Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

1. Γ΄ Λυκείου Πρια ςυναρτιςεων – Κεφάλαιο 3ο
Χατηόπουλοσ Μάκθσ
http://lisari.blogspot.com
1 | ΢ ε λ ί δ α Ε Π Α . Λ Π α ρ α δ ε ι ς ί ο υ
ΕΡΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΤΖΟΡΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
Είναι το πιο κοινό τφν λαθών να θεφρηθεί ότι
το όριο της ιστύος της αντίληυής μας είναι επίσης
το όριο όλφν όσα σπάρτοσν για να αντιληυθούμε.
( C.W. Leadbeater)
 ΘΕΩ΢ΙΑ
 ΑΣΚΗΣΕΙΣ
 ΛΥΜΕΝΑ ΡΑ΢ΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΕΡΑ.Λ ΡΑ΢ΑΔΕΙΣΙΟΥ – ΢ΟΔΟΣ
ΟΡΙΑ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
15 Δεκεμβρίου
2008
   
0
0lim
x x
f x f x

 Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

2. Γ΄ Λυκείου Πρια ςυναρτιςεων – Κεφάλαιο 3ο
Χατηόπουλοσ Μάκθσ
http://lisari.blogspot.com
2 | ΢ ε λ ί δ α Ε Π Α . Λ Π α ρ α δ ε ι ς ί ο υ
ΘΕΩ΢ΙΑ 1 / ΘΥΜΑΜΑΙ ΟΤΙ / ΡΑ΢ΑΓΟΝΤΟΡΟΙΗΣΗ
 Τι ςθμαίνει παραγοντοποίθςθ; Όταν μια παράςταςθ τθν μετατρζπουμε
από πρόςκεςθ ι αφαίρεςθ ςε πολλαπλαςιαςμό
 Ρου μασ βοθκάει θ παραγοντοποίθςθ; ΢τθν απλοποίθςθ των κλαςμάτων,
ςτθν επίλυςθ εξιςώςεων και ςτθν εφρεςθ των ορίων όπωσ κα δοφμε
παρακάτω
 Ρόςοι τρόποι υπάρχουν για να παραγοντοποιοφμε; Οι βαςικζσ μζκοδοι
είναι τρεισ
 Κοινόσ παράγοντασ (αν υπάρχει κοινόσ όροσ)
 Διαφορά τετραγώνων   2 2
        
 Τριώνυμο 2
   
Αναλυτικά δείτε τισ λυμζνεσ και άλυτεσ αςκήςεισ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ
1. Να παραγοντοποιιςετε τα παρακάτω με τθν βοικεια του κοινοφ παράγοντα.
α)        
β)  2 2 2     
γ)  3 2
2 2     
δ)  3 5 3 2
5 4 5 4     
ε)  4 2 3
3 2 3 2         
ςτ)  2
2 6 2 3     
2. Να γίνει διαφορά τετραγώνων
α)   2 2
3 3 3     
β)   2 2 2
9 3 3 3        
ε) 2
25  
η) 4
16  
η)5 5  
θ) 2
5  
κ) 2
3 2  
ι)2 6  
ια) 2
3 8  
ιβ) 5 3
2 7    
ιγ) 3
2  
γ) 2
1  
δ) 2
4  
ςτ) 2 2
16 49  

3. 3. Να παραγοντοποιιςετε τα παρακάτω τριώνυμα.
β)   2
5 6 ......... .........      γ)   2
5 6 ......... .........     
δ)   2
8 7 ......... .........      ε)   2
7 12 ......... .........     
Α)
2
3 10   = ;;; (ΛΤΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ)
1  3   10  
2
4       
2
3 4 1 10 9 40 49        
1,2
2



  

 
1,2
53 49 3 7
22 1 2

   
   
 
που είναι οι λφςεισ
Άρα παραγοντοποιείται:   2
3 10 5 2       
Προςοχή: Σισ λφςεισ τισ βάηουμε με ΑΛΛΑΓΜΕΝΑ πρόςθμα μζςα ςτθν παρζνκεςθ!!

