1. www.VNMATH.com

2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 2
Môn: TOÁN; Thời gian làm bài 180 phút
Câu Đáp án Điểm
Câu 1:
( 2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
1 0
. Tập xác định: { } 1 D R= .
2 0
.Sự biến thiên:
* Giới hạn, tiệm cận: Ta có
1
lim
x
y-
®
= +¥ và
1
lim
x
y+
®
= -¥ . Do đó đường thẳng 1 x = là
tiệm cận đứng của đồ thị (H).
Vì lim lim 1
x x
y y
®-¥ ®+¥
= = nên đường thẳng 1 y = là tiệm cận ngang của đồ thị (H).
* Chiều biến thiên: Ta có 2
1
' 0
( 1)
y
x
= >
-
, với mọi 1 x ¹ .
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ;1)-¥ , (1; )+¥ .
* Bảng biến thiên:
x -¥ 1 +¥
y’ + +
y
+¥ 1
1 -¥
3 0
Đồ thị:
0,5
0,5
b) (1,0 điểm)
Ta có:
( )
2
1
'
1
y
x
=
-
, với mọi 1 x ¹ .
Vì tiếp tuyến có hệ số góc 1 k = nên hoành độ tiếp
điểm là nghiệm của phương trình
( )
2
1
1
1 x
=
-
hay ( )
2
1 1 x - = Û
0
2
x
x
=é
ê =ë
*) Với 0 x = ta có phương trình tiếp tuyến 2 y x= + .
*) Với 2 x = ta có phương trình tiếp tuyến 2 y x= - .
Vậy có hai tiếp tuyến là: 2 y x= + và 2 y x= - .
0,5
0,5
Câu 2:
( 1,0 điểm)
a) (0,5 điểm)
Rõ ràng cos 0a ¹ , chia cả tử số và mẫu số của A cho 3
cos a ta được
( ) 2
2 3
tan 1 tan 2 2.5 2 4
1 tan 2tan 5 16 7
A
a a
a a
+ + +
= = =
+ + +
0,5
b) (0,5 điểm)
Giả sử z a bi= + ( , ) a bΡ . Suy ra
( )
( )
2 1 2
1 1
1 2
i
z a bi a b i
i
-
+ = + + = + + -
+
.
Từ giả thiết
2
1
z
i
+
+
là số thực nên ta có 1 b = .
Khi đó 2
2 2 1 2 3 z a i a a= Û + = Û + = Û = ± .
0,5
Đồ thị (H) cắt trục Ox tại (2 ; 0), cắt Oy tại
(0 ; 2), nhận giao điểm I(1 ; 1) của hai
đường tiệm cận làm tâm đối xứng
www.VNMATH.com

3. Vậy số phức cần tìm là 3 z i= + và 3 z i= - +
Câu 3:
( 0,5 điểm)
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
3 1
2 .2 2 x x x-
>
2
3 1 2
2 2 3 1 x x x
x x x+ -
Û > Û + - >
2
2 1 0 1 2 1 2 x x xÛ - - < Û - < < +
0,5
Câu 4:
( 1,0 điểm)
*) Điều kiện 2
4 0 2 2. x x- ³ Û - £ £
Phương trình đã cho tương đương với
( )
2
2 2 2 3
4 2 2 2 2 x x x x x x+ - = - - - + (1)
Ta có ( )
2
2 2
4 4 2 4 4 x x x x+ - = + - ³ , với mọi [ ] 2;2 x Î - .
Suy ra 2
4 2 x x+ - ³ , với mọi [ ] 2;2 x Î - . (2)
Dấu đẳng thức ở (2) xảy ra khi và chỉ khi 0 x = , 2 x = ± .
Đặt ( )
2
2 3
2 x x t- = . Dễ dàng có được [ ] 1;2 t Î - , với mọi [ ] 2;2 x Î - .
