Submit Search
Upload
3.2 การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
•
0 likes
•
1,877 views
Somporn Amornwech
Follow
การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
Read less
Read more
Education
Report
Share
Report
Share
1 of 23
Recommended
การแก้อสมการ
การแก้อสมการ
Aon Narinchoti
แบบฝึกการคูณและหารพหุนาม
แบบฝึกการคูณและหารพหุนาม
ทับทิม เจริญตา
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
พัน พัน
เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2
เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2
นายเค ครูกาย
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
kroojaja
โครงงานรรสมุทรปราการ
โครงงานรรสมุทรปราการ
aispretty
การแก้สมการ
การแก้สมการ
Aon Narinchoti
3.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
3.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
Recommended
การแก้อสมการ
การแก้อสมการ
Aon Narinchoti
แบบฝึกการคูณและหารพหุนาม
แบบฝึกการคูณและหารพหุนาม
ทับทิม เจริญตา
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
พัน พัน
เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2
เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2
นายเค ครูกาย
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
kroojaja
โครงงานรรสมุทรปราการ
โครงงานรรสมุทรปราการ
aispretty
การแก้สมการ
การแก้สมการ
Aon Narinchoti
3.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
3.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
แบบฝึกหัด เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม ชุดที่ 2
แบบฝึกหัด เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม ชุดที่ 2
คุณครูพี่อั๋น
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
Piyanouch Suwong
3.1 แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
3.1 แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
Aon Narinchoti
ช่วงและการแก้อสมการ
ช่วงและการแก้อสมการ
Aon Narinchoti
แบบทดสอบ เรื่องพหุนาม
แบบทดสอบ เรื่องพหุนาม
ทับทิม เจริญตา
การแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนาม
Aon Narinchoti
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
kroojaja
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
Somporn Amornwech
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
พัน พัน
อสมการ
อสมการ
narong2508
เศษส่วนพหุนาม
เศษส่วนพหุนาม
Ritthinarongron School
ค.ร.น.และห.ร.ม
ค.ร.น.และห.ร.ม
kruminsana
แบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจ
แบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจ
ชัชชญา ช่างเจริญ
เอกสารประกอบการเรียนเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
เอกสารประกอบการเรียนเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
Aun Wny
สรุปสูตร ม.3
สรุปสูตร ม.3
krutew Sudarat
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.2 เทอม 2 ชุดที่ 2
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.2 เทอม 2 ชุดที่ 2
คุณครูพี่อั๋น
การแก้อสมการเชิงเส้น1
การแก้อสมการเชิงเส้น1
ทับทิม เจริญตา
เฉลยแคลคูลัส
เฉลยแคลคูลัส
krurutsamee
อสมการ
อสมการ
Jiraprapa Suwannajak
Example equapoly
Example equapoly
Piyanouch Suwong
Real
Real
ksupha
More Related Content
What's hot
แบบฝึกหัด เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม ชุดที่ 2
