Ma trận - định thức và các ứng dụng trong kinh tế

BµI GI¶NG
Bộ môn Toán kinh tế và Khoa học dữ liệu-
Khoa Kinh tế phát triển
Mobile: 0975740127
Email: hue100988@gmail.com, lthue@vnu.edu.vn
TO¸N CAO CÊP
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ
Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ
1
3/27/2023

Ma trận và các phép toán tuyến tính
Định thức
Phương pháp tính định thức
Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo
Hạng của ma trận
1
2
3
4
5
Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
2
3/27/2023

Bài 1.
I. Các khái niệm cơ bản về ma trận
II. Các dạng ma trận
IV. Các phép biến đổi ma trận
1. Khái niệm ma trận
2. Đẳng thức ma trận
1. Ma trận vuông
2. Ma trận tam giác
3. Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị
3. Ma trận không và ma trận đối
1. Các phép biến đổi sơ cấp
2. Phép chuyển vị ma trận
III. Các phép toán tuyến tính trên các ma trận
2. Các tính chất
1. Định nghĩa phép toán
3
3/27/2023

Bài 1.
4
3/27/2023
Ví dụ 1: Thông tin về lợi nhuận của 3 siêu thị (A, B, C) kinh doanh 4 mặt hàng (1, 2,
3, 4) trong 6 tháng đầu năm được cho thành một bảng như sau:
MH
Siêu thị
A
B
C
1 2 3 4
12
23
3
- 2
31
12
13
14
47
27
22
29
=> Ma trận
Ví dụ 2: Bàn cờ vua
 
 
 
 
 
12 -2 13 27
A = 23 31 14 22
3 12 47 29
=> Ma trận

1. Khái niệm ma trận
ĐN: Một bảng số gồm mxn số được sắp xếp thành m dòng và n
cột được gọi là một ma trận cấp mxn (cỡ mxn) .
Cho A là một ma trận cấp mxn tổng quát, ta ký hiệu:
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
11 12 1n 11 12 1n
21 22 2n 21 22 2n
m1 m2 mn m1 m2 mn
a a a a a a
a a a a a a
A = hay A =
a a a a a a
   
   
   
   
   
   
trong đó aij là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A.
Ký hiệu dạng thu gọn:
   
 
ij ij
m×n m×n
A = a hay A = a
Đặt tên cho ma trận bằng các chữ cái in hoa: A, B, C, D…
m
n
5
3/27/2023

2. Đẳng thức ma trận
ĐN: Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có
cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng
đôi một bằng nhau.
 
   
  
   
   
   
VD1 :
2 3 0 2 3 0
Cho A và B thì A B
1 4 2 1 4 2
2 3 1
còn C thì A C
1 4 2

 
 
 
 
 
VD2 :
x y 1 2
z t 3 4
   

   
   
x 1
y 2
z 3
t 4


 

 


 

NX: Sự bằng nhau của 2 ma trận cấp mxn tương đương với
một hệ mxn phương trình.
6
3/27/2023

ĐN: Ma trận đối của một ma trận A là ma trận cùng cấp mà mỗi
phần tử của nó là số đối của các phần tử tương ứng của
ma trận A.
Ký hiệu: Ma trận đối của A được ký hiệu là -A
3. Ma trận không và ma trận đối
ĐN: Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0
Ký hiệu Omxn hay O ...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
 
x
m n
0 0 0
0 0 0
O =
0 0 0
 
 
 
 
 
-4 0
A = 5 -2
7 4
Ví dụ: Ma trận đối của ma trận
à
 
 
 
 
 
4 0
l à - A = -5 2
-7 -4
7
3/27/2023

 
 
 
1 2 -3
A =
-3
VD: Cho
0 4
mt
8
 
 





d
1
d
2
A = 1, 2, -3
A = -3, 0, 4
     
     
     
c c c
1 2 3
1 2 -3
A = , A = , A =
-3 0 4
4. Hệ vectơ dòng và hệ vectơ cột của ma trận:
KN: Cho A là một ma trận cấp mxn.
Coi mỗi dòng của A như một véc tơ (n chiều ) ta có hệ vectơ
dòng của ma trận A. Kí hiệu:
Coi mỗi cột của A như một véc tơ (m chiều ) ta có hệ vectơ
cột của ma trận A. Kí hiệu:
 
d d d
1 2 m
A ,A ,...,A
 
c c c
1 2 n
A ,A ,...,A
 Hệ vectơ dòng của ma trận A là
 Hệ vectơ cột của ma trận A là
3/27/2023

1. Ma trận vuông
ĐN: Một ma trận có số dòng và số cột đều bằng n được gọi là ma
trận vuông cấp n.
...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
 
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
A =
a a a
Các phần tử nằm trên
đường chéo chính
 
 
 
 
 
3 -1 6
VD: A = -7 2 8
9 0 5
Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát:
là một ma trận vuông cấp 3 và 3, 2, 5 là
các phần tử nằm trên đường chéo chính
9
3/27/2023

2. Ma trận tam giác
ĐN: Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một
phía của đường chéo chính bằng 0.
...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
 
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
a a a
Ma trận tam
giác trên
...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
 
11 12 1n
22 2n
nn
a a a
0 a a
0 0 a
...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
 
11
21 22
n1 n2 nn
a 0 0
a a 0
a a a
Ma trận tam
giác dưới
 
 
 
 
 
3 -1 6
VD: A = 0 -2 8
0 0 0
là một ma trận tam giác trên
10
3/27/2023

...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
 
11
22
nn
a 0 0
0 a 0
0 0 a
3. Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị
ĐN: Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử
nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. Ma trận đường chéo
cấp n có dạng:
...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
 
1 0 0
0 1 0
I=
0 0 1
ĐN: Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có tất cả các phần tử
trên đường chéo chính bằng 1.
Ma trận đơn vị được ký hiệu là I (E)
 
 
 
 
 
-7 0 0
VD: A = 0 4 0
0 0 9
 
 
 
 
 
