1. บทที่ 2
การแจกแจงปกติ
(20 ชั่วโมง)
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. นําความรูเรื่องคามาตรฐานไปใชในการเปรียบเทียบขอมูล
2. หาพื้นที่ใตเสนโคงปกติและนําความรูเกี่ยวกับพื้นที่ใตเสนโคงปกติไปใชได
ขอเสนอแนะ
1. ความสําคัญของคะแนนมาตรฐาน
คะแนนมาตรฐานจะบอกใหทราบวาคาสังเกตนั้นๆ อยูหางจากคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนกี่เทา
ของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานและอยูในทิศทางใดเมื่อเทียบกับคาเฉลี่ย เนื่องจาก X
Z
−µ
=
σ
คาสังเกตที่มีคามากกวาคาเฉลี่ยจะมีคะแนนมาตรฐานเปนบวกสวนคาสังเกตที่มีคานอยกวา
คาเฉลี่ยเลขคณิตจะมีคะแนนมาตรฐานเปนลบ คาสังเกตที่มีคาเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิตพอดีจะมีคะแนนมาตรฐาน
เปนศูนย
สวนใหญแลวเราจะแปลงคาสังเกตหรือหาคะแนนมาตรฐานของคาสังเกตแตละชุดที่มี
การแจกแจงแบบสมมาตรเพื่อใหมีมาตรวัดเดียวกันเนื่องจากคะแนนมาตรฐานเปนคะแนนที่ไมมีหนวย
จากนั้นจึงทําการเปรียบเทียบคาสังเกตโดยพิจารณาจากคะแนนมาตรฐานของคาสังเกตนั้นๆ เชน
เปรียบเทียบสวนสูงของนักเรียนสองคนที่มีอายุตางกันโดยการแปลงสวนสูงของนักเรียนแตละคน
ใหเปนคะแนนมาตรฐานเมื่อเทียบกับคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของนักเรียนใน
กลุมอายุนั้น ๆ คะแนนมาตรฐานของสวนสูงจะบอกใหทราบวานักเรียนแตละคนมีความสูงอยูใน
ตําแหนงใดในการแจกแจงของกลุมนักเรียนอายุเดียวกันนั้น
การแปลงหรือหาคะแนนมาตรฐานเปนการแปลงแบบเชิงเสน (linear transformation)
การแปลงแบบเชิงเสนนี้ไมทําใหการแจกแจงของคาสังเกตกอนและหลังการแปลงเปลี่ยนแปลงไป
และคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลหลังการแปลงก็หาไดโดยวิธีงายๆ อนึ่งคาที่ได
จากการแปลงแบบเชิงเสนของขอมูลที่มีการแจกแจงแบบปกติจะยังคงมีการแจกแจงแบบปกติ
นอกจากนี้คะแนนมาตรฐานของการแจกแจงแบบใดๆ ก็ตามที่คํานวณจากขอมูลประชากรทั้งหมด
(กลาวคือใชสูตร i
i
X
Z
−µ
=
σ
เมื่อ i คือ 1, 2, 3, ..., N) คะแนนมาตรฐานนั้นจะมีคาเฉลี่ยเลขคณิต
(µ) เปน 0 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ ) เปน 1 ทําใหไดวาคะแนนมาตรฐานจากขอมูลเดิมที่มีการ
แจกแจงแบบปกติมีคาเฉลี่ยเลขคณิตµ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ที่มีคาใดๆ จะมีการแจกแจง
แบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต µ= 0 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = 1

2. 68
การแจกแจงของคะแนนมาตรฐานของขอมูลไมจําเปนตองมีการแจกแจงแบบปกติ ขึ้นอยูกับ
ลักษณะของขอมูลชุดนั้นๆ เวนเสียแตวาขอมูลเดิมมีการแจกแจงแบบปกติ
2. ตารางแจกแจงความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีหลายแบบ
กลาวคือ
(1) แสดงเพียงครึ่งดานขวาการแจกแจง โดยแสดงคา z ที่เปนศูนยเปนตนไป (z ≥ 0)
และคาที่แสดงคือพื้นที่ใตเสนโคงที่เริ่มจาก z = 0 ถึง คา z ที่ตองการ ใหสังเกตเมื่อ z = 0.00 คาที่
แสดงคือ .0000
(2) แสดงเพียงดานขวาของการแจกแจง โดยแสดงคา z ที่เปนศูนยเปนตนไป และ
คาที่แสดงคือพื้นที่ใตเสนโคงที่เริ่มจาก z = ∞− ถึง คา z ที่ตองการ ใหสังเกตเมื่อ z = 0.00 คาที่
แสดงคือ .5000

