1. บทที่ 2
การแยกตัวประกอบของพหุนาม (15 ชั่วโมง)
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง (2 ชั่วโมง)
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ (4 ชั่วโมง)
2.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม (6 ชั่วโมง)
2.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใช
ทฤษฎีบทเศษเหลือ (3 ชั่วโมง)
สาระของบทนี้เปนเรื่องตอเนื่องจากที่นักเรียนเคยเรียนมาแลวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรู
เพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2 ที่ไดกลาวถึงการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
ในรูป ax2
+ bx + c เมื่อ a, b, c เปนจํานวนเต็ม a ≠ 0 และสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบ
เปนจํานวนเต็ม ในบทนี้จึงขยายความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผล
ตางของกําลังสองและของพหุนามที่ทําเปนกําลังสองสมบูรณและสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปน
จํานวนจริง อีกทั้งยังมีสาระใหมที่กลาวถึงการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่สัมประสิทธิ์ของ
แตละพจนเปนจํานวนเต็ม โดยใชสมบัติการเปลี่ยนหมู สมบัติการสลับที่ สมบัติการแจกแจง หรือใช
ทฤษฎีบทเศษเหลือ ในสาระใหมนี้จะเนนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์
ของแตละพจนเปนจํานวนเต็มและสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปนจํานวนเต็มเทานั้น สําหรับ
หัวขอ2.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือนั้น จะ
มีการกลาวถึงอีกครั้งในชวงชั้นที่ 4
ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนของบทนี้ ครูควรใหนักเรียนไดฝกทักษะมาก ๆ จนสามารถ
จัดพหุนามใหอยูในรูปที่จะนําสูตรการแยกตัวประกอบตาง ๆ มาชวยแยกตัวประกอบไดอยางคลองแคลว
โดยเฉพาะเรื่องการทําเปนกําลังสองสมบูรณ เพราะเรื่องนี้เปนพื้นฐานสําคัญของการเรียนพีชคณิตและ
การคํานวณอื่น ๆ ในชั้นที่สูงขึ้น
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณได
2. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็มและ
ไดตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็ม โดยอาศัยวิธีทําเปนกําลังสอง
สมบูรณหรือใชทฤษฎีเศษเหลือได

2. 12
แนวทางในการจัดการเรียนรู
2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสองได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูควรทบทวนความรูเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เคยเรียนมาแลว เชน
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยูในรูปผลตางของกําลังสองและในรูปที่สามารถทําเปนกําลังสอง
สมบูรณได ทั้งนี้อาจเสริมดวยแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1
2. กอนใหความรูเรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสองและมี
สัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปนจํานวนจริง ครูควรทบทวนเกี่ยวกับสมบัติบางประการของ
จํานวนจริงคือ
( a )2
= a เมื่อ a > 0
ba = ab เมื่อ a > 0 และ b > 0
b
a = b
a เมื่อ a > 0 และ b > 0
3. การแยกตัวประกอบของพหุนาม เชน 5x4
1 2
− ในตัวอยางที่ 2 ครูอาจแนะนําวิธีทําอีก
แบบหนึ่งดังนี้
5x4
1 2
− = 4
1 (x2
– 20)
= 4
1 (x – 20 )(x + 20 )
= 4
1 (x – 52 )(x + 52 )
4. การแยกตัวประกอบของพหุนาม 8 – (x – 3)2
ในตัวอยางที่ 3 ซึ่งมีการถอดวงเล็บ ครูควรย้ํา
และทบทวนถึงวิธีการเขาวงเล็บและถอดวงเล็บดวย เพราะถาทําไมถูกตอง การคํานวณจะผิดพลาด
ทําใหแยกตัวประกอบไมไดหรือแยกตัวประกอบไดไมถูกตอง

