1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8311
Dạng 1. Đổi biến số cho các hàm vô tỉ
Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa ( )n g x thì đặt 1
( ) ( ) . '( )n nnt g x t g x n t g x dx−
= ⇔ = → =
Khi đó, ( ) ( )I f x dx h t dt= =∫ ∫ , việc tính nguyên hàm ( )h t dt∫ đơn giản hơn so với việc tính ( ) .f x dx∫
MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1
4 1
xdx
I
x
=
+∫ b) 3 2
2 2I x x dx= +∫ c)
2
3
1
x dx
I
x
=
−∫
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
2
2 22
1
12 4 .
14 24 1 4 1 ( 1)1
84 1
4
t tdttdt dx
xdx
t x t x I t dtt
txx
−=

= + ⇔ = + → → = = = − −
+=

∫ ∫ ∫
33
(4 1)1 1
4 1 .
8 3 8 3
xt
t C x C
 + 
 = − + = − + +      
b) Đặt 2 2 2 2 2 3 2 2
2 2 2 2 2 . ( 2).t x t x x t xdx tdt x dx x xdx t tdt= + ⇔ = + → = − ⇔ = → = = −
Khi đó ( ) ( )
( ) ( )
5 3
2 2
5 3
2 3 2 4 2
2
2 2 2
2. . 2 2 2.
5 3 5 3
x xt t
I x x dx t t tdt t t dt C C
+ +
= + = − = − = − + = − +∫ ∫ ∫
c) Đặt
( )
( )
2
22
2 2
2 32 2
2 1 .
1 1 1 2
1 1
dx tdt t tdtx dx
t x t x x t I
tx t x
= − −
= − ⇔ = − ⇔ = − → → = = −
= − −
∫ ∫
( ) ( )
5 35 32
2 4 2 (1 ) 2 (1 )2
2 1 2 2 1 2 2 1
5 3 5 3
x xt t
t dt t t dt t C x C
   − −
 = − − = − − + = − − + + = − − + − + 
    
∫ ∫
Khi đó ( ) ( )
( ) ( )
5 3
2 2
5 3
2 3 2 4 2
2
2 2 2
2. . 2 2 2. .
5 3 5 3
x xt t
I x x dx t t tdt t t dt C C
+ +
= + = − = − = − + = − +∫ ∫ ∫
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 4
ln
1 ln
xdx
I
x x
=
+∫ b)
2
5 3
ln
2 ln
xdx
I
x x
=
−∫ c) 6
ln 3 2lnx x dx
I
x
+
= ∫
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
( )
2
2
2
4
ln 1 1 .2ln
1 ln 1 ln
1 ln2
x t t tdtx dx
t x t x Idx
x txtdt
x
 = − −
= + ⇔ = + → → = =
+=

∫ ∫
( )
3 33
2
4
(1 ln ) 2 (1 ln )
2 1 2 2 1 ln 2 1 ln .
3 3 3
x xt
t dt t C x C I x C
 + + 
 = − = − + = − + + → = − + +      
∫
b) Đặt
3
2 3 2 2
33
52 3
ln 2
ln (2 ) .3
2 ln 2 ln .
2 ln3
x t
x dx t t dt
t x t x Idx
x txt dt
x
 = −
−
= − ⇔ = − → → = =
−=

∫ ∫
Tài liệu bài giảng:
03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8312
( )
8 58 5 3 3
7 4 2 23
(2 ln ) 4 (2 ln )4
3 4 4 3 2 3 2 (2 ln )
8 5 8 5
x xt t
t t t dt t C x C
 − − 
 = − + = − + + = − + − +      
∫
c) Đặt
2
2
3
ln
23 2ln 3 2ln
2
2
t
x
t x t x
dx
tdt
x
 −
=
= + ⇔ = + →
 =

Từ đó ta có ( )
2
4 2
6
ln 3 2ln 3 1
ln 3 2ln . . . 3
2 2
x x dx dx t
I x x t tdt t t dt
x x
 + −
= = + = = − 
 
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )5 3 5 3
5 5 3
3
6
3 2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln1
.
2 5 10 2 10 2 10 2
x x x xt t t
t C C C I C
+ + + + 
= − + = − + = − + → = − + 
 
