1. บทที่ 1
ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม
(20ชั่วโมง)
สําหรับบทนี้จะเริ่มดวยการทบทวนความรูในเรื่องเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม ซึ่ง
ผูเรียนเคยเรียนมาแลวในชวงชั้นที่ 3 โดยจะเพิ่มเติมเนื้อหาดังนี้ รากที่ n ในระบบจํานวนจริงในรูปกรณฑ
เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล ฟงกชันลอการิทึม การเปลี่ยน
ฐานของลอการิทึม สมการเอกซโพเนนเชียลและสมการลอการิทึม รวมถึงการนําความรูฟงกชันเอกซโพ
เนนเชียลและฟงกชันลอการิทึมไปประยุกตใช ซึ่งจะทําใหผูเรียนเห็นถึงประโยชนในการศึกษาเรื่องเหลานี้
และสามารถเชื่อมโยงกับสถานการณที่สอดคลองกับชีวิตจริง
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับฟงกชันเอกซโพเนนเชียล ฟงกชันลอการิทึม และการเขียนกราฟของ
ฟงกชันที่กําหนดใหได
2. นําความรูเรื่องฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึมไปใชแกปญหาได
ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดาน
ความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/กระบวนการทาง
คณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมใหผูเรียนเกิดทักษะ/กระบวนการ
ทางคณิตศาสตรที่จําเปน อันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อ
ความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยง
คณิตศาสตรกับศาสตรอื่น และการคิดริเริ่มสรางสรรค นอกจากนั้นกิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริมให
ผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหนักเรียนทํางานอยางเปน
ระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง

2. 2
ขอเสนอแนะ
1. ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลเปนเนื้อหาที่จะตองอาศัยความรูพื้นฐานในเรื่องเลขยกกําลังในการนิยาม
ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลซึ่งผูเรียนไดเรียนมาแลว จากนั้นจึงนิยามฟงกชันลอการิทึมในรูปของตัวผกผัน
ของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล ซึ่งผูเรียนและผูสอนอาจพบการใหนิยามฟงกชันทั้งสองในหนังสือเลมอื่นๆ
ที่แตกตางไปจากหนังสือเรียนเลมนี้ เชน วิชาแคลคูลัส ในระดับอุดมศึกษา ไดนิยามฟงกชันลอการิทึมกอน
แลวจึงนิยามฟงกชันเอกซโพเนนเชียล โดยนิยามฟงกชันลอการิทึมในรูปอินทิกรัลดังนี้คือ
ln x =
x
1
1
dt
t∫ , x > 0
และใหบทนิยามของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลในรูปตัวผกผันของ ln x กลาวคือ
ให y = exp(x) ก็ตอเมื่อ x = ln y จากนั้นจึงนิยาม ax
ในรูป ax
= exp (x ln a) และ loga x
เปนตัวผกผันของฟงกชัน f(x) = ax
ซึ่งผลจากบทนิยามนี้จะได
ex
= exp (x ln e) = exp (x)
และเรียกฟงกชัน ln x และ exp (x) วาเปนฟงกชันลอการิทึม และฟงกชันเอกซโพเนนเชียลตาม
ลําดับ
สําหรับการประยุกตใชในสาขาวิชาสถิติ และวิทยาศาสตรแขนงตาง ๆ จะใชฟงกชันเอกซโพเนนเชียล
ที่อยูในรูป f(x) = kax
เมื่อ a > 0, a ≠ 1 และ k ≠ 0
ดังนั้นผูสอนและผูเรียนจึงอาจพบบทนิยามของฟงกชันลอการิทึม และฟงกชันเอกซโพเนนเชียลที่มี
รูปแบบตางไปจากที่นิยามไวในหนังสือเรียน ทั้งนี้การนิยามนั้นขึ้นอยูกับความรูพื้นฐานของผูเรียนและ
การนําฟงกชันดังกลาวไปใช ผูสอนจึงไมควรเจาะจงรูปแบบของฟงกชันใหเปนรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง
โดยเฉพาะ แตควรมุงเนนการนําความรูไปใชตามจุดประสงคการเรียนรูของบทนี้
2. ในหนังสือเรียน ถากลาวถึงเลขยกกําลังที่มีฐานเปนตัวแปรและไมไดระบุเอกภพสัมพัทธไว
จะถือวาเอกภพสัมพัทธของตัวแปรเหลานั้นคือสับเซตของจํานวนจริง ซึ่งเมื่อนํามาแทนคาตัวแปรแลว
ทําใหการคิดคํานวณเกี่ยวกับเลขยกกําลังนั้นมีความหมาย และเอกภพสัมพัทธอาจจะแตกตางกันไปตาม
วิธีการคิดคํานวณ
3.ในการบวก ลบ คูณ และหารเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนเศษสวน ผูสอนควรชี้ใหผูเรียนเห็น
วา
1 )การบวกและลบเลขยกกําลังสองจํานวน จะทําไดเมื่อเลขยกกําลังทั้งสองมีฐานเทากัน
และเลขชี้กําลังเทากัน เชน ถาจะหาผลบวกของ ( )2
1
18 กับ ( )2
1
50 จะตองพิจารณาวาสามารถเขียน
จํานวนทั้งสองใหอยูในรูปเลขยกกําลังที่มีฐานเทากันและเลขชี้กําลังเทากันไดหรือไม ซึ่งจะพบวา
( )2
1
18 = ( )2
1
223 × = 3( )2
1
2
( )2
1
50 = ( )2
1
225 × = 5( )2
1
2

3. 3
ดังนั้น ( )2
1
18 + ( )2
1
50 = 3( )2
1
2 + 5( )2
1
2 = 8( )2
1
2
ในการเปลี่ยนรูปของเลขยกกําลังที่จะนํามาบวกหรือลบกันใหอยูในรูปเลขยกกําลังที่มีฐาน
เทากันและเลขชี้กําลังเทากัน จําเปนตองเขียนจํานวนที่เปนฐานของเลขยกกําลังใหอยูในรูปการคูณของ
ตัวประกอบ แลวจึงเปลี่ยนรูปใหม เชน
( ) ( ) 6
1
3
1
23043844 + = ( ) ( )6
1
3
1
36646644 ×+×
= ( ) ( )6
1
3
1
263 62644 ×+×
=
1 1
3 316(6) 2(6)+
= ( )3
1
618
ผูสอนควรชี้แจงใหผูเรียนทราบวา การเขียนจํานวนที่เปนฐานในรูปการคูณของตัวประกอบ
ไมจําเปนตองแยกตัวประกอบของจํานวนที่เปนฐานเสมอไป แตการแยกตัวประกอบจะชวยใหมองเห็นงายขึ้น
วาเลขยกกําลังสองจํานวนนั้นสามารถเขียนใหอยูในรูปเลขยกกําลังที่มีฐานเทากันและเลขชี้กําลังเทากันได
หรือไม
2) การคูณและการหารเลขยกกําลังสองจํานวน จะทําไดเมื่อเลขยกกําลังทั้งสองมีฐานเทากัน
หรือเลขชี้กําลังเทากัน ดังนั้น ในการหาผลคูณและผลหารของเลขยกกําลัง ถาฐานของเลขยกกําลังไมเทากัน
และเลขชี้กําลังไมเทากันจะตองทําใหฐานหรือเลขชี้กําลังของเลขยกกําลังเทากันเสียกอนอยางใดอยางหนึ่งจึง
จะคูณหรือหารกันไดโดยอาศัยสมบัติของเลขยกกําลัง เชน
(1)
11
32(5) (3) =
3 2
6 6(5) (3)
=
1 1
3 26 6(5 ) (3 )
=
1 1
6 6(125) (9)
=
1
6(1125)
(2)
1 1
3 24(3) (6) =
1 1
3 22(3) 2(6)
=
1 1
3 23 2(2 3) (2 6)× ×
=
1 1
3 2(24) (24)
=
5
6(24)

