1. 01699257507 Phương trình lưng giác không mau mc http://nguyentatthu.violet.vn
Chuyên ñê: Phương trình lưng giác không mau mc
ðe gii phương trình lưng giác không mau mc, ta s d
ng các phép biên ñoi lưng giác, ñưa
phương trình ñã cho vê nhng dng phương trình ñã biêt. Khi thc hien các phép biên ñoi cân chú ý mot sô
nguyên tac sau
1. ðưa vê cùng mot hàm sô lưng giác: Trong mot phương trình nêu các hàm sô lưng giác có mat
trong phương trình có the cùng bieu dien qua ñưc mot hàm sô lưng giác thì ta ñưa phương trình ñã cho
vê hàm chung ñó rôi s s
ng phương pháp ñat an ph
ñe chuyen vê phương trình ñi sô.
Ví d 1: Gii phương trình : cos 3x + cos 2x - cos x - 1 = 0 ( ðH Khôi D – 2006 ).
Ta thây các hàm sô lưng giác có mat trong phương trình ñêu bieu dien ñưc qua cosx. Do ñó ta chuyen
phương trình ñã cho vê phương trình ch cha hàm sô cosx.
PT Û 4 cos3 x - 3 cos x + (2 cos2 x - 1) - cos x - 1 = 0 Û 2 cos3 x + cos2 x - 2 cos x - 1 = 0
ðat t = cos x, t £ 1 . Ta có:
 = ±
t 1
+ - - = Û - + = Û  = - 
3 2 2
2t t 2t 1 0 (t 1)(2t 1) 0 1
t
2
.
* t = ±1 Û cos x = ±1 Û sin x = 0 Û x = kp
* t = - 1 Û = - 1 = 2 p Û 2
p cos x cos x = ± + k2
p 2 2 3 3
.
Ví d 2: Gii phương trình : 6 2 3 cos 4x - 8 cos x + 2 cos x + 3 = 0 (D b Khôi B – 2003 ).
Ta chuyen phương trình vê phương trình ch cha cos 2x
PT Û 3(2 cos2 2x - 1) - (1 + cos 2x)3 + 1 + cos 2x + 3 Û cos 2x(cos2 2x - 3 cos 2x + 2) = 0
  p p cos 2x = 0 Û  Û  x = + k
 4 2
 cos 2x = 1 x = k
p 
.
2. ðưa vê cùng mot cung: Trong mot phương trình lưng giác thưng xuât hien hàm sô lưng giác ca
các cung khác nhau (chang hn cung x; x, 3x...
p - ), khi ñó ta có the tìm cách ñưa vê cùng mot cung nêu
3
có the ñưc
+ = p -
Ví d 3: Gii phương trình : 1 1 7
4 sin( x)
- p
sin x 3 4
sin(x )
2
(ðH Khôi A – 2008 )
- p p - nên ta tìm cách chuyen ba cung này vê cùng mot cung x
Trong phương trình có ba cung 3 7
x; x ; x
2 4
p  p  p - =  + - p = + =
Ta có: 3
sin(x ) sin (x ) 2 sin(x ) cos x
2 2 2
 
p  p  p - =  p - +  = - + = - +
7 1 ( )
sin( x) sin 2 (x ) sin(x ) sin x cos x
4  4 
4 2
PT 1 1
Û + = - + Û + + =
2 2(sin x cos x) (sin x cos x)( 2 sin 2x 1) 0
sin x cos x
Nguyen Tât Thu – Trưng THPT Lê Hông Phong – Biên Hòa 1

2. 01699257507 Phương trình lưng giác không mau mc http://nguyentatthu.violet.vn
  sin x + cos x = 0 = - p + p Û   x k
 = - 1 Û  4
sin 2x  = - p 5
p 
+ p = - + p 2 x k ; x k 8 8

.
Ví d 4: Gii phương trình : 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x (ðH Khôi D – 2008 ).
Ta chuyen cung 2x vê cung x.
PT Û 4 sin x cos2 x + 2 sin x cos x = 1 + 2 cos x Û 2 sin x cos x(2 cos x + 1) = 2 cos x + 1
 p  = + p
(2 cos x 1)(sin 2x 1) 0 4
Û + - = Û 
x k
 = ± p + p 
2
x k2
3
.
3. Biên ñoi tích thành tong và ngưc l
i: Trong phương trình xuât hien tích ca các hàm sô lưng giác
sn và cos thì ta có the biên ñoi thành tong (múc ñích là to ra nhng di lưng giông nhau ñe thc hien
các phép rút g n). Nêu xuât hien tong thì ta biên ñoi vê tích (M
c ñích làm xuât hien th!a sô chung ), ñac
biet là ta se gép nhng cap sao cho tong hoac hieu hai cung bang nhau.
Ví d 5: Gii phương trình : sin 2x. cos 3x = sin 5x. cos 6x .
PT
 p  =
1 1 x k sin 5x sin x sin11x sin x sin 5x sin11x 6
2 2
Û  -  =  -  Û = Û   = p + p 
x k
16 8
Ví d 6: Gii phương trình : sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x .
PT Û(sin x + sin 3x) + sin 2x = (cos x + cos 3x) + cos 2x
Û 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2x cos x + cos 2x Û (2 cos x + 1)(sin 2x - cos 2x) = 0
  1 = ± 2 p + p Û  cos x = -  x k2 2 Û   3
sin 2x = 
 = p p cos 2x x + k

