1. บทที่ 1
อสมการ (12 ชั่วโมง)
1.1 อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว (3 ชั่วโมง)
1.2 การแกอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว (5 ชั่วโมง)
1.3 โจทยปญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว (4 ชั่วโมง)
เนื้อหาที่นําเสนอในบทนี้เปนการใหความรูเกี่ยวกับอสมการ อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว การแก
อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวโดยใชสมบัติของการไมเทากัน และการแกโจทยปญหาเกี่ยวกับอสมการเชิง
เสนตัวแปรเดียว
เนื่องจากสมบัติของการไมเทากันมีหลายขอที่คลายคลึงกับสมบัติของการเทากัน ดังนั้นในการใช
สมบัติของการไมเทากันมาชวยในการแกอสมการ ครูควรเนนใหนักเรียนระมัดระวังเรื่องการใชสมบัติการ
คูณของการไมเทากันโดยเฉพาะเมื่อนําจํานวนลบมาคูณทั้งสองขางของอสมการ ซึ่งจะตองมีการเปลี่ยน
เครื่องหมายของอสมการ จึงจะยังทําใหอสมการเปนจริง
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. แกอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวได
2. ใชความรูเกี่ยวกับอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวหาคําตอบของโจทยปญหาได
3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

2. 2
แนวทางในการจัดการเรียนรู
1.1 อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว (3 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. เขียนประโยคเกี่ยวกับจํานวนใหเปนประโยคที่ใชสัญลักษณ < , > , < , > หรือ ≠ ได
2. ระบุวาประโยคที่กําหนดให เปนหรือไมเปนอสมการ
3. หาคําตอบและเขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการที่กําหนดใหได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูควรทบทวนการเขียนประโยคเกี่ยวกับจํานวนใหเปนสมการ แลวใหนักเรียนชวยกัน
ยกตัวอยางประโยคเกี่ยวกับจํานวนที่มีคําแสดงความสัมพันธ นอยกวา มากกวา นอยกวาหรือเทากับ
มากกวาหรือเทากับ ไมเทากับ เพื่อนําไปสูการอธิบายเกี่ยวกับอสมการ
2. ครูควรใหนักเรียนสังเกตวาอสมการแตละอสมการอาจมีหรือไมมีตัวแปรก็ได เพื่อนําไปสู
การอธิบายและยกตัวอยางของอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
3. ครูควรใหนักเรียนหาคําตอบของอสมการโดยการลองแทนคาตัวแปรดวยจํานวนในอสมการ
งาย ๆ และชี้ใหนักเรียนเห็นวาอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวสวนใหญที่จะพบในบทนี้มีคําตอบเปนจํานวน
จริงมากมายที่สามารถเขียนแสดงไดบนเสนจํานวน ตัวอยางที่ 1 ถึงตัวอยางที่ 4 แสดงถึงอสมการ 3 แบบ
ตามลักษณะคําตอบ ครูควรใหนักเรียนสังเกตวาคําตอบของอสมการมีได 3 แบบ แตละแบบเปนอยางไร
และมีลักษณะแตกตางจากคําตอบของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวอยางไร
4. ครูควรทบทวนความรูเรื่องเสนจํานวนและการแทนจํานวนจริงบนเสนจํานวนที่นักเรียนเคย
เรียนมาแลว และชี้ใหนักเรียนเห็นจากตัวอยางวาเราใชความรูดังกลาวในการเขียนกราฟแสดงคําตอบของ
อสมการ ซึ่งจะทําใหเห็นคําตอบที่เปนชวงไดชัดเจนขึ้น
5. แบบฝกหัด 1.1 เจตนาใหนักเรียนไดฝกเขียนอสมการแทนประโยคที่ใชสัญลักษณทาง
คณิตศาสตร เพื่อเปนพื้นฐานในการแกโจทยปญหาเกี่ยวกับอสมการ ตลอดจนฝกใหนักเรียนเขียนและอาน
กราฟแสดงคําตอบของอสมการที่หลากหลาย