แบบฝึกหัด เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม ชุดที่ 2
คุณครูพี่อั๋น
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
Piyanouch Suwong
3.1 แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
3.1 แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
Aon Narinchoti
ช่วงและการแก้อสมการ
ช่วงและการแก้อสมการ
Aon Narinchoti
แบบทดสอบ เรื่องพหุนาม
แบบทดสอบ เรื่องพหุนาม
ทับทิม เจริญตา
การแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนาม
Aon Narinchoti
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
kroojaja
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
Somporn Amornwech
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
พัน พัน
อสมการ
อสมการ
narong2508
เศษส่วนพหุนาม
เศษส่วนพหุนาม
Ritthinarongron School
ค.ร.น.และห.ร.ม
ค.ร.น.และห.ร.ม
kruminsana
แบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจ
แบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจ
ชัชชญา ช่างเจริญ
เอกสารประกอบการเรียนเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
เอกสารประกอบการเรียนเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
Aun Wny
สรุปสูตร ม.3
สรุปสูตร ม.3
krutew Sudarat
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.2 เทอม 2 ชุดที่ 2
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.2 เทอม 2 ชุดที่ 2
คุณครูพี่อั๋น
การแก้อสมการเชิงเส้น1
การแก้อสมการเชิงเส้น1
ทับทิม เจริญตา
เฉลยแคลคูลัส
เฉลยแคลคูลัส
krurutsamee
อสมการ
อสมการ
Jiraprapa Suwannajak
What's hot
(20)
แบบฝึกหัด เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม ชุดที่ 2
แบบฝึกหัด เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม ชุดที่ 2
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
3.1 แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
3.1 แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
ช่วงและการแก้อสมการ
ช่วงและการแก้อสมการ
แบบทดสอบ เรื่องพหุนาม
แบบทดสอบ เรื่องพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนาม
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
อสมการ
อสมการ
เศษส่วนพหุนาม
เศษส่วนพหุนาม
ค.ร.น.และห.ร.ม
ค.ร.น.และห.ร.ม
แบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจ
แบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจ
เอกสารประกอบการเรียนเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
เอกสารประกอบการเรียนเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
สรุปสูตร ม.3
สรุปสูตร ม.3
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.2 เทอม 2 ชุดที่ 2
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.2 เทอม 2 ชุดที่ 2
การแก้อสมการเชิงเส้น1
การแก้อสมการเชิงเส้น1
เฉลยแคลคูลัส
เฉลยแคลคูลัส
อสมการ
อสมการ
Similar to 3.2 การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
Example equapoly
Example equapoly
Piyanouch Suwong
Real
Real
ksupha
Math9
Math9
krusangduan54
คณิตศาสตร์ม.33
คณิตศาสตร์ม.33
krookay2012
คณิตศาสตร์ม.34
คณิตศาสตร์ม.34
krookay2012
เรื่อง สมการกำลังสอง.pdf
เรื่อง สมการกำลังสอง.pdf
ssusereb21c61
เอกสารความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน
เอกสารความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน
krurutsamee
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นฯ 4
