Written by Dai-Nam, in Vietnamese

1. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh
Khoa Vật lí

Bài tiểu luận
“Nguyên lí bất định Heisenberg
và trạng thái kết hợp - coherent state”
Sinh viên: Lê Đại Nam
MSSV: K37.102.062
Tp. Hồ Chí Minh, 5/2014

2. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
1
MỤC LỤC
MỤC LỤC ......................................................................................................................1
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................2
1 Hệ thức bất định Heisenberg và nguyên lí bất định Heisenberg .............................3
1.1 Hệ thức bất định Heisenberg.............................................................................3
1.2 Nguyên lí bất định Heisenberg .........................................................................4
2 Trạng thái kết hợp....................................................................................................5
2.1 Trạng thái kết hợp.............................................................................................5
2.2 Trạng thái kết hợp và bài toán dao động tử điều hòa........................................6
3 Mở rộng hệ thức bất định Heisenberg .....................................................................9
3.1 Hệ thức bất định Heisenberg tổng quát.............................................................9
3.2 Phép đo hai đại lượng vật lí trong cơ học lượng tử ........................................10
4 Mở rộng khái niệm trạng thái kết hợp ...................................................................11
4.1 Trạng thái kết hợp trong nhóm Heisenberg - Weyl ........................................12
4.2 Mở rộng khái niệm trạng thái kết hợp với đại số Lie bất kì ...........................14
5 Kết luận..................................................................................................................14
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................15

3. Lê Đại Nam
2
LỜI MỞ ĐẦU
Nguyên lí bất định Heisenberg (1927) là một trong những nguyên lí cơ bản nhất
của cơ học lượng tử, và cũng là một trong những nguyên lí gây tranh cãi nhất của cơ
học lượng tử. Nguyên lí này không dễ gì có thể chấp nhận được, ngay cả đối với
những thiên tài như Albert Einstein. Nguyên lí bất định Heisenberg chống lại thuyết
quyết định luận của Albert Einstein cũng như định lí bất toàn (năm 1930) của Kurl
Godel đạp đổ những nổ lực thống nhất toán học của David Hilbert chính là những
bằng chứng thuyết phục nhất cho thấy rằng sự hiểu biết của con người đối với tự
nhiên là có giới hạn, giới hạn này không phải do khoa học kĩ thuật, do đặc tính của
con người mà là bản chất của thế giới tự nhiên. Con người ngày các tiến sát đến giới
hạn đó nhưng không thể vượt qua những giới hạn đó.
Ngày nay, vẫn có các nhà vật lí vẫn tin tưởng rằng con người có thể hiểu biết được
tất cả và mô tả các thế giới này trong một nguyên lí, một phương trình duy nhất. Điều
đầu tiên mà các nhà vật lí này thực hiện chính là kiểm nghiệm tính đúng đắn của
nguyên lí gây tranh cãi bậc nhất ở thế kỉ 20 – nguyên lí bất định Heisenberg.
Một trong những vấn đề thú vị liên quan đến nguyên lí bất định Heisenberg là
trạng thái kết hợp (coherent state). Trạng thái kết hợp không chỉ đơn thuần là giới hạn
của hệ thức bất định mà mối liên hệ giữa trạng thái kết hợp và trạng thái cổ điển của
một hệ cơ học giúp chúng ta có một phương pháp tiếp cận các bài toán cơ học lượng
tử.
Trong tiểu luận Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent
state, tôi đã trình bày những vấn đề cơ bản về hệ thức bất định Heisenberg và trạng
thái kết hợp Gaussian và sự mở rộng các khái niệm hệ thức bất định, trạng thái kết
hợp cho các trường hợp tổng quát.

4. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
3
1 Hệ thức bất định Heisenberg và nguyên lí bất định Heisenberg
1.1 Hệ thức bất định Heisenberg
Đối với một hàm sóng  bất kì thì
ˆ ,
ˆ ,x x
x x
p p
  
  
là tọa độ trung bình và xung lượng trung bình theo phương x ; và
   
       
       
    
ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ2 Im ,
x x x
x x x x
x x x x
x x
i x p x x p p
x x p p p p x x
x x p p x x p p
i x x p p

       
         
         
    
suy ra
        ˆ ˆ ˆ ˆIm ,
2
x x x xx x p p x x p p         
Áp dụng bất đẳng thức Schwartz
           ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,x x x x x xx x p p x x x x p p p p            
với
   
   
ˆ ˆ ,
ˆ ˆ ,x x x x x
x x x x x
p p p p p
     
     
lần lượt là độ bất định của tọa độ và xung lương. Từ đây, ta dẫn ra được hệ thức bất
định Heisenberg [3, 4]
2
xx p   .

5. Lê Đại Nam
4
1.2 Nguyên lí bất định Heisenberg
Dựa vào hệ thức bất định Heisenberg, năm 1927, Werner Heisenberg đưa ra
nguyên lí bất định Heisenberg [3]
“Càng xác định vị trí chính xác bao nhiêu, càng xác định
động lượng kém chính xác bấy nhiêu và ngược lại”.
Nguyên lí bất định Heisenberg không cho phép chúng ta xác định chính xác đồng
thời vị trí và động lượng của một hạt, điều này đi ngược lại hoàn toàn với quan điểm
của cơ học cổ điển vốn dựa trên thuyết quyết định luận (causal determinism). Một
trong những ví dụ nổi tiếng về quan điểm này của cơ học cổ điển là “con quỉ
Laplace” (Laplace ‘s demon) được Pierre – Simone Laplace đưa ra năm 1814. Lập
luận mà Laplace đưa ra như sau
“Chúng ta có thể xem vũ trụ hiện tại là kết quả của quá
khứ và là nguyên nhân của tương lai. Một trí tuệ mà tại
một thời điểm nhất định có thể biết được tất cả các lực
thiết lập chuyển động cho tự nhiên và vị trí của tất cả các
vật trong tự nhiên, và nếu trí tuệ này đủ sức phân tích
toàn bộ các dữ liệu trên, thì nó có thể đưa ra một công
thức duy nhất cho chuyển động của các vật thể từ các
thiên thể to lớn trong vũ trụ cũng như những nguyên tử bé
xíu bên trong chúng. Đối với trí tuệ siêu phàm này, không
điều gì là không chắc chắn và tương lai cũng như quá khứ
sẽ xuất hiện trong mắt nó” [5].
Chúng ta có thể hiểu rằng, nếu cung cấp cho con quỉ Laplace tất các các lực chi
phối chuyển động của vũ trụ này và vị trí, xung lượng của tất cả các vật thể trong vũ
trụ tại một thời điểm nhất định 0 0,x p thì con quỉ Laplace có thể xác định toàn bộ quá
khứ cũng như tương lai của vũ trụ này. Tuy nhiên, dù có con quỉ Laplace có siêu
phàm đến đâu, thì nguyên lí Heisenberg đã không cho phép chúng ta xác định đồng
thời 0 0,x p của một vật thể một cách chính xác, huống chi là cả vũ trụ. Điều này có thể

6. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
5
ví von rằng chúng ta có một chiếc siêu máy tính với những thuận toán tiên tiến nhất
nhưng lại không có dữ liệu đầu vào input cho nó vậy.
2 Trạng thái kết hợp
2.1 Trạng thái kết hợp
Trở lại với hệ thức bất định Heisenberg
,
2
xx p  
dấu bằng của hệ thức bất định xảy ra khi và chỉ khi
   ˆˆ x x
x
p px x
i
x p

   
 
hoặc
   ˆ ˆ
.x x
x
p p x x
i
p x
 
   
 
Thực hiện các biến đổi, ta đưa phương trình trên về dạng
ˆ ˆ .
2 2 2 2
x x
x x
x x
p px x
x i p x i p
x p x p
 
     
                