3. 69
(3) แสดงการแจกแจงทั้งหมด โดยแสดงคา z ที่เปนลบดวย เชน –3.40 เปนตนไป
และคาที่แสดงคือพื้นที่ใตเสนโคงที่เริ่มจาก z = ∞− ถึง คา z ที่ตองการ
3. การแจกแจงของขอมูลมีหลายชนิดการแจกแจงของอายุการใชงานมักมีการแจกแจงแบบอื่นที่ไมใช
แบบปกติ เชน การแจกแจงแบบชี้กําลัง การแจกแจงแบบสม่ําเสมอ
การแจกแจงแบบปกติ (normal) การแจกแจงแบบสม่ําเสมอ (uniform)
การแจกแจงแบบชี้กําลัง (exponential)

4. 70
กิจกรรมเสนอแนะ
กิจกรรมที่ 1 คะแนนมาตรฐาน
ใหนักเรียนเก็บขอมูลคะแนนสอบวิชาใดวิชาหนึ่งของทุกคนในหองแปลงคะแนนดิบ
เหลานั้นใหเปนคะแนนมาตรฐานโดยสูตร i
i
X
Z
−µ
=
σ
(หรือใหนักเรียนแตละคนหาคะแนน
มาตรฐานของคะแนนสอบที่ตนเองได โดยผูสอนคํานวณคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ไวให) จากนั้นใหรวมกันตอบคําถามตอไปนี้
1. มีนักเรียนกี่คนที่ไดคะแนนมาตรฐานเปนบวก คิดเปนรอยละเทาใดของนักเรียนทั้งหมด
และคะแนนมาตรฐานที่เปนบวกนี้หมายความวาอยางไร
2. มีนักเรียนกี่คนที่ไดคะแนนมาตรฐานเปนลบ คิดเปนรอยละเทาใดของนักเรียนทั้งหมด
และคะแนนมาตรฐานที่เปนลบนี้หมายความวาอยางไร
3. ผูที่ไดคะแนนมาตรฐานระหวาง –1 ถึง 1 มีกี่คน คิดเปนรอยละเทาใดของทั้งหมด
และผูที่ไดคะแนนในชวงนี้หมายความวาอยางไร
4. ตีความหมายคะแนนมาตรฐานของนักเรียนแตละคน
5. หาคาเฉลี่ยเลขคณิต (µ) และหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ ) ของคะแนนมาตรฐาน
ของนักเรียนทั้งหอง (ใหใชสูตรที่คํานวณจากขอมูลระดับประชากร) สังเกตคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวน
เบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานวามีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนศูนยและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
เปนหนึ่งหรือไม
แนวคิดในการทํากิจกรรมนี้ หากนักเรียนในหองมีจํานวนมากพอและการแจกแจงของคะแนน
สอบคอนขางสมมาตรหรือใกลเคียงกับการแจกแจงแบบปกติ ผูที่ไดคะแนนมาตรฐานเปนบวกและ
ลบจะมีพอๆ กัน หรือรอยละ 50 ของนักเรียนทั้งหมด (ถามีการแจกแจงเปนแบบปกติจริง) ผูที่มี
คะแนนมาตรฐานอยูระหวาง –1 ถึง 1 ควรมีประมาณ รอยละ 68 อยางไรก็ตามไมวาการแจกแจง
ของคะแนนสอบจะเปนอยางไร คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนมาตรฐานจะตองเปนศูนยและสวนเบี่ยง
เบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานตองเปนหนึ่งเสมอ
หมายเหตุ คาสของ Zi ขางตน อาจเรียกไดหลายชื่อ เชน คะแนน z (z score) หรือคา z (z value)
หรือคะแนนมาตรฐาน (standard score) หรือ คามาตรฐาน ซึ่งเปนชื่อกลาง ๆ ใชไดทั่วไป
ไมวาคาของ xi จะเปนคะแนนหรือไมเปนคะแนน เชนอาจเปนน้ําหนักตัว หรือ ราคา
สินคา ฯลฯ
กิจกรรมที่ 2 รูปกราฟของการแจกแจงแบบปกติ
หากนักเรียนสามารถเขาถึงอินเทอรเน็ตได ใหคนและศึกษารูปการแจกแจงแบบปกติที่มี
คาเฉลี่ยเลขคณิตตางๆ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานตางๆ เปรียบเทียบกับการแจกแจงแบบปกติ
มาตรฐานที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนศูนยและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปนหนึ่ง
เว็บไซตที่แนะนํา ซึ่งมีภาพเคลื่อนไหวแสดงรูปรางของการแจกแจงแบบปกติตางๆ รวมทั้ง
ความสัมพันธกับฟงกชันของการแจกแจงแบบปกติเมื่อกําหนดคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบน

5. 71
มาตรฐานไดแก http://davidmlane.com/hyperstat/normal_distribution.html แลวคลิกที่ Flash Demo by
Juha Puranen ภายใตหัวขอ Other Sites หรือไปที่ http://noppa5.pc.helsinki.fi/koe/flash/flash.html โดย
ตรง ไปที่หัวขอ Distributions จากนั้นเลือก Normal distribution
กิจกรรมที่ 3 (เพิ่มเติมในกรณีที่มีเวลาพิเศษ)
ใหนักเรียนลองหาพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐาน กรณีที่มีตารางแจกแจงความนาจะเปนสะสม
แบบตางๆ ตามที่เสนอไวในขอเสนอแนะ
การประเมินผล
เนื่องจากในการเรียนการสอนเรื่อง การแจกแจงแบบปกติ ใหความสําคัญกับการนําความรู
เรื่องคามาตรฐานไปใชในการเปรียบเทียบขอมูล และการหาพื้นที่ใตเสนโคงปกติและนําความรูเกี่ยวกับ
พื้นที่ใตเสนโคงปกติไปใชได ดังนั้นในการประเมินผลผูสอนอาจประเมินจากแบบฝกหัด ขอสอบที่
เนนการนําความรูเรื่องคามาตรฐานไปใชในการเปรียบเทียบขอมูล ความหมายของคามาตรฐานที่
คํานวณได ความสัมพันธระหวางคะแนนดิบและคะแนนมาตรฐาน และการหาพื้นที่ใตเสนโคงปกติ
นอกจากนั้นอาจประเมินผลโดยพิจารณาจากกิจกรรมกลุมที่ใหคํานวณคะแนนมาตรฐาน
ความหมายของคาที่ได และการหาพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานกรณีที่มีตารางแจกแจงความนาจะเปน
สะสมแบบตางๆ หากมีเวลาในการสอนเพิ่มเติมเกี่ยวกับตารางเหลานี้
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. สมมุติวา คะแนนทดสอบ IQ สําหรับผูที่มีอายุระหวาง 20 ถึง 34 ป มีการแจกแจงที่
ประมาณไดวาเปนแบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต (µ) 110 และ สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ ) 25
1.1 จะมีรอยละเทาใดของผูที่อยูในชวงอายุนี้ที่มีคะแนน IQ มากกวา 160
1.2 รอยละ 95 ของผูที่มีอายุในชวงนี้ ซึ่งเปนรอยละที่อยูชวงกลางของการแจกแจงมี
คะแนน IQ อยูระหวางคาใด
2. ถาเด็กหญิงคนหนึ่งสอบ SAT วิชาคณิตศาสตรได 680 คะแนน สมมุติวาคะแนนสอบ
SAT นี้มีการแจกแจงแบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต 500 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
100 คะแนน และถาเด็กชายคนหนึ่งทําคะแนนสอบ ACT วิชาคณิตศาสตรได 27 คะแนน สมมุติ
วาคะแนนสอบ ACT นี้มีการแจกแจงแบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต 18 คะแนน และสวนเบี่ยงเบน
มาตรฐาน 6 คะแนน ถาการทดสอบทั้งสองแบบวัดความสามารถ เชิงคณิตศาสตรแบบเดียวกัน เด็ก
ชายหรือเด็กหญิงมีคะแนนสอบดีกวากัน
3. จงใชตารางแจกแจงปกติมาตรฐานเขียนรูปและแรเงาพื้นที่ใตโคงเพื่อตอบคําถามตอไปนี้
3.1 พื้นที่ใตโคงที่มีคา z < 2.85
3.2 พื้นที่ใตโคงที่มีคา z > 2.85

