2. ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 2
MÔN TOÁN KHỐI A
Câu Nội Dung Điểm
I
(2,0đ)
1. (1,0đ)
TXĐ: D = R{ } 1-
Chiều biến thiên: ,
2
1
0
( 1)
y
x
= >
+
, với x D" Î
Þhàm số đồng biến trên mỗi khoảng :( ) ; 1-¥ - và ( ) 1;- +¥
Cực trị: hàm số không có cực trị
Giới hạn, tiệm cận :
1
2 x
limy
®+¥
= ,
1
2 x
lim y
®-¥
= ;
( 1) x
lim y+
® -
= -¥ ,
( 1) x
lim y-
® -
= +¥
Þ
1
2
y = là tiệm cận ngang; 1 x = - là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên:
Đồ thị: đi qua các điểm (0;
1
2
- ) ; (2;
3
2
)
Nhận giao điểm của hai tiệm cận I(1;
1
2
) làm tâm đối xứng
2. (1,0đ)
0,25
0,25
0,25
0,25
-¥ +¥
1
2
+¥ 1
2
-¥
1-x
,
y
y
1
2
-1
I
O
y
x
3. . II
(2,0đ)
Ý 1
2.Gọi M( 0
0
0
1
;
2( 1)
x
x
x
-
+
) ( ) CÎ là điểm cần tìm
Gọi D tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình
D: ' 0
0 0
0
1
( )( )
2( 1)
x
y f x x x
x
-
= - +
+ ( )
0
0 2
0 0
1 1
( )
2( 1) 1
x
y x x
x x
-
Þ = - +
++
Gọi A = D Çox ÞA(
2
0 0 2 1
2
x x- -
- ;0)
B = D ÇoyÞ B(0;
2
0 0
2
0
2 1
2( 1)
x x
x
- -
+
). Khi đó Dtạo với hai trục tọa độ D OAB
có trọng tâm là: G(
2 2
0 0 0 0
2
0
2 1 2 1
;
6 6( 1)
x x x x
x
æ ö- - - -
-ç ÷
+è ø
.
Do GÎ đường thẳng:4x + y = 0Þ
2 2
0 0 0 0
2
0
2 1 2 1
4. 0
6 6( 1)
x x x x
x
- - - -
- + =
+
Û
( )
2
0
1
4
1 x
=
+
(vì A, B ¹ O nên 2
0 0 2 1 0 x x- - ¹ )
0 0
0 0
1 1
1
2 2
1 3
1
2 2
x x
x x
é é
+ = = -ê ê
Û Ûê ê
ê ê+ = - = -
ê êë ë
Với 0
1 1 3
( ; )
2 2 2
x M= - Þ - - ; với 0
3 3 5
( ; )
2 2 2
x M= - Þ - .
1. (1,0đ)
PtÛ cos4x + cos2x + sin(3x
3
p
) + sin(x
3
p
) = 0
Û 2cos3x. cosx + 2sin(2x
3
p
). cosx = 0
2cos os3 sin(2 ) 0
3
x c x x
pé ù
Û + - =ê ú
ë û
cos 0
os3 sin(2 ) 0
3
x
c x x
p
=é
êÛ
ê + - =
ë
Với cosx = 0 Û x =
2
k
p
p+
Với cos3x + sin(2x
3
p
) = 0 os3 os( 2 )
6
c x c x
p
Û = +
3 2 2
6
3 2 2
6
x x k
x x k
p
p
p
p
é
= + +ê
Û ê
ê = - - +
êë
2
6
2
30 5
x k
x k
p
p
p p
é
= +ê
Û ê
ê = - +
êë
. kÎZ
2. (1,0đ)
(1,0đ) Từ gt 2; 1 x yÞ ³ ³ - .
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4. V
(1,0đ)
VIa .2
(1,0đ)
VIIa
Vì ( ) ( )( )
2
2 2
2. 2 1. 1 2 1 2 1 x y x y- + + £ + - + + 2 2 1 5( 1) x y x yÛ - + + £ + - .
Nên từ 2 2 1 1 x y x y+ = - + + +
5( 1) 1 x y x yÞ + £ + - + . Đặt t = x + y , ta có: 1 5( 1) 1 6 t t t- £ - Û £ £
Khi đó: F = 2 2 1 2 1 2
( )
2 2
x y t
x y t
+ + = +
+
.