Trạng thái  thỏa mãn
,
2
xx p  
được gọi là trạng thái kết hợp (coherent state) của hai toán tử ˆx và ˆxp . Trạng thái kết
hợp lần đầu tiên được Erwin Schrodinger đưa ra vào năm 1926 trong quá trình giải bài
toán dao động tử điều hòa [8]. Bài toán dao động tử điều hòa có nhiều ứng dựng trong
việc giải các bài toán cơ học lượng tử, do đó, trạng thái kết hợp cũng được phát triển
và ứng dụng rộng rãi trong các lí thuyết vật lí phát triển từ cơ học lượng tử. Tôi sẽ trở
lại với quá trình mở rộng và phát triển khái niệm trạng thái kết hợp vào phần 4 của
tiểu luận.
Quay lại với “dấu bằng” của hệ thức bất định Heisenberg, ta dễ dàng thấy rằng
trạng thái kết hợp chính là vector riêng của toán tử không Hermite
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,
2 2 2 2
x x
x x
x x
p px x
a x i p a x i p
x p x p
 
     
               

7. Lê Đại Nam
6
với , ,xx p   đóng vai trò như các tham số tự do thỏa ,.
2
xx p  
Do  ˆ ˆa a
 
 nên nếu  là một trạng thái kết hợp của hai toán tử ˆx và ˆxp thì

 cũng là một trạng thái kết hợp của hai toán tử đó. Như vậy, ứng với hai toán tử
ˆx và ˆxp thì các trạng thái lập thành hai nhóm tương ứng là hàm riêng của hai toán tử
ˆ ˆ, .a a
Các vector riêng a của toán tử ˆa ứng với trị riêng a thì các vector riêng
*
a a

 của toán tử ˆa
ứng với trị riêng *
a . Khi đó, trị trung bình của ˆx và ˆxp là
*
*
1 2 1 2
Re Re ,
2 21 1
Im Im .
x x
x x
x
x x
x a a
p p
p p
p a a
x x
 
 
 
 
 
 
  
 
Ta thấy rằng hai trạng thái kết hợp tương ứng có cùng tọa độ trung bình và xung
lượng trung bình ngược dấu, tương đương với hai sóng tại “chuyển động” ngược
chiều nhau tới cùng một vị trí.
Một tính chất cần lưu ý là toán tử ˆa không phải là toán tử Hermite nên bộ vector
riêng cơ sở a không trực giao.
2.2 Trạng thái kết hợp và bài toán dao động tử điều hòa
Các toán tử ˆ ˆ,a a
có dạng tương tự các toán tử hủy – sinh trong bài toán dao động
tử điều hòa có Hamiltonian [7]
2 2 2
ˆˆ ,
2 2
xp m x
H
m

 
ˆ ˆ,a a
có dạng
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
2 22 2
x x
m i m i
a x p a x p
m m
 
 

   
thỏa

8. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
7
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0, , 0,a a I a I a I 
            
và
ˆ
ˆ ˆ ˆ ,
2
I
H aa 
 
  
 
tương ứng với các tham số , ,xx p   lần lượt là
1
, , .
2 2
x
m
x p
m



    
Khi đó, nghiệm riêng của toán tử ˆa ứng với trị riêng a
2
2
1 4
1 2 1 2
exp ,
2 2
m m a
a x a
 

  
     
   
và nghiệm riêng của toán tử ˆa
ứng với trị riêng *
a
2
*2
* *
1 4
1 2 1 2
exp ,
2 2
m m a
a x a
 

  
    
   
là các trạng thái kết hợp trong bài toán dao động tử điều hòa. Do dạng tường minh của
chúng là dạng hàm Gauss nên chúng còn được gọi là trạng thái kết hợp Gaussian hay
bó sóng Gaussian [7].
Nếu ta xem các trạng thái kết hợp là các trạng thái chồng chập thì ta có thể biểu
diễn chúng dưới dạng
0
,
n
a n a n


 
với
 1
ˆ 0 ,
!
n
n a
n


là các trạng thái dừng của bài toán dao động tử điều hòa.
Tôi tính được hệ số khai triển

9. Lê Đại Nam
8
2
2
0 .
! !
an n
a a
n a a e
n n

 
Như vậy, hàm sóng của dao động tử điều hòa ở trạng thái kết hợp có dạng
2
2
0
.
!
a n
n
a
a e n
n


