Submit Search
Upload
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
•
0 likes
•
258 views
Somporn Amornwech
Follow
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
Read less
Read more
Education
Report
Share
Report
Share
1 of 14
Download now
Download to read offline
Recommended
1.3 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.3 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
แบบฝึกทักษะเอกนาม
แบบฝึกทักษะเอกนาม
วชิรญาณ์ พูลศรี
3.2 การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
3.2 การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
3.1 แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
3.1 แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
อสมการ ม3
อสมการ ม3
Prang Donal
การแก้อสมการ
การแก้อสมการ
Aon Narinchoti
ข้อสอบพหุนาม
ข้อสอบพหุนาม
รุ่งอรุณ จิตรตั้งตรง
สื่อเรื่องระบบจำนวนจริง ครูขวัญแก้ว มีเหมือน ค31103
สื่อเรื่องระบบจำนวนจริง ครูขวัญแก้ว มีเหมือน ค31103
พัน พัน
Recommended
1.3 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.3 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
แบบฝึกทักษะเอกนาม
แบบฝึกทักษะเอกนาม
วชิรญาณ์ พูลศรี
3.2 การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
3.2 การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
3.1 แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
3.1 แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
อสมการ ม3
อสมการ ม3
Prang Donal
การแก้อสมการ
การแก้อสมการ
Aon Narinchoti
ข้อสอบพหุนาม
ข้อสอบพหุนาม
รุ่งอรุณ จิตรตั้งตรง
สื่อเรื่องระบบจำนวนจริง ครูขวัญแก้ว มีเหมือน ค31103
สื่อเรื่องระบบจำนวนจริง ครูขวัญแก้ว มีเหมือน ค31103
พัน พัน
แบบฝึกหัด เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม ชุดที่ 2
แบบฝึกหัด เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม ชุดที่ 2
คุณครูพี่อั๋น
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกำลังสาม
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกำลังสาม
Somporn Amornwech
อสมการ
อสมการ
Jiraprapa Suwannajak
ระบบสมการกำลังสอง
ระบบสมการกำลังสอง
Ritthinarongron School
จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยม
จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยม
jinda2512
การแก้สมการ
การแก้สมการ
Aon Narinchoti
อสมการ
อสมการ
narong2508
การแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนาม
Aon Narinchoti
แบบฝึกทักษะเรื่องการบวกและการลบเอกนาม
แบบฝึกทักษะเรื่องการบวกและการลบเอกนาม
วชิรญาณ์ พูลศรี
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
Somporn Amornwech
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
พัน พัน
19 จำนวนจริง ตอนที่6_เทคนิคการแก้อสมการ
19 จำนวนจริง ตอนที่6_เทคนิคการแก้อสมการ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
ทฤษฎีเศษเหลือ
ทฤษฎีเศษเหลือ
Teraporn Thongsiri
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
Chitpol Kamthep
ปริพันธ์
ปริพันธ์
พัน พัน
3.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
3.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
นายเค ครูกาย
เรื่อง บทเรียนสำเร็จรูปเรื่อง อสมการ ม.3
เรื่อง บทเรียนสำเร็จรูปเรื่อง อสมการ ม.3
วรรณิภา ไกรสุข
กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปร
กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปร
Jiraprapa Suwannajak
แบบฝึกหัด เรื่อง สัดส่วน
แบบฝึกหัด เรื่อง สัดส่วน
Math and Brain @Bangbon3
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
Somporn Amornwech
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
Somporn Amornwech
More Related Content
What's hot
แบบฝึกหัด เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม ชุดที่ 2
แบบฝึกหัด เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม ชุดที่ 2
คุณครูพี่อั๋น
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกำลังสาม
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกำลังสาม
Somporn Amornwech
อสมการ
อสมการ
Jiraprapa Suwannajak
ระบบสมการกำลังสอง
ระบบสมการกำลังสอง