Khi đó vế phải của (1) chính là 3 2
( ) 2 2 f t t t= - + , [ ] 1;2 t Î -
Ta có 2
0
'( ) 3 4 0 4
3
t
f t t t
t
=é
ê= - = Û
ê =
ë
Hơn nữa, ta lại có ( 1) 1 f - = - , (0) 2 f = ,
4 22
3 27
f
æ ö
=ç ÷
è ø
, ( ) 2 2 f = .
Suy ra ( ) 2 f t £ với mọi [ ] 1;2 t Î - .
Do đó ( )
2
2 2 3
2 2 2 2 2 x x x x- - - + £ với mọi [ ] 2;2 x Î - . (3)
Dấu đẳng thức ở (3) xảy ra khi và chỉ khi 0 x = , 2 x = ± .
Từ (2) và (3) ta có nghiệm của phương trình (1) là 0 x = , 2 x = ± .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 0 x = , 2 x = ± .
0,5
0,5
Câu 5:
( 1,0 điểm)
Chú ý rằng ( ) ln 3 1 0 x x + ³ , với mọi 0 1 x£ £ . Khi đó diện tích hình phẳng cần
tính là ( )
1
0
ln 3 1 S x x dx= +ò .
Đặt ( ) u ln 3 1 x= + , dv xdx= . Suy ra
3
du
3 1
dx
x
=
+
, 2 1
2
v x= .
Theo công thức tích phân từng phần ta có
( )
1 1 2 1
2
0 0 0
1 3 1 1
ln 3 1 ln2 3 1
2 2 3 1 6 3 1
x
S x x dx x dx
x x
æ ö
= + - = - - +ç ÷
+ +è ø
ò ò
1
2
0
1 3 1 8 1
ln 2 ln 3 1 ln 2 .
6 2 3 9 12
x x x
æ ö
= - - + + = -ç ÷
è ø
0,5
0,5
Câu 6:
( 1,0 điểm)
Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra
' ( ) C H ABC^ . Trong DABC ta có
2
0 1 3
. .sin120
2 2
ABC
a
S AB AC= = .
2 2 2 0 2
2 . .cos120 7 BC AC AB AC AB a= + - =
Þ 7 BC a= Þ
7
2
a
CH =
0,5
www.VNMATH.com

4. Þ 2 2 3
' 'C
2
a
C H C CH= - =
Thể tích khối lăng trụ
3
3
' .
4
ABC
a
V C H S= = .
Hạ HK AC^ , Vì ( ) ' C H ABC^ Þ đường xiên
' C K AC^ Þ ( ) ( )( ) · , ' ' ' ABC ACC A C KH= (1)
( ' C HKD vuông tại H nên · 0
' 90 C HK < ).
Trong tam giác HAC ta có
2 3
2
HAC ABC S S a
HK
AC AC
= = =
Þ · '
tan ' 1
C H
C KH
HK
= = Þ · 0
' 45 C KH = . (2)
Từ (1) và (2) suy ra ( ) ( )( ) 0
, ' ' 45 ABC ACC A = .
Ghi chú: Thí sinh có thể tính độ dài AH và suy ra DAHC vuông tại A để suy ra K Aº .
0,5
Câu 7
(1,0 điểm)
Gọi M là trung điểm BC. Phương trình GE hay
AM là 4 7 0 x y- = Û
3 7
2 4
x t
y t
= +ì
í
= +î
Gọi ( ) 3 7 ;2 4 M m m+ + . Ta có
( ) 7 2;4 4 IM m m= + +
uuur
; ( ) 7 6;4 3 FM m m= - +
uuuur
Vì IM FM^ nên . 0 IM FM =
uuur uuuur
Û( )( ) ( )( ) 7 2 7 6 4 4 4 3 0 m m m m+ - + + + =
Û 0 m = .
Suy ra ( ) 3;2 M .
Giả sử ( ) 3 7 ;2 4 A a a+ + . Vì 2 GA GM= -
uuur uuuur
ta được 1 a = - , suy ra ( ) 4; 2 A - - .
Suy ra phương trình : 2 7 0 BC x y+ - = Þ ( ) 2 7; B b b BC- + Î ( điều kiện 2 b < ).