 
Kết hợp với hệ thức
ˆ ˆ,ˆ ˆˆ ˆ A BA B A B
e e e e
   
 khi ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , , , 0A A B B A B             
, tôi viết lại
khai triển trên dưới dạng [6]
 *
ˆ ˆ
0 ,
za z a
a e



toán tử
 *
ˆ ˆza z a
e


được gọi là toán tử sinh của trạng thái kết hợp (creation operator of
coherent state) [6].
Tại thời điểm t , hàm sóng của dao động tử điều hòa ở trạng thái kết hợp a là
 
2
1
ˆ 2
2 2 2
0
,
!
i n t
aH i t i tn
i t
i t
n
a e
e a e n e e a e a t
n

 

 
  
     


  
với
  i t
a t e a
 ,
tức là trạng thái này cũng dao động điều hòa với tần số góc  . Ta có nhận xét rằng
trong trường hợp dao động tử điều hòa, trạng thái kết hợp cũng dao động tương tự như
mô hình dao động tử điều hòa trong cơ học cổ điển,
 
 
   
 
 
,
,
.
da t
i a t
dt
dx t p t
dt m
dp t
m x t
dt


 


 
  


10. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
9
Do đó, trạng thái kết hợp của dao động tử điều hòa là trạng thái gần giống nhất với
trạng thái cổ điển của dao động tử điều hòa, và được gọi là trạng thái giả cổ điển
(quasiclassical state). Ta cũng nhận xét rằng ở trạng thái kết hợp, khi 0 thì
0,xx p  
trùng với trạng thái cổ điển, tức là khi đó trạng thái kết hợp trở về trạng thái cổ điển.
3 Mở rộng hệ thức bất định Heisenberg
3.1 Hệ thức bất định Heisenberg tổng quát
Hệ thức bất định không chỉ đối với hai đại lượng vị trí và động lượng mà còn được
mở rộng thành hệ thức bất định tổng quát đối với hai đại lượng ˆA và ˆB bất kì.
Nếu ˆA và ˆB là hai toán tử Hermite bất kì thì [2]
     ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ,
A B AB BA AB BA
B A A B BA AB
  
   
      
   
suy ra
ˆ ˆˆ ˆ, , ,A B A B

       
tức là giao hoán tử của chúng ˆ ˆ,A B 
  là toán tử phản Hermite.
Do ˆ ˆ,A B 
  là toán tử phản Hermite nên ˆ ˆ,A B 
  có dạng ˆ ˆˆ,A B iC    với ˆC là một
toán tử Hermite.
Đối với một hàm sóng  bất kì thì
ˆ ,
ˆ ,
A A
B B
  
  
là trị trung bình của các đại lượng ˆA và ˆB ; và

11. Lê Đại Nam
10
       
       
    
ˆ ˆ ˆˆ ˆ, ,
ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ2 Im ,
iC i C A B A A B B
A A B B B B A A
A A B B A A B B
i A A B B

                
         
         
    
suy ra
        ˆ ˆˆ ˆIm ,
2
C
A A B B A A B B         
Áp dụng bất đẳng thức Schwartz
           ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ,A A B B A A A A B B B B            
với
   
   
ˆ ˆ ,
ˆ ˆ ,
A A A A A
B B B B B
     
     
lần lượt là độ bất định của phép đo các đại lượng ˆA và ˆB ; ta dẫn ra được hệ thức bất
định [7]
2
C
A B   .
3.2 Phép đo hai đại lượng vật lí trong cơ học lượng tử
Dựa vào hệ thức bất định, ta thấy rằng không phải lúc nào hai đại lượng bất kì ˆA
và ˆB đều có thể xác định chính xác đồng thời. Điều kiện cần và đủ để hai đại lượng
ˆA và ˆB có thể xác định chính xác đồng thời là
ˆ ˆ, 0A B    và  là hàm riêng của ˆA và ˆB .
Để làm rõ điều này, ta khảo sát một thí nghiệm tưởng tượng sau: hệ đang ở trạng
thái  và ta lần lượt thực hiện các phép đó ˆA, ˆB và ˆA.

12. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
11
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ,
ˆ ˆ ˆˆ ˆ, , .
A B
A
A A A B B A
A A B AB A BA A A A B
     
   
Do ˆ ˆ, 0A B    nên trạng thái của hệ sau các phép đo trên là trạng thái ,A B và kết
quả của phép đo lần lượt là các trị riêng , ,A B A. Điều này cho thấy phép đo ˆB không
làm ảnh hưởng đển phép đo ˆA nên hai đại lượng ứng với hai phép đo này hoàn toàn
có thể xác định chính xác.
Tuy nhiên, cũng dựa vào sơ đồ trên, ta thấy ở trường hợp ˆ ˆ, 0A B    thì những lập
luận trên không còn đúng nữa. Khi đó, phép đo ˆB không làm ảnh hưởng đển phép đo
ˆA nên hai đại lượng ứng với hai phép đo này không thể xác định chính xác đồng thời.
Mối quan hệ bất định giữa hai đại lượng trên được thể hiện qua
.
2
C
A B  
4 Mở rộng khái niệm trạng thái kết hợp
Hệ thức bất định của phép đo hai đại lượng ˆA và ˆB
,
2
C
A B  
dấu bằng của hệ thức bất định xảy ra khi và chỉ khi
   ˆ ˆA A B B
i
A B
 
   
 
hoặc
   ˆˆ
.
A AB B
i
B A

   
 
Thực hiện các biến đổi, ta đưa phương trình trên về dạng
ˆ ˆ .
2 2 2 2
B A B A
A i B A i B
A B A B
 
      
       
      
Trạng thái  thỏa mãn
,
2
C
A B  

13. Lê Đại Nam
12
chính là trạng thái kết hợp gần với trạng thái cổ điển nhất của hai toán tử ˆA và ˆB .
Trạng thái kết hợp  chính là vector riêng của toán tử không Hermite
ˆˆ ˆ ,
2 2
B A
D A i B
A B

  
  
  
với , ,A B   đóng vai trò như các tham số tự do thỏa .
2
C
A B  
Do  ˆ ˆD D

  nên nếu  là một trạng thái kết hợp của hai toán tử ˆA và ˆB thì

 cũng là một trạng thái kết hợp của hai toán tử đó. Như vậy, ứng với hai toán tử
ˆA và ˆB thì các trạng thái lập thành hai nhóm tương ứng là hàm riêng của hai toán tử
ˆ ˆ,D D  .
Các vector riêng D của toán tử ˆD ứng với trị riêng D thì các vector riêng
D D

  của toán tử ˆD ứng với trị riêng D . Khi đó, trị trung bình của ˆA và ˆB
là
1 2 1 2
Re Re ,
1 2 1 2
Im Im .
A A
A D D
B B
B B
B D D
A A
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
Do toán tử ˆD không phải là toán tử Hermite nên bộ vector riêng cơ sở D
không trực giao. Ta sử dụng lí thuyết nhóm để xây dựng các trạng thái kết hợp D
cho trường hợp tổng quát [6].
4.1 Trạng thái kết hợp trong nhóm Heisenberg - Weyl
Ở phần 1 và 2, chúng ta đã khảo sát hệ thức bất định Heisenberg và trạng thái kết
hợp ở một trường hợp riêng ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ, ,xA x B p C I   với ˆˆ ˆ, ,xx p I lần lượt là toán tử tọa độ,
động lượng và toán tử đồng nhất.
Bộ ba toán tử trên tạo thành nhóm Heisenberg – Weyl [1]

14. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
13
  ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0, , 0.x xx p i I x I p I        
Ta đưa các toán tử hủy – sinh ˆ ˆ,a a
có dạng
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, .
2 22 2
x x
m i m i
a x p a x p
m m
 
 

   
Khi đó, các toán tử ˆˆ ˆ, ,a a I
cũng tạo thành một nhóm Heisenberg – Weyl [1]
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0, , 0.a a I a I a I 
            
Ta đưa thêm toán tử “dao động tử điều hòa”
2 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ,
2 2 2
xpI m x
H aa
m

 
 