Ritthinarongron School
จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยม
จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยม
jinda2512
การแก้สมการ
การแก้สมการ
Aon Narinchoti
อสมการ
อสมการ
narong2508
การแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนาม
Aon Narinchoti
แบบฝึกทักษะเรื่องการบวกและการลบเอกนาม
แบบฝึกทักษะเรื่องการบวกและการลบเอกนาม
วชิรญาณ์ พูลศรี
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
Somporn Amornwech
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
พัน พัน
19 จำนวนจริง ตอนที่6_เทคนิคการแก้อสมการ
19 จำนวนจริง ตอนที่6_เทคนิคการแก้อสมการ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
ทฤษฎีเศษเหลือ
ทฤษฎีเศษเหลือ
Teraporn Thongsiri
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
Chitpol Kamthep
ปริพันธ์
ปริพันธ์
พัน พัน
3.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
3.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
นายเค ครูกาย
เรื่อง บทเรียนสำเร็จรูปเรื่อง อสมการ ม.3
เรื่อง บทเรียนสำเร็จรูปเรื่อง อสมการ ม.3
วรรณิภา ไกรสุข
กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปร
กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปร
Jiraprapa Suwannajak
แบบฝึกหัด เรื่อง สัดส่วน
แบบฝึกหัด เรื่อง สัดส่วน
Math and Brain @Bangbon3
What's hot
(20)
แบบฝึกหัด เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม ชุดที่ 2
แบบฝึกหัด เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม ชุดที่ 2
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกำลังสาม
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกำลังสาม
อสมการ
อสมการ
ระบบสมการกำลังสอง
ระบบสมการกำลังสอง
จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยม
จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยม
การแก้สมการ
การแก้สมการ
อสมการ
อสมการ
การแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนาม
แบบฝึกทักษะเรื่องการบวกและการลบเอกนาม
แบบฝึกทักษะเรื่องการบวกและการลบเอกนาม
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
19 จำนวนจริง ตอนที่6_เทคนิคการแก้อสมการ
19 จำนวนจริง ตอนที่6_เทคนิคการแก้อสมการ
ทฤษฎีเศษเหลือ
ทฤษฎีเศษเหลือ
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
ปริพันธ์
ปริพันธ์
3.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
3.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
เรื่อง บทเรียนสำเร็จรูปเรื่อง อสมการ ม.3
เรื่อง บทเรียนสำเร็จรูปเรื่อง อสมการ ม.3
กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปร
กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปร
แบบฝึกหัด เรื่อง สัดส่วน
แบบฝึกหัด เรื่อง สัดส่วน
Similar to 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
Somporn Amornwech
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
Somporn Amornwech
Factoring of polynomials
Factoring of polynomials
Aon Narinchoti
Add m3-1-chapter2
Add m3-1-chapter2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
Piyanouch Suwong
บทเรียนซ่อมเสริมการแยกฯ ม.3 ส่วนบุญ
บทเรียนซ่อมเสริมการแยกฯ ม.3 ส่วนบุญ
Krukomnuan
32201mid522
32201mid522
คุณครูพี่อั๋น
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
Somporn Amornwech
แบบฝึกทักษะชุด เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม
แบบฝึกทักษะชุด เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม
โรงเรียนหาดใหญ่รัฐประชาสรรค์
แบบฝึกซ่อมเสริมกำลังสองสมบูรณ์ม.3(สี)
แบบฝึกซ่อมเสริมกำลังสองสมบูรณ์ม.3(สี)
Krukomnuan
เฉลยอินทิเกรต
เฉลยอินทิเกรต
krurutsamee
ใบความรู้
ใบความรู้
pummath
แบบฝึกซ่อมเสริมกำลังสองสมบูรณ์ม.3new
แบบฝึกซ่อมเสริมกำลังสองสมบูรณ์ม.3new
Krukomnuan
สรุปสูตร ม.3
สรุปสูตร ม.3
krutew Sudarat
Example equapoly
Example equapoly
Piyanouch Suwong
เฉลยแคลคูลัส
เฉลยแคลคูลัส
krurutsamee
Square Root 2
Square Root 2
KruAm Maths
การแยกตัวประกอบของพหุนาม (พื้นฐาน).pdf
การแยกตัวประกอบของพหุนาม (พื้นฐาน).pdf
rattapoomKruawang2
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.1 ___ 01-10
