การแยกตัวประกอบของพหุนาม

1. ชื่อ - สกุล ชั้น เลขที่
ครูรัฐภูมิ
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
8.
ความรู้เดิม
➢ นิพจน์ที่สามารถเขียนอยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขั้นไป และเลขชี้กำลังของ
ตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก เรียกว่า เอกนาม
➢ นิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนาม หรือเขียนอยู่ในรูปการบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไปได้ เรียกว่า
พหุนาม และเรียกแต่ละเอกนามในพหุนามว่า พจน์
➢ พหุนามที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกัน เรียกว่า พหุนามในรูปผลสำเร็จ
เรียกดีกรีสูงสุดของพจน์ของพหุนามในรูปผลสำเร็จว่า ดีกรีของพหุนาม เช่น
เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ ที่มีดีกรีของพหุนามเท่ากับ
➢ ตัวประกอบของจำนวนนับใด คือ จำนวนนับที่หารจำนวนนับนั้นลงตัว เช่น
ตัวประกอบทั้งหมดของ คือ และ
ตัวประกอบทั้งหมดของ คือ และ
จากตัวอย่างข้างต้นจะได้ว่า และ เป็นตัวประกอบของทั้ง และ จึงเรียก
และ ว่า ตัวประกอบร่วม หรือตัวหารร่วมของ และ
➢ ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะ เรียกว่า ตัวประกอบเฉพาะ เช่น
และ เป็นตัวประกอบเฉพาะของ
➢ การแยกตัวประกอบของจำนวนนับใด คือประโยคที่แสดงการเขียนจำนวนนับนั้นรูปการคูณของตัว
ประกอบเฉพาะ เช่น
➢ ตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด หรือ ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป คือ
จำนวนนับที่มากที่สุดที่หารจำนวนนับเหล่านั้นได้ลงตัว เช่น ห.ร.ม.ของ และ คือ
การเขียนพหุนามที่กำหนดให้
ให้อยู่ในรูปการคูณของพหุนาม
ตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป โดยที่
แต่ละพหุนามหารพหุนามที่
กำหนดให้ได้ลงตัวดังข้างต้น
เป็นตัวอย่างของ การแยกตัว
ประกอบ (Factorization)
ของพหุนามที่กำหนดให้
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ให้นักเรียนพิจารณาการคูณของพหุนามต่อไปนี้
การแยกตัวประกอบของพหุนามเป็นกระบวนการทำ
ย้อนกลับของการคูณพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง
ตัวประกอบของพหุนามใด คือ
พหุนามที่หารพหุนามนั้นได้ลงตัว

2. ชื่อ - สกุล ชั้น เลขที่
ครูรัฐภูมิ
ถ้า ,
a b และ c เป็นพหุนาม เราก็สามารถใช้สมบัติการแจกแจงข้างต้นได้ด้วย และเรียก a ว่า ตัว
ประกอบร่วมของ ab และ ac หรือตัวประกอบร่วมของ ba และ ca
พิจารณาวิธีการแยกตัวประกอบของ 2 2
6 15
a b ab
− โดยใช้สมบัติการแจกแจง ดังนี้
2 2
6 15
a b ab
− ( ) ( )
2 5
3 3
a b a
a b b
=     −     d
( )
2
3 5
a b
a b
  −

=  d
( )
2
3 5
a b
ab
= − d
ดังนั้น 2 2
6 15
a b ab
− ( )
3 2 5
ab a b
= −
ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์ นอกจากจะใช้สมบัติการแจกแจงแล้ว อาจต้องใช้
สมบัติการสลับที่ หรือสมบัติการเปลี่ยนหมู่ประกอบด้วย ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 2
2 2
ab ac bc c
− + −
วิธีทำ 2
2 2
ab ac bc c
− + − ( ) ( )
2
2 2c
b
a c
a bc
= − + −
( ) ( )
2 2
b c b
a c
c
= − −
+
( )( )
2
a c b c
= + −
ดังนั้น ( )( )
2
2 2 2
ab ac bc c a c b c
− + − = + −
ตอบ ( )( )
2
2 2 2
ab ac bc c a c b c
− + − = + −
เราสามารถ จับคู่อีกแบบหนึ่งได้ดังนี้
2
2 2
ab ac bc c
− + − ( ) ( )
2
2 2
b b c c
a c a
− −
= + +
( ) ( )
2 c
b a c a
c
= + +
−
( )( )
2
b c a c
= − +
ดังนั้น ( )( ) ( )( )
2
2 2 2 2
ab ac bc c b c a c a c b c
− + − = − + = + −
ตอบ ( )( )
2
2 2 2
ab ac bc c a c b c
− + − = + −
1. การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง
สมบัติการแจกแจงกล่าวว่า ถ้า ,
a b และ c แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว
( )
a b c ab ac
+ = + หรือ ( )
b c a ba ca
+ = +
เราอาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่ เป็นดังนี้
( )
ab ac a b c
+ = + หรือ ( )
ba ca b c a
+ = +
เราสามารถใช้แนวคิดของการหา
ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ในการ
แยกตัวประกอบของพหุนามได้