3. 13
2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ
(4 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูอาจทบทวนความรูเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง และย้ําถึงรูปแบบของ
พหุนามที่อยูในรูปกําลังสองสมบูรณ อาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ประกอบดวยก็ได
2. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ ในชวงตน ๆ
ครูอาจใหนักเรียนฝกทําเฉพาะการแยกตัวประกอบที่ไดสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปน
จํานวนเต็มกอน ทั้งนี้เพื่อใหนักเรียนคุนเคยและมีทักษะในการทําตามวิธีการที่ใชพจนบวกเขาและลบออก
ถาครูเห็นวานักเรียนสามารถทําความเขาใจรูปแบบของการทําพหุนามดีกรีสองใหเปน
กําลังสองสมบูรณไดดีแลว ก็อาจใหนักเรียนเห็นขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ ax2
+ bx + c เมื่อ a = 1
เปนกรณีทั่วไปดังนี้
1) จัดพหุนามที่กําหนดใหอยูในรูป x2
+ 2px + c หรือ x2
– 2px + c เมื่อ p เปน
จํานวนจริงบวก
2) ทํา x2
+ 2px หรือ x2
– 2px ที่จัดไวในขอ 1) ใหมีบางสวนเปนกําลังสองสมบูรณ
โดยนําพจน p2
บวกเขาและลบออกดังนี้
x2
+ 2px + c = (x2
+ 2px + p2
) – p2
+ c
= (x + p)2
– (p2
– c)
หรือ x2
– 2px + c = (x2
– 2px + p2
) – p2
+ c
= (x – p)2
– (p2
– c)
3) จากขอ 2) ถาให p2
– c = d2
เมื่อ d แทนจํานวนจริงบวก
จะได x2
+ 2px + c = (x + p)2
– d2
หรือ x2
– 2px + c = (x – p)2
– d2
4) แยกตัวประกอบของ (x + p)2
– d2
หรือ (x – p)2
– d2
โดยใชสูตรการแยก
ตัวประกอบของผลตางของกําลังสองคือ A2
– B2
= (A + B)(A – B) เมื่อ A และ
B เปนพหุนาม
ถาครูสอนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในกรณีทั่วไปตามขั้นตอนขางตน ก็ให
คํานึงวาสอนเพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดในเชิงคณิตศาสตร ไมตองนําไปวัดผลหรือประเมินผล

4. 14
3. การเขียนคําตอบของการแยกตัวประกอบในตัวอยางที่ 5 ไดนําตัวประกอบรวม 3 คูณเขาไป
ในวงเล็บเพื่อใหคําตอบอยูในรูปอยางงาย มีคาคงตัวเปนจํานวนเต็มและอยูในรูปการคูณของพหุนามดีกรี
หนึ่งสองพหุนาม สําหรับตัวอยางที่ 6 ถึงตัวอยางที่ 8 ยังเขียนตัวประกอบรวมอยูนอกวงเล็บ เพราะแม
จะนําตัวประกอบรวมคูณเขาไปในวงเล็บใดวงเล็บหนึ่ง ก็ไมทําใหไดคําตอบอยูในรูปอยางงาย อยางไรก็
ตามการเขียนคําตอบดังตัวอยางที่ 5 ถึงตัวอยางที่ 8 จะเขียนตัวประกอบรวมอยูนอกวงเล็บหรือนํากลับเขา
ไปคูณในวงเล็บก็ได ครูไมควรนําประเด็นนี้มาเปนเกณฑตัดสินคะแนน
สําหรับตัวอยางที่ 8 ครูควรทําความเขาใจกับนักเรียนเปนพิเศษเกี่ยวกับการเปลี่ยนเครื่องหมาย
ในวงเล็บเมื่อเขียนผลบวกหรือผลลบในรูปของเศษสวน ครูควรย้ําและชี้ใหเห็นวาระหวางพหุนามแตละคู
ในแตละวงเล็บมีการเปลี่ยนแปลง ดังนี้
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
2
53
2
5
x = ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −−
2
53
2
5x = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
2
535
x
และ 2
53
2
5
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−− = ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +−
2
53
2
5x = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
2
535
x
4. สําหรับกิจกรรม “ทําไดเหมือนกัน” มีเจตนาเสริมความรูใหนักเรียนไดเห็นพหุนามดีกรีสอง
ที่เปนกําลังสองสมบูรณและสัมประสิทธิ์ของบางพจนไมเปนจํานวนเต็ม ครูไมควรนําโจทยในลักษณะนี้
ไปใชในการวัดผลและประเมินผล
2.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม
(6 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละ
พจนเปนจํานวนเต็มได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ก และ 2.3 ข
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในหัวขอนี้จะกลาวถึงเฉพาะการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์
เปนจํานวนเต็ม และเมื่อแยกตัวประกอบแลวสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปนจํานวนเต็ม
ดวย ดังนั้นคําตอบของแบบฝกหัดแตละขอจึงอาจมีตัวประกอบเปนพหุนามดีกรีสอง โดยเฉพาะคําตอบ
ของพหุนามที่อยูในรูปผลบวกของกําลังสามและผลตางของกําลังสาม
2. ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ก และ 2.3 ข ประกอบการเรียนการสอนใหนักเรียนเห็น
ความสัมพันธระหวางการแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยูในรูปผลบวกของกําลังสามและผลตางของ
กําลังสามกับปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติก็ได

