This is about Lagrangian of SM.

1. Bài tập Thống nhất tương tác - Bài 2
Lê Đại Nam1, a)
PhD Student, VNU-HCM University of Science
(Dated: Ngày 30 tháng 3 năm 2018)
I. LAGRANGIAN CỦA MÔ HÌNH CHUẨN SM
Lagrangian của mô hình chuẩn có thể được viết dưới dạng tổng của 4 số hạng
LSM = LY −M + Lferm + LH + LY uk, (1)
với LY −M , Lferm, LH và LY uk lần lượt là các Lagrangian: Yang-Mills mô tả tự tương tác
của các gauge boson, tương tác giữa gauge boson và các fermions, trường Higgs và tương
tác với các gauge boson, tương tác Yukawa giữa trường Higgs với các fermion thông qua các
gauge boson.
Cụ thể, các Lagrangian có dạng cụ thể như sau:
LY −M = −
1
4
Wi
µνWi,µ,ν
−
1
4
BµνBµν
−
1
4
Ga
µνGa,µν
, i = 1, 2, 3 và a = 1, 2, . . . , 8; (2)
Lferm = ıΨlL
/DΨlL
+ ıψlR
/DψlR
+ ıΨQL
/DΨQL
+ ıψuR
/DψuR
+ ıψdR
/DψdR
; (3)
LH = (Dµ
Φ)†
(DµΦ) − V (Φ) ; (4)
LY uk = −ΨlL
ylψlR
Φ − ΨQL
yuψuR
ıσ2
Φ∗
− ΨQL
ydψdR
Φ + h.c; (5)
(6)
với
Wi
µν = ∂µWi
ν − ∂νWi
µ − g ijk
Wj
µWi
ν, ijk
là hằng số cấu trúc của nhóm SU(2); (7)
Bµν = ∂µBν − ∂νBµ; (8)
Ga
µν = ∂µGa
ν − ∂νGa
µ − gsfabc
Gb
µGc
ν, fabc
là hằng số cấu trúc của nhóm SU(3); (9)
ΨlL
= (νL, lL)T
, ψlR
= lR, ΨQL
= (uL, dL)T
, ψuR
= uR, ψdR
= dR; (10)
Dµ = ∂µ − ıg
σi
2
Wi
µ − ıg
Yw
2
Bµ − ıgS
λa
2
Ga
µ; (11)
V (Φ) =
λ
4
|Φ|2
− µ2
|Φ| . (12)
a)
Electronic mail: ldn28593@gmail.com

2. 2
II. TÌM KHỐI LƯỢNG CỦA CÁC BOSON W±, Z, A TRONG TƯƠNG TÁC ĐIỆN YẾU
VÀ HIGGS BOSON H
Ta thay lưỡng tuyến Higgs
Φ(x) =



0
v + h(x)
√
2


 , (13)
vào thế Higgs
V (Φ) =
λ
4
|Φ|4
− µ2
|Φ|2
,
=
λ
4
|Φ|2
−
2µ2
λ
2
−
µ4
λ
, (14)
thì ta thu được
V (h) =
λ
16
|v|2
+ |h(x)|2
+ v∗
h(x) + vh∗
(x) −
4µ2
λ
2
−
µ4
λ
, (15)
Chọn v = 2 µ2/λ và h(x) thực thì V (h) được viết lại thành
V (h) =
λ
16
h2
(x) + 2vh(x)
2
−
µ4
λ
=
1
4
v2
λh2
(x) +
1
4
vλh3
(x) +
λ
16
h4
(x) −
v4
λ
4
. (16)
Bây giờ, từ đạo hàm kéo dài của tương tác điện-yếu trong mô hình GSW
Dµ = ∂µ − ıg
3
k=1
σk
2
Wk
µ − ıg
Yw
2
Bµ, (17)
và lưỡng tuyến Higgs (13), ta dẫn ra được
DµΦ =
1
√
2


−
ıg
2
W1
µ − ıW2
µ (v + h(x))
∂µh(x) +
ı
2
gW3
µ − g Y Bµ (v + h(x))

 , đối với trường Higgs Yw = 1.
(18)
Khi đó, ta dễ dàng tính được
(Dµ
Φ)†
(DµΦ) =
1
2
∂µ
h∂µh+
1
8
g2
W1,µ
+ ıW2,µ
W1
µ − ıW2
µ
+ gW3,µ
− g Bµ
gW3
µ − g Bµ |v + h(x)|2
. (19)
Do các boson W±
, Z và A xác định từ Wk
, B bởi các hệ thức "quay"
W±
µ =
1
√
2
W1
µ ıW2
µ , (20)

