Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Xác định nguồn nhiệt bên trong của thanh bị chôn một phần, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
PHẠM MINH TRÍ
XÁC ĐỊNH NGUỒN NHIỆT BÊN
TRONG CỦA THANH BỊ CHÔN
MỘT PHẦN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
PHẠM MINH TRÍ
XÁC ĐỊNH NGUỒN NHIỆT BÊN
TRONG CỦA THANH BỊ CHÔN
MỘT PHẦN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

3. LỜI CÁM ƠN
Cảm ơn quí thầy cô bộ môn Toán Giải tích, khoa Toán – Tin trường Đại học
Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã trang bị những kiến thức cho tôi trong chương
trình Sau đại học. Cám ơn các Thầy cô, các anh chị công tác tại phòng sau Đại học
và trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để tôi hoàn
thành khóa học đúng kỳ hạn.
Đặc biệt, tôi chân thành cảm ơn thầy Đặng Đức Trọng đã tận tâm hướng
dẫn và chỉ bảo tôi hoàn thành luận văn.

4. ii
MỤC LỤC
Trang
LỜI CÁM ƠN..................................................................................................................................... i
MỤC LỤC.......................................................................................................................................... ii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU............................................................................................................ ii
LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................................................. iv
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.................................................................................................1
1.1. Giải tích hàm............................................................................................................................1
1.1.1. Không gian Hilbert............................................................................................................1
1.1.2. Không gian p
L ..................................................................................................................1
1.1.3. Không gian Sobolev một chiều.........................................................................................2
1.2. Giải tích thực – phức................................................................................................................4
1.2.1. Tích phân Stieltjes.............................................................................................................4
1.2.2. Phổ của toán tử tự liên hợp ...............................................................................................6
1.2.3. Biến đổi Laplace ngược ....................................................................................................8
1.3. Toán tử Sturm – Liouville .....................................................................................................14
1.3.1. Toán tử Sturm – Liouville chính qui...............................................................................14
1.3.2. Toán tử Sturm – Liouville suy biến ................................................................................18
1.3.3. Đẳng thức Parseval trên nửa đường thẳng ......................................................................20
1.3.4. Phổ của toán Sturm – Liouville với 2
(0, )q L∈ ∞ ............................................................26
1.3.5. Lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan .........................................................................31
Chương 2. KHÔI PHỤC NGUỒN NHIỆT NỘI CHO THANH BỊ CHÔN.....................................36
2.1. Biểu diễn nghiệm tại đầu mút (0, )f
u t ...................................................................................36
2.2. Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm .......................................................................................39
2.3. Thuật toán .............................................................................................................................47
2.4. Xác định độ dài b bằng một phép đo......................................................................................49
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

5. iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
n
 không gian Euclide n chiều.
( )p
L µ không gian các hàm p – khả tích với độ đo Lebesgue µ .
( , )2
L dρ không gian các hàm bình phương khả tích trên  với độ đo
Lebesgue – Stieltjes.
[ , ]0 aχ hàm đặc trưng của đoạn [ , ]0 a .
2
([0, ); (0, ))C L b∞ không gian các hàm liên tục, bị chặn 2
:[0, ) (0, )u L b∞ → với
chuẩn sup
0
sup (., )
t
u u t
≥
= trong đó
1
2
2
0
(., ) ( , )
b
u t u x t dx
 
=  
 
∫ .
1 2
((0, ); (0, ))C L b∞ không gian các hàm khả vi liên tục, bị chặn 2
:(0, ) (0, )u L b∞ →
với chuẩn 1,sup
0 0
(., )
sup (., ) sup
t t
du t
u u t
dt> >
= + trong đó
1
2 2
0
(., ) ( , )
b
du t du x t
dx
dt dt
 
=   
 
∫ . Chú ý
2
(., ) ((0, ), )u t C∈ ∞  .
,
W ( , )m p
a b không gian Sobolev các hàm khả tích có đạo hàm riêng đến bậc
m thuộc ( , )p
L a b , với chuẩn ,
( , )
1
( )m p
m
W a b p p
u u D uα
α=
= + ∑ .
( )H H t= là hàm bước đơn vị Heaviside,
0, 0
( )
1, 0
t
H t
t
<
= 
>
.

6. iv
LỜI NÓI ĐẦU
Trong luận văn này, chúng ta sẽ giải bài toán ngược cho phương trình nhiệt
( , ) ( , ) ( ) ( , ), 0 , 0, 1,
(0, ) (0, ) 0,
( , ) ( , ) 0,
( ,0) ( ).
t xx
x
x
u x t u x t q x u x t x b t b
u t hu t
u b t Hu b t
u x f x
= − < < ≤ ∞ > >
 − =

+ =
 =
(1)
Trong đó ( , )u x t là nhiệt độ tại điểm x vào thời điểm t của thanh có nhiệt độ đầu
( )f x , được chọn sao cho ( ) 0, 1f x x= ∀ > . Yêu cầu đặt ra là khôi phục hệ số
nguồn nhiệt ( )q x , hệ số truyền nhiệt đối lưu h, H lần lượt tại hai đầu mút và độ dài
b từ những phép đo nhiệt độ tại đầu mút 0x = , (0, )u t với 0 t T≤ ≤ .
Bài toán (1) có nhiều ý nghĩa trong Vật lí, ta xét ba bài báo [4], [5], [13] của GS
Vũ Kim Tuấn về vấn đề này.
 Bài toán truyền nhiệt trên (0, )π trong [4]
( , ) ( , ) ( ) ( , ), 0 , 0,
(0, ) (0, ) 0,
( , ) ( , ) 0,
( ,0) ( ).
t xx
x
x
u x t u x t q x u x t x t
u t hu t
u t Hu t
u x f x
π
π π
= − ≤ ≤ ≥
 − =

+ =
 =
(2)
với tiên nghiệm 1
(0, )q L∈ π . Bằng hữu hạn các phép đo ( ) (0, ),if
if x u t→ (0, )t T∈
, 1,...,i N= , ta thu được các dữ liệu phổ. Tiếp tục thực hiện N phép đo như trên với
hệ số truyền nhiệt đối lưu thay đổi, 2 1h h≠ tại 0x = , ta thu được dữ liệu phổ thứ
hai. Khi đó hàm q được khôi phục từ hai phổ.
 Trong [5] bài toán truyền nhiệt mở rộng
( , ) ( , ) ( ) ( , ), 0 , 0,
(0, ) (0, ) 0,
( , ) ( , ) 0,
( ,0) ( ),
t xx
x
x
u x t u x t q x u x t x b t
u t hu t
u b t Hu b t b
u x f x
= − ≤ ≤ ≤ ∞ >
 − =

+ = < ∞
 =
(3)
với tiên nghiệm 1
(0, )locq L b∈ , phổ của toán tử ''L y qy=− + là rời rạc. Sử dụng lý
thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan – Gasymov tác giả khôi phục hàm q từ hai phổ
chỉ với bốn phép đo.

7. v
 Bài báo [13] tiếp tục giải bài toán (3) với tiên nghiệm
1
(0, )q L b∈ , phổ
của toán tử ''L y qy=− + có phần liên tục, đặc biệt không cho phép thay đổi hệ số
truyền nhiệt h. Do đó chúng ta không thể xác định được hai tập giá trị riêng và do
đó không thể xác định q từ hai phổ. Hướng tiếp cận còn lại là tiệm cận nhiệt độ
biên, 0x = , tại vô cực để xác định giá trị riêng và quyết định độ dài của thanh là
hữu hạn hay vô hạn. Hơn nữa khi thanh có độ dài hữu hạn ta có thể tính được độ dài
chỉ với một phép đo. Khi đã tìm được giá trị riêng ta khôi phục hàm phổ. Từ lý
thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan ta khôi phục được hàm q và các giá trị h, H.
Luận văn này nhằm chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo [13], được
trình bày thành hai chương.
Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản, các khái niệm về tích phân
Stieltjes, biến đổi Laplace ngược, toán tử Sturm – Liouville và lý thuyết phổ ngược
Gelfand – Levitan.
Chương 2. Biểu diễn nghiệm tại đầu mút 0x = qua khai triển Sturm –
Liouville. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ngược bằng lý
thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan. Đặc biệt nếu chỉ yêu cầu xác định độ dài của
thanh, bằng cách chọn nhiệt độ đầu thích hợp ta chỉ cần thực hiện một phép đo.

8. 1
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. GIẢI TÍCH HÀM
1.1.1. Không gian Hilbert
Giả sử H là không gian vector, tích vô hướng ( , )u v là dạng song tuyến tính
đối xứng, xác định dương từ H H× vào .
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Hilbert là không gian vectơ H được trang bị một tích
vô hướng ( , )u v và không gian này đầy đủ đối với chuẩn
1
2
( , )u u u= .
Sau đây ta luôn ký hiệu H là không gian Hilbert.
Định lý 1.1.2 (Định lý biểu diễn Riesz – Fréchet). Giả sử H’ là không gian liên
hợp của H. Cho 'Hϕ ∈ tồn tại duy nhất f H∈ sao cho
, ( , ),v f vϕ< > = v H∀ ∈ .
Hơn nữa 'H
f ϕ= .
Qui ước. Ta đồng nhất 'H với H.
1.1.2. Không gian p
L
Giả sử ( , , )M µΩ là không gian độ đo và 1 p≤ < ∞ . Gọi ( )p
L µ là tập hợp
các hàm số phức đo được trên X sao cho
p
u dµ
Ω
< ∞∫
hàm u được gọi là p – khả tích đối với độ đo µ trên Ω . Không gian ( )p
L µ là
không gian định chuẩn với chuẩn
1
p
p
p
X
u u dµ
 
=  
 
∫ .
Định lý 1.1.3. Không gian ( )p
L µ với 1 p≤ < ∞ là một không gian Banach.

9. 2
Định lý 1.1.41
. Giả sử Ω là tập mở trên n
 , ( )p
L Ω là không gian các hàm p – khả
tích Lebesgue. Khi đó có duy nhất chuẩn Lebesgue . p
được thiết lập từ tích vô
hướng
( , ) ( ) ( )p
L
u v u x v x dx
Ω
= ∫
đó là chuẩn 2
. trên 2
L .
Giả sử ( , , )M µΩ là không gian độ đo, ( )L µ∞
là tập hợp các hàm chủ yếu giới
nội trên X. Với mỗi phần tử u thuộc ( )L µ∞
, đặt
esssup ( )
x X
u u x∞
∈
= .
Định lý 1.1.5. Không gian ( )L µ∞
với chuẩn . ∞
là một không gian Banach.
1.1.3. Không gian Sobolev một chiều
1.1.3.1. Không gian Sobolev ,
W ( )1 p
I
Cho ( , )I a b= là khoảng bị chặn hay không bị chặn và p∈ với 1 p≤ ≤ ∞ .
Định nghĩa 1.1.6. Không gian Sobolev 1,
( )p
W I được định nghĩa bởi
1, 1
W ( ) ( ) : ( ) sao cho ' , ( )p p p
c
I I
I u L I g L I u g C Iϕ ϕ ϕ
 
= ∈ ∃ ∈ =− ∀ ∈ 
 
∫ ∫ .
Ta đặt 1 1,2
( ) ( )H I W I= .
Với 1,
( )p
u W I∈ đặt 'u g= gọi là đạo hàm suy rộng của u.
Định nghĩa 1.1.7. Không gian 1,
( )p
W I là không gian định chuẩn với chuẩn
1,
W ( )
'p
I p p
u u u= + .
Không gian 1
H được trang bị tích vô hướng
1 2 2( , ) ( , ) ( ', ')H L L
u v u v u v= +
chuẩn tương ứng
( )1
1
2 2 2
'H p p
u u u= +
tương đương với chuẩn trong 1,
( )p
W I .
1
Xem [6] trang 169

10. 3
Định lý 1.1.8. Không gian 1
H là không gian Hilbert tách được.
Định lý 1.1.9. Cho 1,
( )p
u W I∈ khi đó tồn tại  ( )u C I∈ sao cho
u u h.k.n trên I=
 ( ) ( ) '( ) , ,
y
x
u x u y u t dt x y I− = ∀ ∈∫ .
Chú ý 1.1.10. Nếu 1,
( )p
u W I∈ và ' ( )u C I∈ thì 1
( )u C I∈ .
Định lý 1.1.11. Tồn tại một hằng số C (chỉ phụ thuộc vào I ≤ ∞) sao cho
1,
W ( )p
I
u C u∞
≤ , 1,
W ( )p
u I∀ ∈ ,1 p≤ ≤ ∞ .
Nói cách khác 1,
W ( ) ( )p
I L I∞
⊂ với phép nhúng liên tục.
Hơn nữa nếu I bị chặn thì phép nhúng 1,
W ( ) ( )p
I C I⊂ là compact.
Hệ quả 1.1.12. Giả sử I không bị chặn và 1,
( )p
u W I∈ , 1 p≤ < ∞ , thì
,
lim ( ) 0
u I x
u x
∈ →∞
= .
Hệ quả 1.1.13. Giả sử 1,
, ( )p
u v W I∈ , 1 p≤ ≤ ∞ , thì 1,
( )p
uv W I∈
( )' ' 'uv u v v u= + .
Hơn nữa ta có công thức tích phân từng phần
'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )
b b
a a
u x v x dx u b v b u a v a u x v x dx= − −∫ ∫ , ,a b I∀ ∈ .
1.1.3.2. Không gian Sobolev
,
W ( )m p
I
Định nghĩa 1.1.14. Cho trước số nguyên 2m ≥ và một số thực 1 p≤ ≤ ∞ . Ta nói
,
( )m p
u W I∈ khi và chỉ khi tồn tại m hàm 1,..., ( )p
ng g L I∈ sao cho
( 1)j j
juD gϕ ϕ= −∫ ∫ , ( ), 1,2,...,cC I j mϕ ∞
∀ ∈ ∀ = .
Khi ,
( )m p
u W I∈ ta xác lập các đạo hàm liên tiếp của u như sau 1'u g= , 2( ')'u g= ,
… cho đến cấp m, ký hiệu lần lượt là Du , 2
D u , …, m
D u .
Không gian ,
W ( )m p
I được trang bị chuẩn
,
( )
1
( )m p
m
W I p p
u u D uα
α=
= + ∑ .

11. 4
Đặt ,2
( ) W ( )m m
H I I= , không gian m
H được trang bị tích vô hướng
2 2
1
( , ) ( , ) ( , )m
m
H L L
u v u v D u D vα α
α=
= + ∑ .
Chú ý 1.1.15.
i) ( )cC I∞
trù mật trong
1,
0W ( )p
I .
ii) Nếu
1,
u W ( ) ( )p
cI C I∈ ∩ thì
1,
0u W ( )p
I∈ .
iii) Ký hiệu
1, '
W ( )p
I là không gian đối ngẫu của
1,
0W ( )p
I , 1 p≤ < ∞ và 1
( )H I−
là đối ngẫu của 1
0 ( )H I .
iv) Ta đồng nhất 2
L với đối ngẫu của nó nhưng không đồng nhất 1
0 ( )H I với
1
( )H I−
vì
1 2 1
0H L H −
⊂ ⊂ với các phép nhúng liên tục chứa trong trù mật.
1.2. GIẢI TÍCH THỰC – PHỨC
1.2.1. Tích phân Stieltjes
Giả sử ( )xα và ( )h x là hàm thực xác định trên [ , ]a b , phân hoạch ∆ của
khoảng ( , )a b bởi các điểm chia 0 1, ,..., nx x x trong đó
0 1 ... na x x x b= < < < =
với chuẩn 1ax{x , 0,1,..., 1}i im x i nδ += − = − .
Định nghĩa 1.2.1. Giới hạn
[ ]
1
1
0
0
lim ( ) ( ) ( )
−
+
→
=
−∑
n
i i i
i
h x x
δ
ξ α α
với
1i i ix xξ +≤ ≤ , 0,1,..., 1i n= −
nếu tồn tại độc lập với cách phân hoạch và cách chọn số iξ thì được gọi là tích phân
Stieltjes của ( )h x đối với ( )xα cận từ a đến b và được ký hiệu bởi
( ) ( )∫
b
a
h x d xα . (1.1)
Định nghĩa dễ dàng được mở rộng với ( )xα và ( )h x là các hàm phức.
Định lý 1.2.2 (Điều kiện tồn tại của tích phân Stieltjes)
i) Nếu ( )h x liên tục và ( )xα có biến phân bị chặn trên ( , )a b thì tích phân Stieltjes
của ( )h x đối với ( )xα từ a tới b tồn tại.

