https://st-taksh.blogspot.gr/2017/12/2-25-29.html Μαθηματικά ΣΤ΄. Σύντομη επανάληψη 2ης ενότητας, κεφ. 25-29: ΄΄Εξισώσεις΄΄

1. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://st-taksh.blogspot.gr
Μαθηματικά ΣΤ΄
Σύντομη Επανάληψη 2ης Ενότητας
κεφ. 25 - 29 : ΄΄Εξισώσεις΄΄

3. ΑΠΛΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ
ΟΡΙΣΜΟΙ
α. Εξίσωση ονομάζουμε κάθε ισότητα που γίνεται αληθινή για ορισμένες μόνο
τιμές των γραμμάτων που περιέχει. Έτσι π.χ. οι ισότητες:
2 8x = που αληθεύει μόνο για x=4
3 2 16x − = που αληθεύει μόνο για x=6
Είναι εξισώσεις, ενώ η ισότητα: x+5=5+x που γίνεται αληθινή για
οποιαδήποτε τιμή κι αν πάρει το x δεν είναι εξίσωση. Μια τέτοια
ισότητα την ονομάζουμε ταυτότητα.
β. Λύση της εξίσωσης ονομάζουμε την τιμή του αγνώστου (x) που «επαληθεύει»
την εξίσωση, ενώ τη διαδικασία που ακολουθούμε για να βρούμε τη λύση την
ονομάζουμε επίλυση της εξίσωσης. Έτσι π.χ. η λύση της εξίσωσης 2 8x = είναι
η x=4, ενώ της 3 2 16x − = είναι η x=6.
γ. Επαλήθευση μιας εξίσωσης είναι η διαδικασία που ακολουθούμε για να
διαπιστώσουμε ότι η λύση που βρήκαμε είναι πραγματικά σωστή. Για το σκοπό αυτό
βάζουμε συνήθως στην αρχική εξίσωση, στη θέση του αγνώστου (x), τη λύση που
βρίσκουμε και αν τότε το πρώτο μέλος της εξίσωσης γίνεται ίσο με το δεύτερο, η
λύση είναι σωστή. Αν αυτό δε συμβαίνει, τότε κάπου πρέπει να έχει γίνει λάθος.
Έτσι, αν π.χ. θέλουμε να εξετάσουμε αν η λύση x=6 –που βρήκαμε ότι είναι λύση
της εξίσωσης 3 2 16x − = - είναι σωστή ή όχι, κάνουμε επαλήθευση
αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση 3 2 16x − = όπου x το 6.
3 6 2 16• − = ή 18 2 16− = ή 16 16=
Επειδή η τελευταία ισότητα είναι αληθινή, η λύση x=6 είναι σωστή.
δ. Αδύνατη λέγεται μια εξίσωση όταν δεν αληθεύει για καμιά τιμή του αγνώστου (x).
Αδύνατες π.χ. είναι οι εξισώσεις: 5 5x x+ = − , 2 1x x+ =

4. ΑΠΛΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέος
Παραδείγματα: (a) 8 17x + = ή 17 8x= − ή 9x =
(β)
2
4
3
x + = ή
2
4
3
x= − ή
12 2
3 3
x= − ή
10
3
x =
1. Να λυθούν οι εξισώσεις:
(α) 3 10x + = (β) 5 16x + = (γ) 4 13x+ = (δ)10 48x+ =
(ε) 24 50x + = (στ) 12 36x + = (ζ) 6 27x+ = (η) 30 109x+ =
2. Να λυθούν οι εξισώσεις:
(α) 1,5 4,9x+ = (β) 2,3 6,5x+ = (γ) 0,6 8,4x + =
(δ) 3,5 5x + = (ε) 10,1 78x + = (στ) 9 15,3x + =
3. Να λυθούν οι εξισώσεις:
(α)
1 19
9 9
x + = (β)
3 7
4 8
x+ = (γ)
1 3
1
2 8
x+ =

5. ΑΠΛΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέος
Παραδείγματα: (α) 7 16x − = ή 16 7x= + ή 23x =
(β) 2,3 8x − =ή 8 2,3x= + ή 10,3x =
1. Να λυθούν οι εξισώσεις:
(α) 8 22x − = (β) 14 37x − = (γ) 27 43x − =
(δ) 12 20,5x − = (ε) 4,7 3,2x − =
2. Να λυθούν οι εξισώσεις:
(α) 12 8x− = (β) 18 6x− = (γ) 45,4 12x− = (δ) 28 14,7x− =
3. Να λυθούν οι εξισώσεις:
(α)
3
4
4
x − = (β)
2 3
5 4
x − = (γ)
2
4 2
5
x − = (δ)
1
3 8
2
x − =
(ε)
2
4
3
x− = (στ)
4 1
5 2
x− = (ζ)
1
2 2
2
x− =

6. Η Μεταβλητή είναι ένα γράμμα
ή σύμβολο που χρησιμοποιείται
σε μια αριθμητική παράσταση …
παράσταση στη θέση μιας
άγνωστης ή
μεταβαλλόμενης τιμής π.χ.
x, α, ψ, κ.α.
Η Εξίσωση είναι μια
ισότητα που περιέχει μια
μεταβλητή π.χ. 5 + x = 12
Λύση της εξίσωσης: ποια
τιμή θα δώσουμε στον
άγνωστο που θα επαληθεύσει
την εξίσωση.
Π.χ. 5 + x = 12 άρα x = 7
Δημιουργός: Άγγελος Χαραλάμπους http://didaskaleio.weebly.com/

7. ΑΦΑΙΡΕΣΗ
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι ο μειωτέος ή ο
αφαιρετέος
α) όταν ο άγνωστος είναι ο μειωτέος κάνουμε
πρόσθεση. Προσθέτουμε στη διαφορά τον αφαιρετέο.
x – 8 = 12
x = 12 +8
x = 20
β) όταν ο άγνωστος είναι ο αφαιρετέος κάνουμε
αφαίρεση. Αφαιρούμε από τον μειωτέο τη διαφορά.
35 – x =24
x = 35 – 24
x = 11
ΠΡΟΣΘΕΣΗ
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι ένας από
τους προσθετέους
Κάνουμε πάντα αφαίρεση. Αφαιρούμε από
το γνωστό προσθετέο το άθροισμα.
7 + x = 15 x +6 = 13
x = 15 – 7 x = 13 - 6
x = 8 x = 7
Δημιουργός: Άγγελος Χαραλάμπους http://didaskaleio.weebly.com/

8. ΔΙΑΙΡΕΣΗ
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι ο διαιρετέος ή ο
διαιρέτης
α) όταν ο άγνωστος είναι ο διαιρετέος κάνουμε
πολλαπλασιασμό. Πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με το
διαιρέτη.
x : 5 = 9
x = 9 ● 5
x = 45
β) όταν ο άγνωστος είναι ο διαιρέτης κάνουμε διαίρεση.
διαιρούμε το διαιρετέο με το πηλίκο.
60 : x =15
x = 60 : 15
x = 4
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι ένας από τους
παράγοντες γινομένου
Κάνουμε πάντα διαίρεση. Διαιρούμε το
γινόμενο με τον άλλον παράγοντα.
x ● 5 = 30 8 ● x = 40
x = 30: 5 x = 40 : 8
x = 6 x = 5
Δημιουργός: Άγγελος Χαραλάμπους http://didaskaleio.weebly.com/

9. x – 8 = 14
22 – 8 = 14
14 = 14
Η εξίσωση μοιάζει με ζυγαριά που
ισορροπεί, γι’ αυτό πρέπει αυτή η
ισορροπία να διατηρηθεί μέχρι το
τέλος της εξίσωσης.
ΜΗΝ ΞΕΧΝΑΤΕ ΟΤΙ …
Για αυτό ό, τι κάνουμε από τη μια
πλευρά, πρέπει να κάνουμε και
από την άλλη.
Δημιουργός: Άγγελος Χαραλάμπους http://didaskaleio.weebly.com/