3. 3
và 

Zµ
Aµ

 =


cW −sW
sW cW




W3
µ
Bµ

 , (21)
với cW = g/ g2 + (g )2 và sW = g / g2 + (g )2 nên (19) có thể viết theo W±
, Z và A như
sau:
(Dµ
Φ)†
(DµΦ) =
1
2
∂µ
h∂µh +
1
4
g2
W−,µ
W+
µ +
g2
2c2
W
Zµ
Zµ |v + h(x)|2
=
1
2
∂µ
h∂µh +
g2
v2
4
W−,µ
W+
µ +
g2
v2
8c2
W
Zµ
Zµ +
+
1
4
g2
W−,µ
W+
µ +
g2
2c2
W
Zµ
Zµ 2vh(x) + h2
(x) . (22)
Kết hợp (16) và (22) thì ta viết lại Lagrangian của Higgs trong đó ta chỉ qua tâm đến
các số hạng bậc hai để xác định khối lượng thì
L =
1
2
∂µ
h∂µh +
g2
v2
4
W−,µ
W+
µ +
1
2
g2
v2
4c2
W
Zµ
Zµ −
1
2
v2
λ
2
h2
(x) + . . . . (23)
thì ta được khối lượng của các boson
mW = gv/2, mZ = gv/2cW , mA = 0, mH = v λ/2 = 2µ2. (24)
III. XÁC ĐỊNH CÁC HẰNG SỐ TƯƠNG TÁC GIỮA H VỚI CÁC BOSON W±, Z, A VÀ H
Để xác định tương tác giữa boson Higgs với các boson trong tương tác điện-yếu và với
chính nó thì ta viết lại đầy đủ các số hạng của Lagrangian Higgs trong tương tác điện-yếu
ở phương trình (23) (tức là xác định luôn các số hạng trong . . . ):
L =
1
2
∂µ
h∂µh +
g2
v2
4
W−,µ
W+
µ +
1
2
g2
v2
4c2
W
Zµ
Zµ −
1
2
v2
λ
2
h2
(x) −
v4
λ
4
+
+
vg2
2
W−,µ
W+
µ h +
vg2
4c2
W
Zµ
Zµh +
g2
4
W−,µ
W+
µ h2
+
g2
8c2
W
Zµ
Zµh2
−
1
4
vλh3
−
λ
16
h4
. (25)
Ta phân tích các số hạng ở dòng thứ hai trong trong (25) thì sẽ thấy các số hạng đó lần lượt
mô tả các tương tác: hW+
W−
, hZZ, hhW+
W−
, hhZZ, hhh và hhhh. Do vậy, các hằng số
coupling cho các tương tác trên dễ dàng được xác định:
λhZZ = vg2
/4c2
W = v(g2
+ g 2
)/4, λhhZZ = g2
/8c2
W = (g2
+ g 2
)/8, (26)
λhW+W− = vg2
/2, λhhW+W− = g2
/4, λhγγ = 0, λhhh = vλ/4, λhhhh = λ/16. (27)

4. 4
IV. TÌM KHỐI LƯỢNG CỦA CÁC FERMION QUA LAGRANGIAN YUKAWA
A. Tìm khối lượng của các lepton e, µ, τ và các quark dưới d, s, b
Đối với lepton e, µ và τ thì Lagrangian Yukawa mô tả tương tác giữa e, µ và τ với trường
Higgs có dạng
LY uk,l = −ΨlL
ylψlR
Φ + h.c. (28)
Thực hiện các tính toán chi tiết với trường Higgs được mô tả bởi (13) thì ta được
LY uk,l = −
1
√
2
yl νl,L lL lR


0
v + h

 + h.c,
= −
1
√
2
yl(v + h) lLlR + lRlL = −
1
√
2
ylvll −
1
√
2
ylhll. (29)
Số hạng đầu tiên của (29) cho phép chúng ta xác định được khối lượng của lepton e, µ, τ:
me =
1
√
2
yev, mµ =
1
√
2
yµv, mτ =
1
√
2
yτ v. (30)
Khối lượng của các lepton e, mµ và mτ vẫn là các tham số tự do vì phụ thuộc vào
tham số tự do ye, yµ và yτ nên cơ chế Higgs với tương tác Yukawa của trường
Higgs vẫn chưa mô tả được gì về khối lượng của các lepton e, mµ và mτ . Sau đây,
tôi sẽ chỉ ra kết luận này cũng đúng cho các quark.
Đối với các quark dưới d, s và b thì Lagrangian Yukawa mô tả tương tác giữa d, s và b
với trường Higgs có dạng
LY uk,d = −ΨQL
ydψdR
Φ + h.c, (31)
có dạng tường minh
LY uk,d = −
1
√
2
yd uL dL dR