1 0 0
I= 0 1 0
0 0 1
Mt đơn vị
cấp 3 là:
Mt đơn vị
cấp n là:
11
3/27/2023

Ví dụ: Thông tin về lợi nhuận của 3 siêu thị (A, B, C) kinh doanh 4 mặt
hàng (1, 2, 3, 4) trong 6 tháng đầu năm được cho thành một bảng
như sau:
MH
Siêu thị
A
B
C
1 2 3 4
12
23
3
- 2
31
12
13
14
47
27
22
29
Lợi nhuận trong 6 tháng cuối năm có sự thay đổi, cụ thể như sau:
MH
Siêu thị
A
B
C
1 2 3 4
30
20
13
17
23
- 9
- 1
16
37
11
5
19
12
3/27/2023

Hãy đưa ra bảng kê về lợi nhuận trong cả năm:
MH
Siêu thị
A
B
C
1 2 3 4
12
23
3
- 2
31
12
13
14
47
27
22
29
MH
Siêu thị
A
B
C
1 2 3 4
30
20
13
17
23
- 9
- 1
16
37
11
5
19
MH
Siêu thị
A
B
C
1 2 3 4
42
43
16
15
54
3
12
30
84
38
27
48
 
 
 
 
 
12 -2 13 27
A = 23 31 14 22
3 12 47 29
 
 
 
 
 
30 17 -1 11
B = 20 23 16 5
13 -9 37 19
 
 
 
 
 
42 15 12 38
A +B = 43 54 30 27
16 3 84 48
13
3/27/2023

Ví dụ: Thông tin về doanh thu của 2 doanh nghiệp (A, B) kinh doanh 3
mặt hàng (1, 2, 3) trong được cho thành một bảng như sau:
MH
Siêu thị
A
B
1 2 3
12
23
32
31
13
14
Nếu đánh thuế 10% số doanh thu thu được thì doanh thu
sau thuế của các doanh nghiệp sẽ là:
MH
Siêu thị
A
B
1 2 3
10,8
20,7
28,8
27,9
11,7
12,6
 
 
 
12 32 13
A =
23 31 14
 
 
 
x
10,8 28,8 11,7
0,9 A =
20,7 27,9 12,6
14
3/27/2023

Cho hai ma trận cùng cấp mxn :
   
x x
ij ij
m n m n
A = a ; B = b
  x
ij ij m n
A+B = a +b
Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp mxn, ký hiệu là
A + B và được xác định như sau:
  x
ij m n
αA = α.a
Tích của ma trận A với một số α là một ma trận cấp mxn, ký hiệu
là và được xác định như sau:
αA
Chú ý:
 Việc thực hiện phép cộng hai ma trận cùng cấp và nhân ma
trận với số được thực hiện như đối với vectơ.
 Phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp;
15
3/27/2023

   
   
   
3 -2 5 -6 2 -4
A = ; B =
-4 1 7 3 7 9
Ví dụ: Cho các ma trận
Khi đó:
 
 
 
-3 0 1
A +B =
-1 8 16
 
 
 
6 -4 10
2A =
-8 2 14
 
 
 
18 -6 12
(-3)B =
-9 -21 -27
 
 
 
24 -10 22
2A +(-3B) =
-17 -19 -13
16
3/27/2023

2. Các tính chất cơ bản
Với A, B, C là các ma trận cùng cấp và α, β là các số bất kỳ:
TC1: A + B = B + A
TC2: (A + B) + C = A + (B + C)
TC3: A + O = A
TC4: A + (-A) = O
TC5: 1A = A
TC7: (α + β)A = αA + βA
TC8: (αβ)A = α(βA) = β(αA)
TC6: α(A + B) = αA + αB
- Phép trừ ma trận là A – B = A +(–B)
- Ta có thể biến đổi trên đẳng thức ma trận như trên đẳng thức số
3 5
VD : 3(A X) 5B X O X A B
2 2
       
Chú ý :
Như vectơ
17
3/27/2023

IV. Các phép biến đổi trên ma trận
1. Các phép biến đổi sơ cấp
Các phép biến đổi trên hàng (cột)
1- Đổi chỗ hai hàng (cột)
2- Nhân một hàng (cột) với một số khác không,
3- Biến đổi một hàng (cột) bằng cách cộng vào nó bội của hàng
(cột) khác
18
3/27/2023

...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
 
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A =
a a a
ĐN: Ma trận AT nhận được bằng cách đổi các dòng ( cột ) của A
thành các cột (dòng) tương ứng được gọi ma trận chuyển
vị của ma trận A. Phép biến đổi ma trận A thành ma trận AT
được gọi phép chuyển vị ma trận.
Cho ma trận A cấp mxn
T
 
 
 
 
 
 
ó
Ta c mt A =
...
11
12
1n
a
a
a
...
21
22
2n
a
a
a
...
m1
m2
mn
a
a
a n m

m n

19
3/27/2023

Ví dụ: Với ma trận
 
 
 
 
 
 4x3
-3 1 5
3 5 -2
A =
1 5 -5
7 9 1
T
 
 
 
 
 
ó
Ta c A =
-3
1
5
3
5
-2
1
5
-5
7
9
1 3x4
20
3/27/2023
Chú ý: Ma trận chuyển vị còn có kí hiệu khác là A’

Định thức
1
2
3
4
5
21
3/27/2023

Bài 2. ĐỊNH THỨC
I. Định nghĩa định thức cấp n
II. Các tính chất cơ bản của định thức
22
3/27/2023

I. Định nghĩa định thức cấp n
...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
  x
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn n n
a a a
a a a
A =
a a a
Xét ma trận vuông cấp n:
ĐN: Định thức của ma trận vuông A là một số, Ký hiệu là |A| hoặc det(A)
và được xác định như sau:
23
3/27/2023
...
...
... ... ... ...
...
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
det(A) =
a a a
1. Định thức cấp 1 ( A là ma trận vuông cấp 1)
 
11 1×1
A = a ; n =1   11
det A =a

2. Định thức cấp 2 ( A là ma trận vuông cấp 2)
 
 
 
 
11 12 11 12
11 22 12 21
21 22 21 22
a a a a
det A = det hay A = =a a -a a
a a a a
2 -4
VD: = 2+20 = 22;
5 1
11 0
= 22-0 = 22
3 2
Xác định tính đúng sai của các hệ thức sau:
2 -4 11 0
5 1 3 2

2 -4 11 0
5 1 3 2
   

   
   
11 0
3 2
2 -4
det = det
5 1
11 0
3 2
   
   
   
2 -4
det = det
5 1
Đ
Đ
S
S
24
3/27/2023

11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A = a a a
a a a
3. Định thức cấp 3
11 22 33 12 23 31 13 21 32
(a a a a a a a a a )
   13 22 31 11 23 32 12 21 33
  
Gán dấu + Gán dấu -
25
3/27/2023
Cho A là một ma trận
vuông cấp 3:
11 12 13
21 22 23
31 32 33 3×3
a a a
A = a a a
a a a
 
 
 
 
 

   
Ví dụ: Tính định thức
-2 6 1
3 2 -4
1 2 3
 (-12) (-24) (6)
  (2) (54) (16)
 
-
    
-30 - 72
 -102
26
3/27/2023

Chú ý:
 
 
 
 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A = a a a
a a a
Ta có thể tính định thức của A theo cách sau:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
det(A) hay A = a a a
a a a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
cột 1 cột 2
11 22 33 12 23 31 13 21 32
   13 22 31 11 23 32 12 21 33
  
Cho A là một ma trận vuông cấp 3:
27
3/27/2023

4. Định thức cấp n > 3
Giả sử ta đã định nghĩa được định thức cấp (n - 1). Khi đó,
định thức cấp n của ma trận A = (ai j)n x n là:
28
(1)
i1 i1 i2 i2 ij ij in in
det(A) = a A +a A +...+a A +...+a A
(Công thức khai triển định thức theo dòng i)
(2)
1j 1j 2j 2j ij ij nj nj
det(A) = a A +a A +...+a A +...+a A
(Công thức khai triển định thức theo cột j)
trong đó Aij = (-1)i+j Mij được gọi là phần bù đại số của phần tử
aij trong định thức của ma trận A, định thức Mij là định thức xóa
đi dòng i, cột j của det(A).

A: 43
C: 58
B: - 72
Giá trị của định thức sau là:
4 -1 5
3 9 -7
3 4 1
D: 97
50:50
29
3/27/2023

A: 43
C: 58
B: - 72
D: 97
50:50
4 -1 5
3 9 -7
3 4 1
4 3 3
-1 9 4 = 36+60+21-(135-112-3) = 97
5 -7 1
=36+21+60-(135-112-3) =97
30
3/27/2023

B: 206
Giá trị của định thức
9 4 5
-1 3 6
3 6 -2
D: - 122
50:50
C: 715
A: - 389
-1 3 6
9 4 5
3 6 -2
= 389
31
3/27/2023

B: - 8k+128
Giá trị của định thức sau là
2 0 -4
1 4 6
3 -5 k
D: 8k - 128
50:50
C: - 8k - 128
A: 8k+128
32
3/27/2023

B: - 8k+128
D: 8k - 128
50:50
C: - 8k - 128
A: 8k+128
2 0 -4
1 4 6
3 -5 k
2 0 -4
3 12 18
3 -5 k
= 24k+0+60-(-144-180+0) = 24k+384
= 8k+ 0 + 20-(- 48 - 60+ 0) = 8k+128
33
3/27/2023

0 0 0
a b c
d e f
Nhận xét:
= 0
-3 4 5
a b c
a b c
d e f
ka kb kc
a b c
= 0
= 0
34
3/27/2023

Tính chất 1:
2 -1
3 5
Định thức của một ma trận vuông bằng định thức của ma
trận chuyển vị của nó.
   
T
det A = det A
Từ tính chất 1 cho thấy tất cả các tính chất của định thức
đúng với dòng đều đúng với cột.
Ví dụ:
2 3
-1 5
=13
2 1 4
-4 5 1
3 5 -2
2 -4 3
1 5 5
4 1 -2
= -175
=13 = -175
35
3/27/2023

Tính chất 2:
Nếu tất cả các phần tử nào đó của một dòng của định thức
bằng 0 thì định thức bằng 0.
Ví dụ: 1 -2 3
4 3 1
-2 1 1
1 -2 3
-2 1 1
4 3 1
= 44
= -44
Tính chất 3:
Nếu trong định thức ta đổi chỗ hai dòng và giữ nguyên vị trí
của các dòng còn lại thì định thức đổi dấu.
đổi
dấu
Hệ quả: Định thức bằng 0 nếu có hai dòng giống nhau.
36
3/27/2023

Tính chất 4:
...
... ... ... ...
...
... ... ... ...
...
11 12 1n
i1 i2 in
n1 n2 nn
a a a
αa αa αa
a a a
Nếu nhân một dòng nào đó của định thức d với một số α
(nghĩa là nhân mỗi phần tử của dòng đó với số α) thì định thức
mới nhận được bằng định thức cũ nhân với α.
NX : Ta có thể đưa bội của một dòng ra ngoài dấu định thức.
Hệ quả: Định thức bằng 0 nếu có hai dòng tỷ lệ.
=
...
... ... ... ...
...
... ... ... ...
...
11 12 1n
i1 i2 in
n1 n2 nn
a a a
α a a a
a a a
37
3/27/2023

B: nk.|A|
D: Đ.A khác
50:50
A: k.|A|
C: kn.|A|
Giả sử A là ma trận vuông cấp n, khi đó giá trị của
tính theo là:
 
det kA = kA A
38
3/27/2023

...
... ... ... ...
...
... ... ... ...
...
11 12 1n
1 i1 i2 in
n1 n2 nn
a a a
d = b b b
a a a
Tính chất 5: Nếu định thức d có dạng:
...
... ... ... ...
...
... ... ... ...
...
11 12 1n
i1 i1 i2 i2 in in
n1 n2 nn
a a a
d= b +c b +c b +c
a a a
Dòng thứ i được viết dưới dạng tổng của hai dòng:
     
i1 i2 in i1 i2 in i1 i2 in
a ,a ,...,a = b ,b ,...,b + c ,c ,...,c
Thì ta có thể tách định thức d thành tổng của hai định thức:
1 2
d= d +d
Trong đó
...
... ... ... ...
...
... ... ... ...
...
11 12 1n
2 i1 i2 in
n1 n2 nn
a a a
d = c c c
a a a
39
3/27/2023

Tính chất 6:
Nếu ta cộng vào một dòng của định thức tích của một dòng
khác với một số k tùy ý thì định thức không thay đổi.
...
...
...
1
i
j
n
X
X
X
X
x
+
k
=
...
...
...
1
i j
j
n
X
X +kX
X
X
...
...
...
1
i
j
n
X
X
X
X
+
...
...
...
1
j
j
n
X
kX
X
X
tách dòng i

0
40
3/27/2023

Tính chất 7:
Định thức bằng 0 nếu hệ vectơ dòng của nó phụ thuộc tuyến tính.
...
1
2
n-1
n
X
X
X
X
n 1 1 2 2 n-1 n-1
X = α X +α X +...+α X
 1
(-α )
 2
(-α )
( )
 n-1
-α
...
1
2
n-1
X
X
=
X
0
= 0
Do hệ vectơ dòng {X1, X2,…, Xn} phụ thuộc tuyến tính, nên có ít
nhất 1 dòng bdtt qua các dòng còn lại. Không mất tính tổng quát
có thể giả sử:
Chú ý: Tính chất 7 có thể phát biểu tương đương:
“Nếu định thức khác 0 thì hệ vtơ dòng của nó độc lập tuyến tính"
41
3/27/2023

Định thức
1
2
3
4
5
Định thức
42
3/27/2023

Bài 3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC
I. Phương pháp khai triển
II. Phương pháp biến đổi về dạng tam giác
1. Khái niệm phần bù đại số
2. Quy tắc khai triển định thức
43
3/27/2023

Xét định thức cấp n:
Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử aij) của
định thức d, ta được định thức cấp n – 1, ký hiệu là Mij.
... ...
... ... ... ... ...
... ...
... ... ... ... ...
... ...
11 1j 1n
i1 ij in
n1 nj nn
a a a
a a a
d=
a a a
ĐN: Định thức Mij được gọi là phần bù và Aij = (-1)i+j Mij được gọi
là phần bù đại số của phần tử aij trong định thức d.
Chú ý:
 



i+j ij
ij ij
ij
+M ,
A = -1 .M =
-M ,
nếu i + j là số chẵn
nếu i + j là số lẻ
44
3/27/2023

-4 1 3
d= 2 -5 3
2 4 -1
Ví dụ 1: Xét định thức
Các phần bù đại số lần lượt là:
11
A
-5 3
= +
4 -1
= -7
12
A
2 3
= -
2 -1
= 8
13
A
2 -5
= +
2 4
=18
45
3/27/2023

Quy tắc khai triển định thức cấp n:
i1 i1 i2 i2 ij ij in in
= a A +a A +...+a A +...+a A
(Công thức khai triển định thức theo dòng i)
1j 1j 2j 2j ij ij nj nj
= a A +a A +...+a A +...+a A
(Công thức khai triển định thức theo cột j)
... ...
... ... ... ... ...
... ...
... ... ... ... ...
... ...
11 1j 1n
i1 ij in
n1 nj nn
a a a
a a a
a a a
NX: Định thức cấp n bằng tổng các tích số của mỗi phần tử của
một dòng (hoặc cột) bất kỳ với phần bù đại số của phần tử đó.
Quy tắc trên cho phép ta thay vì tính một định thức cấp n bởi tính
cùng lắm là n định thức cấp n – 1 (không phải lúc nào cũng tính
nhiều đến thế).
46
3/27/2023

Chú ý: Theo QUY TẮC KHAI TRIỂN, ta có thể chọn dòng hay cột
bất kỳ để khai triển, nhưng nên chọn dòng hay cột nào mà
số lượng tính toán là ít nhất
Ví dụ 3: Tính định thức cấp 4
2 1 0 -3
3 -2 1 2
d=
6 4 0 5
1 2 0 -1
Khai triển định thức theo cột 3:
13 23 33 43
d= 0.A +1.A +0.A +0.A
Trong đó
23
2 1 -3
A = - 6 4 5 = 41
1 2 -1
Suy ra d = 41
(Một gợi ý là chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0)
47
3/27/2023

NX: Trong trường hợp này, chọn dòng hay cột nào khai triển thì
cũng phải tính 4 định thức cấp 3 (các phần bù đại số).
Ví dụ 4: Tính định thức cấp 4 2 1 -2 3
3 -2 1 5
d=
-2 3 1 4
4 -2 3 2
Chú ý tác động của phép biến đổi sơ cấp lên giá trị của định thức:
 Đổi chỗ hai dòng (cột) của định thức;
 Nhân một dòng (cột) của d với số k;
 Cộng vào một dòng (cột) bội của
dòng (cột) khác trong định thức.
Định thức đổi dấu
Định thức bằng k.d
Định thức không đổi
Để giảm khối lượng tính toán ta sẽ biến đổi định thức trước.
48
3/27/2023

Ví dụ 4: Tính định thức cấp 4
2 2 1 -2 3
=
7 0 -3 11
(-3)
-8 0 7 -5
2
8 0 -1 8
12
d=1.A
Khai triển định thức theo cột thứ 2 ta được:
7 -3 11
= - -8 7 -5
8 -1 8
= 243
2 1 -2 3
3 -2 1 5
d=
-2 3 1 4
4 -2 3 2
49
3/27/2023

A: - 5
C: 15
D: - 15
50:50
B: 5
-2 1 3 4
3 -2 1 5
2 5 4 3
1 2 3 4
= 5
-1 7 13
= - 12 -11 -17
5 -3 -4
-2 1 3 4
-1 0 7 13
=
12 0 -11 -17
5 0 -3 -4
12
=1A
50
3/27/2023

A: 16m -38 B: 384m - 912
D: -384m + 912
50:50
C: -16m +38
-4 -5 -3 0
2 m+2 1 0
=
-12 0 -13 0
5 2 3 -1
= -16m + 38
6 -1 3 -2
-3 m -2 1
3 6 -4 -3
5 2 3 -1
44
-4 -5 -3
= (-1)A = - 2 m+2 1
-12 0 -13
51
3/27/2023

Xét định thức của ma trận dạng tam giác trên:
1 2
d=
3 4
...
...
... ... ... ...
...
11 12 1n
22 2n
nn
a a a
0 a a
d=
0 0 a
11 22 nn
= a a ...a
Định thức của ma trận dạng tam giác bằng tích các phần tử trên
đường chéo chính.
Phương pháp thực hành:
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng (tương tự khử
Gauss),đưa định thức về định thức dạng tam giác trên (lưu ý các
biến đổi kèm theo sẽ biến đổi về dấu và giá trị của định thức).
Ví dụ:
(-3)
1
1 2
=
0 -2
x
=1 (-2) = -2
52
3/27/2023

A: - 5
2 3
3 7
(-3)
2
2 3
=
0 5
= 5
1
2
(?)
2 3
1
6 14
2
CHÚ Ý:
53
3/27/2023

2 -1 4 3
3 2 1 4
d =
-4 3 -1 2
5 4 3 2
Ví dụ: Tính định thức cấp 4 sau bằng phương pháp biến đổi
(-3)
2
2 -1 4 3
0 7 -10 -1
=
0 1 7 8
0 13 -14 -11
2
1
(-5)
2
x x
1 1 1
2 1 2
1
4
2 -1 4 3
0 7 -10 -1
1
=
0 1 7 8
4
0 13 -14 -11
(-1)
7
(-13)
7
x x
2 -1 4 3
0 7 -10 -1
1 1 1
=
0 0 59 57
7 7 4
0 0 32 -64
2 -1 4 3
0 7 -10 -1
1
=
0 0 59 57
196
0 0 32 -64
(-32)
59
x
2 -1 4 3
0 7 -10 -1
1 1
=
0 0 59 57
59 196
0 0 0 -5600
= -400
54
3/27/2023

Tính định thức của ma trận A:  
 
 
 
 
 
3 -2 3 -4
2 3 -1 5
A =
0 -5 -4 3
5 -m -2 m
 
 
 
 
 
 
3 -2 3 -4
2 3 -1 5
A =
0 -5 -4 3
5 -m -2 m
 
 
 

 
 
 
9 7 0 11
2 3 -1 5
-8 -17 0 -17
1 -m-6 0 m-10
...

9 7 0 11
2 3 -1 5
A = =
-8 -17 0 -17
1 -m-6 0 m-10
55
3/27/2023

Tính định thức của ma trận A:
= -162m + 648
 
 
 
 
 
 
3 -2 3 -4
2 3 -1 5
A =
0 -5 -4 3
5 -m -2 m
3 -2 3 -4
2 3 -1 5
A =
0 -5 -4 3
5 -m -2 m
9 7 0 11
2 3 -1 5
=
-8 -17 0 -17
1 -m-6 0 m-10
9 7 11
= -8 -17 -17
1 -m-6 m-10
[- ]
= -153(m-10)-119+88(m+6)- 187+153(m+6)-56(m-10)
56
3/27/2023

Định thức
1
2
3
4
5
Định thức
57
3/27/2023

Bài 4. PHÉP NHÂN MA TRẬN – MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
I. Phép nhân ma trận với ma trận
II. Ma trận nghịch đảo
5. Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận
1. Khái niệm phép nhân ma trận với ma trận
2. Các tính chất cơ bản của phép toán
2. Ma trận phụ hợp của ma trận vuông
3. Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo
4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi ma trận
1. Khái niệm ma trận nghịch đảo
58
3/27/2023

Cho hai ma trận:
ĐN: Tích của ma trận A và ma trận B là một ma trận cấp mxp , ký
hiệu là AB và được xác định như sau:
trong đó ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B
...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
  x
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn m n
a a a
a a a
A =
a a a
...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
  x
11 12 1p
21 22 2p
n1 n2 np n p
b b b
b b b
B =
b b b
...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
  x
11 12 1p
21 22 2p
m1 m2 mp m p
c c c
c c c
AB = C =
c c c
trong đó:
ij i1 1j i2 2j in nj
c = a b +a b +...+a b  
i=1,2,...,m; j=1,2,...,p
d c
i j
x
= A B
59
3/27/2023

Chú ý:
d c
ij i j
c = A ×B
(1) Tích AB có nghĩa (thực hiện được) khi và chỉ khi số cột của ma
trận đứng trước (A) bằng số dòng của ma trận đứng sau (B);
(2) Cấp của ma trận tích AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dòng
bằng số dòng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của
ma trận đứng sau; (Xem sơ đồ sau)
(3) Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij (nằm ở
dòng i, cột j của AB) là tích vô hướng của dòng i của ma trận A
(ma trận đứng trước) và cột j của ma trận B (ma trận đứng sau).
x x x
m n n p m p
A x B AB
60
3/27/2023

Ví dụ 1: Cho hai ma trận
 
   
   
   
 
2x3
3x2
1 3
-3 1 2
A = ; B = -2 3
9 -4 2
5 -1
số cột của A = số dòng của B = 3
số cột của B = số dòng của A = 2
 
 
 2x2
AB =
11
c =  
 
 
 
 
 
x
1
-3 1 2 -2
5
= -3-2+10 = 5
-9+3-2 = -8
9+8+10 = 27
27-12-2 =13
5 -8
27 13
 
 
 
 
 
24 -11 8
BA = 33 -14 2
-24 9 8
12
c =
21
c =
22
c =
Tính AB và BA
Giải:
Giả sử AB = C = [cij]2x2 ; Ta có:
Tương tự cho BA = D = [dij]3x3;
ta được:
61
3/27/2023

A: - 5
C: 15
Cho 2 ma trận:
   
   
   
   
   
   
2 -2 4 1 -2 1 4 3 2
4 5 -1 3 4 5 -3 1 4
A = ; B =
2 4 7 3 5 -3 1 2 3
-6 4 1 5 3 4 -1 3 1
D: - 15
50:50
B: - 23
Phần tử nằm ở dòng 2, cột 3 của ma trận tích AT .B là:
62
3/27/2023

A: - 5
C: 15
T
 
 
 
 
 
 
2 4 2 -6
-2 5 4 4
A = ;
4 -1 7 1
1 3 3 5
D: - 15
50:50
B: - 23
P/tử ở dòng 2 cột 3 của mtrận AT B là:
23
c =
 
 
 
 
 
 
-2 1 4 3 2
4 5 -3 1 4
B =
5 -3 1 2 3
3 4 -1 3 1
T
 
   X
ij 4 5
A B = C = c
4
-3
1
-1
-2 5 4 4
 
 
 
 
 
 
= -8-15+4- 4 = -23
( )
63
3/27/2023

2. Các tính chất (với điều kiện các phép toán thực hiện được)
TC1: Tính kết hợp (AB)C = A(BC)
TC2: Tính phân phối đối với phép cộng: A(B + C) = AB + AC
(B + C)D = BD + CD
TC3: Với A, B là ma trận sao cho tích AB tồn tại, k là một số bất
kỳ thì k(AB) = (kA)B = A(kB)
TC4: Mọi ma trận đều không thay đổi khi nhân với ma trận đơn vị
AE = A; EB = B
TC5: Nếu tích AB tồn tại thì (AB)T = BT AT
TC6: Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp. Nói chung AB ≠ BA.
Nhưng ta lại có det(AB) = det(A)det(B) = det(BA) và ký
hiệu: k
A.A...A A

k lần

k
k
k
A = A . A …A = A
64
3/27/2023

ĐN: Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trận
vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện:
AX = XA =E
Ma trận nghịch đảo của ma trận A được ký hiệu là A-1
Chú ý:
 Khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ áp dụng cho ma trận vuông;
 Ma trận nghịch đảo (nếu có) của một ma trận vuông là duy nhất.
Giả sử A có 2 ma trận nghịch đảo là X, Y:

AX = XA =E
AY = YA =E
 
Y AX = YE = Y
 
YA X
=
=EX = X
=
65
3/27/2023

Ví dụ: Cho 2 ma trận
   
   
   
2 5 3 -5
A = ; B =
1 3 -1 2
Ta có
AB =
BA =
 
 
 
2
1 0
=E
0 1
 
 
 
2
1 0
=E
0 1









 2
AB =BA =E
Suy ra, ma trận A có ma trận nghịch đảo – chính là ma trận B:
 
 
 
-1 3 -5
A = =B;
-1 2
 
 
 
-1 2 5
B = = A
1 3
và
66
3/27/2023

Các tính chất cơ bản của ma trận nghịch đảo
Tính chất 1:
 
-1
-1
A = A
Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì
-1
-1
và A = A
Tính chất 2:
Nếu hai ma trận vuông cùng cấp A, B đều có ma nghịch đảo
thì ma trận tích AB cũng có ma trận nghịch đảo và:
 
-1 -1 -1
AB =B A
Ta có
-1
A.A =E  -1
A.A = E  -1
A . A =1 
-1
-1
A = A
Ta có
  
-1 -1
B A AB
  
-1 -1
AB B A
 
-1 -1
=B A A B  
-1
=B E B -1
=B B =E
 
-1 -1
= A BB A   -1
= A E A -1
= AA =E
     
 -1 -1 -1 -1
AB B A = B A AB =E
67
3/27/2023

ĐN: Cho A là ma trận vuông cấp n:  
ij nxn
A = a
Xét ma trận vuông cấp n được ký hiệu và xác định như sau:
Aij là phần bù đại số của aij
trong det(A).
Ma trận A* được gọi là MA TRẬN PHỤ HỢP của ma trận A.
 Việc lập ma trận A* được thực hiện như sau:
 Các phần bù đại số trên dòng 1 của A được viết là cột 1 trên A*;
 Các phần bù đại số trên dòng 2 của A được viết là cột 2 trên A*;
 Các phần bù đại số trên dòng n của A được viết là cột n trên A*;
....
...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
 
11 21 n1
12 22 n2
*
1n 2n nn nxn
A A A
A A A
A =
A A A
 P/tử nằm ở dòng i cột j của mtrận A* là (phần bù đại số của aji)
Chú ý:
ji
A
68
3/27/2023

Ví dụ 1: Lập ma trận phụ hợp của ma trận A
 
 

 
 
 
*
-17 -25 -18
A = 3 14 -16
33 -9 -13
 
 
 
 
 
2 1 -4
A = 3 -5 2
3 6 1
 
 
 
 
 
11 21 31
*
12 22 32
13 23 33
A A A
; Ta có A = A A A
A A A
11
A =
12
A =
-5 2
= -17;
6 1
3 2
- = 3;
3 1
13
A =
3 -5
= 33;
3 6
21
A =
22
A =
23
A =
1 -4
- = -25;
6 1
2 -4
=14;
3 1
2 1
- = -9;
3 6
31
A =
32
A =
33
A =
1 -4
= -18
-5 2
2 -4
- = -16
3 2
2 1
= -13
3 -5
69
3/27/2023

Định lý: Cho A là ma trận vuông cấp n, ta có:
 
...
...
... ... ... ...
...
 
 
 
 
 
 
* *
n
d 0 0
0 d 0
AA = A A = d.E = ; d= A
0 0 d
 
 
 
 
 
 
2 -2 4 1
4 5 -1 3
A =
2 1 2 0
-3 4 1 5
Ví dụ 2: Cho ma trận A :
Phần tử nằm ở dòng 3 cột 2
của ma trận phụ hợp A* là: 23
A
2 -2 1
= - 2 1 0 = -41
-3 4 5
NX: Với A là ma trận vuông cấp n thì det(A)det(A*) = [det(A)]n.
70
3/27/2023

Định lý: Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A có ma trận
nghịch đảo là: 
d = A 0
*
-1 1
A = A
d
Ma trận vuông có định thức khác 0 được gọi là ma trận không suy biến.
Ma trận có ma trận nghịch đảo còn được gọi là ma trận khả nghịch.
Chứng minh:
* *
AA = A A = d.E    
    
   
* *
1 1
A A = A A =E
d d
-1
A -1
A
Khi A có ma trận nghịch đảo thì ma trận nghịch đảo được xác
định theo công thức:
Định nghĩa:
71
3/27/2023

Các bước tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phụ hợp
*
-1 1
A = A
d
Bước 1: Tính định thức của ma trận A
Bước 2: Nếu d= A = 0 thì A không có ma trận nghịch đảo;
Nếu 
d = A 0 thì A có ma trận nghịch đảo;
●
●
 Lập ma trận phụ hợp A*
Ví dụ 1: Xét ma trận
 
 
 
2 5
A =
1 3

; A =1 0   -1
A ;
 
 
 
* 3 -5
tacó A =
-1 2
   
    
   
-1 3 -5 3 -5
1
A = =
-1 2 -1 2
1
 Trả lời :
72
3/27/2023

Kết quả tổng quát:
Với A là một ma trận vuông cấp 2:
a b
A
c d
 
  
 
Nếu ad – bc ≠ 0 thì A có mt nghịch đảo và
 
 
 
-1
d -b
1
A =
ad - bc -c a
Ví dụ 2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
 
 
 
 
 
4 2 -3
A = 1 4 3
5 -1 4
Giải:
 Ta có:
1
64 
  
4 2 -3
A = 1 4 3 = +30+3-(-60-12+8) =161 0 A
5 -1 4
73
3/27/2023

 Lập ma trận phụ hợp A* của A:
*
 
 
  
 
 
19 -5 18
A = 11 31 -15
-21 14 14
 
 
 
 
 
-1
19 -5 18
1 1
A = A* = 11 31 -15
A 161
-21 14 14
 M/trận nghịch đảo của A là:
11
A = 21
A = 31
A =
4 3
=19;
-1 4
2 -3
- = -5;
-1 4
2 -3
=18
4 3
12
A = 22
A = 32
A =
1 3
- =11;
5 4
4 -3
= 31;
5 4
4 -3
- = -15
1 3
13
A = 23
A = 33
A =
1 4
= -21;
5 -1
4 2
- =14;
5 -1
4 2
=14
1 4
 
 
 
 
 
4 2 -3
A = 1 4 3
5 -1 4
74
3/27/2023

Ví dụ 3: Cho ma trận vuông cấp 4
 
 
 
 
 
 
4 3 -2 5
3 -5 1 2
A =
-5 4 0 -4
2 2 -1 k
Với giá trị nào của k thì A có ma trận nghịch đảo? Khi đó tìm
phần tử ở dòng 1 cột 4 của ma trận nghịch đảo A-1.
A =...= -5k+15
 Ta lại có:
41
A
A
-1 *
1
A = A
A
 
 
 
 
 
 
11 21 31 41
12 22 32 42
*
13 23 33 43
14 24 34 44
A A A A
A A A A
A =
A A A A
A A A A
Phần tử nằm ở dòng 1 cột 4
của ma trận nghịch đảo A-1 là:
Chú ý:
3 -2 5
- -5 1 2
4 0 -4
=
-5k+15
 (Tính định thức của A để có kết quả):
Lời giải tóm tắt:
A có ma trận nghịch đảo  A ≠ 0  -5k + 15 ≠ 0  k ≠ 3
8
=
-5k+15
75
3/27/2023

4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi Gauss-Jordan
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của  
 
 
2 5
A =
-3 1
 
I
 
 
 
2 5 1 0
A =
-3 1 0 1
(3)
2
 
  
 
2 5 1 0
0 17 3 2 (-5)
17
 
  
 
34 0 2 -10
0 17 3 2
 1
34  
  
 
1 0 1/17 -5 /17
0 1 3 /17 2 /17
-1
A
 
  
 
-1 1 -5
1
A =
3 2
17
 1
17
Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta làm như sau:
 Bước 1: Viết ma trận đơn vị I cùng cấp với A bên cạnh ma trận A như sau )
|
( I
A
 Bước 2: Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa dần phần ma trận A về ma trận tam
giác trên  ma trận chéo  ma trận đơn vị. Tác động đồng thời các phép biến đổi đó vào phần
ma trận I.
 Bước 3: Khi ở phần ma trận A (ban đầu) xuất hiện dạng ma trận đơn vị I thì ở phần ma trận I
(ban đầu) xuất hiện ma trận A-1
(tức là: )
|
(
...
)
|
( 1


 A
I
I
A
76
3/27/2023

4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan
Hàng thứ 1
Hàng thứ 2
Hàng thứ 3
1 2 3 1 0 0
[ | ] 2 5 3 0 1 0
1 0 8 0 0 1
A I
 
 
  
 
 
(-2 ) * hàng 1 + hàng 2
( -1 ) * hàng 1 + hàng 3
1 2 3 1 0 0
0 1 3 2 1 0
0 2 5 1 0 1
 
 

  
 
 
 
 
( 2 ) * hàng 2 + hàng 3
1 2 3 1 0 0
0 1 3 2 1 0
0 0 1 5 2 1
 
 

  
 
 
 
 
( 1/-1 ) * hàng 3
1 2 3 1 0 0
0 1 3 2 1 0
0 0 1 5 2 1
 
 

  
 
 
 
 
( -3 ) * hàng 3 + hàng 1
( 3 ) * hàng 3 + hàng 2
1 2 0 14 6 3
0 1 0 13 5 3
0 0 1 5 2 1
  
 

  
 
 
 
 
( -2 ) * hàng 2 + hàng 1
1 0 0 40 16 9
0 1 0 13 5 3
0 0 1 5 2 1
  
 

  
 
 
 
 
Vậy

















1
2
5
3
5
13
9
16
40
A 1
Ví dụ : Tìm ma trận nghịch đảo của A











8
0
1
3
5
2
3
2
1
A
theo phương pháp Gauss –Jordan.
77
3/27/2023

4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan
Phương pháp dùng ma trận phụ hợp phù hợp với những ma trận
cấp thấp (n =1, 2,3), phương pháp biến đổi Gauss-Jordan phù
hợp với những ma trận cấp lớn hơn và sẽ thuận lợi với những ma
trận có dạng gần như ma trận I.
Khi thực hiện phương pháp biến đổi thì việc tính toán khá dài
dòng và dễ nhầm lẫn (do phải làm việc với nhiều số thập phân).
Do đó, khi cấp thấp, ta nên dùng phương pháp MA TRẬN PHỤ
HỢP.
Chú ý:
Đặc biệt với phương pháp ma trận phụ hợp ta có thể tìm một
cách nhanh chóng một số phần tử của ma trận nghịch đảo theo
"địa chỉ"
78
3/27/2023

Bài toán 1: Giải phương trình ma trận
AX =B
Trong đó A là ma trận vuông không suy biến  

A 0
AX =B
  
-1 -1
A AX = A B
 -1
do A
 -1
X = A B
Bài toán 2: Giải phương trình ma trận
XA =B
với A là ma trận vuông không suy biến  

A 0
Thì nghiệm của nó sẽ là -1
X =BA
79
3/27/2023

Ví dụ 1: Giải phương trình ma trận
   
   
   
2 -4 2 -1 3
X =
3 5 -4 3 2
Phương trình trên có nghiệm là:
 
 
 
-1 5 4
1
A =
-3 2
22
A B
 -1
X = A B
  
  
  
5 4 2 -1 3
1
=
-3 2 -4 3 2
22
 
 
 
-6 7 23
1
=
-14 9 -5
22
 
2 -4
Ta có A = = 22 0
3 5
Đặt
80
3/27/2023

Ví dụ 2: Giải phương trình ma trận
   
   
   
   
   
3 -6 1 3 4
4 7 2 X = 2 5
-3 1 2 -3 2
 
 
 
 
 
12 13 -19
1
X = -14 9 -2
145
25 15 45
 
 
 
 
 
3 4
2 5
-3 2
 
 
 
 
 
119 75
1
= -18 -15
145
-30 265
Chú ý: Khi gặp phương trình ma trận AX = B, trong đó A không
vuông hoặc A vuông nhưng lại không có ma trận nghịch đảo
thì ta phải đưa phương trình đó về hệ phương trình tuyến
tính với các ẩn là các phần tử của X để giải.
A
1
A
B
Đáp số:
81
3/27/2023

Định thức
1
2
3
4
5
Định thức
82
3/27/2023

Bài 5. HẠNG CỦA MA TRẬN
I. Định nghĩa hạng của ma trận
II. Ma trận bậc thang
III. Phương pháp tìm hạng của ma trận
83
3/27/2023

Cho ma trận A cỡ m × n:















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức
con khác không có mặt trong A.
Ký hiệu hạng của A là r(A), hay )
(A
 .
I. Định nghĩa.
84
3/27/2023

Nhận xét : Nếu A có cỡ m × n thì
 ( )
r A ≤ min (m , n )
 Sẽ có
k
n
k
mC
C định thức con cấp k
Ví dụ : Tìm hạng của ma trận A với













1
2
1
3
3
0
2
2
4
2
3
1
A
( )
r A ≤ min (3 , 4 ) = 3
85
3/27/2023

Xét các ma trận vuông con cấp 3 của A :
1 2
3 4
1 3 2 1 3 4
2 2 0 , 2 2 3 ,
3 1 2 3 1 1
1 2 4 3 2 4
2 0 3 , A = 2 0 3 .
3 2 1 1 2 1
A A
A
   
   
    
   
   
   
   
   
   
   
   
   
Ta có detA1 = detA2 = detA3 = detA4 = 0
Như vậy, hạng của A không thể bằng 3.
Xét đến các định thức con cấp 2:
1 3
8
2 2
 

Vậy ( )
r A = 2.
86
3/27/2023

Ma trận bậc thang có dạng :
















II. Ma trận bậc thang
Định nghĩa: Ma trận bậc thang là ma trận thoả mãn 2 tính chất sau:
- Các hàng khác không luôn ở trên các hàng không (hàng không là
hàng có tất cả các phần tử đều bằng không)
- Phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên luôn nằm lệch về phía bên
trái của phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới
87
3/27/2023

Ví dụ
4 4
1 0 0 6
0 0 2 3
0 3 0 0
0 0 0 0 x
A
 
 

 

 
 
 
- Không là ma trận bậc thang
0 1 0 2 3
0 0 2 1 4
0 0 3 0 1
0 0 0 0 0
B

 
 
 

 
 
 
- Không là ma trận bậc thang
88
3/27/2023

1 4 1 2
0 1 0 5
0 0 0 3
C
 
 
 
 
 
 
2 3 0 0
0 2 0 1
0 0 1 8
0 0 0 0
D
 
 
 

 
 
 
- Là ma trận bậc thang
- Là ma trận bậc thang
89
3/27/2023












1
1
2
0
1
2
1
0
7
5
2
1
C
không là ma trận bậc thang
Tính chất: Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng
khác không của nó.
Ví dụ:















0
0
0
0
1
1
0
0
2
1
1
0
7
5
3
1
A
, 










0
0
0
0
1
0
3
0
7
5
2
1
B
là các ma trận bậc thang
90
3/27/2023

3. Phương pháp tìm hạng của ma trận.
Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi tính bằng
không hay khác không của định thức do đó không làm
thay đổi hạng của ma trận.
Vì vậy để tìm hạng của ma trận A ta làm như sau:
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng, đưa ma trận
A về dạng ma trận bậc thang.
Khi đó hạng của ma trận A sẽ bằng hạng ma trận bậc
thang và bằng số hàng khác không của ma trận bậc
thang.
91
3/27/2023

Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận sau:
1 3 4 2
2 1 1 4
1 2 1 2
A

 
 
  
 
  
 
1 2 2
1 3 3
2 3 3
1 3 4 2 1 3 4 2
2.
2 1 1 4 0 7 7 0
1 2 1 2 0 5 5 0
1 3 4 2
5. 7. 0 7 7 0
0 0 0 0
( ) 2
h h h
A
h h h
h h h
r A
 
   
  
   
 
   
 
   
   
   

 
 
  
 
 
 
 
92
3/27/2023

Ví dụ 2: Tìm hạng của ma trận sau:
1 5 6 7
1 6 8 9
1 3 4 2
A
 
 
  
 
 
 
1 2 2
1 3 3
2 3 3
1 5 6 7 1 5 6 7
1.
1 6 8 9 0 1 2 2
1 3 4 2 0 8 2 9
1 5 6 7
8. 0 1 2 2 ( ) 3
0 0 14 7
h h h
A
h h h
h h h r A
   
  
   
    
 
   
 
   
 
 
    
 
 
 
 
93
3/27/2023

Sử dụng máy tính cầm tay để tính địnhthức
• Bước 1:
• Bước 2:
Nhập ma trận: MODE – 6 – 1 (Chọn ma trận A) – chọn cấp
(3*3 4*4) – nhập số liệu cho ma trận;
SHIFT – 4 – 7 (Chức năng det) - SHIFT – 4 – 3 (gọi ma trận
A) + “ = “ để cho ra kết quả
Sử dụng máy tính cầm tay để tính ma trận nghịch đảo
• Bước 1:
Nhập ma trận: MODE – 6 – 1 (Chọn ma trận A) – chọn cấp
(3*3, 4*4) – nhập số liệu cho ma trận;
SHIFT – 4 – 3 (gọi ma trậnA) – x^(-1) -- “ = “ để cho ra kết quả
• Bước 2:
94
3/27/2023

Ma trận - định thức và các ứng dụng trong kinh tế

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Ma trận - định thức và các ứng dụng trong kinh tế

Similar to Ma trận - định thức và các ứng dụng trong kinh tế (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Ma trận - định thức và các ứng dụng trong kinh tế