12. 5
ii) Nếu ( )h x có biến phân bị chặn và ( )xα liên tục trên ( , )a b thì tích phân Stieltjes
của ( )h x đối với ( )xα từ a tới b tồn tại và
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
h x d x h b b h a a x dh xα α α α= − −∫ ∫ .
Trong đó định lý trên hàm có biến phân bị chặn là những hàm u thỏa tính chất: tồn
tại số C sao cho
1
1
0
( ) ( )
k
i i
i
u t u t C
−
+
=
− ≤∑ với mọi phân hoạch 0 1 ... kt t t< < < của I. Hàm
có biến phân bị chặn đều là hàm có biến phân bị chặn và bị chặn đều.
Định lý 1.2.3. Nếu ( )h x liên tục và ( )f x khả tích trên a x b≤ ≤ và
( ) ( )
x
c
x f x dtα = ∫ , ( , )a c b a x b≤ ≤ ≤ ≤
thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )
x x x
c c c
h x d x h x f x dx h x x dxα α= =∫ ∫ ∫ .
Định lý 1.2.4 (Định lý giá trị trung bình thứ nhất). Nếu h là hàm thực liên tục và
f là hàm khả tích không âm trong a x b≤ ≤ thì tồn tại ( , )a bξ ∈ sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
h x f x dx h f x dxξ=∫ ∫ . (1.2)
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử h(x) liên tục trong a x≤ < ∞ và ( )xα có biến phân bị
chặn trong a x R≤ ≤ , 0>R . Các giới hạn
( ) ( ) lim ( ) ( )
∞
→∞
=∫ ∫
R
R
a a
h x d x f x d xα α ; ( ) ( ) lim ( ) ( )
→∞
−∞ −
=∫ ∫
a a
R
R
h x d x f x d xα α ,
và
( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )
a N
M N
M a
h x d x h x d x h x d xα α α
∞
→∞ →∞
−∞ −
= +∫ ∫ ∫
nếu tồn tại, tích phân gọi là hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ. Đặc biệt nếu ( )xα là
hàm bước, tích phân suy rộng trở thành chuỗi lũy thừa
0
( ) ( ) ( )k k
ka
h x d x h xα α
∞ ∞
=
= ∑∫ . (1.3)
Định lý 1.2.6 (Helly – Bray). Giả sử 0{ ( )}n xα ∞
là dãy hàm có biến phân bị chặn
đều, hội tụ điểm trên a x b≤ ≤ , lim ( ) ( )n
n
x xα α
→∞
= , hàm f liên tục trên a x b≤ ≤ thì

13. 6
lim ( ) ( ) ( ) ( )
b b
n
n
a a
f x d x f x d xα α
→∞
=∫ ∫ . (1.4)
Chứng minh
Từ giả thuyết suy ra ( )xα cũng là hàm có biến phân bị chặn. Hơn nữa ( )n xα bị
chặn đều nên tồn tại số T không nhỏ hơn bất kỳ ( )n xα và ( )xα , với a x b≤ ≤ .
Chọn phân hoạch
0 1 ... ma x x x b= < < < = .
sao cho với 0ε > bé tùy ý
( ) ( ) ,if x f x ε− < 1( , )i ix x x +∀ ∈ .
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
b b
n n
a a
H f x d x f x d xα α= −∫ ∫
1 11 1
0 0
[ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( )
i i
i i
x xm m
i n i
i ix x
f x f x d x f x f x d xα α
+ +− −
= =
= − − −∑ ∑∫ ∫
11
0
( ) [ ( ) ( )]
i
i
xm
i n
i x
f x d x xα α
+−
=
+ −∑ ∫ .
Do đó
11
0
ax ( ) [ ( ) ( )]
i
i
xm
n n
a x b
i x
H T T m f x d x xε ε α α
+−
≤ ≤
=
≤ + + −∑ ∫ .
Cho n tiến ra vô cùng ta được
lim 2 .n
x
H Tε
→∞
≤
Suy ra điều phải chứng minh. 
Định lý Helly – Bray không đúng cho khoảng vô hạn.
1.2.2. Phổ của toán tử tự liên hợp
Định nghĩa 1.2.7. Giả sử G là không gian con đóng của không gian Hilbert H. Toán
tử P xác định với mỗi f H∈ tương ứng với một phần tử chiếu g trên G gọi là toán
tử chiếu hoặc phép chiếu trên G và được kí hiệu là PG.
Các tính chất cơ bản của toán tử chiếu.
a) Toán tử chiếu là toán tử tuyến tính bị chặn và có chuẩn bằng một.
b) Điều kiện cần và đủ để toán tử P là toán tử chiếu là 2
P P= và *
P P= .

14. 7
c) Tích của hai toán tử chiếu 1GP , 2GP là toán tử chiếu khi và chỉ khi chúng giao
hoán 1 2 2 1G G G GP P P P= . Khi đó 1 2G G GP P P= trong đó 1 2G G G= ∩ .
d) Hiệu của hai toán tử chiếu, 1 2G GP P− là toán tử chiếu khi và chỉ khi 2 1G G⊂ .
Khi đó 1 2 1 2G G G GP P P− = .
e) Nếu {P }k , k=1,2,3,... là dãy vô hạn các toán tử chiếu và 1k kG GP P +
≤ ,
k=1,2,3,... thì khi k → ∞ toán tử chiếu kP hội tụ mạnh tới toán tử chiếu P.
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử P là toán tử tuyến tính đóng xác định trên tập con trù mật
DP của H. Số λ gọi là giá trị chính qui của toán tử P nếu toán tử ngược 1
( )P Iλ −
−
tồn tại và bị chặn. Các số phức λ còn lại gọi là phổ của P.
Định lý 1.2.9. Phổ của toán tử tự liên hợp nằm trên đường thẳng thực.
Định nghĩa 1.2.10. Một giải của đồng nhất là một họ các toán tử Eλ , với tham số
thực λ hữu hạn hay vô hạn, thỏa các điều kiện
a) Eλ là một toán tử chiếu với mỗi giá trị λ .
b) E Eλ µ≤ với λ µ< ( E Eµ λ− là toán tử không âm).
c) 0E−∞ = , E I+∞ = , với mỗi x H∈ ta có lim 0E xλ
λ→−∞
= , lim 0E x xλ
λ→+∞
− =.
d) Với mỗi x, hàm vectơ E xλ liên tục phải,
0
lim 0E x E xλ ε λ
ε
+
→+
− =
Kí hiệu ∆ là các khoảng ( , )α β , [ , )α β , ( , ]α β và [ , ]α β thì E∆ kí hiệu lần lượt
cho các hàm 0 0 0E E E Eβ α β α− + −− = − ; 0 0E Eβ α− −− ;
0 0E E E Eβ α β α+ +− = − ; 0 0 0E E E Eβ α β α+ − −− = − .
Từ tính chất b) ta có E∆ là toán tử chiếu hơn nữa nếu các khoảng 1 2, ,..., n∆ ∆ ∆ rời
nhau thì 0i j
E E∆ ∆ = với i j≠ .
Giả sử hàm f liên tục trên khoảng [ , ]a b , xác định tích phân Stieltjes của hàm f
đối với Eλ
( )
b
a
f dEλλ∫ (1.4’)
Nếu hàm f liên tục tại các điểm hữu hạn và thêm vào các điều kiện tồn tại của tích
phân Stieltjes ta có thể mở rộng định nghĩa tích phân
( )f dEλλ
∞
−∞
∫
như là giới hạn của tích phân (1.4’) khi ,a → −∞ b → ∞ .

15. 8
Định lý 1.2.11.2
Với mỗi toán tử tự liên hợp L tồn tại duy nhất giải của đồng nhất,
Eλ , có tính chất
a) Một vectơ Lx D∈ nếu và chỉ nếu
2
( , )d E x xλλ
+∞
−∞
< ∞∫ .
b) Khi điều kiện a) thỏa thì
( )L x dE xλλ
+∞
−∞
= ∫ ,
2 2
( ) ( , )L x d E x xλλ
+∞
−∞
= ∫
Ngược lại, mỗi toán tử định nghĩa bởi những giải của đồng nhất Eλ là toán tử tự
liên hợp.
Định lý 1.2.12. 3
a) Số thực λ là điểm chính qui của toán tử L nếu và chỉ nếu λ là điểm hằng
của Eλ , nghĩa là tồn tại 0ε > sao cho 0E Eλ ε λ ε+ −− =.
b) Số thực λ là giá trị riêng của toán tử L nếu và chỉ nếu λ là điểm nhảy của
Eλ , nghĩa là 0 0E Eλ λ+ − ≠ .
c) Số thực λ là phổ liên tục của toán tử L nếu và chỉ nếu λ là điểm liên tục của
Eλ , nghĩa là 0 0E Eλ λ+ − =.
Từ giải thức của đồng nhất, Eλ , ta xác định được phổ của toán tử L, vì lẽ đó ta
thường gọi Eλ là hàm phổ.
1.2.3. Biến đổi Laplace ngược
Định nghĩa 1.2.13. Cho ( )tα là hàm phức biến số thực t xác định trên khoảng
0 t≤ ≤ ∞. Giả sử ( )tα có biến phân bị chặn trên khoảng 0 t R≤ ≤ với mỗi R
dương, với mỗi s giới hạn
0 0
( ) lim ( )
R
st st
R
e d t e d tα α
∞
− −
→∞
=∫ ∫ (1.5)
nếu tồn tại tích phân gọi là hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ. Nếu ( )tα có biến phân
bị chặn trên khoảng t Rε ≤ ≤ với ε bé tùy ý và mỗi R dương, ta sử dụng ký hiệu
0
0
( ) lim ( )
R
st st
R
e d t e d t
ε
ε
α α
∞
− −
→
+ →∞
=∫ ∫ .
Khi tích phân (1.5) hội tụ xác định một hàm theo biến s, ký hiệu là ( )g s , gọi là
biến đổi Laplace – Stieltjes của ( )tα .
2
Xem [3] Vol.2 trang 36 – 38.
3
Xem [3] Vol.2 trang 46.

16. 9
Định nghĩa 1.2.14. Giả sử
0
( ) ( )
t
t f u duα = ∫ và tích phân (1.5) hội tụ thì
0
( ) ( )st
g s e f t dt
∞
−
= ∫ . (1.6)
Gọi ( )g s là biến đổi Laplace của ( )f t , hàm ( )f t là hàm gốc và ( )g s là hàm ảnh
của phép biến đổi Laplace. Ký hiệu ( ) ( )f t g s•
• = .
Định lý 1.2.15. Nếu tồn tại số thực γ sao cho
( ) ( ),t
t o e= γ
α t → ∞
thì tích phân
0
( )st
e d tα
∞
−
∫
hội tụ tại s i= σ + τ với σ γ> .
Chứng minh
Từ giả thiết suy ra tồn tại hằng số M sao cho
( ) t
t Meγ
α ≤ , 0 t≤ < ∞
vì vậy ta có thể giả sử ( )xα bị chặn trong mỗi khoảng hữu hạn. Do đó
( )
0 0
( )st t M
e t dt M e dtσ γ
α
σ γ
∞ ∞
− − −
≤ =
−∫ ∫ , >σ γ
nên tích phân ở vế trái của bất đẳng thức hội tụ tuyệt đối với σ γ> . Hơn nữa
0 0
( ) ( ) (0) ( )
R R
st sR st
e d t R e s e t dtα α α α− − −
= − +∫ ∫
và
( ) (1)st
t e o−
=α , ,t → ∞ >σ γ .
Thật ra đây là điều kiện cần cho tích phân (1.5) hội tụ. Nên
0 0
( ) ( ) (0)
R
st st
e d t s e t dtα α α
∞
− −
= −∫ ∫ , >σ γ .
Định lý 1.2.16. Nếu tích phân
0
( )st
e d tα
∞
−
∫
hội tụ tại 0s iγ δ= + với 0γ > thì

17. 10
( ) ( )t
t o e= γ
α , t → ∞
Hệ quả 1.2.17. Nếu tích phân (1.5) hội tụ tại 0 0 0s iσ τ= + thì nó hội tụ với mọi
s iσ τ= + sao cho 0σ σ> , hơn nữa lim ( )g s 0
σ →∞
= .
Định lý 1.2.18. Nếu tích phân
0
( ) ( )st
g s e d tα
∞
−
= ∫
hội tụ tại 0 0 0s iσ τ= + với 0 0σ > thì
0
( ) ( ) (0)st
g s s e t dtα α
∞
−
= −∫
hội tụ tuyệt đối tại mọi s có 0Res σ> .
Hệ quả 1.2.19. Giả sử ( )tα là hàm có biến phân bị chặn trên mỗi khoảng
t Rε ≤ ≤ với ε bé tùy ý và mỗi R dương. Nếu tích phân
0
( ) ( )st
g s e d tα
∞
−
+
= ∫
hội tụ tại 0 0 0s iσ τ= + với 0 0σ > thì
0
lim ( ) (0 )st
s e t dt
σ
α α
∞
−
→∞
= +∫ . (1.7)
Định lý 1.2.20. Cho f là hàm thực bất kỳ xác định trên khoảng (0, )∞ . Nếu
0
( ) ( )st
g s e f t dt
∞
−
= ∫
là hàm ảnh của biến đổi Laplace thì ( )g s giảm tới 0 chậm hơn bất kỳ hàm mũ nào.
Chứng minh
Với s thực từ (1.7) ta có
lim . ( ) (0 )
s
s g s f
→∞
= + .
Giả sử f không đổi dấu trên (0, )a . Không mất tính tổng quát, giả sử ( ) 0f x > trên
(0, )a . Đặt 0 aε< < , khi đó
1 2
0
( ) ( ) ( ) : ( ) ( )st st
g s e f t dt e f t dt g s g s
ε
ε
∞
− −
= + =+∫ ∫ .
Áp dụng định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ nhất ta được

18. 11
1
0 0
( ) ( ) ( ) 0,ost s
g s e f t dt e f t dt
ε ε
ε− −
= ≥ >∫ ∫ 00 t ε< < .
Do đó
1lim ( ) 0s
s
e g sε
→∞
> .
Tương tự cho tích phân thứ hai ta có
2( ) ( )s
f t e g sε
ε+ =

từ (1.7) suy ra
2lim ( ) ( )s
s
se g s fε
ε
→∞
= + .
Nên
lim ( ) 0s
s
e g sε
→∞
> .
Ngược lại nếu ( ) 0f x < trên (0, )a thì
lim ( ) 0s
s
e g sε
→∞
< .
Do đó nếu f không đổi dấu trên (0, )a thì
as (a- )s s
lim ( ) lim ( )
s s
e g s e e g sε ε
→∞ →∞
= = ∞.
Từ hệ quả 1.2.17 suy ra
lim ( ) 0
s
g s
→∞
= .
Từ hai kết quả trên suy ra tồn tại 0 0 ( ) 0s s a= > sao cho
as
1 ( )g s e−
> > với 0s s> .
Do đó
ln ( ) ln ( )
lim lim 0
xx
g s g s
a
s s→∞→∞
− ≤ ≤ ≤ .
Vì a có thể chọn nhỏ tùy ý suy ra
ln ( )
lim 0
s
g s
s→∞
= . (1.8)
Chứng minh hoàn tất.
Định lý 1.2.21. Giả sử (0, )f L∞
∈ ∞ , nếu f có một bước nhảy không liên tục tại t thì
1
1 1
1
( 1)
lim ( ) (1 ) ( 0) ( 0)
( 1)!
j
njt
n
j
n e g nj e f t e f t
j
−∞
− −
→∞
=
−
= − + + −
−
∑
trong đó g được định nghĩa trong (1.6). Đặt biệt, nếu f liên tục tại t thì
1
1
( 1)
lim ( ) ( )
( 1)!
j
njt
n
j
n e g nj f t
j
−∞
→∞
=
−
=
−
∑ . (1.9)