6. 72
3.3 พื้นที่ใตโคงที่มีคา z > –1.66
3.4 พื้นที่ใตโคงที่มีคา –1.66 < z < 2.85
4. สมมุติวาความกวางของศีรษะของผูขับขี่มอเตอรไซตรับจางมีการแจกแจงแบบปกติที่
มีคาเฉลี่ยเลขคณิต 22.8 นิ้วและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.1 นิ้ว ในการทําหมวกกันน็อคตองทํา
คราวละมากๆ ใหทุกคนใสไดยกเวนผูที่มีความกวางของศีรษะเล็กเกินไป หรือใหญเกินไป กลุมละ 5%
ซึ่งจะตองสั่งเปนพิเศษ อยากทราบวาผูที่มีขนาดศีรษะเทาใดที่จะตองสั่งหมวกกันน็อคเปนพิเศษ
5. เครื่องกดน้ําอัดลมเครื่องหนึ่งไดถูกตั้งไวใหจายน้ําอัดลมโดยเฉลี่ย 7.00 ออนซ ตอถวย
สมมุติวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําอัดลมที่จายคือ 0.10 ออนซ และปริมาณน้ําอัดลมที่จายมีการ
แจกแจงแบบปกติจงหา
5.1 เปอรเซ็นตที่เครื่องกดน้ําอัดลมนี้จะจายน้ําอัดลมระหวาง7.10ถึง7.25ออนซ
5.2 เปอรเซ็นตที่เครื่องกดน้ําอัดลมนี้จะจายน้ําอัดลมอยางนอย 7.25 ออนซ
5.3 เปอรเซ็นตที่เครื่องกดน้ําอัดลมนี้จะจายน้ําอัดลมระหวาง6.80ถึง7.25ออนซ
6. ถาฉลากขางกระปองของแฮมที่นําเขามาจากตางประเทศระบุวามีน้ําหนัก 9.00 ปอนด
แตในการตรวจสอบพบวาน้ําหนักที่ซึ่งไดมีการแจกแจงแบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต 9.20 ปอนด
และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน0.25ปอนด จงหาวา
6.1 จะมีแฮมบรรจุกระปองที่มีน้ําหนักนอยกวาน้ําหนักที่ระบุไวบนฉลากในสัดสวนเทาใด
6.2 ถาบริษัทที่นําเขาตองการลดสัดสวนของแฮมบรรจุกระปองที่มีน้ําหนักนอยกวาที่
ระบุไวบนฉลากโดยมีทางเลือกสองทางไดแก
วิธีที่ 1 เพิ่มน้ําหนักโดยเฉลี่ยใหเปน 9.25 ปอนดโดยใหสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีคาคงเดิม
วิธีที่ 2 ลดสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 0.15 ปอนดโดยใหน้ําหนักเฉลี่ยมีคาคงเดิม
ทานจะแนะนําใหใชทางเลือกใด
7. ถายอดขายประจําปของนวนิยายเรื่องหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติแตไมทราบคาเฉลี่ย
เลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน อยางไรก็ตามจากขอมูลที่เก็บมาทราบวารอยละ 40 ของทั้งหมดมี
ยอดขายเกิน 470,000 บาท และรอยละ 10 ของทั้งหมดมียอดขายเกิน 500,000 บาท แลวคาเฉลี่ยเลขคณิต
และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของยอดขายควรมีคาเทาใด
8. ถาคะแนนสอบเชาวปญญาของผูที่มีอายุ 20 ถึง 34 ป และผูที่มีอายุ 60 ถึง 64 ป มีการแจก
แจงปกติโดยประมาณ โดยกลุมที่มีอายุ20ถึง34ป มีคาเฉลี่ยเลขคณิต110คะแนน สวนเบี่ยงเบนมาตร
ฐาน 25คะแนน และกลุมที่มีอายุ 60 ถึง 64 ป มีคาเฉลี่ยเลขคณิต 90 คะแนน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 25
คะแนน
นางสาวชวนชื่นมีอายุ 30 ป สอบไดคะแนน 135 คะแนน ในขณะที่นางชวนชมซึ่งเปนแม
มีอายุ 62 ป สอบได 120 คะแนน ใครสอบไดคะแนนดีกวากันเมื่อเปรียบเทียบกับผูสอบในกลุมอายุ
นั้นๆ (รอยละของผูที่ไดคะแนนต่ํากวาชวนชื่นและชวนชมในกลุมอายุนั้นๆ เปนเทาใด)