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นฯ 4
ทับทิม เจริญตา
บทที่ 13 ระบบสมการ
บทที่ 13 ระบบสมการ
krulerdboon
ระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้น
kruthanapornkodnara
Real (1)
Real (1)
guest0cb30c2
112
112
pranee54
สมการที่มีกราฟเป็นเส้นตรง
สมการที่มีกราฟเป็นเส้นตรง
ทับทิม เจริญตา
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
Somporn Amornwech
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.1 ___ 01-10
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.1 ___ 01-10
Kuntoonbut Wissanu
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
Somporn Amornwech
ระบบสมการกำลังสอง
ระบบสมการกำลังสอง
Ritthinarongron School
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นฯ 3
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นฯ 3
ทับทิม เจริญตา
ใบความรู้
ใบความรู้
pummath
คณิตศาสตร์ม.31
คณิตศาสตร์ม.31
krookay2012
Similar to 3.2 การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
(20)
Example equapoly
Example equapoly
Real
Real
Math9
Math9
คณิตศาสตร์ม.33
คณิตศาสตร์ม.33
คณิตศาสตร์ม.34
คณิตศาสตร์ม.34
เรื่อง สมการกำลังสอง.pdf
เรื่อง สมการกำลังสอง.pdf
เอกสารความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน
เอกสารความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นฯ 4
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นฯ 4
บทที่ 13 ระบบสมการ
บทที่ 13 ระบบสมการ
ระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้น
Real (1)
Real (1)
112
112
สมการที่มีกราฟเป็นเส้นตรง
สมการที่มีกราฟเป็นเส้นตรง
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.1 ___ 01-10
___ facebook.com_123_grade4--- _________ 3.1 ___ 01-10
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
ระบบสมการกำลังสอง
ระบบสมการกำลังสอง
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นฯ 3
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นฯ 3
ใบความรู้
ใบความรู้
คณิตศาสตร์ม.31
คณิตศาสตร์ม.31
More from Somporn Amornwech
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
Somporn Amornwech
5.การประเมินและประโยชน์โครงงานคณิตศาสตร์
5.การประเมินและประโยชน์โครงงานคณิตศาสตร์
Somporn Amornwech
4.ความสำคัญและขั้นตอนการทำของโครงงานคณิตศาสตร์
4.ความสำคัญและขั้นตอนการทำของโครงงานคณิตศาสตร์
Somporn Amornwech
3.ประเภทของโครงงานคณิตศาสตร์
3.ประเภทของโครงงานคณิตศาสตร์
Somporn Amornwech
2.หลักการและจุดมุ่งหมายของโครงงานคณิตศาสตร์
2.หลักการและจุดมุ่งหมายของโครงงานคณิตศาสตร์
Somporn Amornwech
1.ความหมายของโครงงาน
1.ความหมายของโครงงาน
Somporn Amornwech
2.2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยแผนภาพ
2.2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยแผนภาพ
Somporn Amornwech
2.1การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยตารางความถี่
2.1การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยตารางความถี่
Somporn Amornwech
1.4 สถิติเชิงอนุมาน
1.4 สถิติเชิงอนุมาน
Somporn Amornwech
1.3 ประเภทข้อมูล
1.3 ประเภทข้อมูล
Somporn Amornwech
1.2 คำสำคัญ
1.2 คำสำคัญ
Somporn Amornwech
1.1 สถิติศาสตร์
1.1 สถิติศาสตร์
Somporn Amornwech
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกำลังสาม
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกำลังสาม
Somporn Amornwech