3. 3
1.2 การแกอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว (5 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถแกอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวที่กําหนดให โดยใชสมบัติของการ
ไมเทากันได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูควรทบทวนการใชสมบัติการบวกและสมบัติการคูณในการแกสมการ เพื่อนําไปสูการใช
สมบัติการบวกของการไมเทากันและสมบัติการคูณของการไมเทากันในการแกอสมการ
2. ครูอาจสอนใหนักเรียนเขาใจเกี่ยวกับการสมมูลของอสมการ โดยยกตัวอยางตามที่เสนอไวใน
หนังสือเรียน จากนั้นครูอาจยกตัวอยางเพิ่มเติมที่แสดงการสมมูลกันของอสมการมากกวาหนึ่งคู เชน
3x – 2 > 5 สมมูลกับ 3x > 7 และ 3x > 7 สมมูลกับ x > 7
3 การหาอสมการที่สมมูลกับอสมการใด
ๆ ทําไดโดยใชสมบัติของการไมเทากัน ในการแกอสมการ เราจะพยายามหาอสมการที่สมมูลกับอสมการ
เดิม และอยูในรูปงาย ๆ ตอการหาคําตอบที่สังเกตได
3. ครูควรถามเพื่อใหนักเรียนเห็นวา การลบทั้งสองขางของอสมการดวยคาคงตัว c ใด ๆ ยัง
สามารถใชสมบัติการบวกของการไมเทากันได เนื่องจากการลบดวย c คือการบวกดวย -c และการหาร
ทั้งสองขางของอสมการดวยคาคงตัว c ใด ๆ ที่ไมเทากับ 0 ยังสามารถใชสมบัติการคูณของการไมเทากันได
เนื่องจากการหารดวย c คือการคูณดวย 1
c
4. ครูควรยกตัวอยางการแกอสมการที่มีความหลากหลายและเพิ่มระดับความซับซอนดังตัวอยาง
ที่ 1 ถึงตัวอยางที่ 8 และควรใหนักเรียนระมัดระวังการคูณทั้งสองขางของอสมการดวยจํานวนลบ จําเปนตอง
เปลี่ยนเครื่องหมายจาก < เปน >, < เปน >, > เปน < และ > เปน < จึงจะทําใหอสมการเปนจริง
5. ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาในการแกอสมการที่มีเครื่องหมาย ≠ เราไมใชสมบัติการบวกของ
การไมเทากัน และสมบัติการคูณของการไมเทากัน เนื่องจากสมบัติทั้งสองไมไดรวมถึงความสัมพันธ ≠
เชน การแกอสมการ 2x + 10 ≠ 30 จะไมดําเนินการดังนี้
2x + 10 ≠ 30
2x ≠ 20
x ≠ 10
แตใชการแกสมการดังนี้
2x + 10 = 30
2x = 20
x = 10
ดังนั้น คําตอบของอสมการ 2x + 10 ≠ 30 คือจํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน 10

4. 4
การแกอสมการที่มีเครื่องหมาย ≠ จะแกสมการโดยใชสมบัติของการเทากัน ซึ่งคําตอบของ
อสมการที่ตองการเปนจํานวนทุกจํานวนยกเวนจํานวนที่เปนคําตอบของสมการ
6. กิจกรรม “นาคิด” มีเจตนาใหนักเรียนวิเคราะหหาเหตุผลในการตัดสินวาขอความถูกตอง
หรือไม ครูควรใหนักเรียนอธิบายวิธีคิด สําหรับขอความที่นักเรียนตอบวาไมถูกตอง ใหนักเรียนอธิบาย
โดยการยกตัวอยางคาน และสําหรับขอความที่นักเรียนตอบวาถูกตองใหนักเรียนอธิบายโดยใชสมบัติของ
การไมเทากัน
7. แบบฝกหัด 1.2 มีเจตนาฝกทักษะการแกอสมการที่หลากหลาย ในขอแรกอาจใหนักเรียน
เขียนกราฟแสดงคําตอบเพื่อเปนพื้นฐานในการเรียนเรื่องชวงและอสมการในระดับที่สูงขึ้น แตเมื่ออสมการ
ซับซอนขึ้น ควรเนนกระบวนการแกอสมการโดยไมจําเปนตองเขียนกราฟแสดงคําตอบ
8. กิจกรรม “บอกหนอยซิ” เปนกิจกรรมที่มีเจตนาใหนักเรียนเห็นอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
ที่มีลักษณะพิเศษและมีลักษณะของคําตอบตาง ๆ กัน การใชสมบัติของการไมเทากันในการหาคําตอบของ
อสมการเหลานี้อาจทําใหนักเรียนสับสน เนื่องจากอาจทําใหตัวแปรหายไป ในบางขอครูอาจใหนักเรียนใช
ความรูสึกเชิงจํานวนมาชวยในการวิเคราะห
1.3 โจทยปญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. เขียนอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวจากโจทยปญหาที่กําหนดใหได
2. ใชความรูเรื่องการแกอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวหาคําตอบของโจทยปญหาที่กําหนด
ใหได
3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูควรทบทวนการแกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวเพื่อนําไปสูการสอน
ขั้นตอนในการแกปญหา 5 ขั้นตอนตามรายละเอียดในหนังสือ จากนั้นครูอาจฝก 3 ขั้นตอนแรกกอน คือ
การวิเคราะหโจทยเพื่อหาวาโจทยกําหนดอะไรมาใหและใหหาอะไร การกําหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทยให
หาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวของกับสิ่งที่โจทยใหหา และการเขียนอสมการตามเงื่อนไขในโจทย การฝก 3
ขั้นตอนแรกใหมากพอ จะชวยใหนักเรียนคุนเคยกับการวิเคราะหโจทยและสรางอสมการ ทั้งนี้ครูควรฝกให
นักเรียนหาคําที่มีความหมายเชนเดียวกับคําที่มักพบในโจทยปญหาเชนคําวา “ไมถึง” “ไมเกิน”
“ไมมากกวา” และ “ไมนอยกวา” ดวย
ครูอาจเพิ่มเติมโดยหาโจทยปญหาทั่ว ๆ ไปหรือโจทยปญหาในทองถิ่นที่มีการใชคําที่แสดง
ความสัมพันธในลักษณะเปนอสมการ เพื่อใหนักเรียนเกิดความคุนเคยกับความหมายของคํา