19. 12
Nói cách khác f hoàn toàn được xác định bởi 1{ ( )}ng n ≥ .
Chứng minh
Đặt
1
1
( 1)
( ) ( )
( 1)!1
nt
j
njt
n e
j
n
f t e g nj
je
−∞
−
=
−
=
−−
∑ .
Chuỗi ( )nf t hội tụ tuyệt đối với mọi t. Thật vậy
1 1 0
1 1
( ) ( )
( 1)! ( 1)!
njt njt njx
j j
e g nj e e f x dx
j j
∞∞ ∞
−
= =
≤
− −
∑ ∑ ∫
( ) ( 1)( )
10
1
( 1)!
n t x n j t x
j
f e e dx
j
∞ ∞
− − −
∞
=
≤
−
∑∫
( )( )
( )
0
1
1
n t x nt
n t x e e
f e e dx e f
n
−
∞
−
∞ ∞
= = − < ∞∫ .
Vì
1
( ) ( ) ( )
1 0
( 1) 1
( )
( 1)! !
nt
jM
nj t x n t x njt n t x e
j j
e f x dx f e e f e e
j j
− ∞
− − −
∞ ∞
=
−
≤ =
−
∑ ∑
và xn
f e−
∞
nằm trong (0, )L ∞ , áp dụng định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue
1
( )
1 0
( 1)
( ) ( )
( 1)!1
nt
j
nj t x
n e
j
n
f t e f x dx
je
∞ −∞
−
−
=
−
=
−−
∑∫
1
( )
10
( 1)
( )
( 1)!1
nt
j
nj t x
e
j
n
e f x dx
je
∞ −∞
−
−
=
−
=
−−
∑∫
1
( ) ( 1)( )
10
( 1)
( )
( 1)!1
nt
j
n t x n j t x
e
j
n
e f x e dx
je
∞ −∞
− − −
−
=
−
=
−−
∑∫
( )
( )
0 0
( ) ( , ) ( )
1
n t x
nt
n t x e
ne
n
e e f x dx K t x f x dx
e
−
∞ ∞
− −
−
= =
−
∫ ∫
trong đó
( )
( )
( , )
1
n t x
nt
n t x e
n e
n
K t x e e
e
−
− −
−
=
−
.
Rõ ràng, ( , ) 0nK t x > , đặt ( )n t x
z e −
= ta được
( ) ( ) ( )
( )
1
( , )
1 1
n t a n t b n t a
nt nt
n t b
b e e e
z
n e e
a e
e e
K t x dx e dz
e e
− − −
−
− −
−
− −
−
= =
− −
∫ ∫ . (1.10)

20. 13
Giả sử f có một bước nhảy không liên tục tại t. Khi đó với bất kỳ 0ε > tồn tại
(0, )tδ ∈ sao cho ( ) ( 0)f x f t ε− + < với ( , )x t t δ∈ + và ( ) ( 0)f x f t ε− − < với
( , )x t tδ∈ − . Đặt
1 1
1
( ) ( 0) ( 0) ( )
1 1
nt
nt nt
e
n ne e
e e e
J t f t f t f t
e e
− − −
− −
− −
= + + − −
− −
.
Áp dụng công thức (1.10) ta có
1
1
( , )
1
ntn e
t
e
K t x dx
e
∞ −
−
−
=
−
∫ ,
1
0
( , )
1
nt
nt
t e
n e
e e
K t x dx
e
− −
−
−
=
−
∫ .
Cho nên
[ ] [ ]
0
( ) ( , ) ( 0) ( ) ( , ) ( 0) ( )
t
n n n
t
J t K t x f t f x dx K t x f t f x dx
∞
= − − + + −∫ ∫
0
( , )[ ( 0) ( )]
t t
n
t
K t x f t f x dx
δ
δ
−
−
 
= + − − + 
 
∫ ∫
( , )[ ( 0) ( )]
t
n
t t
K t x f t f x dx
δ
δ
+ ∞
+
 
+ + − 
 
∫ ∫
1 2 3 4( ) ( )I I I I= + + + .
Đánh giá 1I và 4I . Ta có
1
0
( , ) ( 0) ( )
t
nI K t x f t f x dx
δ−
≤ − −∫
0
2 ( , ) 2
1
n nt
nt
t e e
n e
e e
f K t x dx f
e
δδ− − −
∞ ∞ −
−
≤ =
−
∫
và
4 ( , ) ( 0) ( )n
t
I K t x f t f x dx
δ
∞
+
≤ + −∫
1
2 ( , ) 2
1
n
nt
e
n e
t
e
f K t x dx f
e
δ
δ
−∞ −
∞ ∞ −
+
−
≤ =
−
∫ ,
ở đây ta áp dụng (1.10) cho các đẳng thức sau cùng trong mỗi đánh giá. Tiếp theo ta
đánh giá 2I và 3I , ta có

21. 14
1
2 ( , ) ( 0) ( ) ( , )
1
nt
nt
t t e
n n e
t t
e e
I K t x f t f x dx K t x dx
eδ δ
ε ε
− −
−
− −
−
≤ − − ≤ =
−
∫ ∫
và
1
3 ( , ) ( 0) ( ) ( , )
1
n
nt
t t e
n n e
t t
e e
I K t x f t f x dx K t x dx
e
δδ δ
ε ε
−+ + − −
−
−
≤ + − ≤ =
−
∫ ∫ .
Do đó, với mỗi t cố định, 1I và 4I tiến tới 0 trong khi 2I và 3I trở nên nhỏ hơn ε
khi n → ∞ và vì ε bé tùy ý nên kéo theo
lim ( ) 0n
n
J t
→∞
= .
Hơn nữa lim 0
nt
e
n
e−
→∞
= , suy ra điều phải chứng minh.
1.3. TOÁN TỬ STURM – LIOUVILLE
1.3.1. Toán tử Sturm – Liouville chính qui
Bài toán biên
2
2
( )
d y
q x y y
dx
λ− + =, (1.11)
( ) os '( )sin 0y a c y aα α+ =, (1.12)
( ) os '( )sin 0y b c y bβ β+ =. (1.13)
trong đó ( )q x liên tục trên ( , )a b có giới hạn hữu hạn khi x a→ và x b→ , hằng số
,α β cho trước, được gọi là bài toán Sturm – Liouville chính qui trên [a, b].
Một giá trị λ làm cho bài toán (1.11) – (1.12), (1.13) có nghiệm không tầm
thường gọi là một giá trị riêng, nghiệm không tầm thường ứng với giá trị riêng gọi
là hàm riêng.
Định lý 1.3.1. Giả sử ( )q x liên tục trên [ , ]a b và α là số phức bất kỳ thì phương
trình (1.11) có nghiệm duy nhất ( , )xϕ λ ,a x b≤ ≤ , thỏa
( , ) sinaϕ λ α= , ' ( , ) cosx aϕ λ α= −
với mỗi x cố định thuộc [a, b] hàm ( , )xϕ λ là hàm nguyên theo biến λ .
Hệ quả 1.3.2
i) Giả sử 2
sλ = thì
sin ( ) 1
( , ) cos{ ( )}sin cos sin{ ( )} ( ) ( )
x
a
s x a
x s x a s x a q y y dy
s s
ϕ λ α α ϕ
−
= − − + −∫ . (1.14)

22. 15
ii) Nếu s itσ= + , 0s s> , sin 0α ≠ 4
( )( )
( , )
t b a
x o eφ λ −
= ,
( )1 ( )
( , ) cos{ ( )}sin
t b a
x s x a o s eφ λ α
− −
= − + ,
( )( )
'( , ) sin{ ( )}sin
t b a
x s x a o eφ λ α −
=− − + .
Giả sử W ( , )x φ ψ hoặc W( , )φ ψ ký hiệu Wronskian
W( , ) ( ) '( ) '( ) ( )x x x xφ ψ φ ψ φ ψ= −
của hai hàm φ và ψ . Bây giờ giả sử ( , )xφ λ , ( , )xχ λ là nghiệm của (1.11) sao cho
( , ) sina xφ α= , '( , ) cosa xφ α= −
( , ) sinb xχ β= , '( , ) cosb xχ β= −
Khi đó
W( , ) ( ) ''( ) ( ) ''( )
d
x x x x
dx
φ χ φ χ χ φ= −
={ ( ) } ( ) ( ) { ( ) } ( ) ( )
0.
q x x x q x x xλ φ χ λ χ φ− − −
=
Do đó W( , )φ ψ độc lập theo biến x, vì vậy là hàm theo biến λ , kí hiệu là ( )ω λ .
Khi đó với sin 0α ≠ và sin 0β ≠ ta có công thức tiệm cận
( )( )
( ) sin{ ( )}sin sin t b a
s s b a o eω λ α β −
= − + . (1.16)
Giả sử ( , )xφ λ và ( , ')xφ λ là nghiệm của (1.11) thỏa (1.15). Nếu λ là không
điểm của ( )ω λ , thì
( , ) ( , )x k xχ λ φ λ=
trong đó k là hằng số, hữu hạn khác 0. Từ (1.15) suy ra
sin
( , )b
k
β
φ λ = ,
cos
'( , )b
k
β
φ λ = − .
Do đó ( , )xφ λ là nghiệm của (1.11) thỏa điều kiện đầu (1.12), (1.13). Ta có kết quả
tương tự cho ( , ')xφ λ . Do đó với toán tử
2
2
( )
d
L q x
dx
=− + ,
( , ) ( , ') ( , ') ( , )
b b
a a
x L x dx x L x dxφ λ φ λ φ λ φ λ=∫ ∫ .
Suy ra
4
Trường hợp sin 0α = xem [11] trang 10.
(1.15)

23. 16
( ') ( , ) ( , ') 0
b
a
x x dxλ λ φ λ φ λ− =∫ .
Nếu 'λ λ≠ thì
( , ) ( , ') 0
b
a
x x dxφ λ φ λ =∫ .
Từ đây ta kiểm tra5
được tất cả các không điểm của ( )ω λ là các không điểm đơn và
là số thực. Khi đó ( , )nxφ λ là hàm riêng và 0 1, ,...λ λ là các giá trị riêng của bài toán
(1.11) – (1.12), (1.13). Hơn nữa các hàm riêng tương ứng với các giá trị riêng phân
biệt là trực giao.
Định lý 1.3.3 (Rouché). Cho hàm phức f và g giải tích trên và trong đường cong
kín C đơn liên và không tự cắt, với g f< trên C. Thì f và f + g có số không điểm
bằng nhau trong C, ở đây số không điểm được đếm theo số bội của nó.
Gọi Cn là đường viền đóng trong λ – phẳng có phương trình 2
sλ = , ta có nC
đối xứng qua trục thực. Giả sử nửa trên của đường viền nC tương ứng với s itσ= +
thuộc góc phần tư thứ nhất tạo bởi các đường
1
2
n
b a
π
σ
 
+ 
 =
−
nếu
1
2
0
n
t
b a
π
 
+ 
 ≤ ≤
−
,
1
2
n
t
b a
π
 
+ 
 =
−
nếu
1
2
0
n
b a
π
σ
 
+ 
 ≤ ≤
−
.
Đặt
{ }( ) sin ( ) sin sinf x b aλ λ α β= −
và
( )
( ) ( )t b a
g x o e −
= .
Khi đó ( ) ( )g fλ λ< trên Cn nếu n đủ lớn. Do đó ( )ω λ và sin{ ( )}b aλ λ − có
số không điểm giống nhau trong Cn. Các không điểm của { }sin ( )b aλ λ − là
2 2 2
2 2
0; ;...; ;...
( ) ( )
n
b a b a
π π
λ =
− −
. Suy ra nếu 0 1, ,...λ λ và 2
n nsλ = là không điểm của
( )ω λ thì
5
Xem [11] trang 12

24. 17
1 1
2 ( ) 2 ( )
nn s n
b a b a
π π   
− < < +   
− −   
với n đủ lớn. Đặt n n
n
s
b a
π
δ= +
−
thay vào (1.14) ta được
1
n o
n
 
=  
 
δ . Suy ra
1
n
n
s o
b a n
 
= +  
−  
π
. (1.17)
Tiếp sau đây ta tìm hiểu vài tính chất của không điểm hàm riêng nhằm hiểu rõ
hơn về phổ ở phần sau.
Định lý 1.3.4 (Định lý so sánh). Giả sử ( )u x là nghiệm của phương trình
'' ( ) 0u g x u+ =thỏa điều kiện đầu
( ) sinu a = α , '( ) osu a c= − α
và ( )v x là nghiệm của phương trình '' ( ) 0v h x v+ =cùng thỏa điều kiện đầu. Trong
đó ( ) ( )g x h x< trên [a,b]. Nếu ( )u x có m không điểm trong khoảng a x b< ≤ thì
( )xν có không ít hơn m không điểm trong cùng khoảng và không điểm thứ k của
( )xν nhỏ hơn không điểm thứ k của ( )u x .
Giả sử ( , )xϕ λ là nghiệm của (1.11) – (1.12), (1.13). Các không điểm của
phương trình
( , ) 0x =ϕ λ , a x b≤ ≤
là hàm liên tục theo biến λ .
Bổ đề 1.3.5. Nếu 0x 0( )a x b< < là không điểm của hàm 0( , )xϕ λ , với 0ε > đủ nhỏ
thì tồn tại 0δ > sao cho với 0λ λ δ− < , hàm ( , )xϕ λ có chính xác một không
điểm trong khoảng 0x x ε− < .
Nhận xét. Các không điểm của ( , )xϕ λ di chuyển đều về bên trái khi λ tăng.
Định lý 1.3.6 (Định lý dao động). Các giá trị riêng của bài toán (1.11) – (1.12),
(1.13) lập thành một dãy ( )nλ đếm được, tăng, thỏa
...0 1 2λ λ λ< < <
và
lim n
n
λ
→∞
= ∞.
Hàm riêng tương ứng với giá trị riêng nλ có chính xác m không điểm trong khoảng
a x b< < .