    
 
chính là Hamiltonian của bài toán dao động tử điều hòa. Khi đó, các toán tử
ˆ ˆˆ ˆ, , ,xx p I H tạo thành nhóm “dao động tử điều hòa”  ˆ ˆˆ ˆ, , ,xx p I H  [6]
  ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0, , 0.
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, 0, , , , .
x x
x
x p i I x I p I
i i
I H x H p p H x
m m
        
            
và các toán tử ˆ ˆˆ ˆ, , ,a a I H
lập thành hai đại số con đẳng hướng tối đại liên hiệp với
nhau  ˆ ˆˆ, ,a I H  và  ˆ ˆˆ , ,a I H
  của chân không 0 thỏa    và cấu
trúc của các đại số con đó [6]
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0, , 0,
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , .
a a I a I a I
a H a a H a 
 
 
            
        
Trạng thái kết hợp a xây dựng từ chân không 0 ở phần 2 là trạng thái kết hợp
của nhóm Heisenberg – Weyl gần với trạng thái cổ điển nhất. Trạng thái kết hợp a
được xây dựng từ chính đại số con đẳng hướng tối đại  ˆ ˆˆ, ,a I H  của chân không
0 [6].

15. Lê Đại Nam
14
4.2 Mở rộng khái niệm trạng thái kết hợp với đại số Lie bất kì
Dựa vào cách xây dựng trạng thái kết hợp của bài toán dao động tử điều hòa dựa
trên nhóm “dao động tử điều hòa”, ta mở rộng khái niệm trạng thái kết hợp với đại số
Lie bất kì.
Giả sử đại số Lie  có biểu diễn bất khả quy  :T r   . Trạng thái kết hợp
của đại số Lie  là các vector thỏa [6]
    ,T r r r r
trong đó, ta khảo sát trường hợp trạng thái kết hợp gần nhất với trạng thái cổ điển
nhất. Để xây dựng được trạng thái kết hợp này, ta phải đưa ra được hai đại số con
đẳng hướng tối đại liên hiệp với nhau  và  của chân không 0 thỏa    [6].
Trạng thái kết hợp gần nhất với trạng thái cổ điển được xây dựng từ chính đại số con
đẳng hướng tối đại  của chân không 0 . Đối với trường hợp 3 toán tử Hermite
ˆ ˆˆ, ,A B C thỏa ˆ ˆˆ,A B iC    , ta phải xây dựng được đại số Lie cực tiểu dựa trên 3 toán
tử Hermite trên. Dựa trên đại số Lie ta đã xây dựng được, ta có thể xây dựng được
trạng thái kết hợp gần nhất với trạng thái cổ điển thỏa
.
2
C
A B  
Việc mở rộng khái niệm trạng thái kết hợp cho đại số Lie bất kì có nhiều ứng dụng
trong việc giải quyết các bài toán lượng tử ví dụ như trạng thái kết hợp của nhóm
 SO n dùng để giải quyết bài toán coupling hai moment góc, trạng thái kết hợp trong
bài toán nguyên tử hydro, v.v.v [6].
5 Kết luận
Như vậy, tôi đã trình bày những vấn đề cơ bản về hệ thức bất định Heisenberg và
trạng thái kết hợp Gaussian và sự mở rộng các khái niệm hệ thức bất định, trạng thái
kết hợp cho các trường hợp tổng quát bằng lí thuyết về không gian Hilbert và lí thuyết
nhóm.

16. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
15
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Angel Ballesteros, Francisco J. Herranz, Preeti Parashar. (1997). Quantum
Heisenberg–Weyl Algebras. Journal of Physics A: Mathematical and General, 30(7),
149 - 154.
2. Dũng, H. (2003). Nhập môn Cơ học lượng tử. NXB ĐHQG Tp.HCM.
3. Heisenberg, W. (1925). Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und
mechanischer Beziehungen. Zeitschrift für Physik, 33, 879-893.
4. Heisenberg, W. (1927). Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen
Kinematik und Mechanik. Zeitschrift für Physik, 45(3 - 4), 172 - 198.
5. Laplace, P. S. (1951). A Philosophical Essay on Probabilities. ( . a. translated into
English rom the original rench 6th ed. by Truscott, Dịch giả) Dover Publications.
6. Perelomov, A. (1986). Generalized Coherent States and Their Applications.
Springer Berlin Heidelberg.
7. Sakurai, J. J. (1994). Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley.
8. Schrodinger, E. (1926). Der stetige Übergang von der Mikro- zur Makromechanik.
Die Naturwissenschaften, 14(28), 664 - 666.