasi ini disebut komposisi dengan (composition of with
) dan dinotasikan dengan (baca lingkaran ) Jadi,
Komposisi adalah linear karena
( )
Sehingga adalah perkalian dengan , yang merupakan suatu transformasi
linear. Dapat dilihat bahwa Mengailkan matriks-matriks adalah sama dengan menyusun
transformasi linear yang bersesuaian dengan urutan faktor-faktor kanan dari kiri.
𝑇 𝑇 𝑇 𝑇
Jika 𝑇 𝑅 𝑛
𝑅 𝑘
dan 𝑇 𝑅 𝑘
𝑅 𝑚
1 adalah transformasi-transformasi linear maka
karena matriks standar untuk komposisi 𝑇 𝑇 adalah hasil kali dari matriks-matriks
standar 𝑇 dan 𝑇 kita memiliki

12. 2017 | PPs UNM
12KAPITA SELEKTA
12
Contoh 7:
Komposisi dari dua rotasi
Misalkan dan adalah operator-operator linear yang
merotasi vektor-vektor berturut-turut sebesar sudut dan . Jadi, operasi
Pertama-tama merotasi sebesar sudut ,kemudian merotasi sebesar sudut
maka dampak akhir dari adalah merotasi setiap vektor pada sebesar sudut
.
Jadi,matriks-matriks standar untuk operator-operator linear ini adalah :
[ ] [ ]
[ ]
Dengan bantuan beberapa identitas trigonometri dasar kita dapat menunjukan bahwa
berikut ini juga berlaku
[ ] [ ]

13. 2017 | PPs UNM
13KAPITA SELEKTA
13
Contoh 8:
Komposisi Bersifat Tidak Komutatif
Misalkan adalah operator refleksi terhadap garis ,dan misalkan
adalah proyeksi orthogonal pada sumber y .Gambar di bawah
memberikan ilustrasi secara grafis bahwa dan memiliki dampak yang
berbeda terhadap suatu vektor .
Kesimpulan yang sama dapat diperoleh dengan menunjukan bahwa matriks-matriks
standar untuk T1 dan T2 tidak komutatif
* + * + * +
* + * + * +
Sehingga
Secara umum,urutan susunan transformasi linear merupakan hal yang
menetukan.Ini telah diperkirakan sebelumnya,karena komposisi dari dua
transformasi linear adalah sesuai dengan perkalian dari matriks-matriks standarnya

14. 2017 | PPs UNM
14KAPITA SELEKTA
14
Contoh 9:
Komposisi Dari Dua Refleksi
Misalkan adalah refleksi terhadap sumbu y, dan misalkan
adalah refleksi terhadap sumbu . Pada kasus ini dan adalah sama
keduanya memetakan setiap vektor ke negatifnya –
Kesamaan dari dan juga dapat didukasi dengan menunjukkan bahwa
matriks-matriks standar untuk T1 dan T2 adalah komut :
* + * + * +
* + * + * +
Operator pada disebut refleksi terhadap titik asal (reflection
abaout the origin).Sebagaimana ditunjukkan oleh perhitungan diatas matriks standar
untuk operator ini pada R2
adalah
* +

15. 2017 | PPs UNM
15KAPITA SELEKTA
15
G. Komposisi dari Tiga atau Lebih Transformasi Linear
Komposisi dapat didefinisikan untuk tiga atau lebih tranformasi linear.Sebagai
contoh, perhatikan tranformasi linear.
dapat didefinisikan dengan
( )
Con
Contoh 10:
Tentukan Matriks standar untuk operasi linear yang pertama-tama
merotasi suatu vektor berlawanan arah jarum jam terhadap sumbu z sebesar sudut ,
kemudian merefleksikan vektor yang dihasilkan terhadap bidang yz dan kemudian
memproyeksikan vektor tersebut secara orthogonal ke bidang xy.
Penyelesaian
Transformasi linear T dapat dinyatakan sebagai komposisi
Dimana adalah rotasi terhadap sumbu z, adalah refleksi terhadap bidang yz,
dan adalah proyeksi ortogonal pada bidang xy. Dapat dilihat bahwa matriks standar
dari transormasi tersebut adalah
[ ] [ ] [ ]
𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇
Komposisi dai dua atau lebih transformasi linear adalah suatu transformasi linear dan
bahwa matriks standar untuk 𝑇 𝑇 𝑇 berkaitan dengan matriks-matriks standar untuk
𝑇 𝑇 dan 𝑇 sebagaimana berikut

16. 2017 | PPs UNM
16KAPITA SELEKTA
16
Jadi dari matriks standar untuk T adalah yaitu
[ ] [ ] [ ]
[ ]