25. 18
Dãy các hàm riêng tương ứng lập thành hệ trực giao đầy đủ trong không gian
các hàm bình phương khả tích trên ( , )a b .
Định lý 1.3.7 (Định lý khai triển). Nếu ( )f x có đạo hàm cấp hai liên tục và thỏa
điều kiện biên (1.12) , (1.13) khi đó ( )f x có thể khai triển thành chuỗi Fourier hội
tục tuyệt đối đều với các hàm riêng của bài toán biên đầu (1.11) – (1.12) , (1.13)
0
( ) ( )n n
n
f x a xν
∞
=
= ∑
trong đó
( ) ( ) ,
b
n n
a
a f x x dxν= ∫ 1,2,...n = ,
1
( ) ( , ),n n
n
x xν φ λ
α
= 1,2,...n = ,
2 2
( , ) ,
b
n n
a
x dxα φ λ= ∫ 1,2,...n = .
Định lý 1.3.8 (Đẳng thức Parseval). Mỗi hàm ( )f x bình phương khả tích trên
[ , ]a b ta có đẳng thức Parseval
2 2
00
( )
b
n
n
f x dx a
∞
=
= ∑∫ .
1.3.2. Toán tử Sturm – Liouville suy biến
Bài toán biên
2
2
( )
d y
q x y y
dx
λ− + =, 0 x≤ < ∞ (1.18)
với ( )q x là hàm liên tục. Gọi u ivλ= + , giả sử ( ) ( , )x xϕ ϕ λ= và ( ) ( , )x xφ φ λ= là
nghiệm của phương trình (1.11) thỏa điều kiện đầu (với α là số thực)
(0) sin , '(0) cos ,
(0) cos , (0) sin .
ϕ α ϕ α
θ α θ α
= = −
= = −
(1.19)
Ta có
2 2
0{ , } sin cos 1W ϕ θ α α= + = .
Nên nghiệm tổng quát của phương trình (1.18) có dạng ( ) ( )x l xφ ϕ+ . Giả sử nghiệm
này thỏa tại b điều kiện
{ } { }( ) ( ) cos '( ) '( ) sin 0b l b b l bθ ϕ β θ ϕ β+ + + =, (1.20)

26. 19
với b thực. Ta định nghĩa l từ điều kiện trên như sau
( )cot '( )
( )cot '( )
b b
l
b b
θ β θ
ϕ β ϕ
+
= −
+
. (1.21)
Đặt cotz β= thì
( ) '( )
( , )
( ) '( )
b z b
l l z
b z b
θ θ
λ
ϕ ϕ
+
= = −
+
. (1.22)
Cố định b và cho z thay đổi từ −∞ tới +∞ thì l biểu diễn một đường tròn Cb trong
mặt phẳng phức. Với 0 'b b< < ta có 'b bC C⊃ . Nên khi b → ∞ đường tròn bC hội
tụ tới một đường tròn giới hạn hoặc điểm giới hạn. Đặt ( )m m λ= là điểm giới hạn
hoặc điểm tùy ý trên đường tròn giới hạn.
Định lý 1.3.9. Nếu 2
( )q x kx≥ − , trong đó k là hằng số dương, thì ( )m m λ= là
điểm giới hạn.
Định lý 1.3.10. Với mỗi giá trị λ không thực, phương trình (1.18) có một nghiệm
( , ) ( , ) ( ) ( , )x x m xψ λ θ λ λ ϕ λ= +
thuộc 2
(0, )L ∞ .
Với β cố định ( )l l λ= là hàm giải tích theo biến λ , thực ra là hàm phân hình,
chính qui có cực điểm nằm trên trục thực. Hơn nữa cực điểm này là không điểm của
(b, )cos '(b, )sin+ϕ λ β ϕ λ β .
Ở đây xét ( )m λ là hàm giải tích chỉ có cực điểm đơn 0 1 2, , ,...λ λ λ trên trục thực
với residue 0 1 2, , ,...r r r
Định lý 1.3.11. Với mỗi giá trị không thực λ , tồn tại dãy kb sao cho
( , ) ( , )k
k
b x xψ λ ψ λ→∞
→ ,
và
2 2
0 0
( , ) ( , )k
b b
k
b x dx x dxψ λ ψ λ→∞
→∫ ∫ .
Giả sử nλ là giá trị riêng và n ivλ λ= + , 0→ν . Ta thấy ( , )nxϕ λ thuộc 2
(0, )L ∞ và
0
1
( , ) ( , )n
n
x x dxψ λ ϕ λ
λ λ
∞
=
−∫ . (1.23)
Nếu λ tiến tới mλ không là giá trị riêng, nhân (1.23) với
m
iv
r
, cho 0v →
0
( , ) ( , ) 0m nx x dxϕ λ ϕ λ
∞
=∫ .

27. 20
Nếu λ tiến tới nλ thì
{ }
2
0
1
( , )n
n
x dx
r
ϕ λ
∞
=∫ .
Do đó họ hàm
1
2
( ) ( , )n n nx r xψ ϕ λ= .
là một hệ trực chuẩn.
Định lý 1.3.126
. i) Giải sử ( )f x là tích phân của hàm liên tục tuyệt đối và
( ) ( ) ( ) ''( )f x q x f x f x= −
thuộc 2
(0, )L ∞ ,
(0)cos '(0)sin 0f f+ =α α
và
limW{ ( , ), ( )} 0
x
x f xψ λ
→∞
=
với mỗi λ không thực. Khi đó
0
( ) ( )n n
n
f x c xψ
∞
=
= ∑ , 0 x≤ < ∞
chuỗi hội tụ tuyệt đối đều trong mỗi khoảng hữu hạn.
ii) Giả sử ( )f x thuộc 2
(0, )L ∞ , khi đó
2 2
00
( )
b
n
n
f x dx c
∞
=
= ∑∫ ,
với nc là hệ số Fourier của hàm ( )f x đối với hệ trực chuẩn các hàm riêng.
1.3.3. Đẳng thức Parseval trên nửa đường thẳng
Xét phương trình (1.18) với 0 x≤ < ∞ thỏa điều kiện biên (1.12). Giả sử
( , )xαϕ λ là nghiệm của phương trình (1.18) thỏa điều kiện đầu
(0, ) sinαϕ λ α= , ' (0, ) cosαϕ λ α= − (1.24)
thì rõ ràng ( , )xαϕ λ thỏa điều kiện biên (1.12).
Ký hiệu ,n bλ và , ,( ) ( , )n b n bx xαϕ ϕ λ= lần lượt là giá trị riêng và hàm riêng của bài
toán (1.11) – (1.24), (1.13). Nếu 2
( ) (0, )f x L b∈ và
2 2
, ,
0
( , )
b
n b n bx dxαα ϕ λ= ∫
6
Xem [11] Theorem 2.7 trang 31.

28. 21
thì đẳng thức Parseval
2
2
,2
0 ,0 0
1
( ) ( , ) ( )
b b
n b
n n b
f x dx x f x dxαϕ λ
α
∞
=
 
=  
 
∑∫ ∫ . (1.25)
Định nghĩa hàm bước không giảm ( )b tρ như sau
,
2
0 ,
1
( )
n b
b
n bλ λ
ρ λ
α< ≤
= − ∑ , ( 0)λ ≤
,
2
0 ,
1
( )
n b
b
n bλ λ
ρ λ
α< ≤
= ∑ , ( 0)λ >
tại những điểm không liên tục
{ }, , ,
1
( ) ( 0) ( 0)
2
b n b b n b b n br r rρ ρ ρ= − + + .
Khi đó (1.25) được viết lại dưới dạng
2 2
0
( ) ( ) ( )
b
b bf x dx F dλ ρ λ
∞
−∞
=∫ ∫ (1.26)
trong đó
0
( ) ( ) ( , )
b
bF f x x dxαλ ϕ λ= ∫ .
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng phương trình Parseval của bài toán (1.11) – (1.12),
(1.13) trên [0, )∞ có thể được thiết lập từ (1.26) bằng cách cho b → ∞ . Hơn nữa
khai triển Fourier của hàm ( )f x với cơ sở trực chuẩn ,{ }n b nψ có thể biểu diễn dưới
dạng
,2
0 ,
1
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )b n n b b b
n n b
f x F x F x dα αλ ϕ λ λ ϕ λ ρ λ
α
∞∞
= −∞
= =∑ ∫ .
Bổ đề 1.3.13. Hàm ( )bρ λ bị chặn trên mọi khoảng hữu hạn, độc lập với b. Nói
cách khác với N nguyên dương bất kỳ thì tồn tại hằng số dương ( )A A N= , không
phụ thuộc vào b, sao cho
,
2
,
1
( ) ( )
n bN N n b
N N A
λ
ρ ρ
α− < ≤
= − − <∑ .
Từ định lý trên và lý thuyết chọn của Helly, nếu 0 uλ≤ ≤ , là khoảng hữu hạn
bất kỳ, tồn tại hàm bị chặn không giảm ( )ρ λ sao cho ( ) ( )bρ λ ρ λ→ với 0 uλ≤ ≤
khi b → ∞ . Hàm ( )ρ λ có thể được mở rộng trên toàn khoảng 0 λ≤ < ∞ bằng
phương pháp đường chéo.

29. 22
Bổ đề 1.3.14. Giả sử ( )nf x triệt tiêu bên ngoài khoảng 0 x n≤ ≤ , n b< và có đạo
hàm cấp hai liên tục và thỏa điều kiện biên (1.12) . Ta có
2 2
0
( ) ( ) ( )n nf x dx F dλ ρ λ
∞ ∞
−∞
=∫ ∫
với
0
( ) ( ) ( , )n nF f x x dxαλ ϕ λ
∞
= ∫ .
Chứng minh
Áp dụng (1.26) ta có
2 2 2
,
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
n b
n n n b bf x dx f x dx F dλ ρ λ
∞
−∞
= =∫ ∫ ∫ (1.27)
với
,
0 0
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
b n
n b n nF f x x dx f x x dxα αλ ϕ λ ϕ λ= =∫ ∫ .
Vì cả ( )nf x và ( , )xαϕ λ thỏa mãn điều kiện biên (1.12) và ( )nf x triệt tiêu trong lân
cận của b, suy ra
'' ''
,
0 0
1 1
( ) ( ){ ( , ) ( ) ( , )} ( , ){ ( ) ( ) ( )}n
b b
n b n nF f x x q x x dx x f x q x f x dxα α αλ ϕ λ ϕ λ ϕ λ
λ λ
=− − =− −∫ ∫ .
Do đó với bất kỳ 0N > ta có
2
2 ''
, 2
0
1
( ) ( ) ( , ){ ( ) ( ) ( )} ( )n
b
n b b n b
N N
F d x f x q x f x d
N
α
λ λ
λ ρ λ ϕ λ ρ λ
> >
 
≤ − 
 
∫ ∫ ∫
2
''
2
0
1
( , ){ ( ) ( ) ( )} ( )n
b
n bx f x q x f x d
N
αϕ λ ρ λ
∞
−∞
 
< − 
 
∫ ∫
'' 2
2
0
1
{ ( ) ( ) ( )}n
b
nf x q x f x dx
N
= −∫
'' 2
2
0
1
{ ( ) ( ) ( )}n
n
nf x q x f x dx
N
= −∫ .
Kết hợp với (1.26) suy ra
2 2 '' 2
, 2
0 0
1
( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( )}n
n N n
n n b b n
N
f x dx F d f x q x f x dx
N
λ ρ λ
−
− < −∫ ∫ ∫ .
Mặt khác áp dụng định lý Helly – Bray với N cố định

30. 23
2 2 2
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N N N
b
n b b n b n
N N N
F d F d F dλ ρ λ λ ρ λ λ ρ λ→∞
− − −
= →∫ ∫ ∫ .
Suy ra
2 2 '' 2
2
0 0
1
( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( )}n
N n
n n n
N
f x dx F d f x q x f x dx
N
λ ρ λ
∞
−
− ≤ −∫ ∫ ∫ .
Cho N → +∞ ta có
2 2
0
( ) ( ) ( )n nf x dx F dλ ρ λ
∞ ∞
−∞
=∫ ∫ .
Định lý 1.3.15. (Định lý Weyl) Giả sử 2
(0, )f L∈ ∞ , khi đó tồn tại hàm đơn điệu
không giảm ( )ρ λ , không phụ thuộc vào f và hàm
( )
0
( ) lim ( ) ( , )
n
n
F f x x dx
α
α
ρ
λ ϕ λ
→∞
= ∫
thuộc 2
( , )L dρ sao cho
2 2
0
( ) ( ) ( )f x dx F dα λ ρ λ
∞ ∞
−∞
=∫ ∫ .
Chứng minh
Giả sử ( )f x thuộc 2
(0, )L ∞ . Khi đó tồn tại dãy hàm ( )nf x thỏa điều kiện bổ đề
1.3.14 (bằng không bên ngoài đoạn [0, ]n , thỏa điều kiện biên (1.12) và có đạo hàm
cấp hai liên tục) sao cho
{ }
2
0
lim ( ) ( ) 0n
n
f x f x dx
∞
→∞
− =∫ .
Đặt
0
( ) ( ) ( , )n nF f x x dxαλ ϕ λ
∞
= ∫ .
Khi đó
{ } { }
2 2
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0m n m nF F d f x f x dxλ λ ρ λ
∞ ∞
−∞
− = − →∫ ∫ khi ,m n → ∞.
Vì không gian các hàm bình phương khả tích là đầy đủ đối với độ đo Lebesgue nên
trong 2
( , )L dρ dãy hàm { }( )n n
F λ hội tụ đến hàm 2
( , )F L dρ∈  hay
{ }
2
lim ( ) ( ) ( ) 0n
n
F F dλ λ ρ λ
∞
→∞
−∞
− =∫ .
Hơn nữa

31. 24
{ } { }
22
( ) ( ) ( )nF F dλ λ ρ λ
∞
−∞
 −
 ∫
{ } { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nF F F d F F F dλ λ λ ρ λ λ λ λ ρ λ
∞ ∞
−∞ −∞
= − + −∫ ∫
{ }
1
2
22
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nF d F F dλ ρ λ λ λ ρ λ
∞ ∞
−∞ −∞
 
≤ − + 
 
∫ ∫
{ } { }
1
2
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nF d F F dλ ρ λ λ λ ρ λ
∞ ∞
−∞ −∞
 
+ − 
 
∫ ∫
tiến tới 0 khi n → ∞. Suy ra
2 2
0
( ) ( ) ( )f x dx F dλ ρ λ
∞ ∞
−∞
=∫ ∫ (1.28)
đúng với mọi hàm ( )f x thuộc 2
(0, )L ∞ .
Quan hệ (1.28) gọi là đẳng thức Parseval. Hàm ( )F λ gọi là chuyển đổi của hàm
( )f x . Nếu ( )g x là một hàm thuộc 2
(0, )L ∞ và ( )G λ là chuyển đổi của nó, ta có
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx F G dλ λ ρ λ
∞ ∞
−∞
=∫ ∫ . (1.29)
Quan hệ (1.29) gọi là đẳng thức Parseval tổng quát. Đẳng thức này còn được viết
dưới dạng tượng trưng
( , ) ( , ) ( ) ( )x y d x yα αϕ λ ϕ λ ρ λ δ
+∞
−∞
= −∫ . (1.30)
với ( )xδ là hàm Dirac delta7
. 
Ta có thể kiểm chứng định lý Weyl là trường hợp đặc biệt của định lý 1.2.11 với
( ) ( , ) ( )E f F x d
λ
λ λ ϕ λ ρ λ
−∞
= ∫ ,
0
( ) ( ) ( , )F f t t dtλ ϕ λ
∞
= ∫
Định lý 1.3.16
i) Giả sử 2
( ) (0, )f x L∈ ∞ và
0
( ) ( ) ( , )
a
aF f x x dxαλ ϕ λ= ∫ .
Khi a → ∞ thì
7
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function

32. 25
{ }
2
( ) ( ) ( ) 0aF F dλ λ ρ λ
∞
−∞
− →∫ .
ii) Giả sử 2
( ) (0, )f x L∈ ∞ nếu
( )
0
( ) lim ( ) ( , )
n
n
F f x x dx
α
α
ρ
λ ϕ λ
→∞
= ∫
và
( ) ( ) ( , ) ( )
a
a
a
f x F x dαλ ϕ λ ρ λ
−
= ∫ .
Khi a → ∞
{ }
2
0
( ) ( ) 0af x f x dx
∞
− →∫ .
Định lý 1.3.17. Giả sử f thuộc 2
(0, )L ∞ và chuyển đổi của nó ( )F λ thuộc
2
( , )L d ρ thì
( ) ( ) ( , ) ( )f x F x dλ ϕ λ ρ λ
∞
−∞
= ∫ .
Chứng minh
Chúng ta đã chứng minh được rằng nếu f thuộc 2
(0, )L ∞ thì hàm chuyển đổi
( )F λ tồn tại và thuộc 2
( , )L d ρ . Ta chỉ ra rằng ( )F λ có chuyển đổi ngược là f
thuộc 2
(0, )L ∞ .
Giả sử 2
( ) (0, )g x L X∈ và ( ) 0g x = với x X> , và ( )G λ là chuyển đổi của nó.
Khi đó
{ }
2
2 2
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
X a b X
a b
b a
f x f x g x dx F d g x dxλ ρ λ
−
−
   
− ≤ +   
   
∫ ∫ ∫ ∫ .
Đặt ( ) ( ) ( )a bg x f x f x= − trong khoảng (0, )X . Khi đó
{ }
2 2
0
( ) ( ) ( ) ( )
X a b
a b
b a
f x f x dx F dλ ρ λ
−
−
 
− ≤ + 
 
∫ ∫ ∫
vì X bất kỳ nên
{ }
2 2
0
( ) ( ) ( ) ( )
a b
a b
b a
f x f x dx F dλ ρ λ
∞ −
−
 
− ≤ + 
 
∫ ∫ ∫ .
Do đó dãy ( )af x hội tụ trong 2
(0, )L ∞ tới hàm ( )h x . Cho 0a = , b → ∞ ta có
2 2
0
( ) ( ) ( )h x dx F dλ ρ λ
∞ ∞
−∞
≤∫ ∫ .