7. 73
9. พื้นที่ใตโคงปกติมาตรฐานตั้งแตควอรไทลที่หนึ่งไปทางดานซายมือมีพื้นที่เทาใด ควอรไทลที่หนึ่ง
และควอรไทลที่สามของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีคาเทาใด
เฉลยแบบทดสอบประจําบท
1. 1.1 ประมาณ 2.28 %
1.2 ระหวาง 60 ถึง 160
2. เด็กหญิงมีคะแนนมาตรฐาน 1.8 สวนเด็กชายมีคะแนนมาตรฐาน 1.5 ดังนั้นเด็กหญิงสอบได
คะแนนดีกวาเด็กชาย
3. 3.1 พื้นที่ใตโคงคือ 0.9978
3.2 พื้นที่ใตโคงคือ 0.0022
3.3 พื้นที่ใตโคงคือ 0.9515
3.4 พื้นที่ใตโคงคือ 0.9493
4. ผูที่มีขนาดศีรษะนอกชวง 22.8± 1.81 นิ้ว หรือผูที่มีศีรษะเล็กกวา 21 นิ้ว หรือใหญกวา 24.6 นิ้ว
โดยประมาณจะตองสั่งหมวกกันน็อคเปนพิเศษ
5. 5.1 15.25% (จากคา z เทากับ 1 ถึง 2.5)
5.2 0.62%
5.3 97.10% (จากคา z เทากับ -2 ถึง 2.5)
6. 6.1 รอยละ 21.19
6.2 การเพิ่มน้ําหนักเฉลี่ย ทําใหไดคา z เทากับ –1.00 และใหคาสัดสวนคือ 0.1587
การลดสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานทําใหไดคา z เทากับ –1.33 และใหคาสัดสวนคือ 0.0918
ดังนั้นการลดสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานลงจะเปนทางเลือกที่ดีกวาเพราะทําใหมีสัดสวนของ
แฮมบรรจุกระปองที่มีน้ําหนักต่ํากวามาตรฐานนอยกวา
7. จาก 470,000
0.25
−µ
=
σ
และ 500,000
1.28
−µ
=
σ
ทําใหไดคาเฉลี่ยเทากับ 462,719 บาท
และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 29,126 บาทโดยประมาณ
8. คะแนนมาตรฐานของชวนชื่นคือ 1 ขณะที่คะแนนมาตรฐานของชวนชมคือ 1.2 ดังนั้นแมของ
ชวนชื่นมีคะแนนสัมพัทธที่สูงกวา(แตชวนชื่นมีคะแนนดิบสูงกวา) หรือพิจารณาจากเปอรเช็นไทล
ของชวนชื่นคือ 84 ขณะที่เปอรเซ็นไทลของชวนชมคือ 88.5 โดยประมาณ
9. พื้นที่นับตั้งแตควอรไทลที่หนึ่งไปทางซายมือของการแจกแจงแบบใดๆตองเปน0.2500 ควอรไทล
ที่หนึ่งและควอรไทลที่สามของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานคือ –0.675 และ 0.675 โดย
ประมาณ

8. 74
เฉลยแบบฝกหัด 2.1
1. คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.3 = 15
7075−
= 3
1
คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.4 = 20
8080−
= 0
คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.3 สูงกวาคามาตรฐานของ
คะแนนในชั้น ม.4 แสดงวาวิชัยเรียนคณิตศาสตรในชั้น ม.3 ไดดีกวา
2. ถาให µ คือคาเฉลี่ยเลขคณิตจะไดวา 1 = 1.1
12 µ−
µ = 12 – 1.1
µ = 10.9
ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใชในการวิ่งของนักกีฬาทั้งหมดเปน 10.9 วินาที
3. คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาไทย = 15
8580−
= 3
1−
คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ = 20
7560−
= 4
3−
คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร = 5
6570−
= 1
ดังนั้น จิตราเรียนวิชาวิทยาศาสตรไดดีที่สุด
4. คามาตรฐานของอายุคนงาน 2 = 2
25x−
x = 4 + 25
x = 29
ดังนั้น คนงานที่มีอายุตั้งแต 29 ปขึ้นไป จึงจะมีโอกาสไดรับเลือกเขาเปนคนงานของโรงงานนี้
5. คามาตรฐานของวิชาที่ 1 ของนาย ก = 5
7070−
= 0
คามาตรฐานของวิชาที่ 2 ของนาย ก = 10
7075−
= 2
1
คามาตรฐานของวิชาที่ 3 ของนาย ก = 15
8075−
= 3
1−

9. 75
ดังนั้น คามาตรฐานเฉลี่ยของวิชาที่ 1, 2 และ 3 ของนาย ก = 3
3
1
2
10 −+
= 18
1
คามาตรฐานของวิชาที่ 1 ของนางสาว ข = 5
7075−
= 1
คามาตรฐานของวิชาที่ 2 ของนางสาว ข = 10
7050−
= –2
คามาตรฐานของวิชาที่ 3 ของนางสาว ข = 15
8095−
= 1
ดังนั้น คามาตรฐานเฉลี่ยอขงวิชาที่ 1, 2 และ 3 ของนางสาว ข = 3
121 +−
= 0
แตเกณฑของหนวยงานผูสอบคัดเลือกไดจะตองไดคามาตรฐานเฉลี่ยของคะแนนทั้ง 3 วิชา
ไมต่ํากวา 0
ดังนั้น นาย ก และนางสาว ข จะสอบคัดเลือกไดทั้งสองคน
6. ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตคือ µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ σ จะไดวา 3 = 650 − µ
σ
3µ + σ = 650 (1)
และ 1.9 = 540 − µ
σ
1.9µ + σ = 540 (2)
จาก (1) และ (2) จะได 1.1σ = 110
σ = 100
และ µ = 650 – 300
µ = 350
ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบคือ 350 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ของคะแนนสอบคือ 100 คะแนน
7. (1) คามาตรฐานของผูปวยโรคหัวใจในรัฐอลาสกา = 54
28990−
= –3.69
ดังนั้น โรคหัวใจในรัฐอลาสกาจะมีความรุนแรงนอยกวารัฐอื่น ๆ