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.1 ___ 01-10
Kuntoonbut Wissanu
Polynomial m2 2561
Polynomial m2 2561
Tum Anucha
Similar to 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
(20)
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
Factoring of polynomials
Factoring of polynomials
Add m3-1-chapter2
Add m3-1-chapter2
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
บทเรียนซ่อมเสริมการแยกฯ ม.3 ส่วนบุญ
บทเรียนซ่อมเสริมการแยกฯ ม.3 ส่วนบุญ
32201mid522
32201mid522
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
แบบฝึกทักษะชุด เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม
แบบฝึกทักษะชุด เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม
แบบฝึกซ่อมเสริมกำลังสองสมบูรณ์ม.3(สี)
แบบฝึกซ่อมเสริมกำลังสองสมบูรณ์ม.3(สี)
เฉลยอินทิเกรต
เฉลยอินทิเกรต
ใบความรู้
ใบความรู้
แบบฝึกซ่อมเสริมกำลังสองสมบูรณ์ม.3new
แบบฝึกซ่อมเสริมกำลังสองสมบูรณ์ม.3new
สรุปสูตร ม.3
สรุปสูตร ม.3
Example equapoly
Example equapoly
เฉลยแคลคูลัส
เฉลยแคลคูลัส
Square Root 2
Square Root 2
การแยกตัวประกอบของพหุนาม (พื้นฐาน).pdf
การแยกตัวประกอบของพหุนาม (พื้นฐาน).pdf
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.1 ___ 01-10
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.1 ___ 01-10
Polynomial m2 2561
Polynomial m2 2561
More from Somporn Amornwech
5.การประเมินและประโยชน์โครงงานคณิตศาสตร์
5.การประเมินและประโยชน์โครงงานคณิตศาสตร์
Somporn Amornwech
4.ความสำคัญและขั้นตอนการทำของโครงงานคณิตศาสตร์
4.ความสำคัญและขั้นตอนการทำของโครงงานคณิตศาสตร์
Somporn Amornwech
3.ประเภทของโครงงานคณิตศาสตร์
3.ประเภทของโครงงานคณิตศาสตร์
Somporn Amornwech
2.หลักการและจุดมุ่งหมายของโครงงานคณิตศาสตร์
2.หลักการและจุดมุ่งหมายของโครงงานคณิตศาสตร์
Somporn Amornwech
1.ความหมายของโครงงาน
1.ความหมายของโครงงาน
Somporn Amornwech
2.2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยแผนภาพ
2.2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยแผนภาพ
Somporn Amornwech
2.1การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยตารางความถี่
2.1การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยตารางความถี่
Somporn Amornwech
1.4 สถิติเชิงอนุมาน
1.4 สถิติเชิงอนุมาน
Somporn Amornwech
1.3 ประเภทข้อมูล
1.3 ประเภทข้อมูล
Somporn Amornwech
1.2 คำสำคัญ
1.2 คำสำคัญ
Somporn Amornwech
1.1 สถิติศาสตร์
1.1 สถิติศาสตร์
Somporn Amornwech
1.2 คำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.2 คำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
1.4 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.4 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
1.1 แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.1 แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
More from Somporn Amornwech
(14)
5.การประเมินและประโยชน์โครงงานคณิตศาสตร์
5.การประเมินและประโยชน์โครงงานคณิตศาสตร์
4.ความสำคัญและขั้นตอนการทำของโครงงานคณิตศาสตร์
4.ความสำคัญและขั้นตอนการทำของโครงงานคณิตศาสตร์
3.ประเภทของโครงงานคณิตศาสตร์
3.ประเภทของโครงงานคณิตศาสตร์
2.หลักการและจุดมุ่งหมายของโครงงานคณิตศาสตร์
2.หลักการและจุดมุ่งหมายของโครงงานคณิตศาสตร์
1.ความหมายของโครงงาน
1.ความหมายของโครงงาน
2.2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยแผนภาพ
2.2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยแผนภาพ
2.1การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยตารางความถี่
2.1การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยตารางความถี่
1.4 สถิติเชิงอนุมาน
1.4 สถิติเชิงอนุมาน
1.3 ประเภทข้อมูล
1.3 ประเภทข้อมูล
1.2 คำสำคัญ
1.2 คำสำคัญ
1.1 สถิติศาสตร์
1.1 สถิติศาสตร์
1.2 คำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.2 คำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.4 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.4 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.1 แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.1 แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
1.