4. 4
(3)
1
5
1
3
5
2
=
3
15
5
15
5
2
=
1
3 15
1
5 15
(5 )
(2 )
=
1
15125
( )
32
4. การใชบทนิยาม
p
q
a =
1
p q
(a ) ผูสอนควรชี้ใหผูเรียนเห็นวาการนําผลของขอความ
ดังกลาวไปใชจะใชไดเฉพาะกรณีที่
1
q
a เปนจํานวนจริงเทานั้นซึ่งผูเรียนมักจะใชผิดอยูเสมอ เชน
ในการหาคา ( )2
3− ผูเรียนอาจจะทําดังนี้
( )2
3− = ( )[ ]2
1
2
3− = ( )





 ×
− 2
1
2
3 = –3
แลวผูเรียนจะสรุปวา ( )2
3− = –3 ซึ่งผิด เพราะวา
( )2
3− = 3− = 3
ขั้นตอนที่ผูเรียนทําผิดนั้นเนื่องจาก
1
(2 )
2( 3)
×
− =
2
23− =
1
22( 3 )− ซึ่ง
1
2( 3)− ไมเปน
จํานวนจริง จึงทําใหเกิดความผิดพลาดขึ้น
5. การคิดคํานวณเกี่ยวกับจํานวนที่มีกรณฑปรากฏอยู ผลลัพธสุดทายอาจจะเปนเศษสวน
ที่มีตัวสวนเปนจํานวนที่มีกรณฑอยูดวย เชน
5 2 5 2
3 1 2 3
+ −
×
− +
=
( ) ( )
( ) ( )3213
2525
+−
−+
=
32332
45
−−+
−
=
13
1
+
ผูสอนควรชี้แจงกับผูเรียนวาโดยทั่วไปนิยมเขียนผลลัพธขั้นสุดทายใหอยูในรูปที่มีตัวสวนเปนจํานวนที่ไม
มีกรณฑปรากฏอยู ซึ่งทําไดโดยหาจํานวนมาคูณทั้งตัวเศษและตัวสวน เชน จากตัวอยางขางตนอาจทําไดดัง
นี้
13
1
+
=
13
1
+
×
13
13
−
−
=
13
13
−
−
=
2
13 −

5. 5
6. ในการหาคาประมาณถึงทศนิยมตําแหนงที่กําหนดให ใชวิธีประมาณตามที่นิยมกันทั่วไป
คือ ถาใหหาทศนิยมตําแหนงที่ n เวลาคํานวณใหหาถึงตําแหนงที่ n + 1 ถาตําแหนงที่ n + 1 มากกวา
หรือเทากับ 5 ก็ปดขึ้นไปรวมกับตําแหนงที่ n ถานอยกวา 5 ก็ตัดทิ้งไป เชน ตองการคําตอบโดยประมาณ
ถึงตําแหนงที่ 3 เวลาคํานวณใหหาคําตอบถึงทศนิยมตําแหนงที่ 4 แลวจึงปดหรือตัดทศนิยมตามที่ตองการ
เชน ถาหาคําตอบได 3.4547 ก็ตอบ 3.455 แตถาหาคําตอบได 3.4564 ก็ตอบ 3.456 เปนตน
7. สําหรับการหาคาลอการิทึมของจํานวนที่ไมอาจหาคาไดโดยตรงจากตารางในภาคผนวกของ
หนังสือเรียน ผูสอนไมควรเนนใหผูเรียนมีทักษะหรือวัดผลการเรียนรูในสวนนี้ ตัวอยางที่แสดงไวใน
หนังสือเรียนเพียงเพื่อใหผูเรียนสามารถหาคา log N ไดจากตารางเทานั้น สําหรับในทางปฏิบัติปจจุบัน
การประยุกตใชในสาขาวิชาอื่น การคํานวณหาคาลอการิทึมมักนิยมใชเครื่องคิดเลขหรือเครื่องชวยคํานวณ
ที่สามารถหาคาฟงกชันลอการิทึมไดโดยตรง ซึ่งทําใหสะดวกขึ้นมาก
8. ในหนังสือเรียนไดใหบทนิยามของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลไววาคือฟงกชัน y = ax
,
a > 0 , a ≠ 1 ผูเรียนอาจจะสงสัยวาฟงกชันตอไปนี้เปนฟงกชันเอกซโพเนนเชียลหรือไม
y = 5(2)x
y = 32x + 4
y = 5x
+ 2
y = –(
5
1 )x
+ 4
ผูสอนควรตอบผูเรียนวา โดยบทนิยามในหนังสือเรียน ฟงกชัน y = 5(2)x
และ
y = 32x + 4
เปนฟงกชันเอกซโพเนนเชียลเพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax
, a > 0 , a ≠ 1 ได
กลาวคือ
y = 32x + 4
= 3z
เมื่อ z = 2x + 4
y = 5(2)x
= 2k
⋅ 2x
เมื่อ 2k
= 5
= 2x + k
= 2z
เมื่อ z = x + k
การหาคา k ซึ่ง 2k
= 5 อาจจะหาไดจากการพิจารณากราฟของฟงกชัน y = 2x
ซึ่งมีเรนจเปน
จํานวนจริงบวก ดังนั้นเมื่อ y = 5 จะมีจํานวนจริงบวก k ซึ่ง 2k
= 5 และผูสอนอาจจะบอกผูเรียนเพิ่ม
เติมวาบทนิยามของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลที่ใหไวในหนังสือเรียนมีความหมายอยางหนึ่ง แตในหนังสือ
Mathematics Dictionary ของ James / James ไดใหบทนิยามของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลไวหลายความ
หมาย ซึ่งมีความหมายหนึ่งบอกวา ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลคือฟงกชันที่กําหนดโดยสมการที่มีตัวแปร
เปนเลขชี้กําลัง ดังนั้นโดยความหมายนี้ฟงกชัน y = 5x
+ 2 และ y = –(
5
1 )x
+ 4 จะเปนฟงกชัน
เอกซโพเนนเชียล