4. Γ΄ Λυκείου Πρια ςυναρτιςεων – Κεφάλαιο 3ο
Χατηόπουλοσ Μάκθσ
http://lisari.blogspot.com
4 | ΢ ε λ ί δ α Ε Π Α . Λ Π α ρ α δ ε ι ς ί ο υ
ΘΕΩ΢ΙΑ 2 / ΘΥΜΑΜΑΙ ΟΤΙ / ΚΑΤΗΓΟ΢ΙΑ 1θ
Ο΢ΙΩΝ
 Τι ςθμαίνει όριο; Όριο είναι οι τιμζσ που παίρνει θ ςυνάρτθςθ (y = f(x) )
όταν το χ παίρνει τιμζσ πολφ κοντινζσ ςτο  και ςυμβολίηουμε  lim
x
f x

 Ρωσ υπολογίηουμε το όριο ςτθν κατθγορία 1; Απλά αντικακιςτοφμε ςτθν
ςυνάρτθςθ όπου χ το  και δεν ξαναγράφουμε το όριο μετά τθν
αντικατάςταςθ, τα αποτελζςματα κα είναι πράξεισ απλζσ και γνωςτζσ.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ
1. Βρείτε τα παρακάτω όρια:
1.  1
lim 5 3 5 1 3 5 3 2
x
x

      
2.  2
2
lim 3
x
x

 
3.  3
1
lim 3
x
x x

 
4.  3 2
0
lim 3
x
x x

 
5.
3
lim
1x
x
x


6.  0
lim 3x
x
e

 
7.  0
lim
x
 

 
8.  1
lim ln 5
x
x

 
2. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ
2
( ) 4f x x x  με   . Αν
1
lim ( ) 13
x
f x

 τότε βρείτε το λ.
3. Δίνεται ςυνάρτθςθ
1 3
( )
2 3
x x
f x
x x
 
 

. Βρείτε τα όρια:
α)
0
lim ( ) ;
x
f x

 β)
5
lim ( ) ;
x
f x



5. Γ΄ Λυκείου Πρια ςυναρτιςεων – Κεφάλαιο 3ο
Χατηόπουλοσ Μάκθσ
http://lisari.blogspot.com
5 | ΢ ε λ ί δ α Ε Π Α . Λ Π α ρ α δ ε ι ς ί ο υ
ΘΕΩ΢ΙΑ 3 / ΚΑΤΗΓΟ΢ΙΑ 2θ
Ο΢ΙΩΝ 0/0 - ΡΑ΢ΑΓΟΝΤΟΡΟΙΗΣΗ
 Τι ςθμαίνει απροςδιόριςτθ μορφι (Α.Μ); Όταν δεν γνωρίηουμε πόςο
κάνει μια πράξθ και ανάλογα με τθν άςκθςθ να βγαίνει διαφορετικό
αποτζλεςμα όπωσ ςτο
0
0
. Εξ αρχισ δεν γνωρίηουμε πόςο κάνει…
 Ροιεσ είναι οι βαςικζσ απροςδιόριςτεσ μορφζσ; Είναι τα εξισ:
1)
0
0
AM 2) AM



3) 0 AM 
4)     AM    5)    AM   
 Ρωσ υπολογίηουμε το όριο ςτθν κατθγορία 2; Απλά παραγοντοποιοφμε
αρικμθτι και παρονομαςτι (όπου είναι εφικτό), διώχνουμε τουσ κοινοφσ
όρουσ και καταλιγουμε ςε ζνα απλό όριο όπωσ ςτθν κατθγορία 1.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ
1. Βρείτε τα παρακάτω όρια που είναι 0/0:
1.
2
1
1
lim
1x
x
x