5. 15
3. เมื่อครูใหตัวอยางการแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปผลบวกของกําลังสามและผลตางของ
กําลังสาม ครูควรย้ําใหนักเรียนระวังในการใชสูตร A3
+ B3
= (A + B)(A2
– AB + B2
) และ
A3
– B3
= (A – B)(A2
+ AB + B2
)
นักเรียนมักจะสับสนจําพหุนาม A2
– AB + B2
หรือ A2
+ AB + B2
เปน A2
– 2AB + B2
หรือ A2
+ 2AB + B2
ซึ่งเปนพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ ซึ่งไมถูกตอง
4. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสามและพหุนามดีกรีสี่ที่อาศัยสมบัติการเปลี่ยนหมู
สมบัติการสลับที่และสมบัติการแจกแจง ดังตัวอยางที่ 13 และตัวอยางที่ 14 ซึ่งใชวงเล็บเปนเครื่องมือใน
การใชสมบัติตาง ๆ ดังกลาว ครูไมจําเปนตองอธิบายใหนักเรียนเห็นวาใชสมบัติเหลานั้นอยางไร แตครู
ควรใหขอสังเกตวิธีพิจารณาการเขาวงเล็บวาทําไดอยางไร อาจใหขอสังเกตกับนักเรียนในการทําโจทย
แบบฝกหัด 2.3 ค ดังนี้
กรณีที่เปนพหุนามดีกรีสามและมี 4 พจน นักเรียนควรจัดเปนสองวงเล็บใหมีวงเล็บหนึ่งอยู
ในรูปผลบวกของกําลังสามหรือผลตางของกําลังสาม พจนที่เหลือจัดเขาไวในอีกวงเล็บหนึ่งและใชสมบัติ
การแจกแจงในการแยกตัวประกอบ เชน
จัด x3
– 5x2
– 15x + 27 เปน (x3
+ 27) – (5x2
+ 15x) จะเห็นวา x3
+ 27 อยูในรูปผลบวกของ
กําลังสามและ 5x2
– 15x มี 5x เปนตัวประกอบรวม เมื่อใชสมบัติของการแจกแจงจะไดดังนี้
จาก x3
– 5x2
– 15x + 27 = (x3
+ 27) – (5x2
+ 15x)
= (x3
+ 33
) – 5x(x + 3)
= (x + 3)(x2
– 3x + 9) – 5x(x + 3)
= (x + 3)[(x2
– 3x + 9) – 5x]
= (x + 3)(x2
– 8x + 9)
สําหรับกรณีที่เปนพหุนามดีกรีสี่และมี 4 พจน จัดใหพหุนามในวงเล็บหนึ่งมี 3 พจนและ
จัดเปนกําลังสองสมบูรณได อีกพจนหนึ่งเขียนอยูในรูปกําลังสองไดและใชสูตรผลตางของกําลังสองในการ
แยกตัวประกอบ เชน
จัด 9x4
– y2
– 6y – 9 เปน (9x4
) – (y2
+ 6y + 9)
จาก 9x4
– y2
– 6y – 9 = (9x4
) – (y2
+ 6y + 9)
= (3x2
)2
– (y + 3)2
= [3x2
+ (y + 3)][3x2
– (y + 3)]
= (3x2
+ y + 3)(3x2
– y – 3)
ใชสมบัติการแจกแจง
ใชสมบัติการแจกแจง
จัดเปนกําลังสองสมบูรณได
เขียนเปนกําลังสองได
อยูในรูปผลตางของกําลังสอง

6. 16
2.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใช
ทฤษฎีบทเศษเหลือ (3 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็ม
โดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. เนื่องจากในการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือ บางครั้งอาจตองใช
การหารพหุนามประกอบดวย ครูจึงควรทบทวนการหารพหุนามตัวแปรเดียวที่ตัวตั้งมีดีกรีสูงกวาสองและ
ตัวหารเปนพหุนามดีกรีหนึ่งกอน โดยทบทวนถึงความรูที่เกี่ยวของกับความสัมพันธของตัวตั้ง ตัวหาร ผล
หาร และเศษ ซึ่งสัมพันธกันดังนี้
ตัวตั้ง = (ตัวหาร × ผลหาร) + เศษ
เมื่อตัวหารเปนพหุนามดีกรีหนึ่งที่อยูในรูป x – a ที่ a เปนคาคงตัว จะไดเศษจากการหาร
เปนคาคงตัว ใหครูแนะนําคําวา เศษ ที่นักเรียนเคยรูจักนั้น ตอไปนี้จะเรียกวาเศษเหลือ
กอนใหทฤษฎีบทเศษเหลือ ครูอาจหาโจทยการหารที่มีเศษเหลือใหนักเรียนทําเพิ่มเติมเพื่อ
เปรียบเทียบเศษเหลือที่ไดจากวิธีตั้งหารและวิธีแทนคา x ในพหุนาม P(x) ที่เปนตัวตั้งวาไดเศษเหลือเทากัน
หรือไม
2. ในตัวอยางที่ 6 การแยกตัวประกอบของ x3
– x2
– 8x + 12 ครูอาจใหขอสังเกตกับนักเรียน
วา เนื่องจากจํานวนเต็มที่หาร 12 ไดลงตัวมีหลายจํานวนคือ 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 และ
-12 การพิจารณาแทน x ใน P(x) ดวยจํานวนเต็มใดจึงจะทําใหไดเศษเหลือเทากับ 0 นั้น ครูควรแนะนํา
ใหนักเรียนลองแทนคาโดยเริ่มจากจํานวนที่มีคาสัมบูรณนอย ๆ เชน ลองแทนดวย 1, -1, 2, -2, ... ไป
ตามลําดับ
การหาพหุนามที่เปนตัวประกอบอาจใชวิธีหาเศษเหลือที่ไดเศษเหลือเปน 0 มากกวาหนึ่งครั้ง
และอาจคิดอยางเปนระบบดังนี้
ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบของ x3
– x2
– 8x + 12
ให P(x) = x3
– x2
– 8x + 12
ตัวประกอบของ 12 ไดแก 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 และ -12
P(1) = 13
– 12
– 8(1) + 12 = 1 – 1 – 8 + 12 ≠ 0
P(-1) = (-1)3
– (-1)2
– 8(-1) + 12 = (-1) – 1 + 8 + 12 ≠ 0
P(2) = 23
– 22
– 8(2) + 12 = 8 – 4 – 16 + 12 = 0
P(-2) = (-2)3
– (-2)2
– 8(-2) + 12 = (-8) – 4 + 16 + 12 ≠ 0
P(3) = 33
– 32
– 8(3) + 12 = 27 – 9 – 24 + 12 ≠ 0

