Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

เฉลยอินทิเกรต

68,288 views

Published on

Published in: Education

เฉลยอินทิเกรต

  1. 1. แบบฝึกหัด 3.1 อินทิกรัลไม่จำกัดเขต ชุดที่ 1 จงหา 1. 4 5x dx = x5 + c 2. 5 4x dx = 6 3 2 x + c 3. 4 x dx  = 3 3 1 x  + c 4. 4 3 dx x = 5 5 3 x + c 5. x xdx = xx2 5 2 + c 6. 3 4 xdx = 33 xx + c 7. 1 dx x = 2 x + c 8. 1 2 dx x = x + c ชุดที่ 2 กำรคูณและกำรหำร จงหา 9. 3 2 ( 4 )x x x dx = 4 5 5 x x  + c 10. dxxxx  )46( 32 = x6 + x4 + c 11. 5 3 3 2 ( ) x dx x   = x3 + 2 1 x + c 12. 4 3 1 ( ) 2 dx x x  = 3 1 x  - x + c 13. 3 5 2 3 ( )dx x x  = 33 x + xx 2 ชุดที่ 3 อินทิเกรตโดยกำรเปลี่ยนตัวแปร 14. 2xdx 15. 3 4 9xdx 16. 4 (3 1)x dx 17. 5 (3 4 )x dx 18. 2 1x dx 19. 2 5xdx ชุดที่ 4 อินทิเกรตโดยกำรเปลี่ยนตัวแปร 20. dx)x()xx( 36 62   = 72 6 14 1 )xx(  + c 21. 3 5 2 ( 3 ) ( 1)x x x dx  = 63 3 18 1 )xx(  + c 22. 3 5 2 ( 6 ) ( 2)x x x dx  = 63 6 18 1 )xx(  + c 23. 2 4 ( 4 ) ( 2)x x x dx  = 5 4 10 1 )xx(  + c 24. 2 3 1x x dx = 11 9 2 33  x)x( + c 25. 2 3 x dx x   = 32 x + c ชุดที่ 5 ระคน 26. 4 15(3 1)x dx 27. 3 2x dx x   28. 5 (3 4 )x dx 29. 3 6xdx 30. 3 1x dx 31. 3 4 ( 9 ) ( 3)x x x dx  32. 2 3 1 x dx x  
  2. 2. 2 แบบฝึกหัด 3.2 โจทย์อินทิกรัลไม่จำกัดเขต ก. สมกำรเส้นโค้ง 1. จงหาสมการเส้นโค้ง y = f(x) เมื่อกาหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด (x,y) ใดๆ และจุดที่เส้น โค้งผ่านดังนี้ 1) 2 5 dy x dx   ที่จุด (3 ,- 2) ตอบ y = x2 - 5x + 4 2) 2 3 2 dy x x dx   ที่จุด (- 4 , 3) ตอบ y = x3 – x2 + 83 3) 2 2 3 dy x x dx    ที่จุด (3 , 1) ตอบ 4) 3 4 3 1 dy x x dx    ที่จุด (2 , 1) ตอบ 2. ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นโค้ง ณ จุด (x,y) ใดๆ เป็น 2 12x จงหาสมการเส้นโค้งเมื่อ เส้นตรงที่ผ่านจุด (0, 2) และ (3, -1) 3. ให้ ( ) 12f x x  จงหาสมการเส้นโค้ง y = f(x) ซึ่งผ่านจุด (1,-2) และเส้นสัมผัสที่จุด P ขนานกับ เส้นตรง 4x - 2y = 0 ข. สมกำรกำรเคลื่อนที่ 4. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงจากจุดเริ่มต้น ถ้าความเร่งของวัตถุ ในขณะเวลา t ใดๆ มีค่าเท่ากับ 12t - 4 และเมื่อ t = 1 จะได้ระยะทาง S = 2 เมตร จงหา 1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา t = 2 2) ระยะทาง เมื่อ t = 2 5. โยนวัตถุขึ้นไปในอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 112 – 32t ฟุต/วินาที กาหนด จงหา 1) สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ 2) วัตถุขึ้นไปได้สูงสุดเมื่อเวลาใด 3) ระยะทางที่วัตถุขึ้นไปได้สูงสุด 4) เมื่อใดที่วัตถุอยู่สูง 96 ฟุต 6. ยอดตึกซึ่งสูงจากพื้นดิน 400 ฟุต ก้อนหินก้อนหนึ่งถูกหย่อนลงมาจงหา 1) เมื่อใดที่ก้อนหินจะตกถึงพื้นดิน 2) ความเร็วขณะที่ก้อนหินตกกระทบพื้นดิน