8 2
.
4. H
bac: Khi gii phương trình lưng giác ta phi s d
ng các công thc biên ñoi lưng giác. Tuy
nhiên nhng công thc này ch s d
ng khi hàm sô lưng giác có sô mũ bang 1, do ñó nêu trong phương
trình có sô mũ ca các hàm sô lưng giác là chan thì ta có the h bac ñe thuan tien cho viec biên ñoi .
Ví d 7: Gii phương trình : 2 2 2 2 sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x (ðH Khôi B – 2002 ).
Áp d
ng công thc h bac, ta có:
Û 1 - cos 6x - 1 + cos 8x = 1 - cos10x - 1 + cos12x
Û + = +
PT cos 6x cos 8x cos10x cos12x
2 2 2 2
 p  cos x = 0  x = + k
p
2 cos 7x cos x 2 cos11x cos x 2
Û = Û  Û 
 =  = p = p 
cos11x cos 7x
x k ; x k
2 9
.
Ví d 8: Gii phương trình : cos2 3x cos 2x - cos2 x = 0 ( ðH Khôi A – 2005 ).
PT Û (1 + cos 6x) cos 2x - 1 - cos 2x = 0 Û cos 6x. cos 2x - 1 = 0 (1)
Nguyen Tât Thu – Trưng THPT Lê Hông Phong – Biên Hòa 2

3. 01699257507 Phương trình lưng giác không mau mc http://nguyentatthu.violet.vn
Û cos 8x + cos 4x - 2 = 0
Û 2 + - = Û = Û = p 2 cos 4x cos 4x 3 0 cos 4x 1 x k
2
.
Nhan xét: * ' (1) ta có the s d
ng công thc nhân ba, thay cos 6x = 4 cos3 2x - 3 cos 2x và chuyen vê
phương trình trùng phương ñôi v(i hàm sô lưng giác cos 2x .
* Ta cũng có the s d
ng các công thc nhân ngay t! ñâu, chuyen phương trình ñã cho vê phương trình ch
cha cosx và ñat t = cos2 x
Tuy nhiên cách ñưc trình bày ) trên là ñ*p hơn c vì chúng ta ch s d
ng công thc h bac và công thc
biên ñoi tích thành tong ( Vì công thc nhân ba chúng ta không ñưc h c).
5. Chuyen hai hàm sô tan và cot vê hai hàm sin và cos: Nêu trong phương trình xuât hien tan, cot và
sin, cos thì ta thay tan, cot b)i sin và cos và lúc ñó chúng ta de dàng tìm ñưc li gii hơn. Chú ý khi gap
phương trình cha tan hay cot, ta nh( ñat ñieu kien cho phương trình !
Ví d 9: Gii phương trình : - = ( - ) 2 5 sin x 2 3 1 sin x tan x (ðH Khôi B – 2004 ).
ðiêu kien : ¹ Û ¹ p + p cos x 0 x k
2
2 2
sin x sin x
PT Û - = - Û - = -
5 sin x 2 3(1 sin x) 5 sin x 2 3(1 sin x)
2 2
-
cos x 1 sin x
2
sin x 2 2
Û - = Û - + = Û + - =
5 sin x 2 3 (5 sin x 2)(1 sin x) 3 sin x 2 sin x 3 sin x 2 0
+
1 sin x
 p  x = + k2 p Û sin x = 1 = p sin Û 
6
 = p + p 
2 6 5
x k2
6
.
Ví d 10: Gii phương trình :
 p   -  - =
 