33. 26
Hàm ( )h x được gọi là chuyển đổi ngược của ( )F λ .
Nếu chúng ta bắt đầu từ hàm 2
( ) (0, )f x L∈ ∞ với chuyển đổi ( )F λ và ( )F λ có
chuyển đổi ngược ( )h x , khi đó cả ( )f x và ( )h x đều là giới hạn của dãy ( )af x
trong 2
(0, )L ∞ . Do đó ( ) ( )f x h x= hầu khắp nơi, hay
( ) ( ) ( , ) ( )f x F x dλ ϕ λ ρ λ
∞
−∞
= ∫ . 
Trong trường hợp bài toán tương ứng bắt đầu từ hàm bất kỳ ( )F λ thuộc 2 ( , )L d ρ
người ta cũng chứng minh được tồn tại hàm f thuộc 2
(0, )L ∞ , hay nói cách khác có
một tương ứng 1 – 1 giữa không gian 2
(0, )L ∞ và 2 ( , )L d ρ 8
.
1.3.4. Phổ của toán Sturm – Liouville với 2
0∈ ∞( , )q L
Xét bài toán
2
2
( )
d y
q x y y
dx
λ− + =, (1.31)
(0)cos '(0)sin 0y yα α+ =. (1.32)
trên nửa đường thẳng [0, )∞ .
Ta đã biết định lý Weyl là trường hợp đặc biệt của định lý 1.2.11 với
( ) ( , ) ( )E f F x d
λ
λ λ ϕ λ ρ λ
−∞
= ∫ ,
0
( ) ( ) ( , )F f t t dtλ ϕ λ
∞
= ∫
Kết hợp với định lý 1.2.12 suy ra phổ của toán tử Sturm – Liouville trên nửa đường
thẳng [0, )∞ là phần bù của tập các điểm sao cho trong lân cận của những điểm đó
hàm phổ ( )ρ λ là hàm hằng. Phổ điểm là tập hợp những điểm không liên tục của
hàm phổ ( )ρ λ . Phổ liên tục là tập tất cả các điểm liên tục của ( )ρ λ . Những điểm
của phổ rời rạc thì được gọi là giá trị riêng và nghiệm của bài toán tương ứng gọi là
hàm riêng.
Bổ đề 1.3.18. Giả sử rằng hàm 1 2 1( ), ( ), ( )h x h x g x và 2 ( )g x không âm trên khoảng
0 x X≤ ≤ và giả sử 1( )h x , 2 ( )h x liên tục và 1( )g x , 2 ( )g x khả tích trên khoảng đó.
Nếu
1 2 1 1 2 2
0
( ), ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ,
x
h x h x C h t g t h t g t dt≤ + +∫ 0 x X≤ ≤ (1.33)
trong đó C là một hằng số thì

34. 27
1 2 1 1
0
( ), ( ) ex [ ( ) ( )] ,
x
h x h x C p g t g t dt
 
≤ + 
 
∫ 0 x X≤ ≤ . (1.34)
Giả sử ( , )xϕ λ là nghiệm của phương trình (1.31) thỏa điều kiện (0, ) sinϕ λ α=
và '(0, ) cosϕ λ α= − , từ (1.14) suy ra
0
sins 1
( , ) cos sin cos sin{ ( )} ( ) ( , )
x
x
x sx s x t q t t dt
s s
ϕ λ α α ϕ λ= − + −∫ . (1.35)
Giả sử , 0s iσ τ τ= + ≥ , đặt 1( , ) ( , ) x
x x e τ
ϕ λ ϕ λ −
= từ (1.35) và bổ đề 1.3.18 suy ra
1
0
1 1
( , ) 1 exp ( )
x
x q t dt
s s
ϕ λ
   
≤ +      
   
∫ .
Vì giả thuyết ( ) (0, )q t L∈ ∞ nên hàm 1( , )xϕ λ bị chặn trên 0 x≤ < ∞ với 0s ρ≥ >
với 0τ ≥ . Suy ra
( , ) ( )t
x o eτ
ϕ λ = . (1.36)
Trường hợp 1. Xét s là số thực dương. Với s ρ≥ hàm 1( , )xϕ λ bị chặn. Do đó từ
(1.34) cho x → ∞.
0
sins 1
( , ) cos sin cos sin{ ( )} ( ) ( , )
x
x sx s x t q t t dt
s s
ϕ λ α α ϕ λ
∞
= − + −∫
1
sin{ ( )} ( ) ( , )
x
s x t q t t dt
s
ϕ λ
∞
− −∫
( )cos ( )sin (1)sx sx o= + +µ λ ν λ . (1.37)
Trong đó
0
1
( ) sin sins . ( ) ( , ) ,t q t t dt
s
µ λ α ϕ λ
∞
= − ∫ (1.38)
0
cos 1
( ) coss . ( ) ( , ) .t q t t dt
s s
α
ν λ ϕ λ
∞
=− + ∫ (1.39)
Vì tích phân (1.38) và (1.39) hội tụ đều với 0s ρ≥ > , suy ra ( )µ λ và ( )ν λ là hàm
liên tục với biến s. Tương tự, nếu ( , )xθ λ là nghiệm của (1.11) thỏa điều kiện
(0, ) cosθ λ α= , '(0, ) sinθ λ α= − ta có
1 1( , ) ( )cos ( )sins (1)x sx x oθ λ µ λ ν λ= + + . (1.40)
Trong đó
8
Xem [11] trang 139 – 142.

35. 28
1
0
1
( ) sin sins . ( ) ( , ) ,t q t t dt
s
µ λ α θ λ
∞
= − ∫ (1.41)
1
0
cos 1
( ) coss . ( ) ( , ) .t q t t dt
s s
α
ν λ θ λ
∞
=− + ∫ (1.42)
Do
0W { , } 1ϕ θ = .
Suy ra
1 1{ ( ) ( ) ( ) ( )} (1) 1s o− + =µ λ ν λ µ λ ν λ .
Khi tính toán vế trái không phụ thuộc vào x, nên
1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )− =µ λ ν λ µ λ ν λ
λ
. (1.43)
Suy ra hàm ( )µ λ và ( )ν λ không triệt tiêu tại cùng một giá trị λ .
Trường hợp 2. Xét s là số phức. Trong (1.35) với τ dương cố định cho x → ∞
is
is is( )
0
1 1
( , ) sin cos ( ) ( ) ( , )
2 2is 2
xx
x x x te
x e o e e q t t dt
is
−
− − − −
= + + − ∫
τ
ϕ λ α α ϕ λ
( )
0
( ) ( , )
x
x t
o e q t t dt− −
 
+  
 
∫
τ
ϕ λ
Vì (1.36) nên
isx
( , ) { ( ) (1)}x t e M o−
= +ϕ λ (1.44)
trong đó
is
0
1 1 1
( ) sin cos ( ) ( , )
2 2 2
t
M e q t t dt
is is
λ α α ϕ λ
∞
= + − ∫ . (1.45)
Tương tự
isx
1( , ) { ( ) (1)}x t e M o−
= +θ λ (1.46)
trong đó
is
1
0
1 1 1
( ) cos sin ( ) ( , )
2 2 2
t
M e q t t dt
is is
λ α α θ λ
∞
= − − ∫ . (1.47)
Định lý 1.3.19. Nếu ( ) (0, )q t L∈ ∞ thì phổ âm tương ứng của bài toán (1.31) –
(1.32) là rời rạc và bị chặn dưới.
Chứng minh

36. 29
Giả sử 0b > , xét bài toán biên (1.11) – (1.12), (1.13) trên khoảng [0, ]b . Trong
(1.45) ( )M λ là hàm giải tích theo biến s, chính qui với Ims 0> , các không điểm là
điểm cô lập. Do đó với mỗi 0 0λ < số không điểm của phương trình ( , ) 0xϕ λ =
nằm trong khoảng 0λ λ−∞ < ≤ là điểm cô lập. Do đó các điểm tăng của hàm ( )bρ λ
trong khoảng 0λ λ−∞ < ≤ là cô lập. Vì vậy phổ rời rạc trên 0λ−∞ < < , hơn nữa bị
chặn dưới. Thật vậy với s = it, khi t → ∞ mà sin 0α ≠ thì ( ) sin 2M λ α→ , ngược
lại sin 0α = thì ( ) 2M tλ → ± .
Tiếp theo ta xét phần phổ dương. Theo kết quả (1.42) ta có ( )µ λ và ( )v λ
không đồng thời bằng không , đặt
( )
1
2 2 2
( )
sin ( )
( ) ( )v
µ λ
δ λ
µ λ λ
=
+
,
( )
1
2 2 2
( )
cos ( )
( ) ( )
v
v
λ
δ λ
µ λ λ
=
+
.
Cho x → ∞ ta viết (1.37) dưới dạng
( ) [ ]
1
2 2 2( , ) ( ) ( ) sin ( ) (1)x v sx oϕ λ µ λ λ δ λ= + + + . (1.48)
Giả sử
(1 ) ( ) (0, )x q x L+ ∈ ∞ , (1.49)
đạo hàm (1.35) theo biến s, ta được
( ) [ ]
1
2 2 2' ( , ) ( ) ( ) sin ( ) (1)x x v sx o
s
ϕ λ µ λ λ δ λ
 ∂
= + + + 
∂  
. (1.50)
Giả sử b là số dương rất lớn, để đơn giản trong điều kiện biên (1.13) cho 0β = . Khi
đó giá trị riêng dương của bài toán (1.11) – (1.12), (1.13) xác định từ phương trình
[ ]sin ( ) (1)sx oδ λ+ =. (1.51)
Giả sử s1 là một nghiệm dương của phương trình (1.51). Lưu ý ( ) (1)oδ λ = thì
1 1( ) (1)s b m oδ λ π+ = + , 1 1( )s λ= . (1.52)
Giả sử s2 là nghiệm tiếp theo
2 2( ) (1)s b m oδ λ π+ = + , 2 2( )s λ= , (1.53)
hoặc
2 2( ) ( 1) (1)s b m oδ λ π+ = + + . (1.54)
Nhưng (1.53) là không thể. Thật vậy, nếu (1.53) xãy ra thì theo định lý Rolle
phương trình ' ( , ) 0x xϕ λ = có một nghiệm s3 nằm giữa hai nghiệm s1 và s2 thỏa điều
kiện 3 3( ) (1)s b m oδ λ π+ = + mâu thuẫn với (1.49).
Trừ (1.52) cho (1.53) và ( )δ λ là hàm liên tục, ta thu được công thức tiệm cận
cho hai giá trị riêng 1λ và 2λ của bài toán (1.11) – (1.12), (1.13)

37. 30
2 1
1
s s o
b b
π  
− = +  
 
, ( , 1,2)i is iλ= = . (1.55)
Định lý 1.3.20. Nếu (0, )q L∈ ∞ , 0λ > và 0∆ > , thì
2 2
1
( ) ( )
( ) ( )
d
λ
λ
λ
ρ λ ρ λ
π λ µ λ ν λ
+∆
+ ∆ − =
 + 
∫ . (1.56)
Tức là phổ của bài toán (1.31) – (1.32) liên tục trên khoảng (0, )∞ .
Chứng minh
Giả sử ký hiệu 1,bλ , 2,bλ … là các giá trị riêng của bài toán (1.11) – (1.12), (1.13)
và 1,( , )bxϕ λ , 2,( , )bxϕ λ … là hàm riêng tương ứng. Giả sử q thỏa điều kiện (1.49).
Khi đó theo định nghĩa của ( )bρ λ và công thức tiệm cận (1.55) ta có
2
,
0
1
( ) ( )
( , )n
b b b
n bx dx
λ λ λ
ρ λ ρ λ
ϕ λ< ≤ +∆
+ ∆ − = ∑
∫
1, ,
2
1, , ,
0
( ) ( , )n
n b n b
b
n b n b n b
s s
s s x dx
λ λ λ
ϕ λ
+
< ≤ +∆
+
−
=
−
∑
∫
1, ,
2
1, , ,
0
1
1
( ) ( , ) (1)n
n b n b
b
n b n b n bs s x dx o
b
λ λ λ
λ λ
π
ϕ λ
+
< ≤ +∆
+
−
=
+ +
∑
∫
.
Từ công thức (1.37) suy ra
2 2 2
, , ,
0
1 1
( , ) ( ) ( ) (1)
2
b
n b n b n bx dx v o
b
ϕ λ µ λ λ = + + ∫ .
Do đó
1, ,2 2
, , ,
1 1
( ) ( ) (1) ( )
( ) ( )n
b b n b n b
n b n b n b
o
s vλ λ λ
ρ λ ρ λ λ λ
π µ λ λ
+
< ≤ +∆
  
+ ∆ −= + × − 
 +   
∑ .
Qua giới hạn khi b → ∞ , định lý được chứng minh cho trường hợp ( )q x thỏa điều
kiện (1.49). Giả sử ( )q x không thỏa điều kiện (1.42), đặt
( ), 0 ,
( )
0 , .
n
q x x n
q x
x n
≤ ≤
= 
>
Hàm số ( )nq x thỏa điều kiện (1.49). Do đó tồn tại các hàm ( )n xρ , ( )n xµ và ( )nv x
tương ứng với ( )nq x sao cho

38. 31
2 2
1
( ) ( )
( ) ( )
n n
n n
d
λ
λ
λ
ρ λ ρ λ
π λ µ λ ν λ
+∆
+ ∆ − =
 + 
∫ .
Qua giới hạn n → ∞ ta được (1.56).
Định lý 1.3.219
. Nếu sin 0α ≠ ta có xấp xỉ
2 3
2 cos
( ) ( ) (1)
sin sin
o= + −∞ + +
α
ρ λ λ ρ
π α α
. (1.57)
Nếu sin 0α = , cho λ → ∞, ta có xấp xỉ
32
( ) ( )
3
o= +ρ λ λ λ
π
(1.58)
1.3.5. Lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan10
1.3.5.1. Bài toán ngược trên khoảng [0, )∞
Xét phương trình (1.11) với 0 x≤ < ∞ thỏa điều kiện biên (1.12). Giả sử ( , )xϕ λ
là nghiệm của phương trình (1.11) thỏa điều kiện đầu
(0, ) sinϕ λ α= , '(0, ) cosϕ λ α= − .
Từ đẳng thức (1.30) ta có biểu diễn
( , ) ( , ) ( ) ( )x y d x yϕ λ ϕ λ ρ λ δ
+∞
−∞
= −∫ (1.59)
và
1/2 1/2
0cos cos ( ) ( )x yd x yλ λ ρ λ δ
+∞
−∞
= −∫ . (1.60)
với ( )xδ là hàm Dirac delta, ( )ρ λ là hàm phổ của bài toán
'' ( ) ,(0 )
(0) 1, '(0) .
y q x y y x
y y h
λ− + = ≤ < ∞

= =
(1.61)
( )q x là hàm thực liên tục, h là số thực, h ≠ ∞ , 0
2
( )ρ λ λ
π
= , 0≥λ là hàm phổ
của bài toán
'' ,
(0) 1, '(0) 0.
y y
y y
λ− =

= =
(1.62)
Chú ý ở đây ta có ( , )xϕ λ là nghiệm của bài toán (1.61) và cos xλ là nghiệm của
bài toán (1.62). Khi đó ta có chuyển đổi11
9
Xem chứng minh trong [9] trang 308 – 311.
10
Các định lý ở mục này hầu hết không chứng minh, tham khảo [8] trang 1 – 58.

39. 32
0
( , ) cos ( , )cos
x
x x K x t tdtϕ λ λ λ= + ∫ . (1.63)
và chuyển đổi ngược
0
cos ( , ) ( , ) ( , )
x
x x H x t t tdtλ ϕ λ ϕ λ= + ∫ . (1.64)
với ( , )K x t và ( , )H x t là hàm liên tục. Mặt khác với 0 x y< < , từ (1.30) và (1.64)
suy ra
( , )cos ( ) 0x ydϕ λ λ ρ λ
∞
−∞
=∫ . (1.65)
Thay (1.63) vào vế trái của phương trình (1.65) ta được
0
0 os os ( , ) os os ( )
x
c xc y K x t c tc ydt dλ λ λ λ ρ λ
∞
−∞
 
= + 
 
∫ ∫ (1.66)
Đặt
0( ) ( ), 0
( )
( ) , 0
ρ λ ρ λ λ
σ λ
ρ λ λ
− ≥
= 
<
. (1.67)
( , ) os os ( )F x y c xc ydλ λ σ λ
∞
−∞
= ∫ . (1.68)
Khi đó
0
0
0 os os ( ) os os ( )c xc yd c tc ydλ λ σ λ λ λ ρ λ
∞ ∞
−∞
= +∫ ∫
0
( , ) os os ( )
x
K x t c tc yd dtλ λ σ λ
∞
−∞
 
+  
 
∫ ∫
0
0 0
( , ) os os ( )
x
K x t c tc yd dtλ λ ρ λ
∞
 
+  
 
∫ ∫
0
( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )= + − + +∫
x
F x y x y K x t F t y dt K x yδ
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )= + + ∫
x
F x y K x y K x t F t y dt .
Suy ra hạch ( , )K x t của (1.63) thỏa phương trình tích phân
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0+ + =∫
x
F x y K x y K x t F t y dt , (0 )y x< ≤ < ∞ , (1.69)
trong đó ( , )F x y được xác định tốt.
11
Toán tử chuyển đổi [8] trang 1 – 10.