2.
2
21
lim
1x
x x
x



3.
2
2
4
lim
2 4x
x
x



4.
2
23
9
lim
3x
x
x x



5.
2
2
5 6
lim
2x
x x
x
 


6.
2
32
3 2
lim
4x
x x
x x
 


7.
2
50
6
lim
3x
x x
x x



8.
2
21
2 1
lim
x
x x
x x
 


9.
2
23
4 3
lim
2 3x
x x
x x
 

 
10. 42
2 4
lim
16x
x
x




6. Γ΄ Λυκείου Πρια ςυναρτιςεων – Κεφάλαιο 3ο
Χατηόπουλοσ Μάκθσ
http://lisari.blogspot.com
6 | ΢ ε λ ί δ α Ε Π Α . Λ Π α ρ α δ ε ι ς ί ο υ
ΘΕΩ΢ΙΑ 4 / ΚΑΤΗΓΟ΢ΙΑ 3θ
Ο΢ΙΩΝ 0/0 - ΢ΙΖΙΚΑ
 Ρωσ υπολογίηουμε το όριο ςτθν κατθγορία 3θ
; Κάνουμε τα ίδια με τα
προθγοφμενα απλά για να διώξουμε τα ριηικά από αρικμθτι ι
παρονομαςτι πολλαπλαςιάηουμε πάνω και κάτω με τθν ςυηυγι
παράςταςθ του ριηικοφ. Τπενκυμίηουμε,
 x y θ ςυηυγι παράςταςθ είναι x y
 x a θ ςυηυγι παράςταςθ είναι x a
 x y k  θ ςυηυγι παράςταςθ είναι x y k 
και αντίςτροφα.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ
ΛΥΜΕΝΟ ΡΑ΢ΑΔΕΙΓΜΑ
21
1
lim
1x
x
x
 
   
Ζνα όριο που αν αντικαταςτιςουμε είναι
0/0 και ζχει ριηικά
  1
1
lim
1 1x
x
x x
 
    
Παραγοντοποιοφμε όπου είναι εφικτό
  
   1
1 1
lim
1 1 1x
x x
x x x
 
  
Πολλαπλαςιάηουμε αρικμθτι και
παρονομαςτι με το  1x  που είναι θ
ςυηυγισ παράςταςθ του αρικμθτι
   
2
2
1
1
lim
1 1 1x
x
x x x

  
Πράξεισ ςτον αρικμθτι που είναι διαφορά
τετραγώνων
   1
1
lim
1 1 1x
x
x x x

  
Πράξεισ
  1
1 1
lim
41 1x
x x

 
Απλοποίθςθ του χ – 1 και εφρεςθ απλοφ
ορίου (Κατ. 1)
1. Βρείτε τα παρακάτω όρια:
α.
4
2
lim
4x
x
x



β.
3
3
lim
3x
x
x



γ.
2
0
lim
1 1x
x x
x


 
δ.
2
3
6 9
lim
6 3x
x x
x
 
 
=

7. Γ΄ Λυκείου Πρια ςυναρτιςεων – Κεφάλαιο 3ο
Χατηόπουλοσ Μάκθσ
http://lisari.blogspot.com
7 | ΢ ε λ ί δ α Ε Π Α . Λ Π α ρ α δ ε ι ς ί ο υ
ΘΕΩ΢ΙΑ 5 / ΚΑΤΗΓΟ΢ΙΑ 4θ
ΓΕΩΜΕΤ΢ΙΚΗ Ε΢ΜΗΝΕΙΑ Ο΢ΙΩΝ
 Τι ςθμαίνει γραφικά το όριο μιασ ςυνάρτθςθσ; Γραφικά το όριο μιασ
ςυνάρτθςθσ, μασ δείχνει τισ τιμζσ που τείνει να πάρει θ f(x) = y, όταν το χ
πλθςιάηει από τα αριςτερά ι τα δεξιά μια τιμι 0x πάνω ςτον άξονα χ΄χ.
 Ρωσ βρίςκουμε το όριο μιασ ςυνάρτθςθσ μζςω τθσ γραφικισ
παράςταςθσ τθσ f; Ακολουκοφμε τισ τιμζσ που τείνει να πάρει το χ πάνω
ςτον άξονα χ΄χ και αντίςτοιχα ποιεσ τιμζσ τείνει να πάρει το y πάνω ςτον
άξονα y’y.
 Τι ονομάηουμε πλευρικά όρια;
 