6. 6
ผูสอนอาจจะใหผูเรียนเขียนกราฟของฟงกชันดังกลาวขางตนเพื่อเปรียบเทียบกับกราฟของ
ฟงกชัน y = ax
วามีลักษณะเหมือนกันและแตกตางกันอยางไรบาง
9. พิจารณาฟงกชันลอการิทึม ( ){ }1a,0a,xalogyy,x ≠>= จะเห็นวาถา a มีคา
แตกตางกันจะไดฟงกชันลอการิทึมที่แตกตางกันดวย เชน ( ){ }xlogyy,x 3= กับ ( ){ }xlogyy,x 5=
เปนฟงกชันลอการิทึมที่แตกตางกัน หนังสือบางเลมจึงเรียก ( ){ }1a,0a,xalogyy,x ≠>= วา
ฟงกชันลอการิทึมฐาน a เชน เรียก { (x, y) | y = log2x } วาฟงกชันลอการิทึมฐาน 2
10. การหาคาลอการิทึมอาจหาไดหลายวิธี โดยอาศัยการเปลี่ยนรูปลอการิทึมใหอยูในรูป
เลขยกกําลังหรือใชสมบัติของลอการิทึม เชน การหาคาของ 9log
3
1 หาไดดังนี้
วิธีที่ 1 ให 9log
3
1 = x
จะได (
3
1 )x
= 9
(3–1
)x
= 32
3–x
= 32
x = –2
ดังนั้น 9log
3
1 = –2
วิธีที่ 2 9log
3
1 = 23log
3
1
= 2 3log
3
1
= 2
3
1log (
3
1 )–1
= –2
3
1log
3
1
= –2
วิธีที่ 3 9log
3
1 =
3
1
3
3log
9log
=
( ) 1
3 3log
3log 2
3
−
= 3
3
2log 3
( 1)log 3−
= –2
ดังนั้น ในการหาคาลอการิทึม ผูสอนอาจแนะนําใหผูเรียนไดฝกหาคาหลาย ๆ วิธี ซึ่งจะทําให
ผูเรียนเขาใจเรื่องนี้ไดดียิ่งขึ้น

7. 7
11. การหาคาลอการิทึมสามัญในหนังสือเรียนหัวขอ 1.6 ผูสอนควรใหผูเรียนสังเกตวา
ถา 1 ≤ N0 < 10 จะไดวา log 1 ≤ logN0 < log 10 เนื่องจากฟงกชันที่กลาวถึงเปนฟงกชันที่มีฐานเปนสิบ
ซึ่งเปนฟงกชันเพิ่มแตถาเปนฟงกชันลอการิทึมที่มีฐานนอยกวาหนึ่งจะสรุปเชนนี้ไมได เพราะวาฟงกชัน
ลอการิทึมที่ฐานมีคานอยกวาหนึ่งเปนฟงกชันลด เชน
2
1log 1 = 0
2
1log 4 = –2
2
1log 10 = –3.322 (โดยประมาณ)
จะเห็นวา 1 < 4 < 10
แต
2
1log 1 >
2
1log 4 >
2
1log 10
12. ในการหาแอนติลอการิทึมนั้นในหนังสือเรียนไมไดใหตารางแอนติลอการิทึมไว
เ พร า ะ
ตองการใหหาคาแอนติลอการิทึมของจํานวนจริงใด ๆ โดยอาศัยตารางลอการิทึมและวิธีการกลับกันกับ
การหาคาลอการิทึม กลาวคือ ถาให log N = A จะหาคา N หรือแอนติลอการิทึมของ A ไดโดยการ
จัดรูป A ใหอยูในรูป x + n เมื่อ 0 ≤ x < 1 และ n เปนจํานวนเต็ม แลวอาศัยสมบัติของลอการิทึม
หาคา N ได เชน
ถา log N = –5.3344
= 0.6656 + (–6)
= log 4.63 + log 10–6
= log (4.63 × 10–6
)
จะได N = 4.63 × 10–6
= 0.00000463
13. ในหนังสือเรียนหัวขอ 1.7 ไดกลาวถึงลอการิทึมฐาน e ซึ่งเรียกวา ลอการิทึมธรรมชาติหรือ
ลอการิทึมแบบเนเปยร ผูสอนอาจจะเลาใหผูเรียนฟงวา เหตุที่เรียกลอการิทึมฐาน e วาลอการิทึมแบบเนเปยร
เพราะวาผูที่คิดลอการิทึมฐาน e คือ จอหน เนเปยร (John Napier) นักคณิตศาสตรชาวสก็อต ซึ่งมีชีวิตอยู
ระหวางป ค.ศ. 1550 – 1617
14. เมื่อผูเรียนสามารถคํานวณคาประมาณโดยใชลอการิทึมไดแลว ผูสอนควรยกตัวอยางขอมูล
ทางสถิติใหผูเรียนคํานวณหาคาเฉลี่ยเรขาคณิต การยกตัวอยางดังกลาวนอกจากเปนการฝกทักษะในการ
คิดคํานวณแลว ยังทําใหผูเรียนไดเห็นประโยชนในการนําฟงกชันลอการิทึมไปใช เชน

8. 8
จงหาคาเฉลี่ยเรขาคณิตของ 8.105 , 12.83 , 15.3 , 35.34
จาก คาเฉลี่ยเรขาคณิต (G.M) = N
n321
X...XXX
หรือ log G.M. =
N
1 N
i
i 1
log x
=
∑
ดังนั้น log G.M. =
4
1 N
i
i 1
log x
=
∑
=
4
1 (log 8.105 + log 12.83 + log 15.3 + log 35.34)
=
4
1 (0.9088 + 1.1082 + 1.1847 + 1.5483)
=
4
1 (4.75)
= 1.1875
= 1 + 0.1875
= log 10 + log 1.54
= log (1.54 × 10)
เพราะฉะนั้น G.M. = 1.54 × 10
= 15.4
15. ในเรื่องฟงกชันลอการิทึมผูเรียนอาจจะสงสัยวาฟงกชันที่กําหนดเปนฟงกชันลอการิทึม
หรือไม เชน
y = log 3 (x – 2)
y = log 2 (x2
+ 2x – 5)
y = log 3 (x – 6) + 7
ผูสอนควรตอบผูเรียนวาฟงกชันที่สามารถจัดอยูในรูป y = log a z ได จะเปนฟงกชัน
ลอการิทึม ดังนั้น ฟงกชันทั้งสามขางตนจะเปนฟงกชันลอการิทึมเพราะวา
y = log3 (x – 2)
= log 3 z เมื่อ z = x – 2
y = log2 (x2
+ 2x – 5)
= log 2 z เมื่อ z = x2
+ 2x – 5
และ y = log3 (x – 6) – 7
= log3 




 −
73
6x
= log3 z เมื่อ z = 73
6x−

9. 9
หมายเหตุ คําถามที่วาฟงกชันใดจะเปนฟงกชันเอกซโพเนนเชียลหรือเปนฟงกชันลอการิทึม
หรือไม เปนคําถามที่ไมควรถามผูเรียนเพราะมีบทนิยามหลายแบบ แตถาผูเรียนถาม
ผูสอนอาจจะตอบตามที่ยกตัวอยางไวขางตน
16. ในการแกสมการลอการิทึมจากโจทยที่กําหนดให เมื่อแกสมการจนไดคาของตัวแปรใน
สมการแลว คาที่หาไดบางคาอาจไมใชคําตอบของสมการลอการิทึม ตัวอยางเชน
ในการแกสมการ log x = 1 – log (x – 9)
จาก log x = 1 – log (x – 9)
จะได log x = log 10 – log (x – 9)
log x = log 