40. 33
Định lý 1.3.22. Dãy hàm
( , ) os os ( )
N
NF x y c xc ydλ λ σ λ
−∞
= ∫ ,
với
0( ) ( ), 0
( )
( ) , 0
ρ λ ρ λ λ
σ λ
ρ λ λ
− ≥
= 
<
hội tụ bị chặn về hàm ( , )F x y . Hơn nữa, nếu ( )q x có đạo hàm liên tục đến cấp n
trên [0, )∞ thì ( , )F x y có đạo hàm riêng liên tục đến cấp n +1 trên miền 0x y≥ ≥ .
Để tìm ( , )F x y , ta đặt
( ) cos ( )
N
NT x xdλ σ λ
−∞
= ∫ , ( ) lim ( )N
N
T x T x
→∞
= , (1.70)
khi đó với 0x y≥ ≥
[ ]
1
( , ) ( ) ( )
2
F x y T x y T x y= + + − ,
1 1
( , ) (2 ) (0)
2 2
F x x T x T= + .
Định lý 1.3.23. Cho điểm cố định 0x > bất kỳ, phương trình tích phân (1.69) có
nghiệm duy nhất ( , )K x y . Hơn nữa nếu ( , )F x y có đạo hàm riêng liên tục đến cấp
n +1 thì ( , )K x y cũng có đạo hàm riêng liên tục đến cấp n + 1.
Định lý 1.3.24. Giả sử một hàm ( , )K x y thỏa mãn phương trình tích phân (1.69).
Khi đó hàm ( , )xϕ λ xác định bởi công thức (1.63) thỏa phương trình vi phân
'' ( )y q x y yλ− + = , 0 x≤ < ∞
trong đó
( ) 2 ( , )
d
q x K x x
dx
= .
Hơn nữa
(0, ) 1ϕ λ = , '(0, ) (0,0) (0,0)K F hϕ λ = =− =. (1.71)
1.3.5.2. Bài toán ngược trên 0 b[ , ]
Xét bài toán biên

41. 34
''( ) { ( )} ( ) 0, 0
(0) '(0) 0,
( ) '( ) 0.
y x q x y x x b
hy y
Hy b y b
µ+ − = ≤ ≤ < ∞

− =
 − =
(1.72)
(1.73)
(1.74)
Giả sử ( , )xϕ µ là nghiệm của bài toán (1.72) thỏa điều kiện đầu (0, ) 1ϕ µ = và
'(0, ) hϕ µ = , khi đó ( , )xϕ µ cũng thỏa (1.73). Giả sử hàm riêng ( , )nxϕ µ của bài
toán (1.72) – (1.73), (1.74) tương ứng với giá trị riêng nµ và hệ số chuẩn hóa
2
0
( , )
b
n nx dxα ϕ µ= ∫ .
Hàm phổ
1
( )
n nµ µ
ρ µ
α<
= ∑ . (1.75)
Giá trị { } 0
,n n n
µ α
∞
=
xác định hàm phổ của bài toán (1.72) – (1.73), (1.74) được gọi là
phổ đặc trưng.
Định lý 1.3.25. Giả sử { } 0
,n n n
µ α
∞
=
là phổ đặc trưng của bài toán (1.72) – (1.73),
(1.74) nếu ( )q x có đạo hàm cấp 0m ≥ liên tục trên khoảng [0, ]b thì hàm
1 1
21
1 1 1 2
( , ) cos cos cos cos cos cosn n
n n
F x y x y x y nx nyµ µ µ µ
α π α π
∞
=
 
= − + − 
 
∑
có đạo hàm riêng liên tục đến cấp m + 1 trên 0 y x b≤ ≤ ≤ . Khi đó phương trình
tích phân
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
x
K x y F x y K x t F t y dt+ + =∫ , 0 y x b≤ ≤ ≤
có nghiệm ( , )K x y duy nhất và có đạo hàm riêng cấp m + 1 liên tục trên
0 y x b≤ ≤ ≤ . Hơn nữa
0
( , ) os ( , ) os
x
x c x K x t c tdtϕ µ µ µ= + ∫ ,
thỏa phương trình
'' ( )y q x y yµ+ =,
và thỏa điều kiện
(0, ) 1,ϕ µ = '(0, ) (0,0) (0,0)K F hϕ µ = =− =,
trong đó
( ) 2 ( , )
d
q x K x x
dx
= .

42. 35
Định lý 1.3.2612
. Với dãy { } 0
,n n n
µ α
∞
=
thỏa tính chất của định lý trên thì tỉ số
'( , )
( , )
b
b
ϕ µ
ϕ µ
. (1.76)
không phụ thuộc vào µ , nói cách khác ( , )bϕ µ là nghiệm của bài toán (1.72) –
(1.73), (1.74).
12
Xem [8] Theorem 2.10.5, trang 57 – 58.

43. 36
Chương 2
KHÔI PHỤC NGUỒN NHIỆT NỘI
CHO THANH BỊ CHÔN
2.1. BIỂU DIỄN NGHIỆM TẠI ĐẦU MÚT (0, )f
u t
Trường hợp b < ∞
Dùng phương pháp tách biến chuyển bài toán sau đây về dạng tích phân
( , ) ( , ) ( ) ( , ), 0 , 0, 1
(0, ) (0, ) 0,
( , ) ( , ) 0,
t xx
x
x
u x t u x t q x u x t x b t b
u t hu t
u b t Hu b t
= − < < ≥ >

− =
 + =
(2.1)
(2.2)
(2.3)
với điều kiện đầu
( ,0) ( )u x f x= (2.4)
trong đó f được chọn sao cho ( ) 0f x = với 1x > .
Giả sử hàm thử 2
(0, )H bϕ ∈ , lấy tích vô hướng trong 2
(0, )L b ở hai vế phương
trình (2.1) ta được
( , ), ( ) ( , ), ( ) ( ) ( , ), ( )t xxu x t x u x t x q x u x t xϕ ϕ ϕ= − .
Suy ra
0 0 0
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )
b b b
xx
d
u x t x dx u x t x dx q x u x t x dx
dt
ϕ ϕ ϕ= −∫ ∫ ∫ . (2.5)
Tích phân từng phần
[ ]0
0 0 0
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) '( ) ( , ) ''( ) ( ) ( , ) ( )
b b b
b
x
d
u x t x dx u x t x u x t x u x t x dx q x u x t x dx
dt
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= − + −∫ ∫ ∫ .
[ ] [ ]
0
( , ) ( ) ( , ) ( ) '( ) (0, ) (0) '(0)
b
d
u x t x dx u b t H b b u t h
dt
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ=− + − − +∫
[ ]
0
( , ) ''( ) ( ) ( )
b
u x t x q x x dxϕ ϕ+ −∫ .
Tìm ϕ sao cho

44. 37
''( ) { ( )} ( ) 0, 0
(0) '(0) 0,
( ) '( ) 0.
x q x x x b
h
H b b
+ − = < < < ∞

− =
 + =
ϕ µ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
(2.6)
Giả sử , ( )n b xϕ là nghiệm của bài toán Sturm – Liouville chính qui (2.6) ứng
với trị riêng ,n bµ . Với mỗi t cố định nghiệm ( ,.)u t của (2.1) – (2.4) thuộc 2
(0, )L b
và thỏa điều kiện biên của bài toán Sturm – Liouville nên khai triển được thành
chuỗi các hàm riêng
,
,2
1
,
, n b
n b
n
n b
u
u
ϕ
ϕ
ϕ
∞
=
= ∑ .
Từ (2.4) suy ra
, , ,
0 0
( , ) ( ) ( , ) ( )
b b
n b n b n b
d
u x t x dx u x t x dx
dt
= −∫ ∫ϕ µ ϕ .
Đặt , , ,
0
( ) , ( , ) ( )
b
n b n b n bu t u u x t x dxϕ ϕ= = ∫ . Ta có
, , ,' ( ) ( )n b n b n bu t u tµ= − ,
, ,( ) n bt
n b n bu t b e
µ−
⇒ = .
Vậy nghiệm của bài toán (2.1) – (2.4) có dạng
,
, ,
1
( , ) n btf f
n b n b
n
u x t a e
µ
ϕ
∞
−
=
= ∑ .
Khi đó hàm 2
(0, )f L b∈ bất kỳ có khai triển chuỗi Fourier
, ,
1
( ) ( )f
n b n b
n
f x c xϕ
∞
=
= ∑ ,
với
,
, 0
,
2,
,
0
( ) ( )
,
,
( )
b
n b
n bf
n b b
n n b
n b
f x x dx
f
c
x dx
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
= =
∫
∫
.
Kết hợp với điều kiện đầu ( ,0) ( )u x f x= , suy ra
, , , ,
1 1
( ,0) ( ) ( )f f f
n b n b n b n b
n n
u x a x c xϕ ϕ
∞ ∞
= =
= =∑ ∑ , , , 1,2,...f f
n b n ba c n⇒ = =
hay
,
, ,
1
( , ) ( )n btf f
n b n b
n
u x t c e x
µ
ϕ
∞
−
=
= ∑ .

45. 38
Từ định lý 1.3.1 đặt coth α= ta có , (0) 1n b =ϕ và ,' (0)n b h=ϕ . Suy ra
(0, ) (0, )f
u t u t= có biểu diễn
, ,
, , ,
1 1
(0, ) (0)n b n bt tf f f
n b n b n b
n n
u t c e c e
µ µ
ϕ
∞ ∞
− −
= =
= =∑ ∑ . (2.7)
Và rõ ràng (0, )f
u t là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng Re 0>t .
Trường hợp b = ∞
( , ) ( , ) ( ) ( , ), 0 < x < , t 0, b > 1
(0, ) (0, ) 0,
( ,0) ( ).
t xx
x
u x t u x t q x u x t
u t hu t
u x f x
= − ∞ ≥

− =
 =
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Dùng phương pháp tách biến chuyển bài toán (2.8) – (2.10) về dạng tích phân.
Giả sử hàm thử 2
(0, )Hϕ ∈ ∞ lấy tích vô hướng trong 2
(0, )L ∞ ở hai vế phương
trình (2.8) ta được
( , ), ( ) ( , ), ( ) ( ) ( , ), ( )t xxu x t x u x t x q x u x t xϕ ϕ ϕ= − .
Suy ra
0 0 0
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )xx
d
u x t x dx u x t x dx q x u x t x dx
dt
ϕ ϕ ϕ
∞ ∞ ∞
= −∫ ∫ ∫ .
Tích phân từng phần
[ ]0
0
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) '( )x
d
u x t x dx u x t x u x t x
dt
ϕ ϕ ϕ
∞
∞
= −∫ .
0 0
( , ) ''( ) ( ) ( , ) ( )u x t x dx q x u x t x dxϕ ϕ
∞ ∞
+ −∫ ∫
Vì lim ( , ) 0
b
u b t
→∞
= nên ta có
[ ]
0
( , ) ( ) (0, ) (0) '(0)
d
u x t x dx u t h
dt
ϕ ϕ ϕ
∞
=− − +∫ [ ]
0
( , ) ''( ) ( ) ( )u x t x q x x dxϕ ϕ
∞
−∫ .
Tìm ϕ sao cho
''( ) { ( )} ( ) 0, 0
(0) '(0) 0.
x q x x x
h
ϕ λ ϕ
ϕ ϕ
+ − = < < ∞

− =
(2.11)
Giả sử ( )n xϕ là nghiệm của (2.11) ứng với trị riêng nλ . Theo định lý 1.3.1 đặt
coth α= ta có thể chọn (0) 1nϕ = và ' (0)n hϕ = . Tương tự bài toán (2.6) bài toán

46. 39
'' ( ) { ( )} ( ) 0, 0
(0) 1, ' (0) .
n n n
n n
x q x x x
h
ϕ λ ϕ
ϕ ϕ
+ − = < < ∞

= =
(2.12)
có nghiệm dạng
1
( , ) ntf f
n n
n
u x t a e λ
ϕ
∞
−
=
= ∑ .
Khi đó hàm 2
(0, )f L∈ ∞ bất kỳ có chuyển đổi ngược
, , ,
0
( ) lim ( )n b b n b n b
b
n
f x r F λ ϕ
∞
→∞
=
= ∑ ,
với hàm chuyển đổi
0
( ) lim ( ) lim ( ) ( , )
b
b
b b
F F f x x dxλ λ ϕ λ
→∞ →∞
= = ∫ ,
hàm chuyển đổi tồn tại do định lý 1.3.15. Kết hợp với (2.10) ta có
, , , , ,
0 1
( ) f
n b b n b n b n b n b
n n
r F aλ ϕ ϕ
∞ ∞
= =
=∑ ∑ .
Suy ra
, ,
, , , , ,
1 0
( , ) lim lim ( )n b n bt tf f
n b n b n b b n b n b
b b
n n
u x t a e r e F
λ λ
ϕ λ ϕ
∞ ∞
− −
→∞ →∞
= =
= =∑ ∑ .
Từ đó suy ra, nghiệm của (2.8) – (2.10) có dạng tích phân
( , ) ( , ) ( ) ( )t f
u x t e x F dλ
ϕ λ λ ρ λ
∞
−
−∞
= ∫ .
Với điều kiện đầu ( ,0) ( )u x f x= , suy ra
1
(0, ) (0, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ntf t f f f
n n
n
u t e F d G t F e λλ
ϕ λ λ ρ λ ρ λ
∞ ∞
−−
=−∞
= = + ∑∫ . (2.13)
Do ( )ρ λ liên tục trên (0, )∞ , theo tính chất của tích phân Stieltjes ta có
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) '( )ntf f t f
G t e F d e F dλ λ
λ ρ λ λ ρ λ λ
∞ ∞
− −
= =∫ ∫
là biến đổi Laplace của ( ) '( )f
F λ ρ λ . Suy ra (0, )f
u t là hàm giải tích trên nửa mặt
phẳng với Re 0t > .
2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM
Định lý 2.2.1. Giả sử tiên nghiệm 1
(0, )q L b∈ , nhiệt độ đầu được chọn là dãy
{ } 1i i
f ≥
sao cho [1, ) 0if ∞ =χ ,( 1)i ≥ và { } 1
(0,1)i i
f ≥
χ là một cơ sở trực chuẩn của
2
(0,1)L . Khi đó dựa vào { } 1
(0, )if
i
u k
≥
, 1,2,...k = xác định q, h, H, b duy nhất.