บทที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง เมื่อเรียนจบบทนี้แล้วนักเรียนจะสามารถ 1.
แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสามที่อยู่ในรูปผลบวกกาลังสามและผลต่างกาลังสาม โดยใช้สูตร 2. แยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม ที่สามารถจัดให้อยู่ในรูปผลต่างของ กาลังสอง กาลังสองสมบูรณ์ ผลบวกของกาลังสาม หรือผลต่างของกาลังสาม โดยใช้ สมบัติการเปลี่ยนหมู่ สมบัติการสลับที่ หรือสมบัติการแจกแจง จุดประสงค์ของบทเรียน
2.
บทที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง •
สมบัติของเลขยกกาลัง (am)n = amn เมื่อ a เป็นจานวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ m และ n เป็นเลขชี้กาลังที่เป็นจานวนเต็ม เช่น (103)2 = 103 2 = 106 210 = 25 2 = (25)2 (ab)n = an bn เมื่อ a, b เป็นจานวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ n เป็นเลขชี้กาลังที่เป็นจานวนเต็ม เช่น (2 x 5)3 = 23 53 = 1,000 • พหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูป x2 + bx + c แยกตัวประกอบเป็น (x + m)(x + n) ได้ เมื่อ mn = c และ m + n = b โดยที่ b, c, m และ n เป็นจานวนเต็ม เช่น x + 5x +6 = (x + 2)(x + 3) • พหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c แยกตัวประกอบเป็น (px + r)(qx + s) ได้ เมื่อ pq = a, rs = c และ ps + qr = b โดยที่ a, b, c, d, q, r, s เป็นจานวนเต็ม และ a 0 เช่น 6x2 – 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1) ทบทวนความรู้ก่อนเรียน
3.
บทที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง •
ถ้า A และ B เป็นพหุนาม จะแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกาลังสองสมบูรณ์ได้ตามสูตร ดังนี้ A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 • ถ้า A และ B เป็นพหุนาม จะแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นผลต่างของกาลังสองได้ตามสูตร ดังนี้ A2 – B2 = (A + B)(A – B) ทบทวนความรู้ก่อนเรียน นักเรียนเคยทราบมาแล้วเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจานวนเต็ม และ a 0 ให้ได้เป็นตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์และค่าคงตัวเป็นจานวนเต็ม ในบทนี้จะกล่าวถึงการแยกตัวประกอบ ของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์และค่าคงตัวเป็นจานวนเต็มให้ได้เป็นตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์ของ แต่ละพจน์และค่าคงตัวเป็นจานวนเต็มเท่านั้น ทักษะในการแยกตัวประกอบของพหุนามนี้ จะเป็นพื้นฐานการเรียนรู้ในระดับที่สูงขึ้น สามารถนาไปใช้แก้ปัญหาในสถานการณ์ ได้มากขึ้น
4.
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์เป็น จานวนเต็ม และตัวประกอบที่ได้มามีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์เป็นจานวนเต็มด้วย 1.