10. 1
Μεταλλίδου Ζωή
Τάξη ΣΤ΄ , Μορφές εξισώσεων και οι λύσεις τους , οι εξισώσεις μοιάζουν με «στιγμιότυπα» ζυγίσματος
Ονοματεπώνυμο: ..............................................................................................................................................
Δίπλα βλέπετε μια ζυγαριά που δεν ισορροπεί. Για να ισορροπήσει, θα πρέπει να τοποθετήσω
στο δεξί ζυγό το ίδιο βάρος με εκείνο που έχω τοποθετήσει στον αριστερό ζυγό.
Οι εξισώσεις είναι σχέσεις που εμπεριέχουν αυτό που λέει και η ίδια η λέξη : Το ίσον.
Οι εξισώσεις είναι ζυγαριές που ισορροπούν.
Το «βάρος» στον αριστερό ζυγό πρέπει να είναι ίδιο με το «βάρος» στο δεξί ζυγό.
Οι ποσότητες αριστερά από το ίσον πρέπει να είναι ίσες
με τις ποσότητες δεξιά από το ίσον, υποχρεωτικά!
Όταν λύνω μια εξίσωση γράφω τη μία ισότητα κάτω από την άλλη.
Δηλαδή δημιουργώ διαφορετικά στιγμιότυπα της ίδιας ζυγαριάς.
Οι ποσότητες, τα «βάρη» κάθε φορά μετακινούνται. Από τον αριστερό ζυγό περνάνε στον δεξί ή από το δεξί ζυγό
περνάνε στον αριστερό.
Όμως φροντίζω πάντα να διατηρείται η ισότητα. Όσο «βάρος» έχω αριστερά, το ίδιο πρέπει να έχω και δεξιά.
Μπορεί η ζυγαριά μου να έχει περισσότερους από δυο ζυγούς;
Φυσικά και όχι! Γι’ αυτό οι σχέσεις που γράφω έχουν μόνο δύο μέρη. Ένα αριστερά και ένα δεξιά από το ίσον.
Στις επόμενες σελίδες θα συναντήσουμε διάφορες μορφές εξισώσεων με έναν άγνωστο και τις λύσεις τους, μέσα
από απλά παραδείγματα.
Θα υπάρχει η εξίσωση με μορφή ζυγαριάς και η σωστή της λύση. Καταγράφονται επίσης τα συνηθέστερα λάθη που
κάνουν οι μαθητές και οι μαθήτριες, όχι στη λύση αλλά στην αποτύπωση της λύσης πάνω στο χαρτί. Και τα λάθη
αφορούν στο ότι αποτυπώνουν, χωρίς να δίνουν σημασία στο γεγονός ότι η εξίσωση είναι μια ζυγαριά με δύο και
μόνο δύο μέλη.
Οι μορφές των εξισώσεων που θα συναντήσετε είναι οι παρακάτω:
• Μορφή (α) : x + 4 = 6 (Δες σελ. 2)
• 4 + x = 6 (Λύνεται όπως η προηγούμενη, δες σελ. 2)
• Μορφή (β) : x - 5 = 9 (Δες σελ. 3)
• Μορφή (γ) : 15 - x = 3 (Δες σελ. 4)
• Μορφή (δ) : 8 .
x = 16 (Δες σελ. 5)
• x .
8 = 16 (Λύνεται όπως η προηγούμενη, δες σελ. 5)
• Μορφή (ε) : x : 2 = 8 (δες σελ. 6)
• Μορφή (στ) : 20 : x = 5 (δες σελ. 7)

11. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΥΝΥΜΟ: ________________________________________________ ΤΑΞΗ ΣΤ
Παλάνης Αθανάσιος
1. Λύσε τις παρακάτω εξισώσεις. (ΒΑΘΜΟΙ 60)
χ + 15 = 121,5 χ + 4,5 = 9,3 210 - χ = 110
53,5 + χ = 100,25 χ – 11,5 = 12,5 701 – χ = 142,8
210 : χ = 41 - 11 20,5  χ = 100 - 18 χ : 11 = 14 - 7
χ  (14 + 2,8) = 84 χ  2
2
1
= 10
χ :
4
1
= 12

12. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΥΝΥΜΟ: ________________________________________________ ΤΑΞΗ ΣΤ
Παλάνης Αθανάσιος
2. Λύσε τα παρακάτω προβλήματα σχηματίζοντας εξίσωση. (ΒΑΘΜΟΙ 40)
Ο Σταμάτης αγόρασε 4
όμοια αυτοκινητάκια.
Πλήρωσε με ένα
χαρτονόμισμα των 20 € και
πήρε ρέστα 2 €. Πόσο
κόστιζε το κάθε
αυτοκινητάκι;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ!_____________________
Η Ελένη έχει 16 € και με τα
5 € που της έδωσε ο
παππούς της έχει τα μισά
χρήματα από την αδερφή
της την Αφροδίτη. Πόσα
χρήματα έχει η Αφροδίτη;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ!_____________________
Οι πρόσκοποι πήγαν
κατασκήνωση στο βουνό.
Χωρίστηκαν σε ομάδες των
6 ατόμων και έστησαν
σκηνές για κάθε ομάδα. Αν
οι πρόσκοποι ήταν 72,
πόσες σκηνές έστησαν;
Η Φιλιώ, με τα χρήματα που
είχε, αγόρασε από ένα
μουσικό οίκο 2 ντέφια με
12,40 € το ένα και της
έμειναν 5,20 €. Πόσα
χρήματα είχε;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ!_____________________
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ!_____________________

13. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:
χ+ 12= 36 34 + κ = 65 32+ τ = 74- 16 23 – ψ = 16 λ – 24 = 31 72-χ = 32+23
Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:
χ۰ 14= 175 16 ۰ τ = 560 24۰ψ = 276- 12 369 : ρ = 41 κ : 24 = 38,5 345 :χ =126-11
Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:
(α) x + 106 = 305 (β) x – 0,129 = 53 (γ) 3x = 459
(δ)
3 1
1
8 4
x− = (ε)
2
3 : 5
6
x =
Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:
480:Χ= 32 Χ:52=7
5
4
- Χ=
3
8
Χ- 4
2
1
=10,5
Χ .
15
11
=3 12,5 .Χ= 50 2
4
3
.Χ=
2
9

14. Να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα με εξίσωση:
1. Η Ελένη, ο Θανάσης και η Βάσω έχουν συνολικά 35 €. Αν η Ελένη
έχει 10 € και η Βάσω 12 €, πόσα έχει η Θανάσης; (Να λυθεί με
εξίσωση)
Λύση:
Απάντηση:
2. Ένας ελαιοπαραγωγός πούλησε τη Δευτέρα 48 κιλά λάδι και τη
Τρίτη 50 κιλά λάδι. Μέσα στη λαδίκα του υπάρχουν ακόμα 15 κιλά
λάδι. Πόσα κιλά λάδι υπήρχαν αρχικά μέσα στη λαδίκα; ( να λυθεί
με εξίσωση)
Λύση:
Απάντηση:
3. ο Στέφανος πήρε για τη γιορτή του 25€ από τον παππού του, τα διπλάσια από
τη γιαγιά του και μερικά απο τη νονά του. Συνολικά μάζεψε 130€. Πόσα του
έδωσε η νονά του;
Λύση:
Απάντηση:
_________________________________________________

15. 4. Η κυρία Δέσποινα πήρε από το μανάβικο της γειτονιάς της 5 κιλά μήλα και
πλήρωσε 6,25 €. Πόσο κοστίζει το ένα κιλό ;
Λύση:
Απάντηση:
5. Αν από το διπλάσιο ενός αριθμού αφαιρέσουμε το 12 θα βρούμε το 60. Ποιος
είναι ο αριθμός; (Να λυθεί με εξίσωση)
ΛΥΣΗ:
Απάντηση:
6. Να βρεθεί ο αριθμός που αν προστεθεί στον 144 βρίσκουμε ως άθροισμα
τον 346.
ΛΥΣΗ:
Απάντηση:

16. Έντεκα μηνών
Ημερομηνία:
Βάρος: [Βάρος[ Ύψος: [Ύψος]
Σημειώσεις:
[Τοποθετήστε φωτογραφίες εδώ]
Γ΄τάξη: http://gtaksh.blogspot.gr/
Δ΄τάξη: http://xristx.blogspot.gr/
Ε΄τάξη: http://e-taksh.blogspot.gr/
ΣΤ΄τάξη: http://st-taksh.blogspot.gr/
Κριτήρια: http://kritiria.blogspot.gr/
Άρθρα: http://xristosxarmpis.blogspot.gr/