−9x
10
x =
9x
10
−
x(x – 9) = 10
x2
– 9x – 10 = 0
(x – 10)(x + 1) = 0
x = 10, –1
โดยบทนิยามของฟงกชันลอการิทึม สมการนี้จะมีความหมายก็ตอเมื่อ x > 0 และ x – 9 > 0
นั่นคือ x > 9 จะเปนเงื่อนไขหนึ่งของสมการดวย ซึ่งคา x = –1 ไมสอดคลองกับเงื่อนไขดังกลาว
ดังนั้น –1 จึงไมเปนคําตอบของสมการ แตถาแทนคา x = 10 จะไดสมการเปนจริง ดังนั้น 10 จึงเปน
คําตอบของสมการ
ดังนั้นในการสอนเรื่องการแกสมการลอการิทึม ผูสอนควรชี้ใหผูเรียนเห็นวาจํานวนที่อยู
หลังคําวา log จะตองมากกวาศูนยเสมอ ซึ่งจะนําไปพิจารณาคาของตัวแปรที่หาไดวาคาใดควรเปนคําตอบ
ของสมการ และใหผูเรียนตรวจสอบคาเหลานี้วาคาใดเปนคําตอบของสมการ
17. ในการเรียนการสอนผูสอนอาจยกตัวอยางการนําลอการิทึมไปใชในเรื่องตาง ๆ โดยเฉพาะ
ในวิชาวิทยาศาสตร เชน การวัดระดับความเขมเสียง อัตราขยายกําลัง (power gain) ในวงจรขยาย
ดังรายละเอียดตอไปนี้

10. 10
ก) การวัดระดับความเขมเสียงเปนการเปรียบเทียบความเขมเสียงที่มาจากแหลงกําเนิด
เสียง 2 แหลง ซึ่งจุดที่เปรียบเทียบจะตองอยูหางจากแหลงกําเนิดเสียงทั้งสองแหลงเทากัน โดยปกติใช
ความเขมเสียงที่หูปกติเริ่มไดยินเปนเกณฑอางอิง คือ 10–12
w / m2
ระดับความเขมเสียงโดยทั่วไปจะบอก
ในหนวยของเบล *
(ใช B แทนคําวา “เบล” โดยนิยามวา)
N = log
0I
I (B)
เมื่อ N แทนระดับความเขมเสียงมีหนวยเปนเบล
I แทนความเขมเสียงที่ตองการวัดหรือเปรียบเทียบ
I0 แทนความเขมเสียงที่หูคนปกติเริ่มไดยิน ซึ่งเทากับ 10–12
w / m2
เนื่องจากเบลเปนหนวยที่ใหญมาก จึงนิยมใชเดซิเบล (1 เบล = 10 เดซิเบล) โดยทั่วไปจะใช
dB แทนคําวาเดซิเบล
ดังนั้น n = 10 log
0I
I (dB)
เมื่อ n แทนระดับความเขมเสียงมีหนวยเปนเดซิเบล
หมายเหตุ * เบล (Bel) คือหนวยซึ่งไมมีมิติ ใชสําหรับแสดงอัตราสวนของกําลัง (Power) สองคา
จํานวนเบลเปนคาลอการิทึมฐานสิบของอัตราสวนของกําลัง เมื่อกําหนดให P1 และ P2 แทนกําลังสอง
คา และ N แทนจํานวนเบลที่สอดคลองกับอัตราสวน P1 : P2 จะได
N = log
2
1
P
P
ข) ในวิชาอิเล็กทรอนิกสการออกแบบวงจรขยายสัญญาณไฟฟา จะมีการเปรียบเทียบ
กําลังของสัญญาณเขากับกําลังของสัญญาณออก ซึ่งเรียกวา อัตราขยายกําลัง
ซึ่ง G =
1
2
P
P
เมื่อ G แทนอัตราขยาย
P1 แทนกําลังของสัญญาณเขา
P2 แทนกําลังของสัญญาณออก
วงจรขยายสัญญาณเขา
(P1)
สัญญาณออก
(P2)

11. 11
อัตราขยายกําลังของสัญญาณโดยทั่วไปจะนิยามในหนวยของเดซิเบล โดยนิยามวา
G′ = 10 log G = 10 log
1
2
P
P
เมื่อ G′ แทนอัตราขยายกําลังในหนวยของเดซิเบล
ตัวอยางเชน ถาวงจรมีอัตราขยายกําลัง 100 อัตราขยายกําลังในหนวยเดซิเบล คือ
G′ = 10 log 100 = 20 dB
บางครั้งอาจเปนการเปรียบเทียบในรูปของอัตราขยายกระแสไฟฟาหรือแรงดันไฟฟา
G′ = 10 log
1
2
P
P
= 10 log
RI
RI
2
1
2
2 = 20 log
1
2
I
I
G′ = 10 log
1
2
P
P
= 10 log
2
2
2
1
V
R
V
R
= 20 log
1
2
V
V
เมื่อ I1 แทนกระแสไฟฟาของสัญญาณเขา
I2 แทนกระแสไฟฟาของสัญญาณออก
V1 แทนแรงดันไฟฟาของสัญญาณเขา
V2 แทนแรงดันไฟฟาของสัญญาณออก
กิจกรรมเสนอแนะ
เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
1. ผูสอนใหผูเรียนหาคาของจํานวนตอไปนี้เพื่อเปนการทบทวนความหมายของเลขยกกําลัง
และการหาคาของเลขยกกําลังโดยใชทฤษฎีของเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก
23
⋅ 25
, (32
)4 , (2 ⋅ 5)3
, (
8
7 )2
, 7
3
3
3
, 7
4
3
3
2. ผูสอนทบทวนบทนิยามของเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มลบและศูนย แลว
ใหผูเรียนหาคาของเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มลบ โดยการทําใหเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
บวกกอน เชน การใหผูเรียนหาคาของจํานวนตอไปนี้ 4–5
, a–7
, 3–2
⋅ 3–3
, a–6
⋅ a–2
, (3 ⋅ 2)–5
, (
3
4
)–7
,
7
4
5
5
−
−
และ 2m
เมื่อ m เปนจํานวนเต็มลบ
3. ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปทฤษฎีบทของเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
ซึ่งควรสรุปไดดังนี้

12. 12
ถา a, b เปนจํานวนจริงที่ไมเปน 0 และ m , n เปนจํานวนเต็มแลว
1. am
⋅ an
= am + n
2. (am
)n
= amn
3. (ab)n
= an
⋅ bn
4. (
b
a
)n
= n
n
b
a
5. n
m
a
a
= am – n
เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ
1. ผูสอนทบทวนความหมายของรากที่ n ของ x เมื่อ x เปนจํานวนจริงและ n เปน
จํานวนเต็มบวก โดยใหผูเรียนหา
รากที่สองของ 4 , 36 ,
25
1
,
4
49
รากที่สามของ 27 , –8 ,
64
1
,
125
8
แลวใหหาจํานวนจริงที่เปนรากที่ n ของ –16 และ –25 เมื่อ n เปนจํานวนคูบวก (ผูเรียนควรตอบไดวา
หาไมไดเพราะไมมีจํานวนจริงใดยกกําลังดวยจํานวนคูบวกแลวได –16 หรือ –25)
2. ผูสอนใหผูเรียนหาคาจํานวนตอไปนี้เพื่อเปนการทบทวนความหมายของกรณฑ
49− , 3 27− , 5
32
1
− ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปวา n x จะเปนจํานวนจริงเมื่อ
2.1 x เปนจํานวนจริงที่ไมนอยกวาศูนย
หรือ 2.2 x < 0 และ n เปนจํานวนคี่
ดังนั้น ถาจะให n x ที่กลาวถึงเปนจํานวนจริงไมวา n จะเปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ จะตองกําหนดให
x > 0 เทานั้น
3. ผูสอนบอกนิยามของเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปน
n
1
เมื่อ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1
และบทนิยามของเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะแลวใหผูเรียนหาคาของจํานวนตอไปนี้
( )3
1
27 , ( )4
3
16 , 3
2
125
8