Vì IB IA= nên ( ) ( )
2 2
2 6 2 25 b b- + + + = Û
1
3 (loai)
b
b
=é
ê =ë
Suy ra ( ) 5;1 B Þ ( ) 1;3 C (Vì M là trung điểm BC).
0,5
0,5
Câu 8
(1,0 điểm)
Đường thẳng D có vtcp ( ) 1; 1;2 uD = -
uur
và ( ) 2;1;1 A ÎD Þ ( ) 4;0;1 MA =
uuur
Þ vtpt ( ) , 1;7;4 P n u MAD
é ù= = -ë û
uur uur uuur
.
Suy ra ( ) ( ) ( ) : 1 2 7 1 4 0 P x y z- + + - + = Û 7 4 9 0 x y z- - + =
N Î D Þ ( ) 2; 1;2 1 N t t t+ - + + . Khi đó ( ) ( )
2 2 2
4 ( ) 2 1 11 MN t t t= + + - + + =
Û 2
6 12 6 0 1 t t t+ + = Û = - . Suy ra ( ) 1;2 1 N -
0,5
0,5
Câu 9
(0,5 điểm)
Số cách lấy hai viên từ hộp là 2
12 66 C =
Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu xanh, 1 viên màu đỏ và khác số là 4.4 =16
Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu xanh, 1 viên màu vàng và khác số là 3.4=12
Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu đỏ, 1 viên màu vàng và khác số là 3.3 = 9
Như vậy số cách lấy ra hai viên từ hộp vừa khác màu vừa khác số là 16 + 12 + 9 = 37.
Suy ra xác suất cần tính là:
37
0,5606
66
P = »
0,5
www.VNMATH.com

5. Câu 10
1,0 điểm)
Giả sử { } min , , z x y z= . Đặt 0
2
z
x u+ = ³ , 0
2
z
y v+ = ³ . Khi đó ta có
2
2 2 2
2
z
x z x u
æ ö
+ £ + =ç ÷
è ø
,
2
2 2 2
2
z
y z y v
æ ö
+ £ + =ç ÷
è ø
(1)
2 2
2 2 2 2
2 2
z z
x y x y u v
æ ö æ ö
+ £ + + + = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Chú ý rằng với hai số thực dương , u v ta luôn có
1 1 4
u v u v
+ ³
+
và
( )
2 2 2
1 1 8
u v u v
+ ³
+
(2)
Từ (1) và áp dụng (2) ta được
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y y z z x u v u v
+ + ³ + +
+ + + +
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 3 1 1
4 4 u v u v u v
æ ö æ ö
= + + + +ç ÷ ç ÷
+ è ø è ø
( )
2 2 2
1 1 6
2 u v uv u v
= + +
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 6 10 10
u v u v u v x y z
³ + = =
+ + + + +
(3)
Mặt khác ta có
( )( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 x y z xyz xy yz zx x y z+ + + = + + + + + + +
2 xyz x y z= + + + + 2 x y z³ + + + (4)
Từ (3) và (4) suy ra
( )
( ) 2
10 5
5
2
P x y z
x y z
³ + + + +
+ +
. (5)
Đặt 0 x y z t+ + = > . Xét hàm số 2
10 5
( ) , 0
2
f t t t
t
= + > .
Ta có 3
20 5
'( ) , 0
2
f t t
t
= - + >
Suy ra '( ) 0 2 f t t= Û = , '( ) 0 2 f t t> Û > , '( ) 0 0 2 f t t< Û < < .
Suy ra
15
( ) (2)
2
f t f³ = với mọi 0 t > . (6)
Từ (5) và (6) ta được
25
2
P ³ . Dấu đẳng thức xảy ra khi 1, 0 x y z= = = hoặc các
hoán vị. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
25
2
.
0,5
0,5
Chú ý: Đáp án này không phải là file gốc của trường THPT chuyên – ĐH Vinh mà là file đánh lại từ
hình chụp đáp án. Có thể thiếu sót trong quá trình đánh máy lại, rất mong các thầy cô thông cảm.
www.VNMATH.com