3. ชื่อ สกุล ชั้น เลขที่
คะแนน
แบบฝึกหัดที่ 1
1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
ข้อ
ที่
สมการ
ข้อ
ที่
สมการ
1. 10 4
x+ = 11. 2
15 5
x y x
+ =
2. 7 14
x− = 12. 2
6 8
xy xy
− =
3. 9 3
x
− + = 13. 3
x x
+ =
4. 8 12x
− − = 14. 3
4
y y
+ =
5. 14 26
y z
+ = 15. 2 2
9 6
y z yz
− =
6. 2
13
x x
+ = 16. 3 2 2 3
21 28
x y x y
− =
7. 2
3 2
z z
− = 17. 2 3 5
7 63
x z xz
− + =
8. 2
5 20
y y
− = 18. 4 2 3 3
24 18
x z x z
+ =
9. 12 16
xz z
− = 19. 2 3 3 2 3 3
30 36 6
x y x y x y
+ − =
10. 2
33 11
y yz
− = 20. 2 2 3 3 4
24 27 9
xz x z x z
− + =
ข้อ
ที่
สมการ
ข้อ
ที่
สมการ
1. ( 3) 5( 3)
m n n
+ + + = 6. 3 3
na b nb a
+ + + =
2. ( ) ( )
x y z x y
+ − + = 7. 2 2
8 8
n m n p m p
+ − − =
3. 4 ( ) ( )
t a b s a b
+ − + = 8. 3 2
2 14 7
x x x
− + − =
4. ax by bx ay
+ + + = 9. 2 3
2 5 10
a b a ab
− − + =
5. 5 10 2
a x ab bx
− + − = 10. 3 3 2 2
x x z y z y
− + − =

4. ชื่อ - สกุล ชั้น เลขที่
ครูรัฐภูมิ
2. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป 2
ax bx c
+ +
เมื่อ 1,
a b
= และ c เป็นจำนวนเต็ม ที่ 0
c 
กรณีที่ 1
a = และ 0
c  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวอยู่ในรูป 2
ax bx c
+ + เราสามารถ
แยกตัวประกอบของพหุนาม 2
ax bx c
+ + โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม ดังนี้
( )( )
2 3
x x
+ + = ( )( ) ( )( )
2 2 3
x x x
+ + +
e = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2 3 2 3
x x x x
+ + +
e = 2
2 3 6
x x x
+ + +
e = 2
5 6
x x
+ +
จะได้ ( )( )
2 3
x x
+ + = 2
5 6
x x
+ +
ดังนั้น การแยกตัวประกอบของพหุนาม 2
5 6
x x
+ + สามารถทำได้โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ ดังนี้
2
5 6
x x
+ + = ( ) ( )( )
2
2 3 2 3
x x
+ + +
e = ( )( )
2
2 3 2 3
x x x
+ + +
e = ( )( )
2
2 3 2 3
x x x
 
+ + +
 
 
 
e = ( ) ( )
2 3 2
x x x
+ + +
e = ( )( )
3 2
x x
+ +
นั่นคือ 2
5 6
x x
+ + = ( )( )
3 2
x x
+ +
ข้อสังเกต! หาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 6
และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ 5
จากข้อสังเกตข้างต้น เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนาม 2
ax bx c
+ + โดยพิจารณาหา
จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x เช่น
การหาผลคูณของพหุนาม
เป็นกระบวนการคิดย้อนกลับ
ผลรวม
3
4
7
x
x
x
+
+
+
พจน์หลัง คือ
สัมประสิทธิ์ของพจน์กลาง คือ (สัมประสิทธิ์ของ )
พจน์กลาง