10. 76
(2) คามาตรฐานของผูปวยโรคหัวใจในรัฐคาลิฟอรเนีย = 54
289240−
= –0.91
คามาตรฐานของผูปวยโรคมะเร็งในรัฐคาลิฟอรเนีย = 31
200166−
= –1.10
ดังนั้น ในรัฐคาลิฟอรเนียโรคหัวใจมีความรุนแรงมากกวาโรคมะเร็ง เมื่อเทียบกับที่พบ
ในรัฐอื่น ๆในระดับประเทศ
8. เนื่องจาก zi = ix −µ
σ
(1) 2 = 5
20x−
x = 10 + 20
x = 30
(2) –1 = 3
25x−
x = –3 + 25
x = 22
(3) –1.5 = 10
100x−
x = –15 + 100
x = 85
(4) 2.5 = ( )x 10
0.2
− −
0.5 = x + 10
x = 0.5 – 10
x = –9.5

11. 77
เฉลยแบบฝกหัด 2.2
1. (1) ให x เปนคาของขอมูล โดยกําหนดให µ = 400 และ σ = 100
จาก z = x −µ
σ
จะได z = 100
400538−
= 1.38
จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.38 เทากับ 0.4162
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเมื่อ z > 1.38 เทากับ 0.5 – 0.4162 = 0.0838
นั่นคือ มีขอมูล 8.38% ของขอมูลทั้งหมด มีคามากกวา 538
(2) จะได z = 100
400179−
= –2.21
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –2.21 ถึง z = 0 เทากับ 0.4864
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z > –2.21 เทากับ 0.5 + 0.4865 = 0.9864
นั่นคือ มีขอมูล 98.64% ของขอมูลทั้งหมด มีคามากกวา 179
0 1.38 Z
Z
0-2.21

12. 78
(3) จะได z = 100
400356−
= –0.44
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.44 ถึง z = 0 เทากับ 0.1700
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –0.44 เทากับ 0.5 – 0.1700 = 0.3300
นั่นคือ มีขอมูล 33% ของขอมูลทั้งหมด มีคานอยกวา 356
(4) จะได z = 100
400621−
= 2.21
จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.21 เทากับ 0.4864
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปก เมื่อ z < 2.21 เทากับ 0.5 + 0.4864 = 0.9864
นั่นคือ มีขอมูล 98.65% ของขอมูลทั้งหมด มีคานอยกวา 621
0-0.44
Z
Z
0 2.21

13. 79
(5) จะได z1 = 100
400318−
= –0.82
z2 = 100
400671−
= 2.71
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.71 เทากับ 0.4966
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.82 ถึง z = 0 เทากับ 0.2939
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –0.82 < z < 2.71 เทากับ 0.4966 + 0.2939 = 0.7905
นั่นคือ มีขอมูล 79.05% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 318 และ 671
(6) จะได z1 = 100
400484−
= 0.84
z2 = 100
400565−
= 1.65
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.84 เทากับ 0.2995
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.65 เทากับ 0.4505
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ 0.84 < z < 1.65 เทากับ 0.4505 – 0.2995 = 0.1510
นั่นคือ มีขอมูล 15.09% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 484 และ 565
Z
0-0.82 2.71
Z
0 1.650.84

14. 80
(7) จะได z1 = 100
400249−
= –1.51
z2 = 100
400297−
= –1.03
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1.51 ถึง z = 0 เทากับ 0.4345
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1.03 ถึง z = 0 เทากับ 0.3485
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.51 < z < –1.03 เทากับ 0.4345 – 0.3485 = 0.0860
นั่นคือ มีขอมูล 8.6% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 249 และ 297
2. (1) ให x เปนน้ําหนักของกาแฟ (กรัม) โดยกําหนด µ = 115.5 และ σ = 0.3
จาก z = x −µ
σ
จะได z1 = 3.0
5.115115−
≈ –1.667
z2 = 3.0
5.1155.115 −
= 0
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.66 เทากับ 0.4515
และ z = 0 ถึง z = 1.67 เทากับ 0.4525
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ
0.4515 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×
01.0
007.0001.0
= 0.4522
Z
0-1.51 -1.03
Z
0-1.667

15. 81
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.667 < z < 0 เทากับ 0.4522
นั่นคือ มีขวดกาแฟ 45.22% ของขวดกาแฟทั้งหมด ที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนัก
ระหวาง 115 กรัม และ 115.5 กรัม
(2) จะได z1 = 3.0
5.1159.114 −
= –2
z2 = 3.0
5.1155.115 −
= 0
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –2 < z < 0 เทากับ 0.4772
นั่นคือ มีขวดกาแฟ 47.72% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง
114.9 กรัม และ 115.5 กรัม
(3) จะได z1 = 3.0
5.1152.115 −
= –1
z2 = 3.0
5.1159.115 −
≈ 1.333
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.33 เทากับ 0.4082
และ z = 0 ถึง z = 1.34 เทากับ 0.4099
จะได พื้นที่เสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.333 เทากับ
0.4082 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×
01.0
003.00017.0
= 0.4087
Z
0-2
Z
0-1 1.333