4. ผูสอนใหผูเรียนหาคาของเลขยกกําลังแตละคูที่กําหนดให เชน ( 2
27 ) 3
1
และ ( 3
1
27 )2
,

13. 13
[(
81
16
)3
] 5
1
และ [(
81
16
) 5
1
]3
และใหสังเกตวาผลที่ไดเทากันหรือไม (ผูเรียนควรสรุปไดวาเทากัน)
จากนั้นผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปเปนกรณีทั่วไปวา ( q
1
a )p
= (ap
) q
1
เมื่อ a > 0 , p และ q
เปนจํานวนเต็มที่ q > 0
5. กอนจะสอนการพิสูจน ผูสอนควรใหผูเรียนฝกหาคาของเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปน
จํานวนตรรกยะโดยอาศัยบทนิยาม โดยอาจสอนตามลําดับขั้นดังนี้
5.1 ผูสอนกําหนดเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะแลวใหผูเรียนเปลี่ยนเลข
ชี้กําลังใหมีตัวสวนเปนจํานวนเต็มบวกที่กําหนดให เชน ผูสอนใหผูเรียนเขียน 5 3
2
ใหตัวสวนของ
เลขชี้กําลังเปน 12 ซึ่งผูเรียนควรทําไดดังนี้
5 3
2
= 5 4
4
3
2
×
= 512
8
จากนั้นผูสอนอาจยกตัวอยางในทํานองเดียวกันเพิ่มเติม เชน ใหผูเรียนเขียน 45
1
และ (
3
2
) 7
6
ใหตัวสวนของเลขชี้กําลังเปน 15 และ 28 ตามลําดับ
6. ผูสอนทบทวนสมบัติของรากที่ n ที่ผูเรียนเคยเรียนมาแลววา ถา x > 0 , y > 0 แลว
nn yx ⋅ = n xy และ
n
n
y
x
= n
y
x
ดังนั้น อาศัยบทนิยามของเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะจะไดวา
n
1
n
1
yx ⋅ = (xy) n
1
และ
n
1
n
1
y
x
= (
y
x
) n
1
การบวก ลบ คูณ และหารเลขยกกําลังและการแกสมการที่มีเครื่องหมายกรณฑอันดับสอง
1. ในการสอนการบวก ลบ เลขยกกําลัง ผูสอนอาจสอนตามลําดับดังนี้
1.1 ผูสอนใหผูเรียนเขียน (24)3
1
และ (576)6
1
ใหอยูในรูปเลขยกกําลังที่มีฐานเปน 3
และเลขชี้กําลังเปน
3
1
พรอมทั้งหาผลบวกของ (24)3
1
และ (576)6
1
ซึ่งผูเรียนควรทําไดดังนี้

14. 14
(24)3
1
= (8 × 3)3
1
= (23
× 3)3
1
= 2(3)3
1
(576)6
1
= (64 × 9)6
1
= (26
× 32
) 6
1
= 2(3)3
1
ดังนั้น (24)3
1
+ (576)6
1
= 2(3)3
1
+ 2(3) 3
1
= 4(3) 3
1
1.2 ผูสอนใหผูเรียนหาผลบวกของ (20)3
1
และ (24)3
1
โดยใหผลลัพธเปนเลขยกกําลัง
จํานวนเดียว ซึ่งผูเรียนควรบอกไดวาหาไมไดเพราะเลขยกกําลังทั้งสองจํานวนเขียนใหอยูในรูปเลขยก
กําลังที่มีฐานเทากันและเลขชี้กําลังเทากันไมได
1.3 ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปวาเลขยกกําลังทั้งสองจํานวนจะบวกหรือลบกันใหได
ผลลัพธเปนเลขยกกําลังจํานวนเดียวเมื่อสามารถเขียนเลขยกกําลังทั้งสองจํานวนใหอยูในรูปจํานวนจริง
คูณดวยเลขยกกําลังที่มีฐานเทากันและเลขชี้กําลังเทากันได
2. ในการสอนเรื่องการคูณและการหารเลขยกกําลัง ผูสอนอาจใชวิธีการสอนตามลําดับ
ขั้นดังนี้
2.1 ผูสอนใหผูเรียนเขียน
1
2(27) และ (24)3
1
ใหอยูในรูปจํานวนจริงคูณดวยเลขยกกําลัง
ที่มีฐานเทากัน พรอมทั้งหาคา
1
2(27) ⋅ (24)3
1
และ
( )
( )3
1
2
1
24
27
ซึ่งผูเรียนควรทําไดดังนี้
1
2(27) = (32
⋅ 3) 2
1
= 3(3) 2
1
(24)3
1
= (23
⋅ 3)3
1
= 2(3)3
1
ดังนั้น
1
2(27) ⋅ (24)3
1
= 3(3) 2
1
⋅ 2(3)3
1
= 6(3) 3
1
2
1
+
= 6(3)6
5
และ
( )
( )3
1
2
1
24
27
=
( )
( )3
1
2
1
32
33
= ( ) 3
1
2
1
3
2
3 −
= ( )6
1
3
2
3
2.2 ผูสอนใหผูเรียนเขียน 43
1
และ 5 4
1
ใหอยูในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเทากัน
พรอมทั้งหาคา 43
1
⋅ 5 4
1
และ
4
1
3
1
5
4
ซึ่งผูเรียนควรทําไดดังนี้
43
1
= 4





 ×
4
4
3
1
= (44
)12
1
= (256)12
1

15. 15
5 4
1
= 5





 ×
3
3
4
1
= (53
)12
1
= (125)12
1
ดังนั้น 43
1
⋅ 5 4
1
= (256)12
1
⋅ (125)12
1
= (256 × 125)12
1
= (32000)12
1
และ
4
1
3
1
5
4
=
( )
( )12
1
12
1
125
256
= 12
1
125
256






2.3 ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปวาเลขยกกําลังสองจํานวนคูณกันหรือหารกันจะได
ผลลัพธเปนเลขยกกําลังจํานวนเดียว เมื่อเลขยกกําลังทั้งสองจํานวนเขียนใหอยูในรูปจํานวนจริงคูณดวย
เลขยกกําลังที่มีฐานเทากันหรือเลขชี้กําลังเทากันได
3. ในการสอนเรื่องการทําจํานวนที่อยูในรูปเศษสวนใหตัวสวนเปนจํานวนที่ไมมีกรณฑ
ปรากฏอยู อาจทําไดดังนี้
3.1 ผูสอนบอกผูเรียนวาในการคิดคํานวณเกี่ยวกับเลขยกกําลังนิยมเขียนผลลัพธ
สุดทายใหอยูในรูปจํานวนที่ตัวสวนไมมีกรณฑ เชน
2
1
นิยมเขียนเปน
2
2
3.2 ผูสอนฝกใหผูเรียนหาจํานวนซึ่งเมื่อนําไปคูณกับจํานวน เชน 2 , (3)3
1
, x ,
( 23 − ) , ( yx − ) และ ( 52x +− ) ไดผลลัพธเปนจํานวนที่ไมมีกรณฑปรากฏอยู ซึ่ง
ผูเรียนควรทําไดดังนี้
2 ⋅ 2 = 2
(3)3
1
(3) 3
2
= 3
x ⋅ x = x
( 23 − )( 23 + ) = 3 – 4 = –1
( yx − )( yx + ) = x – y
( 52x +− )( 52x −− ) = x – 2 – 25 = x – 27
4. การสอนการแกสมการที่ตัวแปรอยูในรูปเลขยกกําลัง อาจทําไดดังนี้
4.1 ผูสอนและผูเรียนชวยกันแกสมการดังตัวอยางในหนังสือเรียน
4.2 ผูสอนใหผูเรียนตรวจสอบคาตัวแปรที่ไดจากสมการ
4.3 ผูสอนควรบอกกับผูเรียนวาในการแกสมการที่ตัวแปรอยูในรูปเลขยกกําลัง
เมื่อไดคาตัวแปรแลวตองตรวจสอบทุกครั้งวาคาตัวแปรที่ไดมานั้นคาใดบางเปนคําตอบของสมการ