7. 17
P(-3) = (-3)3
– (-3)2
– 8(-3) + 12 = (-27) – 9 + 24 + 12 = 0
จะได x – 2 และ x + 3 เปนตัวประกอบของ x3
– x2
– 8x + 12
เนื่องจาก (x – 2)(x + 3) = x2
+ x – 6
เมื่อหาร x3
– x2
– 8x + 12 ดวย x2
+ x – 6
จะไดผลหารเปน x – 2
ดังนั้น x3
– x2
– 8x + 12 = (x – 2)(x + 3)(x – 2)
= (x – 2)2
(x + 3)
ครูอาจชี้ใหนักเรียนสังเกตวาในกรณีที่แทน x ใน P(x) = x3
– x2
– 8x + 12 ดวย
จํานวนเต็มบางจํานวนนั้น นักเรียนควรใชการพิจารณาผลลัพธวาเทากับศูนยหรือไม กรณีที่ไมเทากับศูนย
ก็ไมจําเปนตองระบุวามีผลลัพธเปนเทาไร
3. สําหรับการเขียนวิธีทําในแบบฝกหัด 2.4 ครูอาจใหนักเรียนแสดงวิธีแยกตัวประกอบโดยใช
ทฤษฎีบทเศษเหลือสั้น ๆ เชน ตัวอยางที่ 9 อาจทําไดดังนี้
จงแยกตัวประกอบของ x4
+ 3x3
– 27x – 81
ให P(x) = x4
+ 3x3
– 27x – 81
แทน x ดวย 3 ใน P(x)
จะได P(3) = 34
+ 3(3)3
– 27(3) – 81
= 81 + 81 – 81 – 81
= 0
จะได x – 3 เปนตัวประกอบของ x4
+ 3x3
– 27x – 81
ดังนั้น x4
+ 3x3
– 27x – 81 = (x – 3)(x3
+ 6x2
+ 18x + 27)
ให Q(x) = x3
+ 6x2
+ 18x + 27
แทน x ดวย -3 ใน Q(x)
จะได Q(-3) = (-3)3
+ 6(-3)2
+ 18(-3) + 27
= -27 + 54 – 54 + 27
= 0
จะได x + 3 เปนตัวประกอบของ x3
+ 6x2
+ 18x + 27
ดังนั้น x3
+ 6x2
+ 18x + 27 = (x + 3)(x2
+ 3x + 9)
นั่นคือ x4
+ 3x3
– 27x – 81 = (x – 3)(x + 3)(x2
+ 3x + 9)
4. สําหรับกิจกรรม “คา k เปนเทาใด” มีเจตนาเสนอไวเพื่อใหนักเรียนใชความรูเกี่ยวกับการ
หารและการแยกตัวประกอบโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือมาประยุกตหาคําตอบ โจทยในลักษณะนี้ไมเหมาะ
สําหรับนําไปวัดผลและประเมินผล อาจนําไปใชเพื่อฝกการคิดวิเคราะหกับนักเรียนที่มีความสามารถ
คอนขางสูง