2 x 2 2 x
sin tan x cos 0
2 4 2
(ðH Khôi D – 2003 ).
ðiêu kien : ¹ Û ¹ p + p cos x 0 x k
2
.
PT
 p  sin 2 x 2
Û  - -  - + = Û - sin x
- + =
1 cos(x ) (1 cos x) 0 (1 sin x) (1 cos x) 0
2 2
  -
2 cos x 1 sin x
2
sin x 2
Û - + = Û - - + + =
+
(1 cos x) 0 (1 cos x) (1 cos x)(1 sin x) 0
1 sin x
  cos x = 1 x = k2
p Û - - = Û  Û  tan x = 1  x = p + k

p 
(1 cos x)(cos x sin x) 0
4
.
Trên là mot sô nguyên tac chung thưng ñưc s d
ng trong các phép biên ñoi phương trình lưng giác.
M
c ñích ca các phép biên ñoi ñó là nham các m
c ñích sau:
1. ðưa phương trình ban ñâu vê phương trình lưng giác thưng gap (Thưng là ñưa vê phương trình
ña thc ñôi vi mot hàm sô lưng giác)
Ví d 1: Gii phương trình : 1 + 3 tan x = 2 sin 2x (ðH Công ðoàn – 2000).
Nguyen Tât Thu – Trưng THPT Lê Hông Phong – Biên Hòa 3

4. 01699257507 Phương trình lưng giác không mau mc http://nguyentatthu.violet.vn
¹ Û ¹ p + p
Gi

5. i: ðiêu kien : cos x 0 x k
2
PT sin x 2
Û 1 + 3 = 4 sin x cos x Û cos x + 3 sin x = 4 sin x cos x
. ðây là phương trình ñang câp bac ba
cos x
nên ta chia hai vê ca phương trình cho 3 cos x (do cos x ¹ 0 ), ta ñưc phương trình :
+ = Û + 2 + + 2
=
1 tan x
3 4 tan x 1 tan x 3 tan x(1 tan x) 4 tan x
2 2
cos x cos x
Û 3 tan 3 x + tan 2 x - tan x + 1 = 0 Û tan x = - 1 Û x = - p + k
p th+a ñiêu kien .
4
Nhan xét: ðe gii phương trình này ngay t! ñâu ta có the chia hai vê ca phương trình cho cos 2 x hoac s
d
ng công thc
2 sin x cos x 2 tan x
= =
2 2 2
sin 2x
+ +
sin x cos x 1 tan x
và chuyen phương trình ban ñâu vê phương trình ch
cha hàm tan như trên.
Ví d 2: Gii phương trình : 2
- + = ( ðH Khôi B – 2003 ).
cot x tgx 4 sin 2x
sin 2x
¹ Û ¹ p
Gi

6. i: ðiêu kien: sin 2x 0 x k
2
PT cos x sin x 1 2 2
Û - + = Û - + =
4 sin 2x cos x sin x 4 sin 2x. sin x cos x 1
sin x cos x sin x cos x
2 2 1
Û cos 2x + 2 sin 2x - 1 = 0 Û 2 cos 2x - cos 2x - 1 = 0 Û cos2x
= - (do
2
sin 2x ¹ 0 Û cos2x ¹ ±1 )
Û p x = ± + k
p .
3
Chú ý : Ta cân lưu ý ñên công thc: 2
+ = và cot x - tan x = 2 cot 2x
tan x cot x
sin 2x
Ví d 3: Gii phương trình : 6 6 sin x + cos x = sin 2x (HVBCVT TPHCM – 2001 ).
Gi

7. i:
Ta có 6 6 2 2 3 2 2 2 2 3 2
+ = + - + = -
sin x cos x (sin x cos x) 3 sin x cos x(sin x cos x) 1 sin 2x
4
Nên pt 3 2 2 2
Û 1 - sin 2x = sin 2x Û 3 sin 2x + 4 sin 2x - 4 = 0 Û sin 2x
=
4 3

= 1 2
 x arcsin + k
p
2 3
 = p - + p 
1 2
x arcsin k
2 2 3
Û 
.
Chú ý : Ta cân lưu ý ñên công thc
4 4 1 2 3 1
+ = - = + .
sin x cos x 1 sin 2x cos 4x
2 4 4
Nguyen Tât Thu – Trưng THPT Lê Hông Phong – Biên Hòa 4

8. 01699257507 Phương trình lưng giác không mau mc http://nguyentatthu.violet.vn
6 6 3 2 5 3
+ = - = + .
sin x cos x 1 sin 2x cos 4x
4 8 8
+ + - p - p - = (ðH Khôi D – 2005 ).
Ví d 4: Gii phương trình: 4 4 3
cos x sin x cos(x ) sin(3x ) 0
4 4 2
Gi

9. i: Ta có: 4 4 1 2
+ = -
sin x cos x 1 sin 2x
2
1 1 ( ) 1 ( 2 )
p p  p  - - =  - +  = - + = + -
sin(3x ) cos(x ) sin(4x ) sin 2x cos 4x sin 2x 2 sin 2x sin 2x 1
4 4 2 2 2 2
 