  3. 3. 3 ค. กำไร-ขำดทุน 7. การผลิตสินค้าเพื่อไปจาหน่ายของบริษัทแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรเมื่อเทียบกับจานวน สินค้าที่ผลิตไปจาหน่ายเท่ากับ 46 – 4x เมื่อ x คาจานวนชิ้นของสินค้า ถ้าในการผลิตสินค้าไปจาหน่าย 5 ชิ้น บริษัทได้กาไร 1,100 บาท จงหากาไรที่บริษัทจะได้รับในการผลิตสินค้าไปจาหน่าย 10 ชิ้น 8. ในการลงทุนผลิตสินค้าของโรงงานแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนต่อจานวนสินค้า เท่ากับ 4x – 30 บาท เมื่อ x คือจานวนชิ้นของสินค้าที่ผลิตได้ถ้าในขณะที่ยังไม่ได้ทาการผลิตต้องมีต้นทุน คงที่เท่ากับ 40000 บาท (ต้นทุนดังกล่าวเป็นค่าเครื่องมือ เครื่องจักรต่างๆ) จงหาต้นทุนในการผลิตสินค้า จานวน 10 ชิ้น 9. (Ent’33) บริษัทแห่งหนึ่งขายสินค้า 100 ชิ้น ได้กาไร 6800 บาท โดยมีอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไร เทียบกับจานวนสินค้าที่ขายได้ของบริษัทคือ 78 - 0.08x เมื่อ x คือจานวนสินค้าที่ขายได้ในการผลิตสินค้านี้ จะมีโอกาสได้กาไรมากที่สุดเท่ากับเท่าไร 10. ตัวแทนจาหน่ายของบริษัทแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรต่อจานวนสินค้าเท่ากับ 120 + 4x เมื่อ x คือ จานวนสินค้าที่ผลิตได้ในการจาหน่ายสินค้าตัวแทนจะได้กาไร 100 บาท เมื่อจาหน่ายสินค้า 2 ชิ้น จงหากาไรที่ตัวแทนจาหน่ายจะได้รับ ถ้าจาหน่ายสินค้า 10 ชิ้น
  4. 4. 4 แบบฝึกหัด 3.3 เรื่อง อินทิกรัลจำกัดเขต 1. อินทิกรัลจำกัดเซตของฟังก์ชัน ชุดที่ 1 จงหา 1.  4 2 )2( x = 12 2.   3 3 )42( x dx = 24 3.   2 2 2 )23( xx dx = 16 4.   3 1 2 )2( xx dx = 3 2 5.   4 1 2 )6( xx dx = 24 6.   2 1 2 )12( xx dx = 3 ชุดที่ 2 สมบัติของอินทิกรัล จงหา 7.  5 2 )4( dx = 8.   2 2 )32( x dx = 10 9.   1 3 2 )2( xx dx = 10.   0 3 )42( x dx +   3 0 )42( x dx = - 24 11.   3 3 )42( x dx 12.   1 3 2 )423( xx dx = 36 2.พื้นที่ใต้โค้ง ชุดที่ 3 เส้นตรง จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง 13. y = x จาก x = -4 ถึง x = -2 14. y = x + 5 จาก x = -5 ถึง x = 0 15. y = x – 3 จาก x = -3 ถึง x = 3 16. y = -x + 3 จาก x = -3 ถึง x = 0 17. y = 1 – 2x จาก x = -6 ถึง x = -2 18. y = |x| จาก x = -4 ถึง x = 4 ชุดที่ 4 พำรำโบลำ จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 19. y = x2 - 4 จาก x = -2 ถึง x = 2 20. y = 4x - x2 จาก x = 1 ถึง x = 4 21. y = x2 - 4x + 3 จาก x = -1 ถึง x = 2 22. y = 3 + 2x - x2 จาก x = -1 ถึง x = 2 23. y = 4 - x2 กับแกน x 24. y = x2 - 4x จาก x = 2 ถึง x = 4 ชุดที่ 5 สมกำรเส้นโค้ง จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 25. y = x3 จาก x = -3 ถึง x = 2 26. y = (x + 2)3 จาก x = -2 ถึง x = 2 27. y = (x – 2)3 จาก x = -4 ถึง x = -2 28. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x2 และเส้นตรง y = x + 3 29. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 2 - x2 และเส้นตรง y = -x จาก x = -2 ถึง x = 2 30. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 2 - x2 และเส้นตรง y = x จาก x = -2 ถึง x = 1
  5. 5. 5 31. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 4 - x2 และเส้นตรง y = x + 2 จาก x = -2 ถึง x = 2 32. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 3x3 – x2 – 10x และเส้นตรง y = -x2 + 2x จาก x = -2 ถึง x = 2 เฉลยใบงำนที่ 5.1 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม
  6. 6. 6 ตอนที่ 1 กำรดึงตัวร่วม 1. 4 ( x + 4 ) 2. xy ( x – y ) 3. 2x3 ( xy2 + 2 ) 4. 3x ( x – 2 ) 5. 3 ( x3 + x2 + 25 ) แบบที่ 4 ax2  bx + c 21. ( 3 x - 4 ) ( 2x + 3 ) 22. ( 3x + 4 ) ( 2x – 3 ) 23. ( 6 x + 5 ) ( 2x – 3 ) 24. ( 4x + 5 ) ( 2 x – 3 ) 25. - ( 4x - 5 ) ( 3x + 2 ) = ( - 4x + 5 ) ( 3x + 2 ) = ( 4x - 5 ) ( - 3x - 2 ) แบบที่ 1 x2  bx + c 6. ( x + 6) ( x + 4) 7. ( x + 8) ( x + 3) 8. ( x - 6) ( x - 2) 9. ( x – 4 ) ( x – 3 ) 10. ( x – 5 ) ( x – 5 ) แบบที่ 5 26. ( x + 3 )2 27. ( x - 3 )2 28. ( 3x + 8 )2 29. ( 3x - 8 )2 30. ( 2x - 5 )2 แบบที่ 2 x2  bx - c 11. ( x – 6 ) ( x + 2 ) 12. ( x – 6 ) ( x + 2 ) 13. ( x + 8 ) ( x – 3 ) 14. ( x - 8 ) ( x + 3 ) 15. ( x + 5 ) ( x – 4 ) แบบที่ 6 31. ( x + 1 ) ( x – 1 ) 32. ( x + 2 ) ( x – 2 ) 33. ( 3x + 5 ) ( 3x – 5 ) 34. ( 2x + 3 ) ( 2x – 3 ) 35. ( x + 1 ) ( x – 1 ) ( x + 3 ) ( x – 3 ) แบบที่ 3 ax2  bx + c 16. ( 3x + 1 ) ( 4x + 9 ) 17. ( 6x + 1 ) ( 2x + 9 ) 18. ( 5x - 4 ) ( 2x – 3 ) 19. (3 x - 8 ) ( 3x – 8 ) 20. ( 4 x - 5 ) ( 2x – 3 ) แบบที่ 8 36. ( x + 1 ) ( x2 – x + 1 ) 37. ( x - 2 ) ( x2 + 2 x + 4 ) 38. ( x - 4 ) ( x2 + 4 x + 16 ) 39. ( 2x + 1 ) ( 4x2 - 2 x + 1 ) 40. ( 3x - 2 ) ( 9x2 + 6 x + 4 )
  7. 7. 7 แบบทดสอบ ก่อนเรียนและหลังเรียน เรื่องค่ำต่ำสุดหรือค่ำสูงสุด ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 6 1. ข้อใดเป็นกราฟพำรำโบลำ ก. y = 2x + 1 ข. y = x ค. y = 6x – x2 ง. y = x2 2. ฟังก์ชันในข้อใดไม่มีค่ำต่ำสุด ก. y = x2 + 4 ข. y = x2 - 2x + 1 ค. y = x2 ง. y = x3 3. ฟังก์ชันในข้อใดได้ค่ำสูงสุด ก. y = x2 - 2x + 1 ข. x2 + 2x + 1 ค. y = 1 - 2x + x2 ง. 1 - 2x - x2 4. ฟังก์ชัน y = x2 - 4x + 1 7. ฟังก์ชัน y = 2x2 + 8x + 3 มีค่ำต่ำสุด ( ค่า y )คือข้อใด ก. 5 ข. – 5 ค. 27 ง. - 27 8. ฟังก์ชัน y = - 3x2 - 6x - 1 มีค่ำสูงสุด ( ค่า y )คือข้อใด ก. 2 ข. - 2 ค. 10 ง. – 10 9. ในการเกิดปฏิกิริยาครั้งหนึ่ง หาอุณหภูมิจาก สมการ  = 10 + 2t – 0.2 t2 เมื่อ  เป็นอุณหภูมิมีหน่วยเป็นองศาเซลเซียส