(x + 5) (x2 – 5x + 25) = x3 – 5x2 + 25x + 5x2 – 25x + 125 = x3 + 125 = x3 + 53 2. (2x + 3) (4x2 – 6x + 9) = 8x3 – 12x2 + 18x + 12x2 – 18x + 27 = 8x3 + 27 = (2x)3 + 33 พิจารณาการหาผลคูณของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้
5.
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม จากผลคูณในข้อที่ 1
ถึงข้อ 4 ข้างต้น จะเห็นว่าเมื่อมีผลคูณเป็นพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกของกาลังสามหรือ ผลต่างของกาลังสาม สามารถใช้สมบัติของการเท่ากันเขียนพหุนามที่เป็นผลคูณนั้นในรูปการคูณของพหุนามได้ นั่นคือ จะได้การแยกตัวประกอบของ x3 + 53 , (2x)3 + 33 , x3 – 53 และ (2x)3 – 33 เป็นดังนี้ 1. x3 + 53 = (x + 5) (x2 – 5x + 25) 2. (2x)3 + 33 = (2x + 3) (4x2 – 6x + 9) 3. x3 – 53 = (x – 5) (x2 + 5x + 25) 4 .(2x)3 – 33 = (2x – 3) (4x2 + 6x + 9) 3. (x – 5) (x2 + 5x + 25) = x3 + 5x2 + 25x – 5x2 – 25x – 125 = x3 – 125 = x3 – 53 4. (2x – 3) (4x2 + 6x + 9) = 8x3 + 12x2 + 18x – 12x2 – 18x – 27 = 8x3 – 27 = (2x)3 – 33 เรียกพหุนาม เช่น x3 + 53 และ (2x)3 + 33 ว่า ผลบวกของกาลังสาม และ เรียกพหุนาม เช่น x3 – 53 และ (2x)3 – 33 ว่า ผลต่างของกาลังสาม
6.
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม พิจารณา x3
– 53 = (x – 5)(x2 + 5x + 25) หรือ x3 – 53 = (x – 5)[x2 + (x)(5) + 52] และพิจารณา (2x)3 – 33 = (2x – 3)(4x2 + 6x + 9) หรือ (2x)3 – 33 = (2x – 3)[(2x)2 + (2x)(3) + 32] จะเห็นว่า การแยกตัวประกอบของพหุนามข้างต้นมีลักษณะพิเศษที่สังเกตได้ดังนี้ (พจน์หน้า)3 – (พจน์หลัง)3 = (พจน์หน้า – พจน์หลัง)[(พจน์หน้า)2 + (พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2] พิจารณา x3 + 53 = (x + 5)(x2 – 5x + 25) หรือ x3 + 53 = (x + 5)[x2 – (x)(5) + 52] และพิจารณา (2x)3 + 33 = (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) หรือ (2x)3 + 33 = (2x + 3)[(2x)2 – (2x)(3) + 32] จะเห็นว่า การแยกตัวประกอบของพหุนามข้างต้นมีลักษณะพิเศษที่สังเกตได้ดังนี้ (พจน์หน้า)3 + (พจน์หลัง)3 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)[(พจน์หน้า)2 – (พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2] พจน์หน้าคือ x พจน์หลังคือ 5 พจน์หน้าคือ 2x พจน์หลังคือ 3 พจน์หน้าคือ x พจน์หลังคือ 5 พจน์หน้าคือ 2x พจน์หลังคือ 3
7.
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม ตัวอย่างที่ 1
จงแยกตัวประกอบของ x3 + 125 วิธีทา x3 + 125 = x3 + 53 = (x + 5) [x2 – (x)(5) + 52] = (x + 5) (x2 – 5x + 25) ดังนั้น x3 + 125 = (x + 5) (x2 – 5x + 25) ในกรณีทั่วไป เมื่อ A และ B เป็นพหุนาม เรียกพหุนามที่อยู่ในรูป A3 + B3 ว่าผลบวกของกาลังสาม และ เรียกพหุนามที่อยู่ในรูป A3 – B3 ว่าผลต่างของกาลังสาม การแยก ตัวประกอบของพหุนามทาได้ตามสูตรดังนี้ A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 27x3 + 64 วิธีทา 27x3 + 64 = (3x)3 + 43 = (3x + 4) [(3x)2 – (3x)(4) + 42] = (3x + 4) (9x2 – 12x + 16) ดังนั้น 27x3 + 64 = (3x + 4) (9x2 – 12x + 16)
8.
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม ตัวอย่างที่ 3
จงแยกตัวประกอบของ (2x + 1)3 + (x – 3)3 วิธีทา (2x + 1)3 + (x – 3)3 = [(2x + 1) + (x – 3)][(2x + 1)2 – (2x + 1)(x – 3) + (x – 3)2] = (2x + 1 + x – 3)[(4x2 + 4x + 1) – (2x2 – 6x+x – 3) + (x2 – 6x + 9)] = (3x – 2) (4x2 + 4x + 1 – 2x2 + 5x + 3 + x2 – 6x + 9) = (3x – 2) (3x2 + 3x + 13) ดังนั้น (2x + 1)3 + (x – 3)3 = (3x – 2) (3x2 + 3x + 13) ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 1,000 – x3 วิธีทา 1,000 – x3 = 103 – x3 = (10 – x)[102 + (10)(x) + x2] = (10 – x)[100 + 10x + x2] ดังนั้น 1,000 – x3 = (10 – x)[100 + 10x + x2] ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ x3 – 126 วิธีทา x3 – 126 = x3 – 63 = (x – 6) [x2 + (x)(6) + 62] = (x – 6) (x2 + 6x + 36) ดังนั้น x3 – 126 = (x – 6) (x2 + 6x + 36)
9.
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม ตัวอย่างที่ 6
จงแยกตัวประกอบของ 8x3 – 27y3 วิธีทา 8x3 – 27y3 = (2x)3 – (3y)3 = (2x – 3y)[(2x)2 + (2x)(3y) + (3y)2] = (2x – 3y) (4x2 + 6xy +9y2) ดังนั้น 8x3 – 27y3 = (2x – 3y) (4x2 + 6xy +9y2) ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ (x – 3)3 – (3x + 2)3 วิธีทา (x – 3)3 – (3x + 2)3 = [(x – 3) – (3x + 2)][(x – 3)2 + (x – 3)(3x + 2) + (3x + 2)2] = (x – 3 – 3x – 2)(x2 – 6x + 9 + 3x2 + 2x – 9x – 6 + 9x2 + 12x + 4) = (– 2x – 5)(13x2 – x + 7) ดังนั้น (x – 3)3 – (3x + 2)3 = (– 2x – 5)(13x2 – x + 7)
10.
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม จากสูตร A3
+ B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) เพื่อให้ง่ายต่อการจดจาและนาไปใช้ อาจจาโดยย่อ ดังนี้ (หน้า)3 + (หลัง)3 = (หน้า + หลัง)[(หน้า)2 – (หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 ] (หน้า)3 – (หลัง)3 = (หน้า – หลัง)[(หน้า)2 + (หน้า)(หลัง) + (หลัง)2] จาไว้ใช้ ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 2.1 ก
11.
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง บางครั้งอาจทาได้โดยจัดพหุนามนั้นให้อยู่ในรูป ผลต่างของกาลังสอง
กาลังสองสมบูรณ์ ผลบวกของกาลังสาม ผลต่างของกาลังสาม หรือนาแนวคิดใน การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่อยู่ ในรูปอื่น ๆ มาใช้ จากนั้นนักเรียนสามารถนาความรู้ที่เคย เรียนมาแล้วมาใช้ในการแยกตัวประกอบต่อได้ ดังต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ 16x4 – 812 วิธีทา 16x4 – 812 = (4x)2 – 92 = (4x2 + 9)(4x2 – 9) = (4x2 + 9)[(2x)2 – 3] = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x – 3) ดังนั้น 16x4 – 812 = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x – 3) ตัวอย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบของ x4 + x2 + 1 วิธีทา x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = [(x2 + 1) + x][(x2 + 1) – x] = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) ดังนั้น x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) เพื่อให้ได้ (x2 + 1)2 จะต้องมีพจน์ 2x2 แต่ เนื่องจากพจน์กลางของพหุนาม x4 + x2 + 1 ไม่มีพจน์ 2x2 แต่มีพจน์ x2 จึงต้องเพิ่มอีก x2 แล้วลบออกด้วย x2
12.