5. ชื่อ - สกุล ชั้น เลขที่
ครูรัฐภูมิ
พจน์หน้า
พจน์หน้าของพหุนามในวงเล็บแรก คูณกับ
พจน์หน้าของพหุนามในวงเล็บหลัง
ได้เท่ากับพจน์หน้าของพหุนาม
พจน์หลัง
พจน์หลังของพหุนามในวงเล็บแรก คูณกับ
พจน์หลังของพหุนามในวงเล็บหลัง
ได้เท่ากับพจน์หลังของพหุนาม
ในกรณีทั่วไป เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 2
x bx c
+ +
เมื่อ b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ 0
c  ได้
ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่
1. คูณกันแล้วได้เท่ากับพจน์หลัง
2. บวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของพจน์กลาง

6. ชื่อ สกุล ชั้น เลขที่
คะแนน
แบบฝึกหัดที่ 2
1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
ข้อ
ที่
พหุนาม
ข้อ
ที่
พหุนาม
1. 2
5
x x
− =
16. 2
11 18
a a
+ + =
2. 2
3 3
m m
− =
17. 2
56 15a a
+ + =
3. 2
2y y
− + = 18. 2
13 42
m m
− + =
4. 2
5 10
x x
− − =
19. 2
20 21
x x
− − =
5. 2
4 3 12
x x x
+ + + =
20. 2
15 36
x x
− + =
6. 2
5 2 10
m m m
− + − =
21. 2
13 12
y y
+ + =
7. 2
9 14
x x
+ + =
22. 2
11 30
t t
− + =
8. 2
15 14
n n
+ + =
23. 2
72
a a
− − =
9. 2
10 24
y y
+ + = 24. 2
17 70
x x
− + =
10. 2
7 18
x x
+ − =
25. 2
18 81
y y
− + =
11. 2
9 20
x x
− + =
26. 2
15 54
n n
+ − =
12. 2
8 9
a a
− − =
27. 2
30 99
x x
− − =
13. 2
9 10
b b
+ − =
28. 2
22 121
m m
− + =
14. 2
10 24
x x
− + =
29. 2
12 85
x x
− − =
15. 2
14 24
x x
− + =
30. 2
144 24a a
+ + =
Difficult, not impossible

7. ชื่อ - สกุล ชั้น เลขที่
ครูรัฐภูมิ
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป 2
ax bx c
+ + เมื่อ ,
a b และ c เป็นจำนวนเต็ม ที่
1,0
a  และ 0
c  ใช้หลักการเดียวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูป 2
x bx c
+ +
เพื่อความสะดวก เราจะเรียก 2
ax ว่าพจน์หน้า เรียก bx ว่าพจน์กลาง และเรียก c ว่า พจน์หลัง
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 2
8 14 15
x x
+ −
ขั้นที่ 1 หาพหุนามดีกรีหนึ่ง สองพหุนามที่คูณกันแล้วได้พจน์หน้า คือ 2
8x
ซึ่งอาจเป็น x กับ 8x หรือ 2x กับ 4x
เขียนพหุนามสองพหุนามนั้น เป็นพจน์หน้าของพหุนามในวงเล็บสองวงเล็บ ดังนี้
( )( )
8
x x หรือ ( )( )
2 4
x x
นั่นคือ ( )( )
2
8 14 15 8
x x x x
+ − =
หรือ ( )( )
2
8 14 15 2 4
x x x x
+ − =
ขั้นที่ 2 หาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันแล้วได้พจน์หลัง คือ 15
−
ซึ่งอาจเป็น 1 กับ 15 หรือ 3 กับ 5
โดยที่จำนวนหนึ่งเป็นจำนวนบวก ( )
+ และอีกจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนลบ ( )
−
ผลคูณจึงจะได้เป็นจำนวนลบ ( )
15
− ซึ่งจะได้กรณีทั้งหมดดังนี้
( )( )
1 15 15
+ − = − ( )( )
1 15 15
− + = −
( )( )
3 5 15
+ − = − ( )( )
3 5 15
− + = −
นั่นคือ ( )( )
2
8 14 15 1 15
x x
+ − = + −
หรือ ( )( )
2
8 14 15 1 15
x x
+ − = − +
หรือ ( )( )
2
8 14 15 3 5
x x
+ − = + −
หรือ ( )( )
2
8 14 15 3 5
x x
+ − = − +
3. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป 2
ax bx c
+ +
เมื่อ ,
a b และ c เป็นจำนวนเต็ม ที่ 1,0
a  และ 0
c 
พจน์หน้า พจน์หน้า พจน์หน้า
พจน์หลัง พจน์หลัง พจน์หลัง