8. 18
5. สําหรับกิจกรรม “ตัวปญหา” มีเจตนาสรางเจตคติที่ดีในการเรียนคณิตศาสตร ใหนักเรียน
ไดฝกทักษะในการแยกตัวประกอบและไดตรวจสอบความถูกตองของคําตอบดวยการเชื่อมโยงกับสํานวนไทย
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบแบบฝกหัด 2.1
1. (x + 3)(x – 3) 2. (x + 7 )(x – 7 )
3. ( 52 + x)( 52 – x) 4. ( 23 + x)( 23 – x)
5. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
3
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
3
x 6. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
6
5
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
6
5
x
7. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + 15x3
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − 15x3
1
8. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + 62x4
5
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − 62x4
5
9. ( x7 + 62 )( x7 – 62 ) 10. (x – 1 + 6 )(x – 1 – 6 )
11. (x + 3 + 10 )(x + 3 – 10 ) 12. (x – 2 + 33 )(x – 2 – 33 )
13. ( 25 + x – 4)( 25 – x + 4) 14. ( 24 + x + 5)( 24 – x – 5)
15. (2x + 3 + 62 )(2x + 3 – 62 ) 16. (3x – 2 + 132 )(3x – 2 – 132 )
17. (5x – 1 + 34 )(5x – 1 – 34 ) 18. ( 26 + 4x + 3)( 26 – 4x – 3)
คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก
1. (x + 14)(x + 10) 2. (x + 33)(x – 17)
3. (x – 13)(x – 15) 4. (x + 5)(x – 31)
5. (x + 4 + 6 )(x + 4 – 6 ) 6. (x + 1 + 6 )(x + 1 – 6 )
7. (x – 3 + 7 )(x – 3 – 7 ) 8. (x – 1 + 11 )(x – 1 – 11 )
9. (x + 5 + 62 )(x + 5 – 62 ) 10. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
2
57
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
2
57
x
11. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
2
59
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
2
59
x 12. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
2
335
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
2
335
x
13. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
2
511
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
2
511
x 14. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
2
137
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
2
337
x
15. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
2
339
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
2
339
x 16. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
2
6515
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
2
6515
x

9. 19
คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข
1. (x + 7)(3x – 2) 2. (11x + 1)(x – 13)
3. (x – 5)(15x – 2) 4. -2(x + 3 + 11 )(x + 3 – 11 )
5. -3(x – 4 + 21 )(x – 4 – 21 ) 6. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
6
375
x3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
6
375
x
7. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
3
939
x6 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
3
939
x 8. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
4
419
x4 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
4
419
x
9. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
4
571
x2- ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
4
571
x 10. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
2
135
x- ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
2
135
x
11. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
20
12917
x10 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
20
12917
x 12. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
4
17313
x4- ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
4
17313
x
คําตอบกิจกรรม “ทําไดเหมือนกัน”
1. (x – 5)2
2.
2
2
1
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
3. (x + 32 )2
4.
2
3
1
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ก
1. (x + 3)(x2
– 3x + 9) 2. (y + 4)(y2
– 4y + 16)
3. (2x + 1)(4x2
– 2x + 1) 4. (4z + 5)(16z2
– 20z + 25)
5. (3x + 8y)(9x2
– 24xy + 64y2
) 6. (x + 7)(x2
– 13x + 103)
7. (4x – 5)(7x2
– x + 13) 8. (7x – 4)(19x2
– 77x + 151)
9. (x – 1)(x2
+ x + 1) 10. (z – 6)(z2
+ 6z + 36)
11. (5y – 4)(25y2
+ 20y + 16) 12. (10 – 6x)(100 + 60x + 36x2
)
13. (11y – 7z)(121y2
+ 77yz + 49z2
) 14. (4x – 2)(16x2
+ 44x + 49)
15. (x – 11)(127x2
+ 131x + 67) 16. (5x – 8)(97x2
– 383x + 379)

10. 20
คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ข
1. (x2
+ 25)(x + 5)(x – 5) 2. (9y2
+ 25)(3y + 5)(3y – 5)
3. (9x2
+ 16y2
)(3x + 4y)(3x – 4y) 4. (x2
+ x + 2)(x2
– x + 2)
5. (y2
+ 2y + 5)(y2
– 2y + 5) 6. (x2
+ 4x + 8)(x2
– 4x + 8)
7. (y2
+ 6y + 18)(y2
– 6y + 18) 8. (y + 1)(y – 1)(y2
– y + 1)(y2
+ y + 1)
9. (2x + 3)(2x – 3)(4x2
– 6x + 9)(4x2
+ 6x + 9) 10. (x + y)(x – y)(x2
– xy + y2
)(x2
+ xy + y2
)
11. (x2
+ 6)(x4
– 6x2
+ 36) 12. (7x2
+ 10z2
)(49x4
– 70x2
z2
+ 100z4
)
13. (8 – y2
)(64 + 8y2
+ y4
) 14. (6x2
– 3y2
)(36x4
+ 18x2
y2
– 9y4
)
คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ค
1. (x + 1)(x – 1)2
2. (y + 2)(y – 1)(y2
+ y +1)
3. (z – 4)(z2
+ 5z + 16) 4. (y – 6)(y2
+ 15y + 36)
5. (x + 3)(x2
– 8x + 9) 6. (x + 2y)(6x2
+ 4y2
)
7. x(x – 3)(x + 2)(x – 2) 8. (3x2
+ y + 3)(3x2
– y – 3)
9. (2x2
– y + 11)(2x2
– y – 11) 10. (3x2
– y + 3)(3x2
– y – 3)
11. (1 + x + y2
)(1 – x – y2
) 12. (x2
+ 2y2
+ 5)(x2
– 2y2
– 5)
13. (x2
– a + z)(x2
– a – z) 14. (2x2
– a + y – b)(2x2
– a – y + b)
คําตอบแบบฝกหัด 2.4
1.
1) 40 2) 3
3) 1 4) 38
5) -60 6) 0
2.
1) 121 2) -60
3) 85 4) 0
5) 14 6) 0
3. ใชทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจากการหาร x3
– 2x2
– 2x + 121 ดวย x + 2 ถาไดเศษเหลือ
เปน 0 แสดงวา x + 2 หาร x3
– 2x2
– 2x + 12 ไดลงตัว

