การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

1. บทที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวก
และผลต่างของกาลังสาม
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
1. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสามที่อยู่ในรูปผลบวกกาลังสามและผลต่างกาลังสาม
โดยใช้สูตร
2. แยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม ที่สามารถจัดให้อยู่ในรูปผลต่างของ
กาลังสอง กาลังสองสมบูรณ์ ผลบวกของกาลังสาม หรือผลต่างของกาลังสาม โดยใช้
สมบัติการเปลี่ยนหมู่ สมบัติการสลับที่ หรือสมบัติการแจกแจง
จุดประสงค์ของบทเรียน
เมื่อเรียนจบบทนี้แล้วนักเรียนจะสามารถ

2. ทบทวนความรู้ก่อนเรียน
• สมบัติของเลขยกกาลัง
(am)n = amn เมื่อ a เป็นจานวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ m และ n เป็น
เลขชี้กาลังที่เป็นจานวนเต็ม
เช่น (103)2 = 103  2 = 106
210 = 25  2 = (25)2
(ab)n = an bn เมื่อ a, b เป็นจานวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ n เป็นเลขชี้
กาลังที่เป็นจานวนเต็ม
เช่น (2 x 5)3 = 23  53 = 1,000
• พหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูป x2 + bx + c แยกตัวประกอบเป็น (x + m)(x + n)
ได้ เมื่อ mn = c และ m + n = b โดยที่ b, c, m และ n เป็นจานวนเต็ม
เช่น x + 5x +6 = (x + 2)(x + 3)

3. ทบทวนความรู้ก่อนเรียน
• พหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c แยกตัวประกอบเป็น (px + r)(qx + s)
ได้ เมื่อ pq = a, rs = c
และ ps + qr = b โดยที่ a, b, c, d, q, r, s เป็นจานวนเต็ม และ a  0
เช่น 6x2 – 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1)
ถ้า A และ B เป็นพหุนาม จะแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกาลังสอง
สมบูรณ์ได้ตามสูตร ดังนี้
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
ถ้า A และ B เป็นพหุนาม จะแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นผลต่างของ
กาลังสองได้ตามสูตร ดังนี้
A2 – B2 = (A + B)(A – B)

4. นักเรียนเคยทราบมาแล้วเกยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนาม
ดีกรีสองที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจานวนเต็ม และ a  0
ให้ได้เป็นตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์และค่าคงตัวเป็นจานวนเต็ม
ในบทนี้จะกล่าวถึงการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง
ที่มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์และค่าคงตัวเป็นจานวนเต็มให้ได้เป็นตัวประกอบ
ที่มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์และค่าคงตัวเป็นจานวนเต็มเท่านั้น
ทักษะในการแยกตัวประกอบของพหุนามนี้ จะเป็นพื้นฐานการเรียนรู้
ในระดับที่สูงขึ้น สามารถนาไปใช้แก้ปัญหาในสถานการณ์ได้มากขึ้น

5. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูป
ผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
ให้นักเรียนพิจารณาการหาผลรวมของปริมาตรของลูกบาศก์ที่มี
ปริมาตร 53 ลูกบาศก์หน่วย และ x3 ลูกบาศก์หน่วย ดังต่อไปนี้
ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 2

6. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
ขั้นที่ 3
พิจารณาส่วนที่เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก A และ B ด้านซ้าย
จะเห็นว่า มีขนาดเดียวกัน คือ 5  (x)  (x – 5) ลูกบาศก์หน่วย จึงตัดส่วนที่เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุม
ฉาก B โดยวางแทนที่ส่วน A ดังแสดงไว้ที่รูปด้านขวา

7. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
ขั้นที่ 4
จากขั้นที่ 3 จะได้ปริซึม ดังรูป

8. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
จากรูปข้างต้น จะเห็นว่า ปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติในขั้นที่ 2 เท่ากับ
ปริมาตรของปริซึมในขั้นที่ 4 ดังนั้น
x3 + 53 = x(x – 5)(x + 5) + (5)(5)(x + 5)
= (x + 5)[x(x – 5) + 25]
= (x + 5)(x2 – 5x + 25)
จากการหาปริมาตรข้างต้น จะเห็นว่าเราสามารถเขียนพหุนาม x3 + 53 ซึ่งเป็น
พหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกของกาลังสาม (sum of cubes) ให้อยู่ในรูปของการ
คูณกันของพหุนามได้

9. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
เมื่อพิจารณาการหาผลคูณของพหุนาม x + 5 และ x2 – 5x + 25 จะได้
(x + 5)(x2 – 5x + 25) = x3 – 5x2 + 25x + 5x2 – 25x + 125
= x3 + 125
= x3 + 53
นั่นคือ เราสามารถแยกตัวประกอบของ x3 + 53 ได้เป็น (x + 5)(x2 – 5x + 25)
และเมื่อพิจารณาการหาผลคูณของพหุนาม 2x + 3 และ 4x2 – 6x + 9 จะได้
(2x + 3)(4x2 - 6x + 9) = 8x3 – 12x2 + 18x + 12x2 – 18x + 27
= 8x3 + 27
= (2x)3 + 33
นั่นคือ เราสามารถแยกตัวประกอบของ (2x)3 + 33 ได้เป็น (2x + 3)(4x2 – 6x + 9)

10. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
พิจารณา x3 – 53 = (x – 5)(x2 + 5x + 25)
หรือ x3 – 53 = (x – 5)[x2 + (x)(5) + 52]
และพิจารณา (2x)3 – 33 = (2x – 3)(4x2 + 6x + 9)
หรือ (2x)3 – 33 = (2x – 3)[(2x)2 + (2x)(3) + 32]
พจน์หน้าคือ x พจน์หลังคือ 5
พจน์หน้าคือ 2x พจน์หลังคือ 3
จะเห็นว่า การแยกตัวประกอบของพหุนามข้างต้นมีลักษณะพิเศษที่สังเกตได้ดังนี้
(พจน์หน้า)3 + (พจน์หลัง)3 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)[(พจน์หน้า)2 - (พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2]
ในกรณีทั่วไป เมื่อ A และ B เป็นพหุนาม เรียกพหุนามที่อยู่ในรูป A3 + B3 ว่า
ผลบวกของกาลังสาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามทาได้ตามสูตรดังนี้
A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)

11. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
ตัวอย่างที่ 1
จงแยกตัวประกอบของ x3 + 1
วิธีทา x3 + 1 = x3 + 13
= (x + 1)[x2 – (x)(1) + 12]
= (x + 1)(x2 – x + 1)
ดังนั้น x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1)
ตัวอย่างที่ 2
จงแยกตัวประกอบของ x3 + 343
วิธีทา x3 + 343 = x3 + 73
= (x + 7)[x2 – (x)(7) + 72]
= (x + 7)(x2 – 7x + 49)
ดังนั้น x3 + 343 = (x + 7)(x2 – 7x + 49)

12. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
ตัวอย่างที่ 3
จงแยกตัวประกอบของ 27x3 + 64
วิธีทา 27x3 + 64 = (3x)3 + 43
= (3x + 4)| (3x)2 – (3x)(4) + 42]
= (3x + 4)(9x2 – 12x + 16)
ดังนั้น 27x3 + 64 = (3x + 4)(9x2 – 12x + 16)
ตัวอย่างที่ 4
จงแยกตัวประกอบของ (2x + 1)3 + (x – 3)3
วิธีทา (2x + 1)3 + (x – 3)3 = [(2x+1) + (x – 3)][(2x+1)2 – (2x + 1)(x – 3) + (x – 3)2]
= (2x+1+x – 3)[(4x2+4x+1) – (2x2 – 6x+x – 3) + (x2 – 6x + 9)]
= (3x – 2)(4x2+4x+1 – 2x2+5x+3+x2 – 6x+9)
= (3x – 2)(3x2+3x+13)
ดังนั้น (2x + 1)3 + (x – 3)3 = (3x – 2)(3x2+3x+13)

13. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
ให้นักเรียนพิจารณาการหาปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติที่สร้างจาก
ลูกบาศก์ที่มีด้านยาว x หน่วย และมีการตัดที่มุมของลูกบาศก์นี้ให้เป็นลูกบาศก์ที่มี
ด้านยาว 5 หน่วย ออกไป ดังต่อไปนี้
ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 2

14. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
ขั้นที่ 3

15. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
จากรูปข้างต้น จะเห็นว่า ปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติในขั้นที่ 1 เท่ากับผลรวมของ
ปริมาตรของปริซึมทั้งสามในขั้นที่ 3
ดังนั้น x3 – 53 = (x – 5)(x)(x) + 5(x – 5)(x) + (5)(5)(x – 5)
= (x – 5)[x2 + x + 25)
จากการหาปริมาตรข้างต้น จะเห็นว่า จากการหาปริมาตรข้างต้น จะเห็นว่าเรา
สามารถเขียนพหุนาม x3 – 53 ซึ่งเป็นพหุนามที่อยู่ในรูปผลต่างของกาลังสาม
(difference of cubes) ให้อยู่ในรูปการคูณกันของพหุนามได้

16. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
เมื่อพิจารณาการหาผลคูณของพหุนาม x – 5 และ x2 + 5x + 25 จะได้
(x – 5)(x2 + 5x + 25) = x3 + 5x2 + 25x – 5x2 – 25x – 125
= x3 – 125
= x3 – 53
นั่นคือ เราสามารถแยกตัวประกอบของ x3 – 53 ได้เป็น (x – 5)(x2 + 5x + 25)
และเมื่อพิจารณาการหาผลคูณของพหุนาม 2x – 3 และ 4x2 + 6x + 9 จะได้
(2x – 3)(4x2 + 6x + 9) = 8x3 + 12x2 + 18x – 12x2 – 18x – 27
= 8x3 – 27
= (2x)3 – 33
นั่นคือ เราสามารถแยกตัวประกอบของ (2x)3 – 33 ได้เป็น (2x – 3)(4x2+6x+9)

17. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
พิจารณา x3 – 53 = (x – 5)(x2 + 5x + 25)
หรือ x3 – 53 = (x – 5)[x2 + (x)(5) + 52]
และพิจารณา (2x)3 – 33 = (2x – 3)(4x2 + 6x + 9)
หรือ (2x)3 – 33 = (2x – 3)[(2x)2 + (2x)(3) + 32]
พจน์หน้าคือ x พจน์หลังคือ 5
พจน์หน้าคือ 2x พจน์หลังคือ 3
จะเห็นว่า การแยกตัวประกอบของพหุนามข้างต้นมีลักษณะพิเศษที่สังเกตได้ดังนี้
(พจน์หน้า)3 - (พจน์หลัง)3 = (พจน์หน้า - พจน์หลัง)[(พจน์หน้า)2 + (พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2]
ในกรณีทั่วไป เมื่อ A และ B เป็นพหุนาม เรียกพหุนามที่อยู่ในรูป A3 + B3 ว่า
ผลต่างของกาลังสาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามทาได้ตามสูตรดังนี้
A3 - B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

18. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
ตัวอย่างที่ 5
จงแยกตัวประกอบของ 1,000 – x3
วิธีทา 1,000 – x3 = 103 – x3
= (10 – x)[102 + (10)(x) + x2]
= (10 – x)[100 + 10x + x2]
ดังนั้น 1,000 – x3 = (10 – x)[100 + 10x + x2]
ตัวอย่างที่ 6
จงแยกตัวประกอบของ 8x3 – 27y3
วิธีทา 8x3 – 27y3 = (2x)3 – (3y)3
= (2x – 3y)[(2x)2 + (2x)(3y) + (3y)2]
= (2x – 3y) (4x2 + 6xy +9y2)
ดังนั้น 8x3 – 27y3 = (2x – 3y) (4x2 + 6xy +9y2)

19. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
ตัวอย่างที่ 7
จงแยกตัวประกอบของ (x – 3)3 – (3x + 2)3
วิธีทา (x – 3)3 – (3x + 2)3 = [(x – 3) – (3x+2)][(x – 3)2+(x – 3)(3x+2) + (3x+2)2]
= (x – 3 – 3x – 2)(x2 – 6x+9+3x2+2x – 9x – 6+9x2+12x+4)
= (– 2x – 5)(13x2 – x + 7)
ดังนั้น (x – 3)3 – (3x + 2)3 = (– 2x – 5)(13x2 – x + 7)

20. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
ในบางครั้งการแยกตัวประกอบของพหุนาม อาจต้องจัดพจน์ของพหุนามใหม่โดยใช้สมบัติ
การเปลี่ยนหมู่ สมบัติการสลับที่ หรือสมบัติการแจกแจง ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 8
จงแยกตัวประกอบของ x3 – 6x2 + 12x – 8
วิธีทา x3 – 6x2 + 12x – 8 = (x3 – 8) – (6x2 – 12x)
= (x – 2)3 – 6x(x – 2)
= (x – 2)(x2 + 2x + 4) – 6x (x – 2)
= (x – 2)[(x2 + 2x + 4) – 6x]
= (x – 2)(x2 – 4x + 4)
= (x – 2)(x – 2)(x – 2)
= (x – 2)3
ดังนั้น x3 – 6x2 + 12x – 8 = (x – 2)3

21. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกและผลต่างของกาลังสาม
ข้อสังเกต
จากสูตร A3 + B3 = (A + B}{A2 – AB + B2)
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
เพื่อให้ง่ายต่อการจดจาและนาไปใช้ อาจจาโดยย่อ ดังนี้
(หน้า)3 + (หลัง)3 = (หน้า + หลัง)[(หน้า)2 – (หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 ]
(หน้า)3 – (หลัง)3 = (หน้า – หลัง)[(หน้า)2 + (หน้า)(หลัง) + (หลัง)2]