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
Somporn Amornwech
1.2 คำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.2 คำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
1.3 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.3 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
1.4 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.4 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
1.1 แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.1 แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
Somporn Amornwech
More from Somporn Amornwech
(18)
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
5.การประเมินและประโยชน์โครงงานคณิตศาสตร์
5.การประเมินและประโยชน์โครงงานคณิตศาสตร์
4.ความสำคัญและขั้นตอนการทำของโครงงานคณิตศาสตร์
4.ความสำคัญและขั้นตอนการทำของโครงงานคณิตศาสตร์
3.ประเภทของโครงงานคณิตศาสตร์
3.ประเภทของโครงงานคณิตศาสตร์
2.หลักการและจุดมุ่งหมายของโครงงานคณิตศาสตร์
2.หลักการและจุดมุ่งหมายของโครงงานคณิตศาสตร์
1.ความหมายของโครงงาน
1.ความหมายของโครงงาน
2.2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยแผนภาพ
2.2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยแผนภาพ
2.1การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยตารางความถี่
2.1การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยตารางความถี่
1.4 สถิติเชิงอนุมาน
1.4 สถิติเชิงอนุมาน
1.3 ประเภทข้อมูล
1.3 ประเภทข้อมูล
1.2 คำสำคัญ
1.2 คำสำคัญ
1.1 สถิติศาสตร์
1.1 สถิติศาสตร์
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกำลังสาม
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกำลังสาม
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
1.2 คำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.2 คำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.3 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.3 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.4 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.4 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.1 แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.1 แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
3.2 การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
1.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว นักเรียนเคยทราบมาแล้วว่า คาตอบของสมการ
คือ จานวนจริง ที่แทนตัวแปรในสมการแล้วทาให้ได้สมการที่เป็นจริง ให้นักเรียนพิจารณาการหาคาตอบของสมการกาลังสองตัวแปร เดียว โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปรในสมการ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
2.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว 1. x2
– 4x = 0 เมื่อแทน x ด้วย 0 ในสมการ x2 – 4x = 0 จะได้ (0) – 4(0) = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง ดังนั้น 0 เป็นคาตอบของสมการ x2 – 4x = 0 และเมื่อแทน x ด้วย 4 ในสมการ x2 – 4x = 0 จะได้ (4)2 – 4(4) = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง ดังนั้น 4 เป็นคาตอบของสมการ x2 – 4x = 0 และเมื่อแทน x ด้วยจานวนจริงอื่น ๆ ที่ไม่ใช่ 0 และ 4 ในสมการ x2 – 4x = 0 แล้ว จะได้สมการที่ไม่เป็นจริง ดังนั้น คาตอบของสมการ x2 – 4x = 0 มี 2 คาตอบ คือ 0 และ 4
3.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว 2. y2