11. 21
วิธีทํา ให P(x) = x3
– 2x2
– 2x + 12
จากทฤษฎีบทเศษเหลือ P(-2) เปนเศษเหลือที่ไดจากการหาร P(x) ดวย x + 2
P(-2) = (-2)3
– 2(-2)2
– 2(-2) + 12
= -8 – 8 + 4 + 12
= -16 + 16
= 0
ดังนั้น เศษเหลือเทากับ 0
นั่นคือ x + 2 หาร x3
– 2x2
– 2x + 12 ไดลงตัว
4. ใชทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจากการหาร x4
– 23x2
+ 18x + 40 ดวย x – 4 ถาไดเศษเหลือ
เปน 0 แสดงวา x – 4 เปนตัวประกอบของ x4
– 23x2
+ 18x + 40
วิธีทํา ให P(x) = x4
– 23x2
+ 18x + 40
จากทฤษฎีบทเศษเหลือ P(4) เปนเศษเหลือที่ไดจากการหาร P(x) ดวย x – 4
P(4) = 44
– 23(4)2
+ 18(4) + 40
= 256 – 368 + 72 + 40
= 368 – 368
= 0
ดังนั้น เศษเหลือเทากับ 0
นั่นคือ x – 4 เปนตัวประกอบของ x4
– 23x2
+ 18x + 40
5.
1) (x – 1)(x – 3)(x – 4) 2) (x + 2)(x2
– 4x + 6)
3) (x – 5)(x + 2)(x + 3) 4) (x – 1)2
(x + 6)
5) (x + 2)(x + 4)(x – 4) 6) (x – 4)(x2
+ 3x + 1)
7) (x – 2)2
(x + 3)2
8) (x – 4)(x + 5)(x – 3)2
9) (x – 5)(x + 5)(x + 3)(x – 3) 10) (x + 2)(x + 1)(x – 3)(x + 4)(x – 4)
คําตอบกิจกรรม “คา k เปนเทาใด”
1. -6 2. 59
3. -27 4. -6

12. 22
คําตอบกิจกรรม “ตัวปญหา”
1. x2
+ 2x – 3 = (x – 1)(x + 3)
2. x2
+ 4x + 1 = (x + 2 – 3)(x + 2 + 3)
3. 81x2
– 169 = (9x + 13)(9x – 13)
4. 27x3
– 1 = (3x – 1)(9x2
+ 3x + 1)
5. x4
+ 64 = (x2
+ 4x + 8)(x2
– 4x + 8)
6. x2
– 28x + 196 = (x – 14)2
7. x3
+ x2
– x – 1 = (x + 1)2
(x – 1)
สํานวนนั้นคือ อยาเอาพิมเสนไปแลกกับเกลือ

13. 23
กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

14. 24
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1
จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้
1. 3x2
+ x [ x(3x + 1) ]
2. x – 2x2
[ x(1 – 2x) ]
3. 2x(x – 3) + 3(x – 3) [ (x – 3)(2x + 3) ]
4. 3(2x – 1)2
+ 4(2x – 1) [ (2x – 1)(6x + 1) ]
5. x2
+ 4x – 5 [ (x + 5)(x – 1) ]
6. 2x2
– 5x + 3 [ (2x – 3)(x – 1) ]
7. a2
– a – 2 [ (a – 2)(a + 1) ]
8. a2
+ 6a + 9 [ (a + 3)2
]
9. 4x2
– 4x + 1 [ (2x – 1)2
]
10. 4y2
– 20y + 25 [ (2y – 5)2
]
11. 14y2
+ y – 3 [ (7y – 3)(2y + 1) ]
12. p2
– 1 [ (p – 1)(p + 1) ]
13. 4x2
– 32
[ (2x + 3)(2x – 3) ]
14. 12a2
– 27 [ 3(2a – 3)(2a + 3) ]
15. 81 – 49x2
[ (9 – 7x)(9 + 7x) ]
16. 9x2
– 121 [ (3x – 11)(3x + 11) ]
17. (2x – 1)2
– 4 [ (2x – 3)(2x + 1) ]
18. (x – 3)2
– y2
[ (x – y – 3)(x + y – 3) ]