Xét 2 1 2
( )
2
f t t
t
= + , với [ ] 1;6 t Î , có [ ] ' 1
( ) 0; 1;6 f t t t
t t
= - ³ " Î
[ ] 1;6
5
( ) (1)
2 t
Min f t f
Î
Þ = = ;
[ ] 1;6
2
ax ( ) (6) 18
6 t
M f t f
Î
= = +
Þ GTNN của F là:
5
2
đạt được tại:
2
1
1
x
t
y
=ì
= Û í
= -î
GTLN của F là:
2
18
6
+ đạt được tại :t= 6
6
0
x
y
=ì
Û í
=î
Ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC) theo ®o¹n ch¾n
: 1 3 0
3 3 3
x y z
x y z+ + = Û + + - =
Gäi d lµ ®êng th¼ng qua O vµ vu«ng gãc víi mp(ABC).Ph¬ng tr×nh d lµ:
x t
y t
z t
=ì
ï
=í
ï =î
. H lµ h×nh chiÕu cña O lªn mp(ABC),suy ra to¹ ®é H lµ nghiÖm cña
hÖ: (1;1;1)
3 0
x t
y t
H
z t
x y z
=ì
ï =ï
Þí
=ï
ï + + - =î
D lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua O suy ra D(-1;-1;-1)
Gäi (S) : x2
+y2
+z2
+2ax+2by+2cz+d=0 lµ ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (a2
+b2
+c2
- d>
0). V× A ( ) SÎ ta cã 9+6a+d=0
V× B ( ) SÎ ta cã 9+6b+d=0
V× C ( ) SÎ ta cã 9+6c+d=0
V× D ( ) SÎ ta cã 3-2a-2b-2c+d=0
Tõ ®ã a=b=c=
1
2
- ;d=-6
VËy (S):x2
+y2
+z2
-x-y-z-6= 0 lµ PT mÆt cÇu cÇn t×m
1,0đ Ta có: ' 2
4 5 1 iD = - = - = 1
2
2
2
z i
z i
= -é
Þ ê = +ë
Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )
2011 2011 2011 2011
1 2 1 1 1 1 z z i i- + - = - + +
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0.25
0.25
5. VIb2
(1,0đ)
VIIb
(1,0đ)
( )
1005 1005
2 2
(1 ) (1 ) 1 (1 ) i i i ié ù é ù= - - + + +ë û ë û =( )( ) ( )( )
1005 1005
1 2 1 2 i i i i- - + +
1005 1005 1005 1006
2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 1 ) 2 i i i i i i i= - - + + = + - + = -
2.(1,0đ)
Ta có : 1 d đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : ( ) 1 1; 1;0 u
®
= -
2 d đi qua điểm B (2; 1; 1) và vtcp là: ( ) 2 1; 2;2 u
®
= -
Gọi n
®
là vtpt của mp(P), vì (P) song song với 1 d và 2 d nên
n
®
= [ 1 2 ; u u
® ®
] = (2 ; 2 ; 1) Þ pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 0
d( 1 d ;(P)) = d(A ; (P)) =
7
3
m+
; d( 2 ;( )) d P = d( B;(P)) =
5
3
m+
vì d( 1 d ;(P)) = 2. d( 2 ;( )) d P 7 2. 5 m mÛ + = +
7 2(5 )
7 2(5 )
m m
m m
+ = +é
Û ê + = - +ë
3
17
3
m
m
= -é
êÛ
ê = -
ë
Với m = 3 Þmp(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0
Với m =
17
3
Þmp(P) : 2x + 2y + z
17
3
= 0
Pt đầu Û y – 2x + 8 = ( )
6
2 2 y xÛ =
thế vào pt thứ hai ta được:
2 3
8 2 .3 2.3 x x x x
+ = 8 18 2.27 x x x
Û + =
8 18
2
27 27
x x
æ ö æ ö
Û + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
3
2 2
2
3 3
x x
æ ö æ ö
Û + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Đặt: t =
2
3
x
æ ö
ç ÷
è ø
, (đk t > 0 ) , ta có pt: ( )( ) 3 2
2 0 1 2 0 t t t t t+ - = Û - + + =
0
1
0
x
t
y
=ì
Û = Þ í
=î
0.25
0.25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
6. Câu II .2 (1 điểm) Giải hÖ phương trình :
6 2 3 3 (1)
2 3 3 6 3 4 (2)
x
x y y
y
x x y x y
ì
- = - +ï
í
ï + - = + -î
. (với x RÎ )
B là giao điểm của đường cao qua B
và đt BC nên toạ độ điểm B là nghiệm 0.25
của hệ
4 0
( 2;2)
2 2 0
x y
B
x y
- + =ì
Þ -í
+ - =î
0.25
§K:
3 0,
3x+ 3 0 (*)
0
x y
x y
y
- ³ì
ï
- ³í
ï ¹î
(1) 2
3 (3 ) (3 )
2 3 3 2 3 (3)
x y x y x y
y x y
y y y
-- -
Û - = - Û - =
0.25
§Æt t=
3x y
y
-
Phương trình (3) có dạng 2t 2
t3=0
1
3
2
t
t
= -é
êÛ
ê =
ë
0.25
Với t=1 ta có:
3x y
y
-
=-1 2
0
3
3 (3)
y
x y y
x y y
<ì
Û - = - Û í
