1. Bài 2: Phương trình m t ph ng trong không gian. – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 1
BTVN BÀI PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN.
Bài 1: Vi t phương trình m t ph ng( )α ch a g c t a ñ O và vuông góc v i:
( ) ( ): 7 0, :3 2 12 5 0P x y z Q x y z− + − = + − + =
Gi i:
Vì
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ). (10;15;5) (2;3;1)P Q
P
n n n
Q
α
α
α
 ⊥  ⇒ = = ↑↑  ⊥
Mà ( )α ch a g c t a ñ O nên ta có: ( ): 2 3 0x y zα + + =
Bài 2: Vi t phương trình m t ph ng( )α ñi qua (1;2;1)M và ch a giao tuy n c a:
( ) ( ): 1 0, : 2 3 0P x y z Q x y z+ + − = − + =
Gi i:
• Ta g i 1 ( ) ( ). (4; 1; 3)P Qu n n = = − − 
• G i (3;0; 2)A − ∈ giao tuy n ( ) 2
1 0
: 2; 2; 3
2 3 0
x y z
d MA u
x y z
+ + − =
⇒ = − − =
− + =
( )( ) 1 2. ( 3;6; 6) 1; 2;2n u uα  ⇒ = = − − ↑↑ − 
( ) ( ):( 1) 2( 2) 2( 1) 0 : 2 2 1 0x y z hay x y zα α⇒ − − − + − = − + + =
Bài 3: Vi t phương trình m t ph ng( )α ch a
3 0
:
3 2 1 0
x y z
x y z
∆
− + − =

+ + − =
vuông góc v i m t ph ng
( ): 2 3 0P x y z+ + − =
Gi i:
( )( ) ( ) ( ). ( 3;1;4) 3; 1; 4Pn u nα ∆ = = − ↑↑ − − 
ði m ( )( 5;0;8)M α∆− ∈ ⊂
Nên ( ):3( 5) 4( 8) 0 3 4 47 0x y z x y zα + − − − = ⇔ − − + =
Bài 4: Cho (5;1;3), (1;6;2), (5;0;4)A B C . Vi t PT m t ph ng (ABC). Tính kho ng cách t O ñ n (ABC).
Vi t PT m t ph ng qua O, A song song v i BC.

2. Bài 2: Phương trình m t ph ng trong không gian. – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t Page 2 of 4
Gi i:
Ta có:
( ) ( )
( )
( 4;5; 1)
. (4;4;4) (1;1;1)
(0; 1;1)
:( 5) ( 1) ( 3) 0 : 9 0
ABC
AB
n AB AC
AC
ABC x y z hay ABC x y z
 = − −  ⇒ = = ↑↑  = −
⇒ − + − + − = + + − =
( )
9
( ) 3 3
3
d O ABC
−
→ = =
M t khác:
( )
( )
(5;1;3)
. (20;2; 34) (10;1; 17)
(4; 6;2)
:10 17 0
OA
n OA BC
BC
x y z
β
β
 =  ⇒ = = − ↑↑ −  = −
⇒ + − =
Bài 5: Cho (5;1;3), (1;6;2), (5;0;4)A B C . Vi t PT m t ph ng qua C, A và vuông góc v i
( ): 2 3 1 0x y zα − + + =
Gi i:
G i ( )γ là m t ph ng c n l p.
Ta có:
( ) ( )
( )
(0; 1;1)
. ( 1;1;1) (1; 1; 1)
(1; 2;3)
( ) :( 5) ( 1) ( 3) 0 1 0
AC
n AC n
n
x y z x y z
γ α
α
γ
 = −  ⇒ = = − ↑↑ − −  = −
⇒ − − − − − = ⇔ − − − =
Bài 6: Cho (5;1;3), (1;6;2), (5;0;4)A B C . Vi t PT m t ph ng qua O và vuông góc v i
( ): 2 3 1 0x y zα − + + = và (ABC)
Gi i:
Vì
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ). (5; 2; 3)
: 5 2 3 0
ABCn n n
ABC
x y z
φ α
φ α
φ
φ
 ⊥  ⇒ = = − −  ⊥
⇒ − − =
Bài 7: Cho 2 m t ph ng và ñi m( ) ( ): 2 3 1 0, : 5 0x y z x y zα β− + + = + − + = và ñi m (1;0;5)M . Tính
kho ng cách t M ñ n( )α . Vi t phương trình m t ph ng (P) ñi qua giao tuy n c a( ) ( );α β ñ ng
th i vuông góc v i m t ph ng( )Q :3 1 0x y− + =