+ 6y + 9 = 0 เมื่อแทน y ด้วย 3 ในสมการ y2 + By + 9 = 0 จะได้ (-3) + 6(-3) + 9 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง ดังนั้น -3 เป็นคาตอบของสมการ y2 + 6y +9 = 0 และเมื่อแทน y ด้วยจานวนจริงอื่น ๆ ที่ไม่ใช่ -3 ในสมการ y + 6y +9 = 0 แล้วจะได้ สมการที่ไม่เป็นจริง ดังนั้น คาตอบของสมการ y + By +9 = 0 มี 1 คาตอบ คือ -3
4.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว 3. z2
+ 8 = 0 จากสมการ z2 + 8 = 0 จะได้ z2 = –8 เนื่องจาก จานวนจริงใด ๆ ยกกาลังสองแล้ว จะต้องเป็นจานวนจริงบวก หรือศูนย์ ดังนั้น ไม่มีจานวนจริงใดยกกาลังสองแล้ว ได้ผลลัพธ์เป็น -8 นั่นคือ ไม่มีจานวนจริง ใดเป็นคาตอบของสมการ Z + 8 = 0 จากตัวอย่างทั้งสามข้างต้น แสดงให้เห็นว่า สมการกาลังสองตัวแปรเดียว อาจมี 2 คาตอบ หรือ 1 คาตอบ หรืออาจไม่มี จานวนจริงใดเป็นคาตอบก็ได้ ในทาง คณิตศาสตร์สมการกาลังสองตัวแปรเดียวมีคาตอบได้ไม่เกิน 2 คาตอบ ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 3.2 ก
5.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียวโดยวิธีแยกตัวประกอบ การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียวเป็นการหาคาตอบทั้งหมดของสมการนั้น ๆ สาหรับการแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียวที่อยู่ในรูป
ax2 + bx + c = 0 เมื่อ x เป็นตัว แปร a, b และ c เป็นค่าคงตัว โดยที่ a 0 ด้วยวิธีลองแทนค่าตัวแปรนั้น ในทางปฏิบัติ อาจทาไม่ได้ หรือ อาจไม่สะดวกและต้องใช้เวลามาก ในกรณีที่เราสามารถแยกตัวประกอบของ ax2 + bx + c ให้อยู่ในรูปการคุณกันของ พหุนามดีกรีหนึ่ง 2 พหุนาม และ เนื่องจากในที่นี้พหุนามแทนจานวน เราจึงใช้สมบัติของ จานวนจริงที่ว่า ถ้า m และ n เป็นจานวนจริง ถ้า m และ n เป็นจานวนจริง และ mn = 0 แล้ว m = 0 หรือ n = 0 มาใช้ในการแก้สมการด้วย ก็จะทาให้แก้สมการกาลังสองตัวแปร เดียวได้สะดวกขึ้น
6.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียวโดยวิธีแยกตัวประกอบ ให้นักเรียนพิจารณาการแก้สมการ x2
+ 5x – 36 = 0 เนื่องจาก x2 + 5x – 36 = (x + 9)(x – 4) จะได้ว่า (x + 9)(x – 4) = 0 จากสมบัติของจานวนจริง จะได้ x + 9 = 0 หรือ x – 4 = 0 และเมื่อใช้ความรู้เรื่องการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะได้ x = –9 หรือ x = 4 นาค่า x ที่ได้ไปแทน x ในสมการ x2 + 5x - 36 = 0 เพื่อตรวจสอบ ว่าเป็นคาตอบของสมการหรือไม่ ดังนี้
7.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว เมื่อแทน X
ด้วย –9 ในสมการ x2 + 5x – 36 = 0 จะได้ (–9)2 + 5(–9) – 36 = 0 81 – 45 – 36 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง ดังนั้น –9 เป็นคาตอบของสมการ X + 5x – 36 = 0 เมื่อแทน x ด้วย 4 ในสมการ x2 + 5x – 36 = 0 จะได้ (4)2 + 5(4) – 36 = 0 16 + 20 – 36 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง ดังนั้น 4 เป็นคาตอบของสมการ x + 5x - 36 = 0 นั้นคือ คาตอบของสมการ x +5x – 36 = 0 คือ –9 และ 4
8.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ
x2 – 10x + 25 = 0 วิธีทา x2 – 10x + 25 = 0 (x – 5)(x – 5) = 0 ดังนั้น x – 5 = 0 จะได้ x = 5 ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ 5 ตรวจสอบ เมื่อแทน x ด้วย 5 ในสมการ x2 – 10x + 25 = 0 จะได้ 52 – 10(5) + 25 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง
9.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว ตรวจสอบ 1) เมื่อแทน