5. 5
2. เมื่อนักเรียนแกอสมการและหาคําตอบได ครูควรฝกใหนักเรียนตรวจสอบคําตอบที่ไดวาตรง
กับเงื่อนไขในโจทยหรือไม และควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาคําตอบของโจทยปญหาอาจเปนเพียงบางคําตอบ
ของอสมการที่หาได ทั้งนี้ขึ้นอยูกับเงื่อนไข เชน ถาเปนความยาวจะเปนจํานวนบวก นักเรียนตอง
ตรวจสอบคําตอบและความสมเหตุสมผลของคําตอบตามเงื่อนไขของโจทยแตละขอ
3. กิจกรรม “คิดหนอย” เปนโจทยเชื่อมโยงความรูเรื่องอัตราสวนกับอสมการเชิงเสน
ตัวแปรเดียว
4. กิจกรรม “อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม” เปนกิจกรรมที่แสดงถึงการเชื่อมโยงความรูเรื่อง
อสมการไปใชในการแกปญหาทางเรขาคณิต ความรูเรื่องอสมการอิงรูปสามเหลี่ยมจะนําไปใชมากใน
คณิตศาสตรระดับสูงขึ้นไป
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบแบบฝกหัด 1.1
1.
1) 3x + 6 < 20
2) 3x < 18
3) x + 7 > 25
4) 7 x15 ≠ 105
5) 3
4 (x – 2) < 40
6) 2(x – 4) < 5(x + 8)
7) 3
4 x + 8 < 15
2.
1)
2)
3)
-18 9-9 0 18 27
-9 0-6 -3 3 6
-12 6-6 0 12 18

6. 6
4)
5)
3.
1) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา -2
2) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 8
3) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 15
4) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน -6
5) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 10 แตนอยกวาหรือเทากับ 30
6) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ -150 แตนอยกวาหรือเทากับ 50
คําตอบกิจกรรม “นาคิด”
1. ไมถูกตอง ตัวอยางเชน a = 1, b = 2 และ c = -5
จะได 1 < 2 แต (1)(-5) > (2)(-5) หรือ -5 > -10
2. ไมถูกตอง ตัวอยางเชน a = -10 และ b = 3 จะได -10 < 3 แต (-10)2
> 32
หรือ 100 > 9
3. ไมถูกตอง ตัวอยางเชน a = 2 และ b = -3 จะได 22
< (-3)2
หรือ 4 < 9 แต 2 > -3
4. ถูกตอง เนื่องจากเมื่อ a, b และ c แทนจํานวนจริงใด ๆ
ถา a < b แลว -a > -b (สมบัติการคูณของการไมเทากัน)
-a + c > -b + c (สมบัติการบวกของการไมเทากัน)
หรือ c – a > c – b
5. ไมถูกตอง ตัวอยางเชน a = -2, b = 1 และ c = 0 จะได -2 < 1
แต (-2)2
– 02
> 12
– 02
หรือ 4 > 1
6. ไมถูกตอง ตัวอยางเชน a = -5 และ b = 5 จะได -5 ≠ 5 แต (-5)2
= 52
หรือ 25 = 25
-6 120 6 18 24
-10 200 10 30 40

7. 7
คําตอบแบบฝกหัด 1.2
1.
1) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ 7
2) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 2
3) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 12
4) จํานวนจริงทุกจํานวนที่ยกเวน 4
5) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 7
6) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ 13
7) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 5
8) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน 111
9) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 15
14
10) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน 5
5 86 7 9
-1 20 1 3
-6 120 6 18
-14 7-7 0 14
11 1412 13 15
-5 100 5 15
1 15
14
2
0 62 4 8
0 11137 74 148
-5 100 5 15