3. Bài 2: Phương trình m t ph ng trong không gian. – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t Page 3 of 4
Gi i:
( )( )
2.1 3.5 1 18
4 1 9 14
d M α
+ +
→ = =
+ +
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( 2;5;3) . (3;9; 13)d P d Qu n n n u nα β   = = − ⇒ = = −   
Vì
2 3 1 0
: ( 2; 3;0) ( )
5 0
x y z
d N d P
x y z
− + + =
⇒ − − ∈ ⊂
+ − + =
( ):3( 2) 9( 3) 13 0P x y z⇒ + + + − =
Bài 8: Vi t phương trình m t ph ng (P) ñi qua 3 ñi m (1;1;3), ( 1;3;2), ( 1;2;3)A B C− − . Tính kho ng cách
t O ñ n (P). Tính di n tích tam giác ABC và th tích t di n OABC.
Gi i:
Ta có: ( )
( 2;2; 1)
; (1;2;2) ( ) : 1 2( 1) 2( 3) 0
( 2;1;0)
P
AB
n AB AC P x y z
AC
 = − −  ⇒ = = ⇒ − + − + − =  
= −
Hay
9
( ) : 2 2 9 0 ( ( )) 3
1 4 4
P x y z d O P
−
+ + − = ⇒ → = =
+ +
1 1 3
. . 1 4 4
2 2 2
ABCS AB AC∆
 = = + + = 
1 1 1 3 3
. ( ( )). .3.
3 3 3 2 2
OABC ABCV Bh d O P S∆⇒ = = → = =
Bài 9: Cho (2;0;0), (0;3;0), (0;0;3)A B C . Các ñi m M, N l n lư t là trung ñi m c a OA và BC. P và Q
là 2 ñi m n m trên OC và AB sao cho
2
3
OB
OC
= và 2 ñư ng th ng MN và PQ c t nhau. Vi t PT m t
ph ng (MNPQ) và tìm t s
AQ
AB
Gi i:
Ta có:
(1;0;0)
3 3
(0; ; )
2 2
M
N




. G i
( ; ; )
3
( ; ; ) (0;0; )2 2(0;0;2)
3
OP a b c
P a b c P
OC
 =

⇒ ⇒
=

( )
3 3
1; ; 1 3
2 2 3; ; (6;1;3)
2 2
( 1;0;2)
( ) :6( 1) 3 0 6 3 6 0
MNPQ
MN
n
NP
MNPQ x y z x y z
  
= −    
⇒ ⇒ = ↑↑   
  = −
⇒ − + + = ⇔ + + − =

4. Bài 2: Phương trình m t ph ng trong không gian. – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t Page 4 of 4
Gi s ( )2 2 ;3 ;0
AQ
k Q k k
AB
= ⇒ − . Nhưng
2
( ) 6(2 2 ) 3 6 0
3
Q MNPQ k k k∈ ⇒ − + − = ⇔ =
Bài 10: Tìm trên Oy các ñi m cách ñ u 2 m t ph ng: ( ) : 1 0,( ): 5 0P x y z Q x y z+ − + = − + − =
Gi i:
G i ñi m n m trên Oy là: (0; ;0)M m . Do M cách ñ u (P) và (Q) nên ta có:
1 5
3
3 3
m m
m
+ +
= ⇔ = −
V y ñi m c n tìm là: (0; 3;0)M −
……………………H t…………………
Ngu n: Hocmai.vn