16. 82
และพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1 ถึง z = 0 เทากับ 0.3413
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1 < z < 1.333 เทากับ 0.4087 + 0.3413 = 0.75
นั่นคือ มีขวดกาแฟ 75% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง
115.2 กรัม และ 115.9 กรัม
(4) จะได z1 = 3.0
5.1157.114 −
≈ –2.667
z2 = 3.0
5.115115−
≈ –1.667
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.66 เทากับ 0.4961
และ z = 0 ถึง z = 2.67 เทากับ 0.4962
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.667 เทากับ 0.4961+0.00007=0.49617
และพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.4522
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –2.667 < z < –1.667 เทากับ 0.49617–0.4522 = 0.0440
นั่นคือ มีขวดกาแฟ 4.4% ของกาแฟทั้งหมด ที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง
114.7 กรัม และ 115 กรัม
(5) จะได z = 3.0
5.1155.115 −
= 0
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z > 0 เทากับ 0.5
นั่นคือ มีขวดกาแฟ 50% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักมากกวา
115.5 กรัม
Z
0-2.667 -1.667
Z
0

17. 83
(6) จะได z = 3.0
5.115115−
≈ –1.667
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.4522
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –1.667 เทากับ 0.5 – 0.4522 = 0.0478
นั่นคือ มีขวดกาแฟ 4.78% ขวดกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักมากกวา
115 กรัม
3. (1) ให x เปนคะแนนสอบของนายไผท โดยกําหนด µ = 64 และ σ = 8
จาก z = x − µ
σ
จะได z = 8
6462−
= –0.25
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.25 ถึง z = 0 เทากับ 0.0987
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –0.25 เทากับ 0.5 – 0.0987 = 0.4013
นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนไผท คือ 40.13 ในกลุมนักเรียนชาย
Z
0-1.667
Z
0-0.25

18. 84
(2) ให x เปนคะแนนสอบของอาภัสรา โดยกําหนด µ = 60 และ σ = 10
จาก z = 10
6073−
= 1.3
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.3 เทากับ 0.4032
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < 1.3 เทากับ 0.5 + 0.4032 = 0.9032
นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนอาภัสรา คือ 90.32 ในกลุมนักเรียนหญิง
คะแนนของอาภัสราในกลุมนักเรียนชาย โดยกําหนด
จะได z = 8
6473−
= 1.125
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.12 เทากับ 0.3686
และ z = 0 ถึง z = 1.13 เทากับ 0.3708
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงระหวาง z = 0 ถึง z = 1.125 เทากับ 0.3686 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×
01.0
005.00022.0
= 0.3697
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < 1.125 เทากับ 0.5 + 0.3697 = 0.8697
นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนอาภัสรา คือ 86.97 ในกลุมนักเรียนชาย
Z
0 1.3
Z
0 1.125

19. 85
4. (1) ให x เปนคะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 25
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง P25 เทากับ 0.25
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.2518 คา z เทากับ 0.68
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.2486 คา z เทากับ 0.67
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.25 คา z เทากับ 0.67 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×
0032.0
0014.001.0
≈ 0.6744
จาก z = x − µ
σ
–0.6744 = 12
72x−
x = 72 – 8.0928
x = 63.91
นั่นคือ คะแนน ที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 25 คือ 63.91
(2) ให x เปนคะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 90
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง P90 เทากับ 0.90 – 0.5 = 0.4
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4015 คา z เทากับ 1.29
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3997 คา z เทากับ 1.28
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4 คา z เทากับ 1.28 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×
0018.0
0003.001.0
≈ 1.2817
Z
0P25
0.25
Z
0 P90

20. 86
จาก 1.2817 = 12
72x−
x = 72 + 15.3804
x = 87.38
นั่นคือ คะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 90 คือ 87.38
5. ให x เปนความหนาของแผนพลาสติก
จาก z = x −µ
σ
จะได z1 = 0025.0
0625.00595.0 −
= –1.2
z2 = 0025.0
0625.00659.0 −
= 1.36
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.36 เทากับ 0.4131
และจะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.2 เทากับ 0.3849
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.2 < z < 1.36 เทากับ 0.4131 + 0.3849 = 0.7980
นั่นคือ มีแผนพลาสติก 79.8% ของพลาสติกทั้งหมดที่ผลิตไดมีความหนาอยูระหวาง 0.595
เซนติเมตร และ 0.0659 เซนติเมตร
6. เพราะวา 50.04% ของนาฬิกาทั้งหมดที่ผลิตไดมีความคลาดเคลื่อนระหวาง x กับ 0.136
วินาที
จาก z = x −µ
σ
z = 4.0
00.0136.0 −
= 0.34
Z
0-1.2 1.36