  8. 8. 8 มีจุดต่ำสุดคือข้อใด ก. ( 2 , 3 ) ข. ( 2 , - 3 ) ค. ( - 2 , 9 ) ง. ( - 2 , 1 ) 5. ฟังก์ชัน y = 6 + 2x – x2 มีจุดสูงสุดคือข้อใด ก. ( 1 , 7 ) ข. ( 1 , - 5 ) ค. ( - 1 , 3 ) ง. ( - 1 , 7 ) 6. ฟังก์ชัน y = 3 - 2x – x2 มีจุดสูงสุดหรือจุดต่าสุดของฟังก์ชันคือข้อใด ก. จุดต่าสุดคือ ( 1 , 0 ) ข. จุดสูงสุดคือ( 1 , 0 ) ค. จุดต่าสุดคือ (- 1 , 4 ) ง. จุดสูงสุดคือ( - 1 , 4 ) และ t มีหน่วยเป็นวินาที อุณหภูมิสูงสุดเท่ากับกี่องศา ก. 15 ข. 20 ค. 25 ง. 30 10. โยนลูกหินขึ้นไปในอากาศตามแนวดิ่ง ให้ t มีหน่วยเป็นวินาที S มีหน่วยเป็นฟุต ถ้าสมการการเคลื่อนที่เป็น S = 96t - 16t2 ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุดกี่ฟุต ก. 72 ข. 144 ค. 288 ง. 432 เฉลยแบบทดสอบ ก่อนเรียนและหลังเรียน เรื่องค่ำต่ำสุดหรือค่ำสูงสุด 1 ค 2 ง 3 ง 4 ข 5 ก 6 ง 7 ข 8 ก 9 ก 10 ข เฉลยใบงานที่ 2.4 1. ถ้า y = 2x2 + 5x – 3 เป็นสมการเส้นโค้ง จงหา 1) ความชัน = 3 2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = 3x + 9 3) สมการของเส้นตั้งฉาก x + 3y – 11 = 0 2. a = 3 3. x + 4y – 17 = 0 4. ( 1 , - 2 ) และ ( - 1 , 2 ) 5. ( 3 , - 54 ) และ ( - 3 , 54 ) 6. ( 3 , - 4 ) 7. 1) 5 เมตร / วินาที 2) 4 เมตร / วินาที 8. ระยะทาง – 72 หน่วย ( ระยะทางมีเครื่องหมายเป็น ลบ แสดงว่าวัตถุกาลังเคลื่อนที่ลง )
  9. 9. 9 9. 1) 1 เมตร / วินาที 2) 8 เมตร และ 4 เมตร 3) 45 เมตร / วินาที 4) 6 เมตร / วินาที2 10 1) 0 ฟุต / วินาที 2) 144 ฟุต 3) – 96 ฟุต/วินาที 4) – 32 ฟุต/วินาที2 เฉลยใบงานที่ 2.5 1. จงหาค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน 1) ( - 2 , - 7 ) 2) ( 2 3 , 4 1 ) 3) ( - 1 , - 1 ) 4) ( 3 , - 4 ) 5) ( 2 , - 6 ) 6) ( 2 , - 5 ) 7) ( 2, 4 ) 8) ( - 3 , 7 ) 2. x = 3 50 เมตร พื้นที่มากที่สุด เท่ากับ 1250 ตารางเมตร 3. จานวนนั้น คือ 0.5 4. จานวนทั้งสองคือ 5 และ 5 5. จานวนหนึ่งคือ - 3
  10. 10. 10 6. สูง ( x ) = 2 เมตร ปริมาตรมากที่สุด 320 ลูกบาศก์เซนติเมตร 7. t = 10 วินาที  = 30 องศาเซลเซียส 8. f = 12 กิโลกรัมต่อไร่ 9. ตั้งราคาไว้15 บาท ขายได้เงินมากที่สุด 22,500 บาท 10. กว้าง 45 หน่วย ยาว 60 หน่วย พื้นที่มากที่สุด 2,700 ตารางหน่วย 11. ต้องผลิตสินค้าสัปดาห์ละ 975 ชิ้น 12. 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง 13. w = 3 a , d = 3 2 a 14. f = 10 p = 500

×