0
lim
x x
f x

= το χ  0x από τισ μικρότερεσ τιμζσ πάνω ςτον άξονα χ΄χ
 
0
lim
x x
f x

= το χ  0x από τισ μεγαλφτερεσ τιμζσ πάνω ςτον άξονα χ΄χ
 Ρότε υπάρχει το όριο ςτο 0x ; Όταν τα πλευρικά όρια είναι ίςα, δθλαδι,
   
0 0
lim lim
x x x x
f x f x 
 

 Ρότε δεν υπάρχει το όριο ςτο 0x ; Όταν τα πλευρικά όρια δεν είναι ίςα,
δθλαδι,
   
0 0
lim lim
x x x x
f x f x 
 

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ
Α) (β)
Cf
l
f(x)
O
x
y
x0x←x
Β) (a)
Cf
l
f(x)
O
x
y
x0x→
 
0
lim
x x
f x l

  
0
lim
x x
f x l


1. Άςκθςθ 1, 2, 3 ςελίδα 126 – 127 ςχολικό βιβλίο

8. Γ΄ Λυκείου Πρια ςυναρτιςεων – Κεφάλαιο 3ο
Χατηόπουλοσ Μάκθσ
http://lisari.blogspot.com
8 | ΢ ε λ ί δ α Ε Π Α . Λ Π α ρ α δ ε ι ς ί ο υ
ΘΕΩ΢ΙΑ 6 / ΚΑΤΗΓΟ΢ΙΑ 5θ
ΣΥΝΑ΢ΤΗΣΕΙΣ ΡΟΛΛΑΡΛΟΥ ΤΥΡΟΥ
 Ροια ςυνάρτθςθ ονομάηουμε πολλαπλοφ τφπου; Η ςυνάρτθςθ που δεν
ζχει μόνο ζνα τφπο αλλά τουλάχιςτον δφο. Πολλζσ φορζσ τθν λζμε και
δίκλαδθ ι τρίκλαδθ ανάλογα με πόςουσ κλάδουσ ζχει.
Ρχ.
1 0
( )
2 0
x x
f x
x x
 
 

που ςθμαίνει ότι είναι ταυτόχρονα δφο τφποι:
Αν 0x  τότε ( ) 1f x x  και αν χ > 0 τότε ( ) 2f x x
 Ρωσ βρίςκουμε το όριο μιασ πολλαπλοφ ςυνάρτθςθσ ςτο ςθμείο που
χωρίηονται οι κλάδοι; Αν ηθτάμε το όριο ςτο ςθμείο που χωρίηονται οι
κλάδοι τότε παίρνουμε πλευρικά όρια και όχι ποιοσ κλάδοσ ζχει ίςον με το
μθδζν. Δθλαδι,
0
lim ( )
x
f x

επειδι το χ τείνει ςτο 0 από τισ μικρότερεσ τιμζσ του τότε χ<0
και κα πάρουμε τον τφπο τθσ ςυνάρτθςθσ ( ) 1f x x  άρα
0
lim ( )
x
f x

  0
lim 1 0 1 1
x
x

   
0
lim ( )
x
f x

 επειδι το χ τείνει ςτο 0 από τισ μεγαλφτερεσ τιμζσ τότε χ > 0
και κα πάρουμε τον τφπο τθσ ςυνάρτθςθσ f(x)=2x άρα,
 0 0
lim ( ) lim 2 2 0 0
x x
f x x 
 
