Cách giải các dạng toán Phương trình bậc 3

1. A . Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát
Phương trình bậc 3 có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a khác 0)
1 . Phương trình phân tích nhân tử
Nếu pt bậc 3 ax3 + bx2 + cx + d = 0 có nghiệm x = r thì có nhân tử (x – r), có thể phân tích: ax3 +
bx2 + cx + d = (x – r) [ax2 + (b + ar)x + c + br + ar2]
Từ đó đưa về dạng pt bậc 2 có nghiệm là:
−𝑏−𝑟𝑎 ∓ √ 𝑏2−4𝑎𝑐−2𝑎𝑟𝑏−3𝑎2 𝑟2
2𝑎
2 . Phương pháp Cardano giải phương trình bậc 3
Xét pt bậc 3 x3 + ax2 + bx + c = 0 (1)
Đặt x = 𝑦 −
𝑎
3
, pt luôn biến đổi được về dạng chính tắc: y3 + py + q = 0 (2), trong đó p = b -
𝑎2
3
, q = c +
2𝑎3
−9𝑎𝑏
27
Ta xét p, q ≠ 0 vì nếu p = 0 hoặc q = 0 thì đưa về trường hợp đơn giản
Đặt y = u + v thay vào (2): (u+v)3 + p (u+v) + q = 0  u3 + v3 + (3uv + p) (u+v) + q = 0 (3)
Chọn u, v sao cho3uv + p = 0 (4)
Để tìm u, v từ (3), (4) ta có hệ pt: {
𝑢3
+ 𝑣3
= −q
𝑢3
. 𝑣3
= −
𝑝3
27
Theo định lý Vi-et, u3 và v3 là 2 nghiệm của pt: X2 + qX -
𝑝3
27
= 0 (5)
Đặt Δ =
𝑞2
4
+
𝑝3
27
+ Khi Δ > 0 pt (5) có nghiệm: u3 =
−𝑞
2
+ √Δ , v3=
−𝑞
2
-√Δ
Như vậy pt (2) có nghiệm thực duy nhất là y = √
−𝑞2
2
+ √Δ
3
+ √
−𝑞2
2
− √Δ
3
+Khi Δ = 0 pt (5) có nghiệm kép: u = v = -√
𝑞2
2
3
Khi đó pt (2) có 2 nghiệm thực, trong đó 1 nghiệm kép: y1 = 2. √
−𝑞2
2
3
, y2 = y3 = √
𝑞2
2
3
+ Khi Δ < 0 pt (5) có nghiệm phức
Gọi u0
3 là một nghiệm phức của (5), v0
3 là giá trị tương ứng sao cho u0 . v0 = -p/3
Khi đó pt (2) có 3 nghiệm phân biệt:
y1 = u0 + v0, y2 = -1/2 (u0 + v0) + i.
√3
2
(u0 - v0), y3 = -1/2 (u0 + v0) - i.
√3
2
(u0 - v0)
vd: Giải pt x3 – 3x2+ 4x + 11= 0

2. 3 . Phương pháp lượng giác hóa
Một pt bậc 3 khi có 3 nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ liên quan đến số phức. Vì
vậy ta thường dùng pp lượng giác hóa để tìm một cách biểu diễn khác đơn giản hơn, dựa trên hai
hàm số cos và arccos.
Cụ thể từ pt: t3 + pt + q = 0 (*)
Đặt t = u.cosα và tìm u để có thể đưa * về dạng: 4cos3α – 3 cosα – cos3α = 0
Muốn vậy ta chọn u = -2.√
−𝑝
3
và chia 2 vế của * cho
𝑢2
4
để được 4cos3α – 3 cosα -
3𝑞
2𝑝
. √
−3
𝑝
Vậy 3 nghiệm thực là t1 = 2.√
−𝑝
3
cos[
1
3
arccos(
3𝑞
2𝑝
. √
−3
𝑝
)-
2𝑖𝜋
3
] với I = 0, 1, 2
Chú ý: Nếu pt có 3 nghiệm thực thì p<0 (điều ngược lại không đúng) nên công thức trên không có
số phức.
B. Bài toán về phương trình bậc 3
1 . Bài toán phương trình bậc 3 có lời giải
Bài 1: Giải pt: x3 + x2 + x = -1/3
Qui đồng pt
<=> 3x3 + 3x2 + 3x +1 = 0
<=> (x + 1)3 = -2x3 <=> x + 1 = - √2𝑥
3
=>Pt có nghiệm duy nhất: x =
−1
1+ √2
3
Bài 2: Giải pt: x3 + 3x2 + 2x – 1 = 0
Bài 3: Giải pt: x3 – x2 -2x + 1 = 0

3. Bài 4: Giải pt: x3 + 6x + 4= 0
Đặt x = k . (t -
1
𝑡
)
Ta được k3(t3 -
1
t3
) – 3k3(t -
1
𝑡
) + 6k.( t -
1
𝑡
) + 4 = 0
Cần chọn k thỏa 3k3= 6k => k = √2
Vậy ta có lời giải bài toán như sau:
Bài 5: Giải pt: 4x3-3x = m với | 𝑚| > 1
2 . Một số bài tập phương trình bậc 3 tự giải
Bài 1: Giải các pt sau:
a ) 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0
b ) 2x3 – 7x2 + 7x – 2 = 0
c ) 24x3 – 70x2 + 19x + 15 = 0
d ) x3 + 3x – 3 = 0
e ) x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0
f ) x3 + 2x2- 5x – 6 = 0
Bài 2: Tìm m để pt sau có 3 nghiệm phân biệt:

4. X3 – 2x2(4m2+3m-3)x+2m(m+3) = 0
Bài 3: Cho pt: x3 + (m+1)x2+2(m-2)x – 3m +2 = 0
a ) Định m để pt có 3 nghiệm dương phân biệt
b ) Với những giá trị nào của m thì pt có 3 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2
c ) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + (m+1)x2+2(m-2)x – 3m +2 tiếp xúc với trục Ox.
Bài 4: Cho pt: x3 + ax + b = 0 (1)
CMR: không tồn tại giá trị của a, b để pt có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân
Bài 5: Xác định m để pt: x3 + 2x2+(m+1)x + 2(m+1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số
nhân
Bài 6: Chứng minh rằng pt: x3 – 6x2+9x-10 = 0 có ít nhất một nghiệm thực
Bài 7: Cho pt: x3 + (m-1)x2-3mx + 2m – 4 = 0
a ) Chứng tỏ pt có 1 nghiệm không phụ thuộc m
b ) Tìm m để tập nghiệm của pt có đúng hai giá trị
Bài 8: Giải pt x3 – x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt, CMR: a2 + 3b > 0