8. ชื่อ - สกุล ชั้น เลขที่
ครูรัฐภูมิ
ขั้นที่ 3 นำผลที่ได้จากขั้นที่ 1 และขั้นที่ 2 มาตรวจสอบหาพจน์กลางที่มีค่าเท่ากับ 14x
+
ได้ทั้งหมด 16 กรณี ดังนี้
กรณีที่ 1
( )( )
1 8 15
x x
+ −
กรณีที่ 2
( )( )
1 8 15
x x
− +
กรณีที่ 3
( )( )
15 8 1
x x
− +
กรณีที่ 4
( )( )
15 8 1
x x
+ −
กรณีที่ 5
( )( )
3 8 5
x x
+ −
กรณีที่ 6
( )( )
3 8 5
x x
− +
กรณีที่ 7
( )( )
5 8 3
x x
+ −
กรณีที่ 8
( )( )
5 8 3
x x
− +
8x
+
15x
− 7x
−

9. ชื่อ - สกุล ชั้น เลขที่
ครูรัฐภูมิ
กรณีที่ 9
( )( )
2 1 4 15
x x
+ −
กรณีที่ 10
( )( )
2 1 4 15
x x
− +
กรณีที่ 11
( )( )
2 15 4 1
x x
+ −
กรณีที่ 12
( )( )
2 15 4 1
x x
− +
กรณีที่ 13
( )( )
2 3 4 5
x x
+ −
กรณีที่ 14
( )( )
2 3 4 5
x x
− +
กรณีที่ 15
( )( )
2 5 4 3
x x
+ −
กรณีที่ 16
( )( )
2 5 4 3
x x
− +
ซึ่งในทางปฏิบัติในขั้นตอนที่ 3 ไม่จำเป็นต้องหาให้ครบทุกกรณี หากแต่พบว่ากรณีใดได้พจน์กลาง
เท่ากับ 14x
+ แล้ว ก็ไม่ต้องพิจารณากรณีอื่นอีก
ดังนั้น 2
8 14 15
x x
+ − แยกตัวประกอบได้เท่ากับ ( )( )
2 5 4 3
x x
− +

10. ชื่อ สกุล ชั้น เลขที่
คะแนน
แบบฝึกหัดที่ 3
1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
ข้อ
ที่
พหุนาม
ข้อ
ที่
พหุนาม
1. 2
2 2 4
x x
− − =
16. 2
35 18 8
m m
+ − =
2. 2
3 6 9
m m
− − =
17. 2
4 10 6
x x
+ − =
3. 2
9 6 1
y y
− + = 18. 2
9 42 49
x x
− + =
4. 2
2 6 4
a a
+ + =
19. 2
3 26 35
x x
− + =
5. 2
6 12
y y
− − = 20. 2
4 28 49
z x
− + =
6. 2
6 7 10
m m
− − =
21. 2
12 20 7
y y
− − − =
7. 2
6 17 12
x x
+ + =
22. 2
10 19 15
x x
− − =
8. 2
5 14 3
n n
+ − =
23. 2
6 38 56
b b
− − =
9. 2
4 16 9
y y
+ − = 24. 2
7 72 55
x x
+ − =
10. 2
12 35
x x
− − =
25. 2
20 77 18
a a
+ + =
11. 2
5 4 1
x x
+ − =
26. 2
3 40 117
x x
− + =
12. 2
10 11 35
a a
− − =
27. 2
10 81 45
x x
− + − =
13. 2
16 8 1
z z
− − =
28. 2
13 69 54
y y
+ − =
14. 2
15 8 7
x x
+ − =
29. 2
4 36
x − =
15. 2
7 49 84
x x
+ + =
30. 2
144 a
− =
No such thing as genius; it is
nothing but labour and diligence.
ในความอัจฉริยะนั้น มิมีอื่นใดนอกจาก
ความอุตสาหะและพากเพียร