15. 25
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2
1. จงเขียนพหุนามตอไปนี้ใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ
ตัวอยาง x2
– 8x – 16 = x2
– 2(x)(4) + 42
16x2
+ 24x + 9 = (4x)2
+ 2(4x)(3) + 32
a2
+ 3a + 4
9 = a2
+ 2(a)
3
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
2
3
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
4a2
– a3
4 + 9
1
= (2a)2
– 2(2a)
1
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
2
1
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1) a2
+ 6a + 9 = …………………….. [ a2
+ 2(a)(3) + 32
]
2) y2
– 10y + 25 = …………………….. [ y2
– 2(y)(5) + 52
]
3) x2
– 18x + 81 = …………………….. [ x2
– 2(x)(9) + 92
]
4) 4x2
+ 8x + 4 = …………………….. [ (2x)2
+ 2(2x)(2) + 22
]
5) 4x2
– 20x + 25 = …………………….. [ (2x)2
– 2(2x)(5) + 52
]
6) 100x2
– 20x + 1 = …………………….. [ (10x)2
– 2(10x) + 12
]
7) y2
+ 5y + 4
25 = …………………….. [ y2
+ 2(y)
5
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
2
5
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
]
8) a2
– 7a + 4
49 = …………………….. [ a2
– 2(a)
7
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
2
7
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
]
9) 4
1 a2
– 3a + 9 = …………………….. [
2
1
a2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
– 2
1
a2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(3) + 32
]
10) 25
16 y2
+ 8y + 25 = …………………….. [
2
4
y5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ 2
4
y5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5) + 52
]

16. 26
2. จงเติมพจนในชองวางเพื่อทําใหพหุนามตอไปนี้เปนพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ
แลวแยกตัวประกอบ
ตัวอยาง x2
+ 6x + 9 = (x + 3)2
x2
– 14x + 49 = (x – 7)2
a2
+ 5a + 4
25 =
2
5
a 2+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1) x2
+ ……….. + 25 = …………………… [ 10x, (x + 5)2
]
2) 4x2
– ……….. + 1 = …………………… [ 4x, (2x – 1)2
]
3) 9x2
– 24x + ……….. = …………………… [ 16, (3x – 4)2
]
4) 9x2
+ ……….. + 25 = …………………… [ 30x, (3x + 5)2
]
5) ……….. + 6a + 1 = …………………… [ 9a2
, (3a + 1)2
]
6) 64y2
– 80y + ……….. = …………………… [ 25, (8y – 5)2
]
7) x2
+ ……….. + 4
1 = …………………… [ x,
2
1
x 2+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
]
8) y2
– 3x + ……….. = …………………… [
9
4 ,
2
3
y 2−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
]
9) 64y2
……….. + 16
1 = …………………… [ 4y,
2
1
8y 4+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
]
10) 25x2
+ 15x + ……….. = …………………… [
3
2 ,
2
3
5x 2+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
]

17. 27
กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ก
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นวา a3
+ b3
= (a + b)(a2
– ab + b3
) โดยใช
ปริมาตร
ใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามตอไปนี้
1. สรางกลองกระดาษทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก 5 กลอง ขนาดตาง ๆ กันดังนี้
กลองที่ 1 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ a หนวย
กลองที่ 2 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ b หนวย (ให b ∠ a)
กลองที่ 3 ขนาดกวาง b หนวย ยาว b หนวย และ สูง a หนวย
กลองที่ 4 ขนาดกวาง b หนวย ยาว a – b หนวย และ สูง a หนวย
กลองที่ 5 ขนาดกวาง a – b หนวย ยาว a หนวย และ สูง a หนวย
ตัวอยาง
1
a
a
a
b
b
b
2
b b
a3
a – b b
4 a
a – b
a
5
a

18. 28
2. ใหนักเรียนหาปริมาตรของกลองแตละใบแลวเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้
ปริมาตรของกลองที่ 1 เทากับ .................................... [ a3
]
ปริมาตรของกลองที่ 2 เทากับ .................................... [ b3
]
ปริมาตรของกลองที่ 3 เทากับ .................................... [ ab2
]
ปริมาตรของกลองที่ 4 เทากับ .................................... [ ab(a – b) ]
ปริมาตรของกลองที่ 5 เทากับ .................................... [ a2
(a – b) ]
3. นํากลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 มาประกอบเปนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความสูง a หนวย
ดังรูป ก แลวใหนักเรียนสังเกตวา ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูป ก นี้มีปริมาตรเทากับปริมาตรของ
กลองที่ 1 หรือไม
[เทากัน]
4. ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 1 และกลองที่ 2 เทากับเทาใด [ a3
+ b3
]
5. นํากลองที่ 2 วางซอนบนกลองทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูป ก ในขอ 3 จะไดรูปเรขาคณิตสามมิติ
ดังรูป ข
a
5
b
a 3
a – b
4 a 1
a
a
a
รูป ก
b
a – b
รูป ข
a
5
b
a 3
b
a – b
4
2
b
a – b