47. 40
Chứng minh
Theo định lý 1.3.1 ta có ( , )xϕ λ là hàm nguyên theo biến λ nên với nhiệt độ đầu
2
(0, )if L∈ ∞ , 1i ≥ , thì
1
0
( ) ( ) ( , )if
iF f x x dx= ∫λ ϕ λ
cũng là hàm nguyên theo biến λ và nhận giá trị thực trên đường thẳng thực.
Chúng ta chia chứng minh thành 6 bước.
 Bước 1. Tìm điều kiện để b < ∞ hay b = ∞ .
+ Giả sử b = ∞ , cố định λ . Tồn tại ni sao cho ( ) 0in
f
F ≠λ , ngược lại
1
0
( ) ( ) ( , )if
iF f x x dxλ ϕ λ= ∫ , 1,2,...i =
triệt tiêu. Khi đó do { } 1i i
f ≥
là cơ sở của 2
(0,1)L nên ( , ) 0xϕ λ = (mâu thuẫn). Xét
biểu thức nhiệt độ tại đầu múc
1
(0, ) ( ) ( )i i i nf f f t
n n
n
u t G t F e λ
ρ λ
∞
−
=
= + ∑
ta có ( )if
F λ là hàm nguyên không tầm thường, có các không điểm là cô lập nên
( )if
F λ không đổi dấu trong khoảng (0, )ia . Kết hợp điều kiện '( ) 0ρ λ > trên (0, )∞
suy ra ( ) '( ) 0if
F λ ρ λ ≠ trên (0, )ia . Do đó theo định lý 1.2.20 hàm ( )if
G t là biến
đổi Laplace của ( ) '( )if
F λ ρ λ và giảm tới không chậm hơn bất kỳ hàm mũ nào. Nói
cách khác lim ( )ift
t
e G tε
→∞
= ∞ với bất kỳ 0ε > suy ra
ln (0, )
lim 0
if
k
u k
k→∞
≥ .
+ Giả sử b < ∞ ta có
1
(0, )
fi
i nf t
n
n
u t c e µ
∞
−
=
= ∑
và tồn tại n sao cho 0if
nc ≠ suy ra
lim (0, ) 0ift
t
e u tε
→∞
= , 10 ε µ< < .
Do đó
ln (0, )
lim 0
if
k
u k
k→∞
< .
Tóm lại

48. 41
ln (0, )
lim 0
if
k
u k
k→∞
< ⇒ b < ∞,
ln (0, )
lim 0
if
k
u k
k→∞
≥ ⇒ b = ∞ .
Do đó ta có thể xác định chính xác b hữu hạn hay vô hạn.
 Bước 2. Xác định nµ , if
nc , b và hàm ρ khi b < ∞.
Giả sử b < ∞, vì phổ của L là rời rạc nên trong khai triển Fourier tồn tại 1j sao
cho 1
1 0if
c ≠ . Khi đó
1 1
11
1
1 1
1
11
1 1
1
( )
1
1
( )
1
1
(0, 1)
lim lim
(0, )
f fi i
n n
fi
i
fii f fi i
n
k
f n
n l
fk k k
n
n l
c e c e e
u k c e
e
u k cc c e
− −−
−
−=
→∞ →∞ −
=
+
+
= = =
+
∑
∑
µ µ µµ
µ
µ
µ µ
.
Suy ra
1
11
(0, 1)
limln
(0, )
i
i
f
fk
u k
u k→∞
+
= −µ .
Bây giờ với hàm if bất kỳ, tồn tại ít nhất một n sao cho 0if
nc ≠ , giả sử l là chỉ số
nhỏ nhất thì
( )
( )
(0, 1)
lim lim
(0, )
f fi i
l n l n
fi
li
l
fii f fi i
l n
k
f l n
n l l
fk k k
l
l n
n l
c e c e e
c eu k
e
u k cc c e
− − −
−
−>
→∞ →∞ −
>
+
+
= = =
+
∑
∑
µ µ µ µ
µ
µ
µ µ
.
Suy ra
1
(0, 1)
limln
(0, )
i
i
f
lfk
u k
u k→∞
+
− =≥µ µ .
Do đó giá trị riêng thứ nhất xác định duy nhất
1
1
(0, 1)
inf limln
(0, )
i
i
f
fi k
u k
u k≥ →∞
 + 
= − 
  
µ .
Suy ra
1
1 lim (0, ) ,
fi
ifk
k
c e u kµ
→∞
 =   1,2,...i =
Lập luận tương tự trên ta có
1
2 1
2
( ) (0, )i i i i nf f f f tt
n
n
U t u t c e c e−−
=
= − = ∑ µµ
, 1,2,3,...i = .
Từ đó giá trị riêng thứ hai được xác định duy nhất bởi công thức

49. 42
2
2
1
2
( 1)
inf limln
( )
i
i
f
fi k
U k
U k≥ →∞
 + 
= − 
  
µ .
và 2
2 2lim ( ) ,
fi
ifk
k
c e U kµ
→∞
 =   1,2,...i = Tương tự ta xác định được 3 3{ , },if
cµ 4 4{ , },...if
cµ
Với 1 2, ,....µ µ vừa tìm được, từ (1.17) ta có công thức xấp xỉ
2
(1)n
n
O
b
π
µ
 
= + 
 
, n → ∞
suy ra
lim
n
n
n
b
π
µ→∞
= . (2.14)
Ta có họ { }(0,1)
1
i
i
f
≥
là cơ sở trực chuẩn của 2
(0,1)L nên
2
(0,1)
1
( ) ( , ) ( )n n i iL
i
x f f x
∞
=
= ∑ϕ ϕ , 0 1x< <
trong đó
2
1
(0,1)
0 0
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) i
b
f
n j n i n i n i n n nL
f x f x dx x f x dx f cϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = ==∫ ∫ .
Do đó
1
( )
( ),
( , )
ifn
n i
jn n
x
c f x
∞
=
= ∑
ϕ
ϕ ϕ
0 1x< < .
Kết hợp với điều kiện (0) 1n =ϕ suy ra hàm riêng ( )n xϕ . Hơn nữa tại nλ µ= ta xác
định được bước nhảy
1
( , )
n
n n
α
ϕ ϕ
= . Do đó hàm phổ ρ được xác định. Một khi hàm
riêng đầu tiên được xác định trên (0,1) ta tìm được hệ số truyền nhiệt 1' (0)h ϕ= .
 Bước 3. Sự tồn tại của phổ rời rạc cho trường hợp b = ∞ .
Giả sử ở bước 1) ta xác định được b = ∞ . Khi b vô hạn phổ của L tồn tại phần
liên tục [0, )∞ và phần rời rạc (có thể rỗng) trên ( ,0)−∞ . Ta có khai triển
1
(0, ) ( ) ( )i i i nf f f t
n n
n
u t G t F e λ
ρ λ
∞
−
=
= + ∑ .
và lim ( ) 0if
t
G t
→∞
= . Nếu phổ rời rạc của L là rỗng thì (0, ) ( )i if f
u t G t= , suy ra
{ } { }1
lim (0, ) 0if
t i
u t
→∞ ≥
= .

50. 43
Mặc khác, nếu phổ rời rạc của L khác rỗng thì tồn tại một 1i sao cho 1( ) 0if
F λ ≠ .
Vì 1
lim t
x
e λ−
→∞
= ∞ nên 1
lim (0, )if
t
u t
→∞
= ∞ , hay { } 1
lim (0, )if
t i
u t
→∞ ≥
∞∈ .
Do đó trong trường hợp b = ∞ , ta xác định được phổ rời rạc của toán tử L là
rỗng hay không.
 Bước 4. Xác định nλ , ( )if
n nFρ λ với 0nλ < khi b = ∞ .
Giả sử b = ∞ và phổ rời rạc của L là khác rỗng thì tồn tại một 1i sao cho
1
1( ) 0if
F λ ≠ . Khi đó
1
1 1 11 1
1
1
1
1 1 11
( )
1 1
2
( )
1 1
2
( 1) ( ) ( )
(0, 1)
lim lim
(0, )
( ) ( ) ( )
fi
i i n n
i
i fi
i i n
f f kk
f n n
n
fk k f f kk
n n
n
G k e F e F e e
u k
u k
G k e F F e
− −−
=
→∞ →∞ −
=
+ + +
+
=
+ +
∑
∑
λ λ λλ λ
λ λλ
ρ λ ρ λ
ρ λ ρ λ
1 1
1
1
1 1
1 1
( )
( )
i
i
f
f
F e
e
F
−
−
= =
λ
λρ λ
ρ λ
.
Suy ra
1
11
(0, 1)
limln
(0, )
i
i
f
fk
u k
u k→∞
+
= −λ .
Bây giờ với if tùy ý, giả sử 1( ) 0if
F =λ với mọi n thì
(0, ) ( )i if f
u t G t=
và
lim (0, ) 0if
k
u k
→∞
= .
Ngược lại tồn tại ít nhất một n sao cho ( ) 0if
nF ≠λ , giả sử lλ là giá trị riêng nhỏ
nhất trong số đó thì
( )
( )
( 1) ( ) ( )
(0, 1)
lim lim
(0, )
( ) ( ) ( )
fi
l i l i n l n
i
i fi
l i i l n
k f f k
f l l n n
n l
fk k k f f k
l l n n
n l
G k e F e F e e
u k
u k
G k e F F e
λ λ λ λ λ
λ λ λ
ρ λ ρ λ
ρ λ ρ λ
− − −
>
→∞ →∞ −
>
+ + +
+
=
+ +
∑
∑
( )
( )
i l
l
i
f
l l
f
l l
F e
e
F
−
−
= =
λ
λρ λ
ρ λ
.
Do đó
1
(0, 1)
lim
(0, )
i
i
f
lfk
u k
u k→∞
+
− =≥λ λ .

51. 44
Nhưng 1
( ) 0if
lF λ ≠ tại ít nhất một l khi và chỉ khi
lim (0, )if
k
u k
→∞
= ∞ .
Do đó giá trị riêng thứ nhất có thể xác định duy nhất từ công thức
1
1
(0, 1)
inf limln : lim (0, )
(0, )
i
i
i
f
f
fi k k
u k
u k
u k≥ →∞ →∞
 + 
=− =∞ 
  
λ .
Một khi giá trị riêng thứ nhất được xác định thì 1 1( )if
Fρ λ cũng được xác định
1
1 1( ) lim (0, ) ,i if fk
k
F e u k
→∞
 =  
λ
ρ λ 1,2,....i = .
Lập luận tương tự ta có
1
2 1 1
2
( ) (0, ) ( ) ( ) ( ) ,i i i i i nf f f f f tt
n n
n
U t u t F e G t F e
∞
−−
=
= − =+ ∑ λλ
ρ λ ρ λ ( 1,2,3,...)i = .
Chứng tỏ rằng nếu
2lim ( ) 0if
k
U k
→∞
=
với i bất kỳ thì L không có các giá trị riêng nào khác và phổ rời rạc của L chỉ gồm
một giá trị riêng 1λ . Ngược lại, giá trị riêng thứ hai tồn tại và xác định duy nhất bởi
công thức
2
2 2
1
2
( 1)
inf limln : lim ( )
( )
i
i
i
f
f
fi k k
U k
U k
U k≥ →∞ →∞
 + 
=− =∞ 
  
λ
và 2
2 2 2( ) lim ( ) ,i if fk
k
F e U k
→∞
 =  
λ
ρ λ 1,2,3,...i = Rõ ràng bằng cách đệ quy người ta có
thể xác định được các cặp { }3 3 3, ( )if
Fλ ρ λ , { }4 4 4, ( )if
Fλ ρ λ , …. , nếu nó tồn tại. Từ
đấy ta xác định được tổng
1
( )i nf t
n n
n
F e
∞
−
=
∑ λ
ρ λ và do đó xác định được
10
( ) ( ) '( ) (0, ) ( )i i i i nf f f f kk
n n
n
G k e F d u k F e
∞ ∞
−−
=
= = − ∑∫
λλ
λ ρ λ λ ρ λ .
 Bước 5. Xác định ( ) '( )if
F λ ρ λ , 0λ > và hàm phổ ρ khi b = ∞ .
Giả sử b = ∞ , vì 1
(0, )q L∈ ∞ theo (1.36) thì ( , )
x im
x Ce
λ
ϕ λ ≤ với C là hằng số.
Do đó với λ dương ( , )xϕ λ bị chặn bởi C, kéo theo 2
( )if
iF C f≤λ , 0λ > . Từ
(1.58) suy ra
1
'( )ρ λ
π λ
 khi λ → ∞.

52. 45
Tóm lại, ta có ( ) '( ) (0, )if
F L∞
∈ ∞λ ρ λ . Khi đó ( ) '( )if
F λ ρ λ , 0λ > , là biến đổi
Laplace ngược của
1
( ) (0, ) ( )i i i nf f f t
n n
n
G t u t F e
∞
−
=
= − ∑ λ
ρ λ .
với 1,2,3,...t = Áp dụng biến đổi Laplace ngược trong định lý 1.2.21 ta khôi phục
1
1 1
( 1)
( ) '( ) lim (0, ) ( ) ,
( 1)!
i i i n
k
f f f nknkt
n n
n
k k
F n e u nk F e
k
−∞ ∞
−
→∞
= =
−  
= − −  
∑ ∑ λ
λ ρ λ ρ λ 0λ > .
Nói cách khác ( ) '( )if
F λ ρ λ , 0λ > , thiết lập một cách duy nhất từ họ (0, )if
u k ,
1,2,3,...k =
Mặt khác hệ thức
1
0
( ) ( , ) ( )if
if x x dx F=∫ ϕ λ λ ,
chỉ ra rằng với 0λ > , hằng số ( )if
F λ , 1i ≥ là hệ số Fourier trong khai triển của
( , )xϕ λ thành chuỗi Fourier tổng quát với cơ sở { } 1i i
f ≥
trên (0,1), thật vậy
2
1
(0,1)
1 1 10
( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )if
i L i i i i
k k k
x f f x f x x f x dx f x F
∞ ∞ ∞
= = =
= = =∑ ∑ ∑∫ϕ λ ϕ ϕ λ λ .
Do đó
1
( , ) '( ) ( ) '( ) ( )if
i
k
x F f x
∞
=
= ∑ϕ λ ρ λ λ ρ λ , 0 1x< < , 0λ > .
Vì thế một khi ( ) '( )if
F λ ρ λ được xác định với mọi 0λ > và với i bất kỳ ta khôi
phục ( , ) '( )xϕ λ ρ λ trên (0,1). Hơn nữa với (0, ) 1=ϕ λ ta xác định được '( )ρ λ .
Sử dụng kỹ thuật tương tự trong bước 2) ta tìm được các nα ứng với 0nλ < , qua
khai triển
1
( )
( ),0 1
,
ifn
n i
in n
x
c f x x
ϕ
ϕ ϕ
∞
=
= < <∑
trong đó
0
2
0
( ) ( )
( )
i
n
f
n
n
f x x dx
c
x dx
ϕ
ϕ
∞
∞
=
∫
∫
là hệ số Fourier của khai triển ( )if x theo các hàm riêng
1
( ) ( )if
i n n
n
f x c xϕ
∞
=
= ∑ .