11. ชื่อ - สกุล ชั้น เลขที่
ครูรัฐภูมิ
4. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสัมบูรณ์
พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองต่อไปนี้
1. 2
2 1
x x
+ + = ( )( )
1 1
x x
+ + = ( )
2
1
x +
2. 2
4 4
x x
− + = =
3. 2
4 12 9
x x
− + = =
4. 2
9 6 1
x x
+ + = =
จากการแยกตัวประกอบของพหุนามในข้างต้น จะเห็นว่าการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
ในแต่ละข้อจะได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่ซ้ำกัน(เหมือนกัน) สามารถเขียนเป็นกำลังสองของ
พหุนามดีกรีหนึ่งได้ เรียกพหุนามดีกรีสองที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสัมบูรณ์
พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสัมบูรณ์ มีลักษณะที่สังเกตได้ดังนี้
1. ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 1 2 1 1 1
x x x x x
+ + = + + = +
ถ้าให้ x เป็นพจน์หน้า และ 1 เป็นพจน์หลัง สามารถเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้
(พจน์หน้า)2 + 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)2
หรือเขียนอย่างย่อได้ดังนี้ (หน้า)2 + 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)2
2. ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2
2
4 4 2 2 2 2
x x x x x
− + = − + = −
ถ้าให้ x เป็นพจน์หน้า และ 2 เป็นพจน์หลัง สามารถเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้
(พจน์หน้า)2 – 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า – พจน์หลัง)2
หรือเขียนอย่างย่อได้ดังนี้ (หน้า)2 – 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 = (หน้า – หลัง)2
3. ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2
2
4 12 9 2 2 2 3 3 3
x x x x x
− + = − + = −
4. ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2
2
9 6 1 3 2 3 1 1 3 1
x x x x x
+ + = + + = +
ในกรณีทั่วไป ถ้าให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบของพหุนาม
ดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสัมบูรณ์ได้ดังนี้
(หน้า)2
–2(หน้า)(หลัง)
+(หลัง)2
(หน้า – หลัง)2
(หน้า)2
+2(หน้า)(หลัง)
+(หลัง)2
(หน้า + หลัง)2
2 2
2
A AB B
+ + =
2 2
2
A AB B
− + =

12. ชื่อ สกุล ชั้น เลขที่
คะแนน
แบบฝึกหัดที่ 4
1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
1) 2
12 36
x x
+ +
2) 2
16 64
x x
+ +
3) 2
34 289
x x
+ +
4) 2
40 400
x x
+ +
5) 2
46 529
x x
+ +
6) 2
10 25
x x
− +
7) 2
28 196
x x
− +
8) 2
38 361
x x
− +
9) 2
52 676
x x
− +
10) 2
60 900
x x
− +
จงทำดี

13. ชื่อ สกุล ชั้น เลขที่
คะแนน
2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
1) 2
9 30 25
x x
+ +
2) 2
16 56 49
x x
+ +
3) 2
49 42 9
x x
+ +
4) 2
100 220 121
x x
+ +
5) 2
81 360 400
x x
+ +
6) 2
4 36 81
x x
− +
7) 2
49 70 25
x x
− +
8) 2
64 176 121
x x
− +
9) 2
81 180 100
x x
− +
10) 2
225 360 144
x x
− +
“ผู้เอ่ยปากถาม... ดูราวจะเป็นคนโง่อยู่ราว 5 นาที
ส่วนผู้ที่ไม่ยอมถาม ...จะเป็นคนโง่ตลอดกาล”
สุภาษิตจีน

14. ชื่อ - สกุล ชั้น เลขที่
ครูรัฐภูมิ
พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองต่อไปนี้
1. 2
1
x − = 2 2
1
x − = ( )( )
1 1
x x
+ −
2. 2
4
x − = =
3. 2
9
x − = =
4. 2
9 16
x − = =
จะเห็นว่าการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในแต่ละข้อ จะได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรี
หนึ่งที่มีพจน์เหมือนกัน แต่มีเครื่องหมายระหว่างพจน์ต่างกัน เรียกพหุนามดีกรีสองที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า
พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง
พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง มีลักษณะพิเศษที่สังเกตได้ดังนี้
1. 2
1
x − = 2 2
1
x − = ( )( )
1 1
x x
+ −
ถ้าให้ x เป็นพจน์หน้า และ 1 เป็นพจน์หลัง เขียนความสัมพันธ์ได้ ดังนี้
(หน้า)2 – (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)(หน้า – หลัง)
2. 2
4
x − = 2 2
2
x − = ( )( )
2 2
x x
+ −
ถ้าให้ x เป็นพจน์หน้า และ 1 เป็นพจน์หลัง เขียนความสัมพันธ์ได้ ดังนี้
(หน้า)2 – (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)(หน้า – หลัง)
3. 2
9 16
x − = ( ) ( )
2 2
3 4
x − = ( )( )
3 4 3 4
x x
+ −
ถ้าให้ 3x เป็นพจน์หน้า และ 4 เป็นพจน์หลัง เขียนความสัมพันธ์ได้ ดังนี้
(หน้า)2 – (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)(หน้า – หลัง)
ในกรณีทั่วไป ถ้าให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบของพหุนาม
ดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสองได้ดังนี้
5. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง
(หน้า)2 – (หลัง)2
(หน้า + หลัง) (หน้า – หลัง)
(หน้า)2 – (หลัง)2
(หน้า + หลัง) (หน้า – หลัง)
2 2
A B
− =
(หน้า)2 – (หลัง)2
(หน้า + หลัง) (หน้า – หลัง)