19. 29
6. จากรูปเรขาคณิตสามมิติรูป ข ใหนักเรียนดึงกลองที่ 4 ออก แลวนําไปวางซอนดานบนของ
กลองที่ 5 ใหไดดังรูป ค
7. ปริซึมรูป ค มีปริมาตรเทาใด [a3
+ b3
]
a – b b
4 a
a
5
a 3
b
b a – b
b
a – b
a
b
4
a
5
a 3
b
b
a – b
2
รูป ค
a – b
รูป ค
a
b
4
a
5
a 3
b
b
a – b
2
a – b

20. 30
8. จากกิจกรรมในขอ 4 ขอ 6 และขอ 7 นักเรียนสามารถหาความสัมพันธของปริมาตรของรูปเรขาคณิต
สามมิติในขอ 4 และขอ 7 เปน a3
+ b3
= (a + b)(a2
– ab + b2
) ไดหรือไม ถาได จงแสดงวิธีทํา
ได ดังแนวคิดตอไปนี้
ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 2 และปริมาตรของกลองที่ 3 = b2
(a + b) ลูกบาศกหนวย
ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 4 และปริมาตรของกลองที่ 5 = a(a – b)(a + b) ลูกบาศกหนวย
เนื่องจาก ในขอ 3 ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 เทากับปริมาตร
ของกลองที่ 1
จะได ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 2 กลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 เทากับ
ผลบวกปริมาตรของกลองที่ 2 และปริมาตรของกลองที่ 1
ดังนั้น b2
(a + b) + a(a – b)(a + b) = b3
+ a3
นั่นคือ a3
+ b3
= (a + b)[b2
+ a(a – b)]
= (a + b)(a2
– ab + b2
)
a
=
1
a
a
a
b
b
b
2
b
4
a
5
a 3
b
b
a – b
2
b
a – b

21. 31
กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ข
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นวา a3
– b3
= (a – b)(a2
+ ab + b2
) โดยใช
ปริมาตร
ใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามตอไปนี้
1. สรางกลองกระดาษทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก 5 กลอง ขนาดตาง ๆ กันดังนี้
กลองที่ 1 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ a หนวย
กลองที่ 2 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ b หนวย ให b < a
กลองที่ 3 ฐานยาวดานละ a หนวย สูง a – b หนวย
กลองที่ 4 ฐานกวาง a – b หนวย ยาว a หนวย สูง b หนวย
กลองที่ 5 ฐานกวาง b หนวย ยาว a – b หนวย สูง b หนวย
2. ใหนักเรียนหาปริมาตรของกลองแตละใบแลวเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้
ปริมาตรของกลองที่ 1 เทากับ .................................... [ a3
]
ปริมาตรของกลองที่ 2 เทากับ .................................... [ b3
]
ปริมาตรของกลองที่ 3 เทากับ .................................... [ a2
(a – b) ]
ปริมาตรของกลองที่ 4 เทากับ .................................... [ ab(a – b) ]
ปริมาตรของกลองที่ 5 เทากับ .................................... [ b2
(a – b) ]
a
a
a
1
b
b
b
2
a – b
a
b
4
b
a – b
b
5
a
a3
a – b

22. 32
3. นํากลองที่ 2 กลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 มาประกอบกันเปนกลองทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ดังรูป ก นักเรียนคิดวา ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูป ก มีปริมาตรเทากับปริมาตรของกลองที่ 1 หรือไม
[เทากัน]
4. จากทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูป ก ใหนักเรียนยกกลองที่ 2 ออกดังรูป จะไดรูปเรขาคณิตสามมิติ
ที่มีปริมาตรเทากับ a3
– b3
ใชหรือไม [ใช]
5. ใหนักเรียนหาผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5
[ a2
(a – b) + ab(a – b) + b2
(a – b) ]
6. ผลบวกของปริมาตรที่ไดในขอ 5 นักเรียนสามารถเขียนใหอยูในรูปการคูณของพหุนามสองพหุนาม
ไดหรือไม ถาได เขียนไดเปนอยางไร [ได และเขียนไดเปน (a – b)(a2
+ ab + b2
) ]
7. จากผลที่ไดในขอ 4 และขอ 6 มีความสัมพันธกันอยางไร [ a3
– b3
= (a – b)(a2
+ ab + b2
) ]
a – b a3
4
5
b
a
b
a – b
b
b
b
2
a – b a3
4
5
a
2
รูป ก
b