x ด้วย –9 ในสมการ x2 – 81 = 0 จะได้ (–9)2 – 81 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง 2) เมื่อแทน x ด้วย 9 ในสมการ x2 – 81 = 0 จะได้ 92 – 81 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง การหาคาตอบของสมการในตัวอย่าง ที่ 2 ซึ่งอยู่ในรูปผลต่างของกาลังสอง อาจทา ได้อีกวิธีหนึ่งโดยไม่ต้องแยกตัวประกอบ แต่ใช้ สมบัติของรากที่สองของจานวนจริง ดังนี้ จากสมการ x2 – 81 = 0 จะได้ x2 = 81 เนื่องจาก 81 = 92 หรือ 81 = (–9)2 ดังนั้น x = 9 หรือ x = –9 และเมื่อนาค่าตัวแปรไปตรวจสอบคาตอบดัง ในตัวอย่างที่ 2 จะได้ว่า คาตอบของสมการ คือ 9 และ –9 ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ x2 – 81 = 0 วิธีทา x2 – 81 = 0 (x + 9)(x – 9) = 0 ดังนั้น x + 9 = 0 หรือ x – 9 = 0 จะได้ x = –9 หรือ x = 9 ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ –9 และ 9
10.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว ตรวจสอบ 1) เมื่อแทน
x ด้วย 0 ในสมการ x2 = 3x จะได้ 02 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง 2) เมื่อแทน x ด้วย 3 ในสมการ x2 = 3x จะได้ 32 = 3(3) 9 = 9 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x = 3x วิธีทา x2 = 3x x2 – 3x = 0 x(x – 3) = 0 ดังนั้น x = 0 หรือ x – 3 = 0 จะได้ x = 0 หรือ x = 3 ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ 0 และ 3 ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ 2x2 – x – 10 = 0 วิธีทา 2x2 – x – 10 = 0 (x + 2)(2x – 5) = 0 ดังนั้น x + 2 = 0 หรือ 2x – 5 = 0 จะได้ x = –2 หรือ x = 5 2 ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ –2 และ 5 2 ตรวจสอบ 1) เมื่อแทน x ด้วย 0 ในสมการ 2x2 – x – 10 = 0 จะได้ 2(–2)2 – (–2) – 10 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง 2) เมื่อแทน x ด้วย 5 2 ในสมการ 2x2 – x – 10 = 0 จะได้ 2( 5 2 )2 – 5 2 – 10 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง
11.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่ 5 จงแก้สมการ
y2 = 1 6 y + 2 วิธีทา y2 = 1 6 y + 2 6y2 = 6( 1 6 y + 2) 6y2 = y + 12 6y2 – y – 12 = 0 (3x + 4)(2x – 3) = 0 ดังนั้น 3x + 4 = 0 หรือ 2x – 3 = 0 จะได้ x = – 4 3 หรือ x = 3 2 ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ – 4 3 และ 3 2 ตรวจสอบ 1) เมื่อแทน x ด้วย – 4 3 ในสมการ y2 = 1 6 y + 2 จะได้ (– 4 3 )2 = 6(– 4 3 ) + 2 16 9 = 16 9 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง 2) เมื่อแทน x ด้วย 3 2 ในสมการ y2 = 1 6 y + 2 จะได้ ( 3 2 )2 = 1 6 ( 3 2 ) + 2 9 4 = 9 4 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง นา 6 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ
12.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่ 6 จงแก้สมการ
–0.5z2 + z – 0.5 = 0 วิธีทา –0.5z2 + z – 0.5 = 0 –5z2 + 10z – 5 = 0 z2 – 2z + 1 = 0 (z – 1)(z – 1) = 0 ดังนั้น x – 1 = 0 จะได้ x = 1 ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ 1 ตรวจสอบ เมื่อแทน x ด้วย 1 ในสมการ –0.5z2 + z – 0.5 = 0 จะได้ –0.5(1)2 + 1 – 0.5 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง นา 10 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ นา -5 มาหารทั้งสองข้างของสมการ
13.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่ 7 ให้ผลคูณของจานวนเต็มจานวนหนึ่งกับจานวนเต็มที่อยู่ติดกันเท่ากับ