Nên pt 1 2 1 ( 2 ) 3 2
Û - + + - - = Û + - =
1 sin 2x 2 sin 2x sin 2x 1 0 sin 2x sin 2x 2 0
2 2 2
Û p sin 2x = 1 Û x = + k
p.
4
2. ðưa phương trình vê phương trình d
ng tích : Tc là ta biên ñoi phương trình f(x) = 0 vê dng
h(x).g(x) = 0 . Khi ñó viec gii phương trình ban ñâu ñưc quy vê gii hai phương trình :
 =

g(x) 0
h(x) 0
= 
.
Trong m
c ñích này, ta cân làm xuât hien nhân t chung.
Mot sô lưu ý khi tìm nhân t chung :
Các bieu thc 2 1 + sin 2x = (s inx + cos x) ; cos 2x = (cos x - sin x)(cos x + sin x) ;
+ = sin x + cos x
; sin x cos x
1 tan x
cos x
+ = + nên chúng có th!a sô chung là sin x + cos x .
1 cot x
sin x
Các bieu thc 1 - sin 2x ; cos 2x ; 1 - tan x ; 1 - cot x có th!a sô chung là cos x - sin x .
2 2 sin x; tan x có th!a sô (1 - cos x)(1 + cos x) . Tương t 2 2 cos x; cot x có th!a sô
(1 - sin x)(1 + sin x) .
Ví d 1: Gii phương trình: 1+sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0 (ðH Khôi B – 2005 ).
Gi

10. i: PT 2 2 Û (1 + sin 2x) + (sin x + cos x) + cos x - sin x = 0
2 Û(sin x + cos x) + (sin x + cos x) + (cos x - sin x)(cos x + sin x) = 0
 +  p sin x cos x = 0  x = - 
+ k
p Û + + = Û  Û   = -  = ± p + p (sin x cos x)(2 cos x 1) 0 4 1 2 cos x x k2 2 3

.
Nhan xét: Ngoài cách biên ñoi trên, ta có the biên ñoi cách khác như sau
PT Û 2 cos 2 + cos x + sin x + 2 sin x cos x = 0 Û cos x(2 cos+ 1) + sin x(2 cos x + 1) = 0
Û (2 cos x + 1)(sin x + cos x) = 0 . Mac dù hai cách biên ñoi trên khác nhau nhưng chúng ñêu da trên
nguyên tac ”ñưa vê mot cung”.
cos 2 Ví d2: Gii phương trình:
x(cos x 1)
= +
2(1 sin x)
-
+
sin x cos x
(D b Khôi D – 2003 ).
+ ¹ Û ¹ - p + p
Gi

11. i: ðk: sin x cos x 0 x k
4
PT Û (1 - sin x)(1 + sin x)(cos x - 1) = 2(sin x + cos x)(1 + sin x)
Nguyen Tât Thu – Trưng THPT Lê Hông Phong – Biên Hòa 5

12. 01699257507 Phương trình lưng giác không mau mc http://nguyentatthu.violet.vn
2 (1 sin x)(sin x cos x sin x cos Û + + + x + 1) = 0 Û(1 + sin x) (1 + cos x) = 0

  p sin x = - 1 Û  Û  x = - + k2
p  cos x = - 2
1  x = p + k2
p .
Ví d 3: Gii phương trình: 3 cot 2 x + 2 2 sin 2 x = (2 + 3 2) cos x .
Gi

13. i: ðk: x ¹ kp
2
PT
Û + 2
= + .
3 cos x
2
2 2 sin x (2 3 2) cos x
sin x
2 2 4 2 Û 3 cos x - 3 2 sin x. cos x + 2 2 sin x - 2 sin x cos x = 0
 2
+ - = Û - 2 - 2
= Û 
2 cos x cos x 2 0
 2

+ - = (cos x 2 sin x)(3 cos x 2 sin x) 0
2 cos x 3 cos x 2 0
 - +   = 1 3 - cos x  6 2 x = ± arccos + k2
p
Û  Û 
2 2

 1  p  cos x
= x = ± + k2 p 
2 3
.
Ví d 4: Gii phương trình: 2 sin 2x - cos 2x = 7 sin x + 2 cos x - 4 .
Gi

14. i:
PT 2 Û 4 sin x cos x - 1 + 2 sin x - 7 sin x - 2 cos x + 4 = 0
Û 2 cos x(2 sin x - 1) + (2 sin x - 1)(sin x - 3) = 0 Û (2 sin x - 1)(2 cos x + sin x - 3) = 0
  p = 1  x = + k2 p Û  sin x Û  2
 6 p 2 cos x + sin x - 3 = 0  = 5 x + k2

p 6

( Lưu ý : 2 2 | a sin x + b cos x |£ a + b ⇒ 2 cos x + sin x £ 5 3 ).
Nhan xét: Khi s d
ng công thc nhân ñôi, ta cân lưu ý là cos 2x có ba công thc ñe thay nên tuy t!ng
phương trình mà chúng ta ch n công thc phù hp.
Nguyen Tât Thu – Trưng THPT Lê Hông Phong – Biên Hòa 6