Ακολουθώντας μη πεπατημένες οδούς στην επίλυση σχολικών ασκήσεων

1. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου

2. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
Αφορμή της παρούσας εργασίας είναι το πρόσφατο θέμα πανελλαδικών
εξετάσεων, όπου το Γ2 ερώτημα λυνόταν με ύλη Α τάξης λυκείου
(ελαχιστοποίηση τριωνύμου)

3. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου

4. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 3 ii σελ. 132 σχ. βιβλίου)
Λύση

5. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 7 ii σελ. 174 σχ. βιβλίου)
Λύση 1ος τρόπος (με τον ορισμό παραγώγου)
 Για x 0 έχουμε
x 0
oρσ.
x x παραγώγου
x x α 1 α 1
α x 1 α 1 x 1 1 lna 1
x x
lim

 
         ===>
 Παρόμοια για x 0 προκύπτει lna 1
Άρα lna 1 α e.  
Σχόλια:
1) Ο παραπάνω τρόπος ανταγωνίζεται σε ταχύτητα το θεώρημα Fermat,
ενώ λύνει όλες τις παρόμοιες ασκήσεις! Αναδεικνύει τη διδακτική αξία της
απόδειξης του θ. Fermat!
2) Ο παραπάνω τρόπος λύνει την άσκηση
αν 0 a e  με
x
a x 1  για κάθε x 0 , τότε a e
ενώ το θεώρημα Fermat όχι, διότι το μηδέν δεν είναι εσωτερικό σημείο του
0,
Λύση 2ος τρόπος (με χρήση ολικού ακροτάτου)
Για τη συνάρτηση   x
f x α x 1,x    ' βρίσκουμε ότι παρουσιάζει
ολικό ελάχιστο στο
 ln lna
lna
 , το
 1 ln lna lna
A
lna
 

(για x 1 στη σχέση της υπόθεσης βρίσκουμε a 2 lna 0   )
Άρα
 
 
f x 0 (από υπόθεση)
f x A
  
 
  
για κάθε  
a
x 0 lna 1
e
    ' A
Όμως
x
lnx ,
e
 για κάθε  x 0 2 , με την ισότητα να ισχύει μόνο για
x e
Από τις σχέσεις    1 , 2 προκύπτει ότι a e

6. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
Σχόλια:
1) Προφανώς η λύση της άσκησης με χρήση του θεωρήματος Fermat
είναι συντομότερη. ‘Όχι όμως μονόδρομος!
2) Από τη σχέση  f x A που αποδείξαμε παραπάνω, για a e
προκύπτει άμεσα το αντίστροφο!!:
«
x
e x 1  για κάθε x  '»

7. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 7 i σελ. 174 σχ. βιβλίου)
Λύση (με τον ορισμό παραγώγου)
 Για x 0 έχουμε
   
x 0
x x
x x x x
x x
oρσ.
παραγώγου
α 1 β 1
α β 2 α 1 β 1 0 0
x x
α 1 β 1
0
x x
lna lnβ e
αβ 1
lim

 
         
  
   
 
 
 
====>
 Παρόμοια για x 0 βρίσκουμε αβ 1
Άρα αβ 1.

8. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 7 i σελ. 174 σχ. βιβλίου)
Λύση
Η f είναι προσδιοριστέα, αφού για x 0 η σχέση της υπόθεσης δίνει
 f 0 3 ή  f 0 1 
 Αν  f 0 3 , τότε για κάθε  x 2,2  έχουμε
   
 
 
 
2 2
f 0 3
2
f συνεχής
2
f x 2f x x 3 0
f x 1 4 x 0
f x 1 4 x , x 2

    
   
   
===>
Άρα η f είναι κοίλη δίχως σημεία καμπής
(με γνώσεις Α-Β Λυκείου, η f είναι μετατοπισμένο ημικύκλιο!)
 Αν  f 0 1  , τότε για κάθε  x 2,2  έχουμε
   
 
 
 
2 2
f 0 1
2
f συνεχής
2
f x 2f x x 3 0
f x 1 4 x 0
f x 1 4 x , x 2
 
    
   
   
===>
Άρα η f είναι κυρτή δίχως σημεία καμπής
(με γνώσεις Α-Β Λυκείου, η f είναι μετατοπισμένο ημικύκλιο!)

9. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
Σχόλιο:
Η άσκηση μπορεί να αντιμετωπισθεί με γνώσεις των συνεπειών του
θεωρήματος Bolzano! Δεν χρειάζεται το δεδομένο της διπλής
παραγωγισιμότητας!

10. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 5 σελ. 161 σχ. βιβλίου)
Λύση (με μονοτονία και τον ορισμό τοπικού ακροτάτου)
Έστω α ' θέση τοπικού ακροτάτου (π.χ. μεγίστου) της f , τότε υπάρχει
δ 0 με
   f x f α για κάθε  x a δ,α δ  
Άρα για κάθε  x a δ,α δ   έχουμε
   
   
 
       
   
 
3 3
3 3
3 3
3 3
2f x 2f α
2f x 6f x 2f α 6f α
6f x 6f α
2x 6x 1 2a 6a 1
x 3x a 3a
g x g a
x a,για κάθε x a δ,α δ , άτοπο!
  
   
  
     
   
 
    
>
(όπου   3
g x x 3x  1 στο ' )
Άρα η f δεν έχει ακρότατα.
Συμπέρασμα:
Η άσκηση μπορεί να αντιμετωπισθεί με τον ορισμό του τοπικού
ακροτάτου και της μονοτονίας. Δεν απαιτείται το δεδομένο της
παραγωγισιμότητας ούτε η χρήση του θεωρήματος Fermat!

11. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 6 σελ. 139 σχ. βιβλίου)
Λύση (με τον ορισμό μονοτονίας! – ύλη Α Λυκείου)
Η f είναι γνησίως αύξουσα στο '
    f x f y για κάθε x,y  ' με x y
    f x f y για κάθε  'x,y με x y
 3 2 3 2
ax 3x x 1 ay 3y y 1       για κάθε x,y  ' με x y
    2 2
ax ay 3 x ay 3y 1 0      για κάθε x,y  ' με x y
 Δ 0 α  
 2 2
3α y 6ay 4a 9 0    για κάθε y  '
1Δ 0 
a 3 
Επαλήθευση:
 Για a 3 είναι   3 2
f x 3x 3x x 1   
Για x y αρκεί να αποδείξουμε ότι    f x f y
     
3 2 3 2
2 2
3x 3x x 1 3y 3y y 1
3x 3 y 1 x 3y 3y 1 0 1
       
      
Διακρίνουσα  
2
2Δ 3 3y 1 0   
 Αν
1
y
3
  τότε η  1 γίνεται
 
2
3x 1
0
3

 , αφού
1
x y
3
  
 Αν
1
y
3
  τότε η  1 ισχύει, αφού 2Δ 0

12. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
Για a 3 και x y αρκεί να αποδείξουμε ότι    f x f y
 3 2 3 2
ax 3x x 1 ay 3y y 1      
    2 2
ax ay 3 x ay 3y 1 0     
 Δ 0 α  
 2 2
3α y 6ay 4a 9 0    για κάθε y  '
1Δ 0 
a 3,που ισχύει. 
Με τον ίδιο τρόπο μπορεί κανείς να αντιμετωπίσει την παρακάτω άσκηση,
αποδεικνύοντας ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο '
(άσκηση 3 σελ. 160 σχ. βιβλίου)

13. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 5 σελ. 150 σχ. βιβλίου)
Λύση (δίχως χρήση θεωρήματος Fermat)
Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό
μέγιστο στο 1. Τότε υπάρχει δ 0 τέτοιο, ώστε
   f x f 1 για κάθε  x 1 δ,1 δ   
3 2
ax βx 3x 1 a β 2      για κάθε  x 1 δ,1 δ   
    2
x 1 ax a β x a β 3 0       για κάθε  x 1 δ,1 δ  
 για  x 1,1 δ  παίρνουμε
 
  
 
x 1
2
2
ax a β x a β 3 0
ax a β x a β 3 0
3a 2β 3 0 1
lim

      
      
  
 για  x 1 δ,1  παίρνουμε
 
  
 
x 1
2
2
ax a β x a β 3 0
ax a β x a β 3 0
3a 2β 3 0 2
lim

      
      
  
Από τις σχέσεις    1 , 2 προκύπτει ότι  3a 2β 3 0 3  
Παρόμοια, αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1 βρίσκουμε
 3a 2β 3 0 4  
Από τις σχέσεις    3 , 4 προκύπτει ότι α 1,β 0. 
Οπότε   3
f x x 3x 1   και το είδος των ακροτάτων προσδιορίζεται με
παραγώγους ή με τον παρακάτω τρόπο!

14. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 5 σελ. 150 σχ. βιβλίου)
Λύση (δίχως παραγώγους)
Έστω α σημείο τοπικού ακροτάτου, π.χ. τοπικού μεγίστου
(το είδος του ακροτάτου θα προσδιοριστεί στο τέλος).
Τότε υπάρχει    δ 0 : f x f α  για κάθε  x a δ,a δ  
3 3
x 3x 1 a 3a 1      για κάθε  x a δ,a δ  
   3 3
x a 3 x a 0     για κάθε  x a δ,a δ  
    2 2
x a x ax a 3 0 1      για κάθε  x a δ,a δ  
 
 x a
1
2 2 2 2 2
Για x a x ax a 3 0 x ax a 3 0 a 1lim

            >
 
 x a
1
2 2 2 2 2
Για x a x ax a 3 0 x ax a 3 0 a 1lim

            >
Άρα 2
a 1 α 1    (θέσεις πιθανών ακροτάτων)
Εύρεση ακροτάτων:
 κοντά στο 1 έχουμε
       
23
f x f 1 x 3x 2 0 x 1 x 2 0,ισχύει!        
Άρα η f παρουσιάζει στο 1 τοπικό ελάχιστο
 κοντά στο 1 έχουμε
       
23
f x f 1 x 3x 2 0 x 1 x 2 0,ισχύει!         
Άρα η f παρουσιάζει στο 1 τοπικό μέγιστο

15. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 6 σελ. 132 σχ. βιβλίου)
Η f είναι προσδιοριστέα!
Θεωρούμε τη συνάρτηση g : 1,1    ' με τύπο
   g x f x x 
Η g είναι συνεχής στο 1,1   και παραγωγίσιμη στο  1,1 με
   g x f x 1 0   
Άρα η g είναι φθίνουσα στο 1,1  
Οπότε για 1 x 1   προκύπτει ότι
               
0 0
g 1 g x g 1 f 1 1 f x x f 1 1 0 f x x 0 f x x               
Δηλαδή
 f x x για κάθε x 1,1   

16. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
Ας κάνουμε παρόμοιες σκέψεις
για εναλλακτικό υπολογισμό ορίων!!

17. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου

18. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
Ο παραπάνω διαισθητικός τρόπος
εύρεσης ορίων απευθύνεται σε
συναδέλφους και εξάγει εύκολα γενικεύσεις
(για κατασκευή και έλεγχο ασκήσεων),
όπως οι παρακάτω:

19. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου

20. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου