1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8311
Dạng 2. PP lượng giác hóa
Nếu hàm f(x) có chứa 2 2
a x− thì đặt 2 2 2 2 2
(asin ) cos
asin
sin cos
dx d t a t dt
x t
a x a a t a t
= =
= →
− = − =
Nếu hàm f(x) có chứa 2 2
a x+ thì đặt
2
2 2 2 2 2
( tan )
cos
tan
tan
cos

= =
= →
 + = + =

adt
dx d a t
t
x a t
a
a x a a t
t
MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) ( )1
2
; 2
4
= =
−
∫
dx
I a
x
b) ( )2
2 1 ; 1= − =∫I x dx a
c) ( )
2
3
2
; 1
1
= =
−
∫
x dx
I a
x
d) ( )2 2
4 9 ; 3= − =∫I x x dx a
Hướng dẫn giải:
a) Đặt 12 2 2
(2sin ) 2cos 2cos
2sin
2cos4 4 4sin 2cos 4
dx d t t dt dx t dt
x t I dt t C
tx t t x
= =
= → → = = = = +
− = − = −
∫ ∫ ∫
Từ phép đặt 12sin arcsin arcsin
2 2
x x
x t t I C
   
= ⇔ = → = +   
   
b) Đặt
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos
dx d t t dt
x t
x t t
= =
= →
− = − =
Khi đó 2
2
1 cos2 1 1 1
1 cos .cos cos2 sin 2
2 2 2 2 4
t t
I x dx t t dt dt dt t dt t C
+
= − = = = + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Từ
2 2
2cos 1 sin 1
sin sin 2 2sin .cos 2 1
arcsin
t t x
x t t t t x x
t x
 = − = −
= ⇒ → = = −
=
2
2
arcsin 1
1
2 2
x
I x x C→ = + − +
c) Đặt
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos
dx d t t dt
x t
x t t
= =
= →
− = − =
Khi đó,
2 2
2
3 2
sin .cos 1 os2 1 1
sin sin 2
cos 2 2 41
x dx t t dt c t
I t dt dt t t C
tx
−
= = = = = − +
−
∫ ∫ ∫ ∫
Từ
2 2
2cos 1 sin 1
sin sin 2 2sin .cos 2 1
arcsin
t t x
x t t t t x x
t x
 = − = −
= ⇒ → = = −
=
2
3
arcsin 1
1
2 2
x
I x x C→ = − − +
d) Đặt
2 2
(3sin ) 3cos
3sin
9 9 9sin 3cos
dx d t t dt
x t
x t t
= =
= →
− = − =
Khi đó, 2 2 2 2 2 2
4
81 81 1 os4
9 9sin .3cos .3cos 81 sin .cos sin 2
4 4 2
c t
I x x dx t t t dt t t dt t dt dt
−
= − = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Tài liệu bài giảng:
03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8312
81 1 1 81 1
os4 sin 4
4 2 2 4 2 8
t
dt c t dt t C
   
= − = − +  
   ∫ ∫
Từ
2
2
2cos 1 sin 1
29
3sin sin 2 1
3 9
arcsin
3
x
t t
x x
x t t
x
t

= − = −

= ⇒ → = −
  =    
Mặt khác,
2 2 2 2
2 2 2 2
os2 1 2sin 1 2 1 sin 4 2sin 2 . os2 2. 1 . 1
3 9 3 9 9
x x x x x
c t t t t c t
  
= − = − = − → = = − −  
   
Từ đó ta được
2 2
4
arcsin
81 23
1 . 1 .
4 2 6 9 9
x
x x x
I C
  
     = − − − + 
  
  
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) ( )1 2
; 1
1
dx
I a
x
= =
+∫ b) 2
2 2 5I x x dx= + +∫ c) ( )
2
3
2
; 2
4
x dx
I a
x
= =
+
∫
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
2 2
2
1 2
2 2
(tan ) (1 tan ) (1 tan )
tan cos
1 tan
1 1 tan
dt
dx d t t dt t dt
x t I dt t Ct
t
x t

= = = + +
= → → = = = +
+ + = +
∫ ∫
Từ giả thiết đặt 1tan arctan arctan .x t t x I x C= ⇔ = → = +
b) Ta có 12 2 2
2 2 5 ( 1) 4 ( 1) 4t x
I x x dx x d x I t dt= +
= + + = + + + → = +∫ ∫ ∫
Đặt
2
2 2
22 2
2
(2tan )
2 coscos
2tan
22 cos cos.cos4 4 4tan
coscos
du
dt d u
du du u duu
t u I
u uut u
uu

= =
= → → = = =
 + = + =

∫ ∫ ∫
2
(sin ) 1 (1 sin ) (1 sin ) 1 (sin ) 1 (sin ) 1 1 sin
(sin ) ln .
1 sin 2 (1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin
d u u u d u d u u
d u C
u u u u u u
+ + − +
= = = + = +
− + − − + −∫ ∫ ∫ ∫
Từ phép đặt
2 2
2 2
2 2 2
1 4
2tan tan 1 sin 1 os 1
2 os 4 4 4
t t t
t u u u c u
c u t t
= ⇔ = → = + → = − = − =
+ +
Từ đó ta được
2 2
2
2 2
1
1 1
1 1 sin 1 14 2 5ln ln ln .
12 1 sin 2 21 1
4 2 5
t x
u t x xI C C C
t xu
t x x
+
+ +
+ + + += + = + = +
+− − −
+ + +
c) Đặt
2
2
2 2
2
(2tan ) 2(1 tan )
os2tan
4 4tan 4
dt
dx d t t dt
c tx t
x t

= = = +
= →
 + = +
( )
2 2 2 2 2
2 2
3 23 42 2
4tan .2(1 tan ) sin sin .cos sin . (sin )
4 tan 1 tan 4 4 4
cos cos2 1 tan 1 sin
t t dt t t t dt t d t
I t t dt dt
t tt t
+
→ = = + = = =
+ −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Đặt
( )
222
3 2 22
1 (1 ) (1 )
sin 4 4 4
1 2 (1 )(1 )1
u u u u
u t I du du du
u u uu
 + − − 
= → = = =   − + −   −
∫ ∫ ∫
2
2 2 2 2
1 1 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
1 1 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )
du du du d u d u u u du
du
u u u u u u u u u u
− + − + + 
= − = + − = − + − 
− + − + − + − + − + 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 1 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
du du
du u u C
u u u u u u u u u u
 
− − − + = − − − − = − − − + + − + 
− + + − − + + − − + 
∫ ∫ ∫

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8313
3
1 1 1 1 1 1 1 1 sin 1
ln ln ln .
1 1 1 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1
u u t
C I C C
u u u u u u t t t
− − −
= − + + → = − + + = − + +
− + + − + + − + +
Từ giả thiết
2 2
2 2 2
2 2 2
1 4
2tan tan 1 tan 1 os sin
2 os 4 4 4
x x x
x t t t c t t
c t x x
= ⇔ = → = + = + ⇔ = → =
+ +
2
32
2 2 2
1
1 1 4sin ln .
4 1 1 1
4 4 4
x
x xt I C
x x xx
x x x
−
+⇔ = → = − + +
+ − + +
+ + +
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1
2
1
dx
I
x
=
−
∫ b) 2
2 2
4
dx
I
x x
=
−
∫ c) 3
2
2 2
dx
I
x x
=
− −
∫
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
2
2
1 22
22
2
1 cos
cos
sin sin1 cos
sin
sin sin .cot1 1
1 cot1 1
sin
t dt
t dtdx d
dxt t dx t dt
tx I
t t tx
x tx
t
 − 
−= =   = −  
= → ←→ → = = 
−  − =− = − 
∫ ∫
2 2
sin (cos ) (cos ) 1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos
(cos ) ln .
sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) 2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
t dt d t d t t t t
d t C
t t t t t t t
− + + +
= − = = = = +
− − + − + −∫ ∫ ∫ ∫
Từ phép đặt
2
2
2 2
12 2
1
1
1 1 1 1
os 1 sin 1 cos ln .
sin 2 1
1
x
x xx c t t t I C
t x x x
x
−
+
−
= → = − = − ⇔ = → = +
−
−
b) Đặt
2 2
2 2 22
22
2 2cos 2cos
sin sin2 sin
8cotsin 4 4 2cot 44 4
sinsin
t dt t dtdx d dx
t t t
x
tt
x t x xx
tt
 −  −= = =    
= → ←→ 
  − = ⇒ − =− = −  
Khi đó, 2
2 2 2
2
2cos 1 1
sin cos .
8cot 4 44 sin .
sin
dx t dt
I t dt t C
tx x t
t
−
= = = − = +
−
∫ ∫ ∫
Từ
2 2
2 2
22
2 4 4 4
os 1 sin 1 cos .
sin 4
x x
x c t t t I C
t x x x
− −
= → = − = − ⇔ = → = +
c)
( )
1
3 3
2 2 2 2
2
( 1)
2 2 ( 1) 3 3 3
t xdx d x dt dt
I I
x x x t t
= −−
= = → = =
− − − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
Đặt
2
2
22
2
3 3cos
3cos
sin sin3
sin
sin 3 3 3cot3 3
sin
u du
dt d u du
dtu u
t u
u
t ut
u
   −
= = −   =  = → ←→ 
 
− =− = − 

3 2 222
3cos sin (cos ) (cos )
sin 1 cos (1 cos )(1 cos )sin . 3cot3
dt u du u du d u d u
I
u u u uu ut
−
→ = = = − = =
− − +−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos
(cos ) ln .
2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
u u u
d u C
u u u
− + + +
= = +
− + −∫
Từ
2 2
2
2
32 2 2
3 2 2
1 1
3 3 3 1 1 1os 1 cos ln ln .
sin 2 23 2 2
1 1
1
t x x
t t xt c u t I C C
u t t t x x
t x
− − −
+ +
− −= ⇒ = − ⇔ = → = + = +
− − −
− −
−
Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:

4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8314
2 2
1
arctan .
dx x
C
x a a a
 
= + 
+  
∫
2 2
1
ln .
2
dx x a
C
x a a x a
+
= +
− −∫
2 2
1
ln .
2
dx x a
C
a x a x a
−
= +
− +∫
2
2
ln .
dx
x x a C
x a
= + ± +
±
∫
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
2
1 2
4
x dx
I
x
=
+
∫ 2)
2
2 2
1 x
I dx
x
−
= ∫ 3)
2
3 2
4
x dx
I
x
=
−
∫
4) 4
2
1
3 2
I dx
x x
=
−
∫ 5) 2
5 2 1I x dx= +∫ 6) 6
2
2 5
dx
I
x
=
−
∫