8. 8
2.
1) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 26
2) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา -2
3) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 5
4) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ -3
5) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 1
6) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน -8
3
7) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ 31
8) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ 7
2
9) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 3
10) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 7159
11) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน -4
12) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน 0
คําตอบกิจกรรม “บอกหนอยซิ”
1) ไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบ
ตัวอยางแนวคิด จํานวนใดจํานวนหนึ่งลบดวย 2 ยอมมากกวาจํานวนนั้นลบดวย 3
ดังนั้น ไมมีจํานวนใดลบดวย 2 แลวยังนอยกวาจํานวนนั้นลบดวย 3
2) จํานวนจริงทุกจํานวน
ตัวอยางแนวคิด สองเทาของจํานวนใดจํานวนหนึ่ง ยอมมากกวาสองเทาของจํานวนนั้น
ลบดวย 1
3) จํานวนจริงทุกจํานวน
ตัวอยางแนวคิด จํานวนใดจํานวนหนึ่งลบดวย 2 ยอมนอยกวาจํานวนนั้นบวกดวย 1
4) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 0
ตัวอยางแนวคิด สองเทาของจํานวนบวก ยอมมากกวาจํานวนนั้น
หรือ 2y > y
2y – y > 0
ดังนั้น y > 0

9. 9
คําตอบแบบฝกหัด 1.3
1. 249 หนา
2. 48 เหรียญ
3. 11 และ 12
4. 135 ตารางเซนติเมตร
5. จํานวนนักเรียนหอง ก ที่เปนไปไดคือ 24, 30, 36, ..., 48
( 2
3 ของจํานวนนักเรียนหอง ก และ 1
2 ของนักเรียนหอง ข ตองเปนจํานวนนับ)
6. ควรบรรจุมะมวงใสลังอยางนอยลังละ 55 ผล อยางมากลังละ 75 ผล
คําตอบกิจกรรม “คิดหนอย”
คําตอบ เดิมแชมเลี้ยงสัตวไวทั้งหมดเปนจํานวนใดจํานวนหนึ่งในจํานวนตอไปนี้
1002, 1008, 1014, ..., 1398
แนวคิด ใหแชมเลี้ยงสัตวไวทั้งหมด x ตัว
ขายเปดไป 500 ตัว ขายไกไป 200 ตัว
ดังนั้น ขายสัตวไปทั้งหมด 700 ตัว
นั่นคือ จะเหลือสัตวทั้งหมด x – 700 ตัว
แตเหลือสัตวไมถึงครึ่งหนึ่งของจํานวนสัตวเดิม
จะได x – 700 < x
2
ดังนั้น x < 1400 --------------- (1)
จากอัตราสวน เปด : ไก : กระตาย = 3 : 2 : 1
นั่นคือ เมื่อมีสัตวทั้งหมด 6 ตัว จะเปนเปด 3 ตัว ไก 2 ตัว และกระตาย 1 ตัว
ดังนั้น ถามีสัตว x ตัว จะเปนเปด 3x6 ตัว ไก 2x6 ตัว และกระตาย x
6 ตัว
เนื่องจากขายเปดไป 500 ตัว แสดงวามีเปดอยางนอย 500 ตัว
ดังนั้น 3x6 > 500
x > 1000 --------------- (2)
และขายไกไป 200 ตัว
ดังนั้น 2x6 > 200
x > 600 --------------- (3)

10. 10
จาก (1), (2) และ (3) จะได 1000 < x < 1400 และจากอัตราสวนของจํานวนเปด ไก
และกระตาย เปน 3 : 2 : 1
ดังนั้น จํานวนสัตวทั้งหมดคือ x ตองหารดวย 6 ลงตัว ซึ่งจํานวนที่อาจเปนไปได
ไดแก 1002, 1008, 1014, ..., 1398
นั่นคือ แชมเลี้ยงสัตวไวทั้งหมดเปนจํานวนใดจํานวนหนึ่งดังขางตน
คําตอบกิจกรรม “อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม”
1.
(1) สวนของเสนตรงในขอ 1) และ 3) สามารถประกอบเปนรูปสามเหลี่ยมได เพราะผลบวกของ
ความยาวของดานสองดานใด ๆ จะยาวกวาความยาวของดานที่เหลือ
(2) สวนของเสนตรงในขอ 2) และ 4) ไมสามารถประกอบเปนรูปสามเหลี่ยมได เพราะมีผลบวก
ของความยาวของดานสองดาน บางคูไมยาวกวาความยาวของดานที่เหลือ ดังนี้
ในขอ 2) ผลบวกของความยาวของดานที่ยาว 7 และ 9 ซึ่งเทากับ 16 เซนติเมตร
สั้นกวาความยาวของดานที่เหลือซึ่งยาว 17 เซนติเมตร
ในขอ 3) ผลบวกของความยาวของดานที่ยาว 4 และ 11 ซึ่งเทากับ 15 เซนติเมตร
ไมยาวกวาความยาวของดานที่เหลือซึ่งยาว 15 เซนติเมตร
2.
1) 6 < AB < 24
2) 3
2 < AB < 19
6