16. 16
ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล
1. ผูสอนใหผูเรียนเขียนกราฟของความสัมพันธ
y = (
2
1
)x
y = 5x
y = 2x
2. ผูสอนใหผูเรียนชวยกันพิจารณาวาความสัมพันธ y = ax
, a > 0 , a ≠ 1 จะเปน
ฟงกชันหรือไม ซึ่งผูเรียนควรสรุปไดวาเปนฟงกชัน โดยอาศัยการพิจารณากราฟที่ไดในขอ 1
3. ผูสอนบอกผูเรียนวาฟงกชัน y = ax
, a > 0 , a ≠ 1 เรียกวา ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล
ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปบทนิยามของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล
4. ผูสอนใหผูเรียนเขียนกราฟของฟงกชัน y = ax
, a > 0 , a ≠ 1 โดยกําหนดให a เปน
3
1
,
2
1
, 3 , 4 และ 10 ลงในระบบแกนมุมฉากเดียวกัน ผูสอนและผูเรียนพิจารณากราฟแลวชวยกัน
สรุปขอสังเกตที่สําคัญเกี่ยวกับฟงกชันเอกซโพเนนเชียล ซึ่งผูเรียนควรสรุปไดดังนี้
4.1 กราฟของฟงกชัน y = ax
, a > 0 , a ≠ 1 จะผานจุด (0 , 1) เสมอ ทั้งนี้เพราะ
a0
= 1
4.2 ถา a > 1 แลว y = ax
เปนฟงกชันเพิ่ม
ถา 0 < a < 1 แลว y = ax
เปนฟงกชันลด
4.3 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลเปนฟงกชัน 1 – 1 จาก R ไปทั่วถึง R+
4.4 โดยสมบัติของฟงกชัน 1 – 1 จะไดวา
ax
= ay
ก็ตอเมื่อ x = y
ฟงกชันลอการิทึม
1. ผูสอนใหผูเรียนพิจารณาฟงกชันเอกซโพเนนเชียล {(x , y)  y = ax
, a > 0 , a ≠ 1}
แลวใหตอบคําถามตอไปนี้
1.1 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลเปนฟงกชัน 1 – 1 หรือไม (เปน)
1.2 โดเมนและเรนจของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลคือเซตใด (เซตของจํานวนจริงและเซต
ของจํานวนจริงบวกตามลําดับ)
1.3 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลมีฟงกชันผกผันหรือไม เพราะเหตุใด (มี เพราะเปนฟงกชัน
1 – 1 )
1.4 ฟงกชันผกผันของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลคือเซตใด ({(x , y)x = ay
, a > 0, a ≠ 1})

17. 17
จากคําตอบขอนี้ ผูสอนบอกผูเรียนวาฟงกชันผกผันของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล เรียกวา
ฟงกชันลอการิทึมซึ่งเขียนแทนดวย logax
ดังนั้น logax = {(x , y)  x = ay
, a > 0 , a ≠ 1}
2. ถา f เปนฟงกชัน และ (x , y) ∈ f จะไดวา y = f(x) ดังนั้น ถา (x, y) ∈ loga ผูเรียน
ควรบอกไดวา y = logax ผูสอนบอกผูเรียนวาเรานิยมเขียนเปน y = logax และอานวาลอการิทึมของ
เอกซฐานเอ หรือ ลอกเอกซฐานเอ จากนั้นผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปบทนิยามของฟงกชันลอการิทึม
3. จากที่ไดวา {(x , y) x = ay
, a > 0, a ≠ 1} และ {(x, y)  log a x = y , a > 0 , a ≠ 1}
เปนฟงกชันเดียวกัน จะไดวา x = ay
และ y = logax มีความหมายอยางเดียวกัน โดยอาศัยขอสรุปนี้
ผูสอนใหผูเรียนเขียนสมการของจํานวนจริงที่เขียนในรูปเลขยกกําลัง เชน 81 = 34
,
32
1
= (
2
1
)5
,
1000 = 103
, 0.001 = 10–3
ใหอยูในรูปลอการิทึม และเขียนสมการเชน log100.001 = -3 ,
log10100 = 2 , log5125 = 3 ใหอยูในรูปเลขยกกําลัง
4. ผูสอนใหผูเรียนเขียนกราฟของฟงกชัน y = logax เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1 โดยกําหนดคา a
ใหแตกตางกัน เชน
5
1
,
3
1
, 3 , 4 และ 10 ลงในระบบแกนมุมฉากเดียวกัน ผูสอนและผูเรียนพิจารณา
กราฟแลวชวยกันสรุปขอสังเกตที่สําคัญเกี่ยวกับฟงกชันลอการิทึม ซึ่งควรสรุปไดดังนี้
4.1 กราฟของฟงกชัน y = logax จะผานจุด (1, 0) เสมอ ทั้งนี้เพราะวา loga1 = 0
4.2 ถา a > 0 แลว y = logax เปนฟงกชันเพิ่ม
ถา 0 < a < 1 แลว y = logax เปนฟงกชันลด
4.3 ฟงกชันลอการิทึมเปนฟงกชัน 1 – 1 จาก R+
ไปทั่วถึง R
4.4 โดยอาศัยสมบัติของฟงกชัน 1 – 1 จะไดวา
logax = logay ก็ตอเมื่อ x = y
5. ผูสอนและผูเรียนชวยกันพิสูจนสมบัติของลอการิทึม โดยอาศัยทฤษฎีบทของเลขยกกําลัง
และการเปลี่ยนรูปลอการิทึมใหอยูในรูปเลขยกกําลัง
ลอการิทึมสามัญ
1. ผูสอนบอกผูเรียนวาลอการิทึมที่ใชมากในการคํานวณเกี่ยวกับการคูณ หาร เลขยกกําลัง
คือลอการิทึมฐานสิบ ซึ่งเรียกวาลอการิทึมสามัญ การเขียนลอการิทึมสามัญนิยมเขียนโดยไมมีฐานกํากับ
เชน log105 เขียนแทนดวย log 5
log10N เขียนแทนดวย log N
2. ผูสอนทบทวนการเปลี่ยนรูปลอการิทึมใหอยูในรูปเลขยกกําลังและสมบัติของลอการิทึม

