Cách giải và bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

1. Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a ) {
4x − 5y = 3
3x − y = 16
(biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai của hệ)
Ta có
{
4x − 5y = 3
3x − y = 16
 {
4x − 5y = 3
y = 3x − 16
 {
y = 3x − 16
4x − 5(3x − 16) = 3
 {
y = 3x − 16
4x − 15x + 80 = 3
{
y = 3x − 16
−11x = −77
{
x = 7
y = 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(7;5)
b ) {
x − y = 3
3x − 4y = 2
Rút x từ phương trình trên x−y=3 rồi thế vào phương trình còn lại. Giải hệ phương trình mới thu
được ta tìm được nghiệm (x;y)
{
x − y = 3
3x − 4y = 2
 {
x = 3 + y
3(3 + y) − 4y = 2
 {
x = 3 + y
y = 7
 {
x = 10
y = 7
Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x;y)=(10;7)
c ) {
7𝑥 − 3𝑦 = 5
4x + y = 2
Rút y từ phương trình dưới 4x+y=2 rồi thế vào phương trình còn lại. Giải hệ phương trình mới
thu được ta tìm được nghiệm (x;y)
{
7x − 3y = 5
4x + y = 2
 {
7𝑥 − 3𝑦 = 5
y = 2 − 4x
 {
y = 2 − 4x
7x − 3. (2 − 4x) = 5
 {
y = 2 − 4x
19x = 11
 {
x =
11
9
y =
−6
9
Vậy pt có nghiệm duy nhất là: (
11
9
,
−6
9
)
d ) {
𝑥 + 3𝑦 = −2
5x − 4y = 11
Rút x từ phương trình trên x+3y = −2 rồi thế vào phương trình còn lại. Giải hệ phương trình mới
thu được ta tìm được nghiệm (x;y)
{
𝑥 + 3𝑦 = −2
5𝑥 − 4𝑦 = 11
 {
𝑥 = −2 − 3𝑦
5𝑥 − 4𝑦 = 11
 {
𝑥 = −2 − 3𝑦
𝑦 =
−21
9
 {
𝑥 =
25
19
𝑦 =
−21
9
Vậy pt có nghiệm duy nhất là: (
25
19
,
−21
9
)
e ) {
𝑥4
+ 2𝑥3
𝑦 + 𝑥2
𝑦2
= 2𝑥 + 9 (1)
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 = 6𝑥 + 6 (2)
(I)

2. Phân tích: Phương trình 2 là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế
f ) {
2𝑥2
+ 𝑦2
− 3𝑥𝑦 + 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
4𝑥2
− +𝑦2
+ 𝑥 + 4 = √2𝑥 + 𝑦 + √ 𝑥 + 4𝑦
(x, y ∈ R)
Bài 2:

3. a) Tìm các giá trị của a và b để hệ pt: {
3𝑎𝑥 − (𝑏 + 1)𝑦 = 93
𝑏𝑥 + 4𝑎𝑦 = −3
có nghiệm (x;y)=(1;-5)
b) Tìm các giá trị của a và b để 2 đương thẳng (d1): (3a-1)x + 2by = 56
và (d2): ½ ax – (3b-2)y = 3 cắt nhau tại điểm M(2,-5)
Giải:
a) Ta có hệ phương trình:
{
3𝑎. 1 − ( 𝑏 + 1). (−5) = 93
𝑏. 1 + 4𝑎. (−5) = −3
 {3𝑎 + 5𝑏 + 5 = 93
𝑏 − 20𝑎 = −3
 {3𝑎 + 5𝑏 = 88
𝑏 − 20𝑎 = −3
{
3𝑎 + 5.(−3 + 20𝑎) = 88
𝑏 = 20𝑎 − 3
{3𝑎 − 15 + 100𝑎 = 88
𝑏 = 20𝑎 − 3
{
𝑎 = 1
𝑏 = −3 + 20.1 = 17
Với a =1 và b=17 thì hệ pt {
3𝑎𝑥 − (𝑏 + 1)𝑦 = 93
𝑏𝑥 + 4𝑎𝑦 = −3
có nghiệm là (x;y)=(1;-5)
b) Ta có hệ pt:
{
(3a − 1)x + 2by = 56
½ ax – (3b − 2)y = 3
 {
(3a − 1). 2 + 2b.(−5) = 56
½ a.2 – (3b − 2).(−5) = 3
 {6𝑎 − 2 − 10𝑏 = 56
a + 15b − 10 = 3
 {6. (13 − 5𝑏) − 2 − 10𝑏 = 56
a = 13 − 15b
{ 𝑏 =
1
5
a = 10
Bài 3: Tìm a,b để đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm:
a) A (-5;3) và B(3/2; -1)
b) A (2;3) và B (-2; 1)
Giải:
a) Ta có hệ pt:
{
3 = 𝑎.(−5) + 𝑏
−1 = a.
3
2
+ 𝑏
 {
−5𝑎 + 𝑏 = 3
3
2
𝑎 + 𝑏 = −1
{ 𝑏 = 3 + 5a
3a + 6 + 10a = −2

𝑏 =
−1
13
a =
−8
13
b) Ta có hệ pt:
{
3 = 𝑎. 2 + 𝑏
1 = a. (−2) + 𝑏
{ 2𝑎 + 𝑏 = 3
−2a + 𝑏 = 1
{
2𝑎 + (1 + 2𝑎) = 3
𝑏 = 1 + 2𝑎
{
4𝑎 = 2
𝑏 = 1 + 2𝑎

𝑎 =
1
2
b = 2
Bài 4: Giải các hệ phương trình chứa căn sau bằng phương pháp thế
a) {
𝑥 + 𝑦√5 = 0
𝑥√5 + 3𝑦 = 1 − √5
 {
𝑥 = −𝑦√5 (1)
𝑥√5 + 3𝑦 = 1 − √5 (2)
Thế pt (1) và pt (2) ta được:
−𝑦√5 .√5 + 3y = 1- √5
 −5y + 3y = 1- √5
 𝑦 =
√5−1
2
thay vào (1) ta được: x =
√5−5
2

4. b) {
(2 − √3) 𝑥 − 3𝑦 = 2 + 5√3
4𝑥 + 𝑦 = 4 − 2√3
{
(2 − √3) 𝑥 − 3𝑦 = 2 + 5√3 (1)
𝑦 = 4 − 2√3 − 4𝑥 (2)
Thế (2) và (1) ta được:
(2 − √3) 𝑥 – 3(4-2√3 − 4𝑥) = 2 + 5√3
 (2 − √3) 𝑥 –12 + 6√3 +12x = 2 + 5√3
 x =
14−√3
14−√3
= 1 thay vào pt (2) ta được: y = 4-2√3 – 4.1  y = -2√3