156 จงหาจานวนเต็มทั้งสองนั้น ตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย์ 1) ถ้าให้ -12 เป็นจานวนที่มากกว่า จานวนเต็มลบที่อยู่ติดกัน คือ – 13 จะได้ –12 (–13) = 156 ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์ 2) ถ้าให้ 13 เป็นจานวนที่มากกว่า จานวนเต็มบวกที่อยู่ติดกัน คือ 12 จะได้ 13 x 12 = 156 ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์ วิธีทา ให้ x แทนจานวนเต็มจานวนหนึ่งที่มากกว่า จะได้ว่า จานวนเต็มที่น้อยกว่าและอยู่ติดกัน คือ x – 1 เนื่องจากผลคูณของสองจานวนนี้เท่ากับ 156 เขียนสมการได้เป็น x(x – 1) = 156 x2 – x = 156 x2 – x – 156 = 0 (x + 12)(x – 13) = 0 ดังนั้น x + 12 = 0 หรือ x – 13 = 0 จะได้ x = –12 หรือ x = 13 เนื่องจาก x แทนจานวนเต็ม ดังนั้น จึงเป็นได้ทั้งจานวนเต็มลบและจานวนเต็มบวก ถ้าจานวนที่มากกว่า คือ –12 จานวนเต็มที่น้อยกว่าและอยู่ติดกัน คือ -13 ถ้าจานวนที่มากกว่า คือ 13 จานวนเต็มที่น้อยกว่าและอยู่ติดกัน คือ 12 ดังนั้น จานวนเต็มทั้งสองนั้น มี 2 ชุด คือ -12 กับ 13 และ 13 กับ 12 ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 3.2 ข
14.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียวโดยการใช้สูตร ตัวอย่างที่ 8 จงแก้สมการ
x2 + 4x - 1 = 0 วิธีทา x2 + 4x – 1 = 0 (x2 + 4x) – 1 = 0 [x2 + 2(x)(2) + 22 – 22] – 1 = 0 [x2 + 2(x)(2) + 22] – 22 – 1 = 0 [x2 + 2(x)(2) + 22] – 4 – 1 = 0 [x2 + 2(x)(2) + 22] – 5 = 0 (x + 2)2 – 5 = 0 (x + 2)2 – ( 5 )2 = 0 [(x+2) + 5)][(x + 2) – 5)] = 0 (x+2 + 5)(x + 2 – 5)] = 0 ดังนั้น x+2 + 5 = 0 หรือ x + 2 – 5 จะได้ x = –2 – 5 หรือ x = –2 + 5 ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ –2 – 5 และ x = –2 + 5 จะเห็นว่า ไม่สามารถหาจานวนเต็มสองจานวน ที่คูณกันได้ -1 และบวกกันได้ 4 จึงไม่สามารถแยกตัว ประกอบของ x2 + 4x – 1 = 0 ได้โดยง่าย บวก 22 เข้าไปเพื่อจัดให้อยู่ในรูปกาลังสองสมบูรณ์ แต่ ก็ต้องลบออกด้วย 22 เพื่อให้สมการคงเดิม ตรวจสอบ 1) เมื่อแทน x ด้วย –2 – 5 ในสมการ x2 + 4x – 1= 0 จะได้ ( –2 – 5 )2 + 4(–2 – 5 ) – 1= 0 4 + 4 5 + 5 – 8 – 4 5 – 1 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง 2) เมื่อแทน X ด้วย –2 + 5 ในสมการ x2 + 4x – 1= 0 จะได้ ( –2 + 5 )2 + 4(–2 + 5 ) – 1= 0 4 – 4 5 + 5 – 8 + 4 5 – 1 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง
15.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่ 9 จงแก้สมการ
x2 + 2x + 2 = 0 วิธีทา x2 + 2x + 2 = 0 [x2 + 2(x{1) + 12 – 12] + 2 = 0 (x + 1)2 – 1 + 2 = 0 (x + 1)2 + 1 = 0 เนื่องจาก (x + 1)2 0 สาหรับทุกค่าของ x จะได้ (x + 1)2 + 1 > 0 สาหรับทุกค่าของ x ด้วย แสดงว่าไม่มีจานวนจริงใด ที่แทน x ในสมการ (x + 1)2 + 1 = 0 แล้วทาให้ได้ สมการที่เป็นจริง นั่นคือ ไม่มีจานวนจริงใดเป็นคาตอบของสมการ
16.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว จากการแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว โดยใช้ความรู้เรื่องกาลังสองสมบูรณ์และผลต่าง ของกาลังสองที่ผ่านมา
เราสามารถ นาความรู้ดังกล่าวมาใช้สร้างสูตรในการหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 เมื่อ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็น ค่าคงตัว โดยที่ a 0 ได้ดังนี้ จากการแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว โดยใช้ความรู้เรื่องกาลังสองสมบูรณ์และ ผลต่างของกาลังสองที่ผ่านมา เราสามารถ นาความรู้ดังกล่าวมาใช้สร้างสูตรในการหาคาตอบของ สมการ ax2 + bx + c = 0 เมื่อ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็น ค่าคงตัว โดยที่ a 0 ได้ดังนี้ ax2 + bx + c = 0 x2 + b a x + c a = 0 [x2 +2(x)( b 2a x) + ( b 2a )2] – ( b 2a )2 + c a = 0 (x + b 2a )2 – b2 − 4ac 4a2 = 0 ------------- เนื่องจาก b2 – 4ac เป็นจานวนจริง ดังนั้น b2 – 4ac ≥ 0 หรือ b2 – 4ac < 0 นา a มาหารทั้งสองข้างของสมการ