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม ตัวอย่างที่ 10
จงแยกตัวประกอบของ x4 + 4 วิธีทาx4 + 4 = (x2)2 + 22 = [(x2)2 + 2(2)x2 + 22] – 2(2)x2 = (x2 + 2)2 – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = [(x2 + 2) + 2x][ (x2 + 2) – 2x] = (x2 + 2x + 2) (x2 – 2x + 2) ดังนั้น x4 + 4 = (x2 + 2x + 2) (x2 – 2x + 2) เพื่อให้ได้ (x2 + 2)2 จะต้องมีพจน์ 2(2)x2 แต่เนื่องจากไม่มีพจน์ 2(2)x2 ของพหุนาม x4 + 4 จึงต้องเพิ่ม พจน์ 2(2)x2 เข้าไปแล้วลบออกด้วย 2(2)x2
13.
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม ตัวอย่างที่ 11
จงแยกตัวประกอบของ x6 – 64 วิธีทา วิธีที่ 1 แยกตัวประกอบโดยจัดพหุนาม x6 – 64 ให้อยู่ในรูปของ ผลต่างกาลังสองก่อน x6 – 64 = (x3)2 – 82 = (x3 + 8)(x3 – 8) = (x3 + 23)(x3 – 23) = (x + 2)(x2 – 2x + 4)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4) ดังนั้น x6 – 64 = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4) วิธีที่ 2 แยกตัวประกอบโดยจัดพหุนาม x6 – 64 ให้อยู่ในรูปของ ผลต่างกาลังสามก่อน x6 – 64 = (x2)3 – 43 = (x2 – 4)(x4 + 4x2 + 16) = (x + 2)(x – 2)[(x4 + 8x2 + 16) – 4x2] = (x + 2)(x – 2)[(x2 + 4)2 – (2x)2] = (x + 2)(x – 2)[(x2 + 4) + 2x][(x2 + 4) – 2x] = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4) ดังนั้น x6 – 64 = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4) ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 2.1 ข
14.
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม ตัวอย่างที่ 12
จงแยกตัวประกอบของ x3 – 6x2 + 12x – 8 วิธีทา x3 – 6x2 + 12x – 8 = (x3 – 8) – (6x2 – 12x) = (x3 – 22) – 6x(x – 2) = (x – 2)(x2 + 2x +4) – 6x(x – 2) = (x – 2)[(x2 + 2x +4) – 6x] = (x – 2)(x2 – 4x +4) = (x – 2)(x – 2)(x – 2) ดังนั้น x3 – 6x2 + 12x – 8 = (x – 2)(x – 2)(x – 2) หรือ x3 – 6x2 + 12x – 8 = (x – 2)3 ในบางครั้งการแยกตัวประกอบของพหุนาม อาจต้องจัดพจน์ใหม่โดยใช้สมบัติการเปลี่ยนหมู่ สมบัติการสลับที่ และสมบัติการแจกแจง ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 13 จงแยกตัวประกอบของ 16x4 – y2 + 2y – 1 วิธีทา 16x4 – y2 + 2y – 1 = 16x4 – (y2 – 2y + 1) = 16x4 – (y2 – 1)2 = (4x2)2 – (y2 – 1)2 = [4x2 + (y – 1)][4x2 – (y – 1)] = (4x2 + y – 1)(4x2 – y – 1) ดังนั้น 16x4 – y2 + 2y – 1 = (4x2 + y – 1)(4x2 – y – 1) ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 2.1 ค
Download now