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 7
1x
dx
I
e
=
−
∫ b)
( )
2
8
3
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫ c) 9
2
4
dx
I
x x
=
+
∫ d) 10
4
1
dx
I
x x
=
+
∫
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
2
2
2
2
1
1
1 1 2
2
1
x
x
x x
x
e t
e t
t e t e tdt
dxe dx tdt
t
 = − = − 
= − ⇔ = − → ←→ 
==  −
Khi đó 7 2 2
2 2 2 ( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 1.( 1) 11x
dx tdt dt dt t t dt dt
I dt
t t t t t tt t te
+ − −
= = = = = = −
− + − + − +− −−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
7
1 1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln ln .
1 1 1 1 1
x x
x x
t e e
t t C C C I C
t e e
− − − − −
= − − + + = + = + → = +
+ − + − +
b) Đặt
( ) ( )
( )22 2
2
8 33 3
1 .21 .
1 1
2 1 1
x x x x
x x
x
x x
t tdte t e dx e e dx
t e t e I
te dx tdt e e
− = −
= + ⇔ = + → → = = =
= + +
∫ ∫ ∫
( )2 2
3 2 2
1 .2 1 1 1
2 2 2 2 1 .
1
x
x
t tdt t dt
dt dt t C e C
tt t t e
−  −    
= = = − = + + = + + +          + 
∫ ∫ ∫ ∫
c) Đặt
2 2
2 2
2 2 2
2 2
4
4
4 4
2 2
4
x t
x t
t x t x dx xdx tdt
xdx tdt
x x t
 = −
 = − 
= + ⇔ = + → ←→ 
= = = 
−
Khi đó, 9 2 22 2
1 1 1 ( 2) ( 2) 1
.
4 ( 2)( 2) 4 2 24 44 4
dx dx tdt dt t t dt dt
I dt
x t t t t tt tx x x
+ − −  
= = = = = = − 
+ − − +− −  + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
2 2
9
2 2
1 1 2 1 4 2 1 4 2
ln 2 ln 2 ln ln ln .
4 4 2 4 44 2 4 2
t x x
t t C C C I C
t x x
− + − + −
= − − + + = + = + → = +
+ + + + +
d) Đặt
4 2
4 2
4 2 4 3
3
4 2
1
1
1 1
4 2
2( 1)
x t
x t
t x t x dx x dx tdt
x dx tdt
x x t
 = −
 = − 
= + ⇔ = + → ←→ 
= ==  −
Khi đó, 10 2 24 4
1 1 1 1 ( 1) ( 1)
. .
2 4 ( 1)( 1)2( 1) 11 1
dx dx tdt dt t t
I dt
x t t tt tx x x
+ − −
= = = = =
+ −− −+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
4
4
1 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln .
4 1 1 4 4 1 4 1 1
dt dt t x
t t C C C
t t t x
− + − 
= − = − − + + = + = + 
− + +  + +
∫ ∫
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8313
a) 11
1 2 5
dx
I
x
=
+ −∫ b) 12
2
1 2
xdx
I
x
=
− +
∫
c)
3
13 3 2
4
x dx
I
x
=
+
∫ d)
2
14
1 4ln lnx x
I dx
x
+
= ∫
Hướng dẫn giải:
a) Đặt 2 2
2 5 2 5 2 5
5
tdt
t x t x tdt dx dx= − ⇔ = − ⇔ = − → = −
Khi đó, ( )11
2 2 1 1 2 1 2
1 ln 1
5 1 5 1 5 1 51 2 5
dx t dt t
I dt dt t t C
t t tx
+ −  
= = − = − = − − = − − + + 
+ + ++ −  ∫ ∫ ∫ ∫
( )11
2
2 5 ln 2 5 1 .
5
I x x C→ = − − − − + +
b) Đặt 2 2 2
2 2 2 2t x t x tdt xdx xdx tdt= + ⇔ = + ⇔ = → =
Khi đó, 12
2
1 (1 ) 1 (1 )
1 ln 1
1 1 1 11 2
xdx t dt t d t
I dt dt dt t t C
t t t tx
− − − 
= = = = − = − − = − − − + 
− − − − − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 2
12 ln 1 2 2 .I x x C→ = − − + − + +
c) Đặt ( )
2 3
2 3
3 2 3 2 3 3 2
2
2
4
4 3
4 4 43 23 2
2
x t
x t
t x t x x dx t t dtt dt
t dt xdx xdx
 = − = − 
= + ⇔ = + → ←→ → = − 
= = 

( )
( )
( ) ( )
5 22 23 2 3 33 5
4 2
13 3 2
3 4 3 443 3 3
4 2 .
2 2 2 5 10 44
x xt t dtx dx t
I t t dt t C C
tx
+ +−  
→ = = = − = − + = − + 
+  
∫ ∫ ∫
d) Đặt 2 2 2 ln
1 4ln 1 4ln 2 4.2ln .
4
dx xdx tdt
t x t x tdt x
x x
= + ⇔ = + ←→ = → =
( )
32
3
2 2
14
1 4lnln 1
1 4ln . .
4 4 12 12
xxdx tdt t
I x t t dt C C
x
+
→ = + = = = + = +∫ ∫ ∫
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
1) 1
4 3
1
x
I dx
x
−
=
+∫ 2) 2
2 1
xdx
I
x
=
+
∫
3) 3
1x
I dx
x
+
= ∫ 4) 4
1 1 3
dx
I
x
=
+ +∫
5) 7
1 2 1
xdx
I
x
=
+ −
∫ 6) 3 2
6 1I x x dx= −∫
7) 3
7 4I x x dx= +∫ 8) 2
8 3 2I x x dx= −∫
9)
3
9 3 2
1
x dx
I
x
=
+
∫ 10) 10 3
1
dx
I
x x
=
+
∫
11) 11 3 2
4
dx
I
x x
=
+
∫ 12) 12
1 3ln lnx x
I dx
x
+
= ∫
13)
2
13
1 1
x
x
e dx
I
e
=
+ −
∫ 14)
( )
14 2
1
dx
I
x x
=
+
∫