17.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว ในกรณีที่ b2
– 4ac ≥ 0 จะได้ b2 − 4ac เป็นจานวนจริง และ ( b2 − 4ac )2 = b2 – 4ac จากสมการ 1) จะได้ (x + b 2a )2 – ( b2 − 4ac 2a )2 = 0 [(x + b 2a ) – b2 − 4ac 2a ] [(x + b 2a ) + b2 − 4ac 2a ] = 0 ดังนั้น (x + b 2a ) – b2 − 4ac 2a = 0 หรือ (x + b 2a ) + b2 − 4ac 2a = 0 จะได้ x = – b 2a + b2 − 4ac 2a หรือ x = – b 2a – b2 − 4ac 2a x = − 𝑏 + b2 − 4ac 2a หรือ x = − 𝑏 − b2 − 4ac 2a เมื่อนาค่า x ไปตรวจสอบกับสมการ ax2 + bx + c = 0 จะได้สมการที่เป็นจริง ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ − 𝑏 + b2 − 4ac 2a และ − 𝑏 − b2 − 4ac 2a อาจเขียนเป็นสูตรเพื่อหาคาตอบของสมการได้เป็น x = − 𝑏 ± b2 − 4ac 2a
18.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว ในกรณีที่ b2
– 4ac < 0 จากสมการ 1) จะได้ (x + b 2a )2 = b2 – 4ac 4a2 ------------- เนื่องจาก b2 – 4ac < 0 และ 4a2 > 0 สาหรับทุกค่าของ a เมื่อ a 0 ดังนั้น b2 – 4ac 4a2 < 0 นั่นคือ b2 – 4ac 4a2 เป็นจานวนจริงลบ เนื่องจาก (x + b 2a )2 จะต้องเป็นจานวนจริงบวกหรือศูนย์ เมื่อ x เป็นจานวนจริงใด ๆ ดังนั้น ไม่มีจานวนจริงใดที่นามาแทน x ในสมการ (2) แล้วทาให้ได้สมการที่เป็นจริง
19.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว สมการกาลังสองตัวแปรเดียวที่อยู่ในรูป ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นค่าคงตัว โดยที่ a 0 ถ้า b2 – 4ac ≥ 0 แล้วจะมีจานวนจริงเป็นคาตอบของสมการ ซึ่งหาได้ จากสูตร x = − b ± b2 − 4ac 2a ถ้า b2 – 4ac < 0 แล้วจะไม่มีจานวนจริงใดเป็นคาตอบของสมการ นั่นคือ สมการ ax2 + bx + c = 0 จะไม่มีจานวนจริงใดเป็นคาตอบของสมการ เราได้ข้อสรุปเกี่ยวกับคาตอบของสมการกาลังสองตัวแปรเดียว เป็นดังนี้
20.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่ 10 จงแก้สมการ
5x2 + 2x – 3 = 0 วิธีทา จากสมการที่กาหนดให้ จะเห็นว่า a = 5, b = 2 และ c = –3 จะได้ b2 – 4ac = 2 – 4(5)(–3) = 64 เนื่องจาก b2 – 4ac > 0 ทาให้สมการ 5x + 2x – 3 = 0 มีคาตอบเป็นจานวนจริง จากสูตร x = − b ± b2 − 4ac 2a จะได้ x = −2 ± 64 2(5) = −2 ± 8 10 จะได้ x = −2 + 8 10 = 5 3 หรือ x = −2 − 8 10 = –1 ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ 5 3 และ –1
21.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่ 11 จงแก้สมการ
16y2 + 24y +9 = 0 วิธีทา จากสมการที่กาหนดให้ จะเห็นว่า a = 16, b = 24 และ c = 9 จะได้ b2 – 4ac = 242 – 4(16)(9) = 0 จากสูตร y = − b ± b2 − 4ac 2a จะได้ y = −24 ± 0 16 = – 3 4 ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ – 3 4
22.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่ 12 จงแก้สมการ
z2 = 4z – 13 วิธีทา จากโจทย์จะได้ z2 – 4z + 13 = 0 จะเห็นว่า a = 1, b = –4 และ c = 13 จะได้ b2 – 4ac = (–4) – 4(1)(13) = –36 เนื่องจาก b2 – 4ac < 0 ดังนั้น ไม่มีจานวนจริงใดเป็นคาตอบของสมการ
23.
3.2 การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่ 13 จงแก้สมการ
y2 – 10y + 10 = 0 วิธีทา จากสมการที่กาหนดให้ จะเห็นว่า a = 1, b = –10 และ c = 10 จะได้ b2 – 4ac = (–10) – 4(1)(10) = 60 จากสูตร y = −b ± b2 − 4ac 2a จะได้ y = 10 ± 60 2 = 10 ± 2 15 2 = 5 ± 2 15 จะได้ y = 5 + 2 15 หรือ y = 5 − 2 15 ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ 5 + 2 15 และ 5 − 2 15 ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 3.2 ค