= +î
Thế (3) v o (2) ta được
2 2 2 2
4 4
2 5 4 2 7 4 0 1
(L)
2
y x
y y y y y
y
= - Þ =é
ê= + - Û + - = Û
ê =
ë
0.25
Với t= 2
0
3 3 3 3
3 9
2 2 2 3 (4)
4
y
x y
x y y
y x y y
>ì
- ï
Þ = Û - = Û í
= +ïî
Thế (4) vào (2) ta được 2 2 9 5 9
2 5 4 (5)
4 2 2
y y y y+ = + -
Đặt u= 2 9 5
, u 0
4 2
y y+ ³
Ta có PT :2u 2
2u4=0
1 (L)
2 (t/m)
u
u
= -é
Û ê =ë
Với u=2 ta có
2 2 2
8 8
(t/m) 9 5 9 5
2 4 9 10 16 0 9 9
4 2 4 2
2 (L)
y x
y y y y y y
y
é
= Þ =ê+ = Û + = Û + - = Û
ê
= -ë
KL HPT đã cho có 2 cặp nghiệm (4;4) ,
8 8
( ; )
9 9
C2 PT 2
3
2(3 ) 3 3 0, t= 3 0 ...... 2
y
t
x y y x y y x y
t y
é
=êÛ - - - - = - ³ Þ
ê
= -ë
0.25
B C
A
M(-1;0)
x+2y-2=0
NI
H
E
7. Qua M kẻ đt song song với BC cắt đường cao kẻ từ B tại N.Gọi I là giao điểm
của MN với đường cao kẻ từ A thì I là TĐ của MN.§êng th¼ng MN //BC nên
PT đt MN:x+2y+m=0.ĐiểmM(1;0) ( 1) 2.0 0 1 MN m mÎ Û - + + = Û =
( ) : 2 1 0 MN x yÞ + + =
N là giao điểm của đường cao qua B và đt MN nên toạ độ điểm N là nghiệm
của hệ
2 1 0 1
( 3;1) ( 2; )
4 0 2
x y
N I
x y
+ + =ì
Þ - Þ -í
- + =î
. 0.25
Gọi E là TĐ của BC .Do tam giác ABC cân tại A nên IE là trung trực của BC
mà BC : x+2y2=0 : 2 0. IE x y mÞ - + =
Điểm I
1 9
2.2 0
2 2
BC m mÎ Û - - + = Û = ( ) :4x2y+9=0 IEÞ 0.25
E là giao điểm của đường cao IE và đt BC nên toạ độ điểm E là nghiệm của
hệ
2 2 0 7 17 4 7
( ; ) ( ; )
4 2 9 0 5 10 5 5
x y
E C
x y
+ - =ì
Þ - Þ -í
- + =î
.
CA đi qua C và vuông góc với BN mà BN xy+4=0 suy ra (AC):x+y+m=0
4 7 4 7 3
( ; ) 0
5 5 5 5 5
C AC m m- Î Û - + + = Û = - Suy ra (AC):x+y
3
5
=0
A là giao điểm của đường cao IE và đt AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của
hệ
4 2 9 0
13 19
( ; ) 3
10 10 0
5
x y
A
x y
- + =ì
-ï
Þí
+ - =ïî
0.25
N
D
I
A C
B
N' M
Gọi N’ là điểm đối xứng của N
qua I thì N’ thuộc AB, ta có :
'
'
2 4
2 5
N I N
N I N
x x x
y y y
= - =ì
í
= - = -î
0.25
Phương trình đường thẳng AB:
4x + 3y – 1 = 0 0.25
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: 2 2
4.2 3.1 1
2
4 3
d
+ -
= =
+
VIb.1
(1 điểm)
AC = 2. BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI
có:
2 2 2
1 1 1
4 d x x
= + suy ra x = 5 suy ra BI = 5 0.25
8. Nếu thí sinh làm theo các cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa.
Hết
Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn
tâm I bán kính 5
Tọa độ B là nghiệm của hệ: 2 2
4x 3y – 1 0
( 2) ( 1) 5 x y
+ =ì
í
- + - =î
0.25
B có hoành độ dương nên B( 1; 1)
IV
(1 điểm) Qua C kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t AD t¹i E suy ra tø gi¸c ABCE lµ HCN
nªn AE =a vµ CEDD vu«ng t¹i E .Theo Pitago cã
2 2 2 2 2 2
20 4 16 4 DE CD CE a a a DE a= - = - = Þ =
AD là đáy lớn của hình thangn AE =a+4a=5a
DiÖn tÝch h×nh thang ABCD lµ S= 2 ( ) ( 5 ).2
6
2 2
BC AD AB a a a
a
+ +
= = (®vdt)
ThÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD lµ : V= . 2 ... ) ( .
3
1 3
a ABCD S SA ==
Tam giác ACD vuông ở C, trong mp(SAD) gọi O là giao của đường thẳng vuông góc
với SA tại trung điểm I của SA và đường thẳng vuông góc với AD tại trung điểm J
của AD suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD (O lµ trung ®iÓm cña SD)
Tính được: .
2
26 2 2
a AI OI OA R =+==
0.25
0.25
0.25
0.25
A
B
D
C
I
O
J
a
2a 5
2a
4a
a
R
E
S
//
//