   
 Το όριο υπάρχει; Τπάρχει όταν τα πλευρικά όρια που βρικαμε είναι ίςα!
Άρα ςτο παράδειγμά μασ το όριο δεν υπάρχει αφοφ τα πλευρικά όρια δεν
είναι ίςα.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ
1) Δίνεται:
2
1 1
( )
1
x x
f x
x x
  
 

βρείτε:
α)
1
lim ( ) ;
x
f x

 β)
1
lim ( ) ;
x
f x

 γ) Σο όριο υπάρχει ςτο χ = 1 ;
2. Δίνεται
0
( ) 1
1 0x
x
x
f x x
e x


 
  
βρείτε:
α)
0
lim ( ) ;
x
f x

 β)
0
lim ( ) ;
x
f x

 γ) Σο όριο υπάρχει ςτο χ=0 ;

9. Γ΄ Λυκείου Πρια ςυναρτιςεων – Κεφάλαιο 3ο
Χατηόπουλοσ Μάκθσ
http://lisari.blogspot.com
9 | ΢ ε λ ί δ α Ε Π Α . Λ Π α ρ α δ ε ι ς ί ο υ
3. Δίνεται
7 2
( )
1 2
x x
f x
x x
  
 
 
υπάρχει το όριο
2
lim ( ) ;
x
f x


4. Δίνεται
 
3
1 4
( ) 4 5
5 5
x x
f x x x
x x x
  

  

  
βρείτε:
Α) Τπάρχει το όριο
4
lim ( )
x
f x

; Β) Τπάρχει το όριο
5
lim ( )
x
f x

;
5. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ
2 1
( )
1
x a x
f x
x a x
 
 
 
αν υπάρχει το όριο ςτο χ = 1 βρείτε το α =;
6. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ
2 1
( )
1
x a x
f x
x a x
 
 
 
για α, β πραγματικοφσ αρικμοφσ. Αν
1
lim ( ) 6
x
f x

 υπολογίςτε τα α =; και το β = ;

10. Γ΄ Λυκείου Πρια ςυναρτιςεων – Κεφάλαιο 3ο
Χατηόπουλοσ Μάκθσ
http://lisari.blogspot.com
10 | ΢ ε λ ί δ α Ε Π Α . Λ Π α ρ α δ ε ι ς ί ο υ
ΘΕΩ΢ΙΑ 7 / ΚΑΤΗΓΟ΢ΙΑ 6θ
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ Ο΢ΙΩΝ
 Ροιεσ είναι οι ιδιότθτεσ των ορίων; Αν τα όρια    0 0
lim , lim
x x x x
f x g x
 
υπάρχουν τότε ιςχφουν τα εξισ:
Α)       0 0 0
lim ( ) lim lim
x x x x x x
f x g x f x g x
  
  
Β)       0 0 0
lim ( ) lim lim
x x x x x x
f x g x f x g x
  
  
Γ)       0 0 0
lim : ( ) lim : lim
x x x x x x
f x g x f x g x
  

Δ)  0 0
lim ( ) lim
x x x x
f x f x
 

Ε)    0 0
lim lim
v
v
x x x x
f x f x
 
       
΢Σ)    0 0
lim lim , ( ) 0v v
x x x x
f x f x f x
 
 
Δθλαδι αν υπάρχει το όριο, τότε «ςπάει» ςε όλεσ τισ πράξεισ! Σο όριο μπαίνει
όπου υπάρχει ςυνάρτθςθ ι μεταβλθτι χ.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ
1. Δίνεται  1
lim 2
x
f x

 βρείτε το  1
lim ;
x
g x

 ςτισ παρακάτω περιπτώςεισ:
α)   ( )g x f x x  Λφςθ:      1 1 1 1
lim lim ( ) lim lim 2 1 3
x x x x
g x f x x f x x
   
      
β)   2
( )g x f x x 
γ)     
2008
1g x f x 
δ)    
3
lng x f x x   
ε)  
  2
( ) 2
f x x
g x
f x x



2. Άςκθςθ 6 , 7 ςελίδα 128 – 129 ςχολικοφ βιβλίου