15. ชื่อ สกุล ชั้น เลขที่
คะแนน
แบบฝึกหัดที่ 5
1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
ข้อ
ที่
พหุนาม
ข้อ
ที่
พหุนาม
1. 2
1
x − =
6. 2
900
x − =
2. 2
16 x
− =
7. 2
4 9
y − =
3. 2
64
y − = 8. 2
9 49
x − =
4. 2
144
a − =
9. 2
16 196
x − =
5. 2
225
y − = 10. 2
64 121
a − =
2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
ข้อ
ที่
พหุนาม
ข้อ
ที่
พหุนาม
1.
( )
2
2 1
x − − =
6.
( ) ( )
2 2
4 3
x x
+ − + =
2.
( )
2
25 1
y
− + =
7.
( ) ( )
2 2
8 5
x x
− − − =
3.
( )
2
3 36
x − − =
8.
( ) ( )
2 2
3 2 1
x x
+ − − =
4.
( )
2
2
2 1
x x
− + =
9.
( )
2
2
144 2 3
x x
− − =
5.
( )
2 2
2 3 25
x x
+ − =
10.
( )
2 2
5 3 121
x x
+ − =
“กมฺมุนา โหติ พฺราหฺมโณ
คนเราจะดี เพราะการกระทำ”
พุทธสุภาษิต

16. ชื่อ สกุล ชั้น เลขที่
คะแนน
แบบฝึกหัดที่ 6
จงแสดงวิธีทำ (ห้ามใช้เครื่องคิดเลข)
1. จากรูป กำหนดให้ ABC
 เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี AB 14
= หน่วย BC 15
= หน่วย และ AC 13
= หน่วย
จงหาความสูง h
2. วงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน วงกลมวงใหญ่มีรัศมียาว 89 หน่วย วงกลมวงเล็กมีรัศมียาว 65 หน่วย วงกลมทั้งสองมี
พื้นที่ต่างกันเท่าใด (กำหนด 3.14
  )
3. จากรูป กำหนดให้ ABC
 เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี BC เป็นฐาน AB 51
= เซนติเมตร, AE 38
= เซนติเมตร และ
BE 25
= เซนติเมตร จงหาพื้นที่ของ ABC


17. ชื่อ สกุล ชั้น เลขที่
คะแนน
4. ถ้า ( )
3 2
7 14 2
x x A x
+ = + และ ( ) 2
5 2 15
B y y y
+ = + − โดยที่ A และ B เป็นพหุนาม แล้ว 2
A B
+ มีค่าเท่าใด
5. ถ้า 1
2
x
x
+ = แล้ว 2
2
1
x
x
− มีค่าเท่าใด
6. กำหนดให้
2 2 2
2558 2560 8
2550
A
− −
= จงหาค่าของ A
7. จงหาค่าของ 2
20,182,018 20,182,008 20,182,028
− 

18. ชื่อ สกุล ชั้น เลขที่
คะแนน
8. นายช่างวาดพาดบันไดไม้ซึ่งยาว 260 เซนติเมตร กับห้องเก็บของ ภายหลังบันไดไม้หักไป 10 เซนติเมตร และเมื่อนำมาวาง
พาดกับห้องเก็บของอีกครั้ง พบว่าปลายด้านหนึ่งของบันไดขยับเข้ามาใกล้ตัวห้องเก็บของมากขึ้น 30 เซนติเมตร จงหาว่าความ
สูงของห้องเก็บของเป็นเท่าไร
9. จงหาค่าของ 2 2 2 2
1 1 1 1
1.98 1 1 1 1
2 3 4 99
 
     
− − − −
     
 
     
 
10. จงหาจำนวนเต็ม n ที่ทำให้สามารถเขียนพหุนาม ( )( )
3 2 3 4
x x n
− + + ให้อยู่ในรูปกำลังสองสัมบูรณ์
ห้องเก็บของ
30 ซม.
“ไม่มีใครเกิดมาไร้ค่า แม้แต่คนโง่ที่สุดก็ยังฉลาดในบางเรื่อง
และคนที่ฉลาดที่สุด ก็ยังโง่ที่สุดในหลายเรื่อง”