21. 87
จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.34 เทากับ 0.1331
จากรูป จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติจาก z = 0 ถึง x เทากับ 0.5004 – 0.1331 = 0.3673
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3686 คา z เทากับ 1.12
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3665 คา z เทากับ 1.11
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3673 คา z เทากับ 1.11 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×
0021.0
0008.001.0
≈ 1.1138
จะได –1.1138 = 4.0
00.0x−
x = –0.446
นั่นคือ x เทากับ –0.446 วินาที
7.
จากรูป จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติจาก x = 11.88 ถึง µ = 12.00 เทากับ 0.5–0.1151 = 0.3849
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3849 คา z เทากับ 1.20
จาก z = x −µ
σ
–1.20 = 11.88 12.00−
σ
σ = 2.1
12.0
−
−
= 0.1
ดังนั้น ความแปรปรวนของน้ําหนักสุทธิของกระปองบรรจุถั่วที่ผลิตโดยบริษัทนี้เทากับ 0.01
Z
0 0.136X
50.04%
Z
µ = 12.00X = 11.88

22. 88
8. (1) กําหนด σ = 3, x = 6 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.09
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4099 คา z เทากับ 1.34
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4115 คา z เทากับ 1.35
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.09 คา z เทากับ 1.34 + 0.01 0.0001
0.0016
×⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1.3406
จะได –1.3406 = 6
3
−µ
µ = 6 + 4.0218
µ = 10.0218
ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตประมาณ 10.0218 เปนคา a ที่ตองการ
(2) กําหนด µ = 10, x = 12 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.60
จากรูป พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง µ ถึง x = 12 เทากับ 0.6 – 0.5 = 0.1
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1026 คา z เทากับ 0.26
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.0987 คา z เทากับ 0.25
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1 คา z เทากับ 0.25 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×
0039.0
0013.001.0
≈ 0.2533
จะได 0.2533 = 12 10−
σ
σ = 2
0.2533
σ ≈ 7.90
ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 7.90 เปนคา b ที่ตองการ
Z
0X = 6
X = 12µ
0.09
0.41

23. 89
(3) กําหนด µ = 10, σ = 2 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.18
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1808 คา z เทากับ 0.47
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1772 คา z เทากับ 0.46
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.18 คา z เทากับ 0.46 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×
0036.0
0028.001.0
= 0.4678
จะได –0.4678 = 2
10x−
x = 10 – 0.9356
x = 9.0644
ดังนั้น คะแนนที่สนใจศึกษาประมาณ 9.06 เปนคา c ที่ตองการ
(4) กําหนด µ = 3, σ = 1 และ x = 2
จะได z = 1
32−
= –1
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –1 เทากับ 0.5 – 0.3413 = 0.1587
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนนที่ต่ํากวา 2 เทากับ 0.1587 เปนคา d ที่ตองการ
X µ
z = –1 µ

24. 90
9. (1) ให x เปนคะแนนสอบ SAT โดยกําหนด µ = 505 และ σ = 111
จาก z = x −µ
σ
จะได z1 = 111
505400−
= –0.946
z2 = 111
505600−
= 0.856
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.94 เทากับ 0.3264
พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.95 เทากับ 0.3289
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.946 เทากับ
0.3264 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×
01.0
006.00025.0
= 0.3279
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.85 เทากับ 0.3023
พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.86 เทากับ 0.3051
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.856 เทากับ
0.3023 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×
01.0
006.00028.0
= 0.30398
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่อยูระหวาง 400 และ 600 เทากับ
0.3279 + 0.30398 = 0.63188
(2) จะได z = 111
505700−
≈ 1.757
Z
-0.946 0 0.856
Z
1.7570

25. 91
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.75 เทากับ 0.4599
พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.76 เทากับ 0.4608
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.757 เทากับ
0.4599 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×
01.0
007.00009.0
= 0.46053
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่มากกวา 700 เทากับ
0.5 – 0.46053 = 0.03947
(3) จะได z = 111
505450−
≈ –0.495
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.49 เทากับ 0.1879
พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.50 เทากับ 0.1915
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.495 เทากับ
0.1879 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×
01.0
005.00036.0
= 0.1897
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่นอยกวา 450 เทากับ
0.5 – 0.1897 = 0.3103
Z
-0.495 0