0
v + h

 + h.c, (32)
tương tự LY uk,l nên ta cũng ra kết quả tương tự
LY uk,d = −
1
√
2
ydvdd −
1
√
2
ydhdd. (33)
Phương trình (33) cho ta khối lượng của các quark dưới
md =
1
√
2
ydv, ms =
1
√
2
ysv, mb =
1
√
2
ybv. (34)

5. 5
B. Tìm khối lượng của các quark trên u, c, t
Đối với lepton e, µ và τ thì Lagrangian Yukawa mô tả tương tác giữa u, c và t với trường
Higgs có dạng
LY uk,u = −ΨQL
yuψuR
ıσ2
Φ∗
, (35)
trong đó nếu trường Higgs xác định như ở (13) thì
ıσ2
Φ∗
=
1
√
2


v + h
0

 . (36)
Thực hiện các tính toán chi tiết thì ta được
LY uk,u = −
1
√
2
yu uL dL uR


v + h
0

 + h.c,
= −
1
√
2
yu(v + h) (uLuR + uRuL) = −
1
√
2
yuvuu −
1
√
2
yuhuu. (37)
Số hạng đầu tiên của (37) cho phép chúng ta xác định được khối lượng của quark trên u, c, t:
mu =
1
√
2
yuv, mc =
1
√
2
ycv, mt =
1
√
2
ytv. (38)
V. XÁC ĐỊNH CÁC HẰNG SỐ TƯƠNG TÁC GIỮA H VỚI CÁC FERMION
A. Tương tác giữa H và các lepton e, µ, τ
Số hạng còn lại của LY uk,l trong (29) mô tả tương tác hll giữa boson H với các fermion
lepton l = e, µ, τ. Qua đó, ta xác định được các hằng số coupling
λhe+e− =
1
√
2
ye =
me
v
, λhµ+µ− =
1
√
2
yµ =
mµ
v
, λhτ+τ− =
1
√
2
yτ =
mτ
v
. (39)
B. Tương tác giữa H và các quark dưới
Số hạng còn lại của LY uk,d trong (33) mô tả tương tác hdd giữa boson H với các fermion
lepton d = d, s, b. Qua đó, ta xác định được các hằng số coupling
λhdd =
1
√
2
yd =
md
v
, λhss =
1
√
2
ys =
ms
v
, λhbb =
1
√
2
yb =
mb
v
. (40)

6. 6
C. Tương tác giữa H và các quark trên
Số hạng còn lại của LY uk,u trong (37) mô tả tương tác huu giữa boson H với các fermion
lepton u = u, c, t. Qua đó, ta xác định được các hằng số coupling
λhuu =
1
√
2
yu =
mu
v
, λhcc =
1
√
2
yc =
mc
v
, λhtb =
1
√
2
yt =
mt
v
. (41)
D. Nhận xét
Hằng số coupling của tương tác λhff tỉ lệ thuận với khối lượng của lepton mf với hệ số tỉ
lệ 1/v. Ví dụ: ta biết rằng giữa ba thế hệ lepton thì me < mµ < mτ nên λhe+e− < λhµ+µ− <
λhτ+τ− .
Ta biết rằng độ rộng của rã Γ ∝ λ2
nên ta dễ dàng tính được độ rộng của rã h → ff từ
rã h → W+
W−
:
Γ h → ff = hệ số tỉ lệ
Γ
λ
m2
f v−2
. (42)
Trong khi đó, nếu đối chiếu với các boson W±
, Z thì ta lại có
λhW+W− = 2m2
W /v, λhZZ = m2
Z/v, (43)
nên ta có
Γ h → W+
W−
= hệ số tỉ lệ
Γ
λ
2m2
W v−2
. (44)
Γ h → W+
W−
= hệ số tỉ lệ
Γ
λ
4m4
W v−2
. (45)
và
Γ (h → ZZ) = hệ số tỉ lệ
Γ
λ
m4
Zv−2
. (46)
Đối chiếu các độ rộng phân rã, ta có
Γ h → ff
m2
f
=
Γ (h → W+
W−
)
4m4
W
=
Γ (h → ZZ)
m4
Z
. (47)
Với việc đa số các fermion đều nhẹ hơn W và Z (chỉ có quark t có giá trị cùng cỡ (gấp đôi))
và Γ h → ff ∝ mf còn Γ (h → 2vector boson) ∝ m4
vector boson nên
Γ h → ff Γ (h → ZZ) < Γ h → W+
W−
. (48)