53. 46
Từ đó hàm
10
( ) ( ) '( ) ( )n n
n
H dt H
λ
ρ λ λ ρ λ ρ λ λ
∞
=
= + −∑∫
với
1
n
n
ρ
α
= xác định trên cả đường thẳng.
 Bước 6. Xác định q, h và H.
+ Với b = ∞ hàm phổ ρ được xác định ở bước 5) với b = ∞ , ta áp dụng lý
thuyết phổ ngược của Gelfand – Levitan để khôi phục hàm q, h. Đặt (0, )max+ =λ λ
khi đó
2
( ) cos( ) ( )T x x dλ ρ λ λ
π
∞
+
−∞
 
= − 
 
∫
Theo (1.70) thì ( )T x xác định tốt, hơn nữa ( )T x khả vi nên
1 1
( , ) ( ) ( )
2 2
F x y T x y T x y= + + −
khả vi, từ đó suy ra nghiệm của phương trình tích phân Fredholm
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0+ + =∫
x
F x y K x y K x t F t y dt ,(0 )y x< ≤ < ∞
( , )K x y khả vi. Áp dụng định lý 1.3.24 và 1.3.25 ta tìm được
( ) 2 ( , )=
d
q x K x x
dx
,
và (0,0)h K= .
+ Với b < ∞, xác định ( ),q x H . Từ { , }n nµ α tìm được ở bước 2) áp dụng định
lý 1.3.25 ta xác định được hàm
1 1
21
1 1 1 2
( , ) cos cos cos cos cos cosn n
n n
F x y x y x y nx nyµ µ µ µ
α π α π
∞
=
 
= − + − 
 
∑
Giải phương trình tích phân
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
x
K x y F x y K x t F t y dt+ + =∫ , 0 y x b≤ ≤ ≤
tìm được hàm ( , )K x y , suy ra
( ) 2 ( , )
d
q x K x x
dx
= ,
Khi đó hàm riêng

54. 47
0
( , ) os ( , ) os
x
x c x K x t c tdtϕ µ µ µ= + ∫ ,
Theo định lý 1.3.26 ta tìm được
1
1
' ( )
( )
b
H
b
= −
ϕ
ϕ
.
Định lý được chứng minh.
Chú ý. Quan sát { } 1
(0, )if
i
u t
≥
, (0, )t T∈ ta xác định được q, h, H và b duy nhất.
Thật ra, do (0, )if
u t là hàm giải tích trên Re 0t > nên từ sự mở rộng liên tục của
hàm (0, )if
u t trên (0, )T người ta có thể xác định được (0, )if
u t tại bất kỳ 0t > và
do đó có thể áp dụng định lý.
2.3. THUẬT TOÁN
Giả sử 1{ }i if ≥ là cơ sở trực chuẩn của không gian 2
(0,1)L và quan sát 1{ (0, )}if
iu n ≥ ,
1,2,...n =
 Bước 1. Nếu
1
ln (0, )
lim 0
f
k
u k
k→∞
< ,
thì b < ∞, đi tới bước 2. Ngược lại b = ∞ đi tới bước 3.
 Bước 2. Với b < ∞, giá trị riêng thứ nhất được xác định bằng công thức
1
1
(0, 1)
inf limln
(0, )
i
i
f
fi k
u k
u k≥ →∞
 + 
= − 
  
µ ,
và 1
if
c có thể được thiết lập từ công thức
1
1 lim (0, )i if fk
k
c e u k
→∞
 =  
µ
, 1,2,...i =
Đặt
1
2 1( ) (0, )i i if f f t
U t u t c e−
= − µ
, 1,2,3,...i =
Khi đó giá trị riêng thứ hai được xác định từ công thức
2
2
1
2
( 1)
inf limln
( )
i
i
f
fi k
U k
U k≥ →∞
 + 
= − 
  
µ
và 2
2 2lim ( )i if fk
k
c e U k
→∞
 =  
µ
, 1,2,3,...i =
Lập lại quá trình trên ta xác định được 3 3{ , }if
cµ , 4 4{ , }if
cµ , … Từ đó xác định được
bước nhảy nα

55. 48
0
1
lim ( )if
n n i
x
j
c f x
∞
→ +
=
= ∑α , 0 1x< < ,
hàm phổ
1
( ) ( )n n
n
H
∞
=
= −∑ρ λ α λ µ
và định được độ dài
lim
n
n
n
b
→∞
=
π
µ
,
đến bước 6.
 Bước 3. Với b = ∞ , nếu
{ }1
1
lim (0, ) {0}f
k i
u k
→∞ ≥
= ,
thì phần phổ rời rạc của L là rỗng. Định nghĩa ( ) (0, )i if f
G k u k= và sang bước 5.
Ngược lại, phần phổ rời rạc của L là khác rỗng. Khi đó giá trị riêng thứ nhất có thể
được xác định nhờ công thức
1
1
(0, 1)
inf limln : lim (0, ) 0
(0, )
i
i
i
f
f
fi k k
u k
u k
u k≥ →∞ →∞
 + 
=− ≠ 
  
λ ,
và
1
1 1( ) lim (0, )i if fk
x
F e u k
→∞
 =  
λ
ρ λ , 1,2,...i =
Giả sử
1
2 1 1( ) (0, ) ( )i i if f f t
U t u t F e−
= − λ
ρ λ , 1,2,3,...i =
nếu
{ }1
2
1
lim ( ) {0}
f
k i
U k
→∞ ≥
= ,
thì không có giá trị riêng nào khác của toán tử L, và phổ rời rạc của toán tử L chỉ
bao gồm một giá trị riêng 1λ . Ngược lại giá trị riêng thứ hai tồn tại và được xác
định bởi công thức
2
2 2
1
2
( 1)
inf limln : lim ( ) 0
( )
i
i
i
f
f
fi k k
U k
U k
U k≥ →∞ →∞
 + 
=− ≠ 
  
λ ,
và 2
2 2 2( ) lim ( )i if fk
k
F e U k
→∞
 =  
λ
ρ λ , 1,2,3,...i = Tiếp tục ta xác định được
3 3 3{ , ( )}if
Fλ ρ λ , 4 4 4{ , ( )}if
Fλ ρ λ , …, nếu nó tồn tại. Ta thu được hàm
1
( ) (0, ) ( )i i i nf f f k
n n
n
G k u k F e−
=
= − ∑ λ
ρ λ
và đi tới bước 5.
 Bước 5. Với b = ∞ xác định '( ) ( )if
Fρ λ λ qua biến đổi Laplace

56. 49
1
1
( 1)
'( ) ( ) lim ( )
( 1)!
i i
k
f fnkt
n
k
F n e G nk
k
−∞
→∞
=
−
=
−
∑ρ λ λ , 0>λ , 1,2,...i =
Suy ra
0
1
'( ) lim ( ) '( ) ( )if
i
x
i
n F f x
∞
→ +
=
= ∑ρ λ λ ρ λ , 0>λ .
Từ đó khôi phục được hàm phổ
10
( ) ( ) '( ) ( )n n
n
H t dt H
=
= + −∑∫
λ
ρ λ λ ρ ρ λ λ , −∞ < < ∞λ .
Đi đến bước 6.
 Bước 6.
Với b = ∞ , xác định
2
( ) cos( ) ( )T x x dλ ρ λ λ
π
∞
+
−∞
 
= − 
 
∫
và
1 1
( , ) ( ) ( )
2 2
F x y T x y T x y= + + −
để tìm ( , )K x y , từ đó suy ra
( ) 2 ( , )=
d
q x K x x
dx
và (0,0)h K= .
Với b < ∞, giải bài toán giá trị đầu
1 1 1 1
1 1
''( ) ( ) ( ) ( ),
(0) 1, ''( ) .
x q x x x
x h
ϕ ϕ µ ϕ
ϕ ϕ
− =
= =
Và cuối cùng tìm được
1
1
''( )
( )
b
H
b
ϕ
ϕ
= − .
2.4. XÁC ĐỊNH ĐỘ DÀI b BẰNG MỘT PHÉP ĐO
Giả sử chúng ta chỉ quan tâm đến việc xác định độ dài của thanh là hữu hạn hay
vô hạn và nếu hữu hạn thì có độ dài bằng bao nhiêu? Khi đó với việc chọn nhiệt độ
đầu 1f thích hợp chúng ta chỉ cần thực hiện một phép đo 1
0{ (0, )}f
ku k > , từ bước 1)
ta có
1
ln (0, )
lim 0
f
k
u k
b
k→∞
< ⇒ < ∞ ,
1
ln (0, )
lim 0
f
k
u k
b
k→∞
≥ ⇒ =∞ .

57. 50
Khi thanh có độ dài hữu hạn, giả sử tiên nghiệm q đã được thiết lập, ta có thể xác
định được độ dài của thanh dựa trên hai định lí sau đây
Định lí 2.3.1. Giả sử điều kiện đầu
[0, ]( ) af x x= α
χ ,
trong đó ( 1 2,0)α ∈ − , 0a > , thì
0
1
( ) 0
a
n n
n
c x x dx= ≠∫
α
ϕ
α
, (2.15)
với mọi ( )n aλ ζ> , trong đó
1 1
2 2
2
2(0, ) (0, )
2
( )
( ) 4 , 1 ( )
1
2
L a L a
c a
a max q q h
a
α α
α
α
ζ
α
− 
  
= + +  
+  
 
,
và
( ) cos .
0
c t tdt
∞
= ∫
α
α
Với n đủ lớn, hệ số Fourier 0nc ≠ , từ bước 2) người ta có thể tìm được các giá
trị riêng nµ tương ứng. Số giá trị riêng được sắp theo thứ tự tăng
1, ,..., ,...m m m k+ +µ µ µ trong đó m (đếm được) là số các trị riêng nhỏ hơn (a)ζ . Từ
(2.14) ta suy ra kết quả sau.
Định lí 2.3.2. Độ dài b được tính từ giới hạn
lim
k
m k
k
b
→∞
+
= π
µ
.
Chứng minh
Từ công thức (2.14) suy ra
lim
k
m k
m k
b
→∞
+
+
= π
µ
.
Thay dãy các giá trị riêng nµ bằng dãy m kµ + cũng cho ta độ dài b. Thật vậy
lim lim lim lim
k k k k
m k m k m k
k m k k m k k
b
m k m k→∞ →∞ →∞ →∞
+ + +
+ +
= = =
+ +
π π π
µ µ µ
. 
Chứng minh định lý 2.3.1
Không mất tính tổng quát giả sử (0) 1,nϕ = ' (0)n hϕ = và (1.14) ta có

58. 51
( )
0
1
( ) cos sin sin ( ) ( ) ( )
x
n n n n n
n n
h
x x x x t q t t dt= + + −∫ϕ µ µ µ ϕ
µ µ
. (2.16)
Với 1
(0, )n L a
q>µ ta có đánh giá
1
(0, )(0, )
(0, )
1
n L aL a
n L a
n n
qh ∞
∞ ≤ + +
ϕ
ϕ
µ µ
.
Suy ra
1
(0, )
(0, )
1
1
n
n L a
L a
n
h
q
∞
+
≤
−
µ
ϕ
µ
. (2.17)
Từ (2.16) và (2.17) suy ra
1
(0, )(0, )
( ) cos
n L aL a
n n
n n
qh
x x
∞
− ≤ +
ϕ
ϕ µ
µ µ
, (0, )x a∀ ∈
1
1
(0, )
(0, )
1
1
1
n
L a
L an
n
h
h q
q
 
+ 
 ≤ + 
 −
  
µ
µ
µ
, (0, )x a∀ ∈
1
1
(0, )
(0, )
1
1
L a
L an
n
q h
q
+
=
−
µ
µ
, (0, )x a∀ ∈ .
Nhân xα
và lấy tích phân hai vế hai bất phương trình trên ta được
( , )
( , )
cos
1
1
a a a
L 0 a
n n
0 0 0L 0 an
n
q h1
x dx x xdx x dx
q
1
+
− ≤
−
∫ ∫ ∫
α α α
ϕ µ
µ
µ
( , )
( , )
.
1
1
1
L 0 a
L 0 an
n
q h1 a
q 1
1
++
=
+
−
α
αµ
µ
. (2.18)
Áp dụng định lí giá trị trung bình thứ hai ta có
cos ( ) cos ( )
n n
c
n n
a a
x xdx a xdx 2 a
∞
≤ ≤∫ ∫
α α α
µ µ
µ µ .

59. 52
Đặt ( ) cos ,
0
c t tdtα
α
∞
= ∫ với ( 1/ 2,0)α ∈ − ta có đánh giá
( )
cos cos cos
naa
n 1 1 1
0 0 02 2 2
n n n
c 1 1
x xdx t tdt t tdt
∞
+ + +
−= −∫ ∫ ∫
λ
α α α
α α α
α
µ
µ µ µ
cos
n
1
n2 a
n
1 2a
t tdt
∞
+
= ≤∫
α
α
α
µ µ
µ
. (2.19)
Kết hợp (2.18), (2.19) và (2.15) ta được
1
1
(0, )
1
(0, )2
( )
. 2
1
1
L a
n n
L an
n
n
q hc a a
c
q+
 
 
+ − ≤ + +
 −
  
α
α
α
α
αµ
µ
µ
.
Vì ( )c 0α > nên nc 0≠ nếu
1
1
(0, )
1
(0, )2
( )
. 2
1
1
L a
L an
n
n
q hc a a
q+
 
 
+ 
> + +
 −
 
 
α
α
α
αµ
µ
µ
.
Suy ra
1
1
(0, )2
(0, )
. 2
( ) 1
1
L a
n
L a
n
q ha a
qc
−
 
 
+ 
> + +
 −
 
 
α α
µ
α α
µ
.
Để thỏa mãn điều này thì
1 1
2 2
2
2(0, ) (0, )
2
( )
ax 4 , 1 (
1
2
n L a L a
c a
m q q h
a
− 
  
> + +  
+  
 
α α
α
α
µ
α
. 

60. KẾT LUẬN
Dựa vào [13] tác giả trình bày bài toán nhiệt theo hướng đưa bài toán về dạng
yếu mà sự tồn tại và tương đương của nghiệm yếu và nghiệm của bài toán ban đầu
có thể được kiểm chứng qua định lý Hille – Yosida. Do đó để giải bài toán gốc ta
khảo sát bài toán biên Sturm – Liouville
( ) [ ( ) ] ( ) 0, 0 ,
(0) (0) 0, ( ) 0,
( ,0) ( ).
xx
x b
u x q x u x x b
u hu V u
u x f x
λ− + − = ≤ ≤ ≤ ∞

− = =
 =
trong đó
( ) ( ) ( )b xV u u b Hu b= + khi b < ∞.
Việc chọn tiên nghiệm (0, )q L∈ ∞ , dương, khi b = ∞ giúp bài toán rơi vào trường
hợp giới hạn điểm nên không cần điều kiện biên tại điểm x = ∞ và hàm phổ ρ có
phần liên tục trên khoảng (0, )∞ .
Việc tìm hàm phổ bằng cách thay đổi nhiệt độ đầu làm chúng ta phải đối mặt với
dữ liệu rời rạc. Trong quá trình này chúng ta sử dụng một biến đổi Laplace ngược
1
1 1
1
( 1)
lim ( ) (1 ) ( 0) ( 0)
( 1)!
j
njt
n
j
n e g nj e f t e f t
j
−∞
− −
→∞
=
−
= − + + −
−
∑ ,
cho phép ta khôi phục hàm (0, )f L∞
∈ ∞ khi biết giá trị của hàm g tại những điểm
nguyên không phụ thuộc vào t. Một khi xác định được hàm phổ, bài toán nhiệt
ngược được giải theo lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan, hàm q và các giá trị h,
H xác định và duy nhất.
Phần cuối của luận văn đưa ra công thức xác định độ dài hữu hạn b bằng cách
chọn nhiệt độ đầu
[0, ]( ) af x xα
χ=
với ( 1 2,0)α ∈ − .
Dù đã cố gắng nhưng sự hiểu biết còn hạn chế không tránh khỏi những sai sót
rất mong nhận được những phản hồi từ quý Thầy (Cô) và các anh chị học viên.

61. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Đặng Đình Áng, T. L. Cường, H. B. Lân, N. V. Nhân, P. H. Quân (2007), Biến
đổi tích phân, Nxb. Giáo dục, Hà Nội.
2. Haïm Brezis, Người dịch: Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghĩa (2002), Giải
tích hàm lý thuyết và ứng dụng, Nxb. ĐHQG TP. HCM, HCM.
Tiếng Anh
3. N. I. Akhiezer and I. M. Glazman (1993), Theory of linear operators in Hilbert
space, Dover Publications, New York.
4. A. Boumenir and V. K. Tuan (2010), An inverse problem for the heat equation,
American Mathematical Society 138 (2), 3911–3921.
5. A. Boumenir and V.K. Tuan (2010), Recovery of a heat equation by four
measurements at one end, Numerical Functional Analysis and Optimization 31
(2), 155–163.
6. M. Carter, B. V. Brunt (2000), The Lebesgue – Stieltjes integral a practical
introduction, Springer, USA.
7. V. Isakov (2006), Inverse problems of partial differential equations, Springer,
USA.
8. B. M. Levitan (1987), Inverse Sturm – Liouville problems, VNU Science Press
BV, Great Britain.
9. B. M. Levitan, I. S. Sargsjan (1975), Introduction to spectral theory selfadjoint
ordinary differential operators, American Mathematical Society, Moscow.
10. V. A. Marchenko (1986), Sturm – Liouville operators and applications,
Operator Theory Advances and Applications 22, Germany.
11. E. L. Post (1930), Generalized differentiation, Trans. Amer. Math. Soc. 32, 723–
781.
12. E. C. Titchmarsh (1962), Eigenfunction expansions associated with second-
order differential equations Part 1, Clarendon press, Oxford, Great Britain.
13. V. K. Tuan, F. Al – Musallam (2011), Determination of the internal heat source
for a half-buried rod, Acta Mathematica Vietnamica 36 (2), 517– 535.
14. A. M. Wazwaz (2011), Linear and nonlinear integral equations methods and
applications, Springer, USA.
15. D.V.Widder (1946), The Laplace transform, Princeton University Press,
Princeton.