18. 18
แลวใหผูเรียนหาคาลอการิทึมของจํานวนที่เขียนไดในรูป 10n
เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม เชน log 10 ,
log 100 , log 1000 , log 1 , log 0.1 , log 0.01 , log 0.001
จากนั้นผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปการหาคา log 10n
เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม ซึ่งควรสรุป
ไดวา log 10n
= n
3. ผูสอนใหผูเรียนเขียนจํานวนเชน 15600 , 1240 , 154 , 5.74 , 0.024 , 0.0036 ใหอยูในรูป
N0 × 10n
เมื่อ 1 ≤ N0 < 10 และ n เปนจํานวนเต็ม แลวชวยกันสรุปวาสําหรับจํานวนจริงบวก N ใด ๆ
จะเขียน N ใหอยูในรูป N0 × 10n
เมื่อ 1 ≤ N0 < 10 และ n เปนจํานวนเต็มไดเสมอ
4. ผูสอนแสดงการหาคา log 5700 เมื่อกําหนด log 5.7 = 0.7559 ดังนี้
จาก 5700 = 5.7 × 103
จะได log 5700 = log (5.7 × 103
)
= log 5.7 + log 103
= 0.7559 + 3
= 3.7559
ในทางกลับกันถากําหนดให log N = 3.7559 และ log 5.7 = 0.7559 จะหาคา N
ไดอยางไร
ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปวิธีหาคา N เมื่อทราบคา log N โดยอาศัยตัวอยางขางตน
ผูสอนบอกผูเรียนวาคาที่หาไดเรียกวาแอนติลอการิทึมของ log N
การใชตารางลอการิทึม
1. ผูสอนบอกผูเรียนวาตารางลอการิทึมสามัญในภาคผนวกของหนังสือเรียนเปนตารางที่แสดงคา
ลอการิทึมสามัญของจํานวนตั้งแต 1.00 – 9.99 ซึ่งเปนทศนิยม 4 ตําแหนงและเปนคาโดยประมาณ
ผูสอนบอกวิธีใชตารางเพื่อหาคา log 2.59 ซึ่งจะได log 2.59 = 0.4133 พรอมทั้งฝกให
ผูเรียนหาลอการิทึม เชน log 1.12 , log 2.64 , log 3.04 , log 8.76 และ log 9.47
2. ผูสอนใหผูเรียนหาคา log 348 , log 5670 , log 0.597 และ log 0.00978 โดยอาศัยวิธี
การเขียนจํานวนจริง N ใหอยูในรูป N0 × 10n
เมื่อ 1 ≤ N0 < 10 และ n เปนจํานวนเต็ม ซึ่งจะได
log N = log N0 + n แลวใหหาคา log N0 จากตารางตามวิธีในขอ 1
3. ผูสอนถามผูเรียนวาจะหาคา log 76.54 ตามวิธีการที่กลาวมาแลวในขอ(2)ไดหรือไม ซึ่งผูเรียน
ควรตอบวาหาคา log 76.54 โดยตรงจากตารางไมได ผูสอนแนะนําวิธีหาคา log 76.54 ตามวิธีดังตัวอยาง
ในหนังสือเรียน
การเปลี่ยนฐานลอการิทึม
1. ผูสอนใหผูเรียนหาคา log5 25 , log2 64 , log3 81 ซึ่งผูเรียนควรหาไดดังนี้

19. 19
log5 25 = log5 52
= 2 log5 5 = 2
log2 64 = log2 26
= 6 log2 2 = 6
log3 81 = log3 34
= 4 log3 3 = 4
แลวถามผูเรียนวาจะหาคา log5 45 โดยวิธีเดียวกับวิธีขางตนไดหรือไม ซึ่งผูเรียนควรตอบไดวาหาไมได
เพราะเราไมทราบวา 5 ยกกําลังอะไรจึงจะเทากับ 45
ผูสอนบอกผูเรียนวา เนื่องจากเราสามารถหาคาลอการิทึมสามัญของจํานวนจริงไดโดยอาศัย
ตาราง ดังนั้นเราอาจจะหาคา log5 45 โดยอาศัยตารางลอการิทึมสามัญดังนี้
ให y = log5 45
จะได 5y
= 45
log 5y
= log 45
y log 5 = log 45
y =
5log
45log
=
6990.0
6532.1
= 2.3651
ดังนั้น log5 45 = 2.3651
จะเห็นวา log5 25 , log2 64 , log3 81 หาคาไดโดยตรง กลาวคือไมตองอาศัยตารางลอการิทึม
สามัญ สวน log 5 45 ไมอาจจะหาคาไดโดยตรง แตอาจจะหาคาไดโดยวิธีการขางตนซึ่งตองเปลี่ยนฐาน
ลอการิทึมใหเปนฐานสิบกอน เพราะตองอาศัยตารางลอการิทึมสามัญ
จากวิธีการเปลี่ยน log5 45 ใหเปนลอการิทึมฐานสิบขางตน จะเห็นวาอาจจะเปลี่ยนฐานของ
log5 45 ใหเปนลอการิทึมฐาน b ใด ๆ ก็ได
2. ผูสอนใหผูเรียนเปลี่ยน logax ใหอยูในรูปลอการิทึมฐาน b เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1
โดยวิธีการทํานองเดียวกันกับการเปลี่ยน log5 45 ใหอยูในรูปลอการิทึมสามัญในขอ 1 ขางตน ซึ่งผูเรียน
ควรสรุปไดวา
logax =
alog
xlog
b
b

20. 20
ตัวอยางแบบทดสอบในเรื่องนี้ จะเนนการนําความรูเอกซโพเนนเชียล และลอการิทึมไปแก
ปญหา จึงไมไดยกตัวอยางแบบทดสอบตามเนื้อหาในแตละหัวขอ
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. ให 2x+1
+ 2x
= 3y+2
– 3y
โดยที่ x และ y เปนจํานวนเต็ม จงหาคา x
2. ถา logba = c และ logxb = c แลว logax เทากับเทาไร
3. จงหาคาของ x จากสมการ log3(log2x) = 2
4. จงหาคา x ทั้งหมดที่ทําให log5(x – 2) + log5(x – 6) = 1
5. ถา a2
+ b2
= 7ab จงพิสูจนวา a b
log( )
3
+
= 1
(loga log b)
2
+
6. กําหนดใหจุด A(x1, y1) และจุด B(x2, y2) เปนจุดสองจุดบนกราฟ y = log x ใหจุด D เปนจุด
กึ่งกลางของสวนของเสนตรง AB ซึ่งเมื่อลากเสนตรงขนานกับแกน X ผานจุด D เสนตรงเสนนี้
จะไปตัดกราฟ y = log x ที่จุด C(x3, y3) จงพิสูจนวา 2
3x = x1x2
7. กําหนดคาของ 30
ถึง 316
ดังนี้
30
= 0 34
= 81 38
= 6561 312
= 531441
31
= 1 35
= 243 39
= 19683 313
= 1594323
32
= 9 36
= 729 310
= 59049 314
= 4782969
33
= 27 37
= 2187 311
= 177147 315
= 14348907
316
= 43046721
จงหาชวงของคา log 3 จากสิ่งที่โจทยกําหนดให
8. จงหาคาของ x จากสมการ logx(19x – 30) = 3
9. โรงงานคอมพิวเตอรแหงหนึ่งพบวา เมื่อจายเงิน x ลานดอลลาร ในการทําวิจัยจะได
กําไร P(x) ลานดอลลาร ซึ่ง P(x) = 20 + 5 log3(x + 3) อยากทราบวาบริษัทควรจะลงทุนในการ
ทําวิจัยเทาไร จึงจะไดกําไร 40 ลานบาท

21. 21
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ
1. 2x+1
+ 2x
= 3y+2
– 3y
2x
⋅21
+ 2x
= 3y
⋅32
– 3y
2x
(2 + 1) = 3y
(32
– 1)
x
2
8
=
y
3
3
2x – 3
= 3y–1
เนื่องจากฐานตางกัน กําลังตองเทากับ 0 จึงจะทําใหสมการเปนจริง
ดังนั้น x – 3 = 0
x = 3
2. เนื่องจาก logba = c และ logxb = c จะได a = bc
และ b = xc
นั่นคือ a = bc
= xc2
เนื่องจาก logaa = 1
logaxc2
= 1
c2
logax = 1
นั่นคือ logax = 2
1
c
ดังนั้น logax = c–2
3. ให log2x = y
จะได log3y = 2 ดังนั้น y = 32
= 9
นั่นคือ log2x = 9
x = 29
ดังนั้น x = 512
4. log5(x – 2) + log5(x – 6) = 1
log5(x – 2)(x – 6) = 1
(x – 2)(x – 6) = 51
x2
– 8x + 7 = 0
(x – 1)(x – 7) = 0
แต x = 1 ไมสามารถหาคาได เพราะไมไดนิยามลอการิทึมของจํานวนลบไว
ดังนั้น x = 7

22. 22
5. a2
+ b2
= 7ab
a2
+ 2ab + b2
= 9ab
(a + b)2
= 9ab
2a b
( )
3
+
= ab
log 2a b
( )
3
+
= log ab
2log a b
( )
3
+
= log a + log b
log a b
( )
3
+
= 1
2
(log a + log b)
6. วิธีที่ 1 เนื่องจาก A, B และ C เปนจุดบนกราฟ y = log x
ดังนั้น y1 = log x1 , y2 = log x2, y3 = log x3
และจุด D เปนจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรง AB
พิกัดของจุด D คือ 1 2 1 2x x y y
( , )
2 2
+ +
= 1 2 1 2x x log x log x
( , )
2 2
+ +
เนื่องจาก CD เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน X
จะได y3 = 1 2y y
2
+
นั่นคือ log x3 = 1 2log x log x
2
+
2 log x3 = log x1 x2
2
3log x = log x1x2
ดังนั้น 2
3x = x1x2
วิธีที่ 2 ใหลอการิทึมที่กําหนดในโจทยเปนลอการิทึมฐาน a
จากวิธีที่ 1 จะได y1 = logax1 นั่นคือ x1 = ay1
ในทํานองเดียวกันจะได x2 = ay2 และ x3 = ay3
ดังนั้น 2
3x = (ay3)2
= a2y3
= ay1+y2 (เนื่องจาก y3 = 1 2y y
2
+
)
= ay1ay2
= x1x2
Y
XO
y = log x
A(x1, y1)
C(x3, y3)
B(x2, y2)
D

23. 23
7. 30
= 0 34
= 81 38
= 6561 312
= 531441
31
= 1 35
= 243 39
= 19683 313
= 1594323
32
= 9 36
= 729 310
= 59049 314
= 4782969
33
= 27 37
= 2187 311
= 177147 315
= 14348907
316
= 43046721
หาขอบเขตลาง ของ log103 จากสิ่งที่โจทยกําหนดให
จะพบวา 315
> 107
นั่นคือ 15 log103 > 7
log103 > 7
15
log103 > 0.466
หาขอบเขตบนของ log103 จากสิ่งที่โจทยกําหนดให
จะพบวา 316
< 108
นั่นคือ 16 log103 < 8
log103 < 0.500
ดังนั้น 0.466 < log103 < 0.500
8. logx(19x – 30) = 3
19x – 30 = x3
x3
– 19x + 30 = 0
โดยทฤษฎีบทตัวประกอบ x – 2 เปนตัวประกอบของ x3
– 19x + 30
ดังนั้น (x – 2)(x – 3)(x + 5) = 0
x = 2, 3 หรือ –5
แต x = –5 ไมสามารถหาคาไดเพราะไมไดนิยามลอการิทึมของจํานวนลบไว
ดังนั้น x = 2 หรือ x = 3
9. โจทยตองการหาคา x ซึ่งทําให P(x) = 40
จะไดวา 20 + 5log3(x + 3) = 40
5log3(x + 3) = 20
log3(x + 3) = 4
ดังนั้น x + 3 = 34
x = 78

24. 24
เฉลยแบบฝกหัด 1.1
1. 1) 3
1
2
2) 6x7
y5
3) 16x10
4) 2
4
b
5) 7
1
a
6) 5
2
ab
7)
12
8
16x
y
8)
4
6
9a
b
9) 3 10
1
x y
10)
3
7 6
z
x y
2. 1) เท็จ เพราะ m n
1 1
x x
⋅ = x–m
⋅x–n
= x(–m)+(–n)
= x–(m+n)
2) เท็จ เพราะ
m
n
x
x−
=
m
n
x
1
x
= xm
⋅xn
= xm+n
3) จริง เพราะ n
1
x−
=
n
1
1
x
= xn
4) เท็จ เชน ถา x = 1, xm
+xn
= 1m
+ 1n
= 2
แต xm+n
= 1(m + n)
= 1
5) จริง
เฉลยแบบฝกหัด 1.2
1. 1) 2 2x 2) –1
3) 4 4) 4
5) 1
2
2. 1) 10
2
2) 35
5
3) 15
10
4) 2
5) 6
4

25. 25
3. 1) 30 2) 2 6
3) 6 4) 27
4. 1) 15 2 30+ 2) 1
3) 7 + 4 3 4) 12 – 5 5
5) 5
เฉลยแบบฝกหัด 1.3
1. 1) 9 2) 1
2
3) 0.125 4) 0.09
5) 1
25
6) 1
5
−
7) 9 8) 27
64
9) 4 10) 1
4
2. 1) 2 3
1
2x y
2)
2
4
9x
y
3)
13
2
x 4)
21
32
x y
5) 35
x y
3
3. 1) 6 2 2) 3
6 4
3) 5 2 4) 3
4 3
5) (2x – 4x2
+ x4
) x
4. 1) 2 2 3
5
−
2) 2 2 3
5
+
3) 8 – 42 4) 153 5 30
91
+
5) 36 5 20 7
23
+

26. 26
5. 1) 4 2) 6(5 3 2)−
3) 1
6. 1) 2 2
2(p p q )+ − 2) 13a2
+ 5b2
– 4 4
12 a b−
3) 6x + 11 + 2
4 2x 5x 3+ −
7. 1) 0.5620 2) 4.2361
3) 117.8897
8. 1) m 8− = 0
m = 8
m = 64
2) 5x 1 6+ + = 10
5x 1+ = 4
5x + 1= 16
x = 3
3) 2
r 5+ = r
r2
+ 5 = r2
ไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบของสมการ
4) x 7+ = x – 5
x + 7 = (x – 5)2
x + 7 = x2
– 10x + 25
x2
– 11x + 18 = 0
(x – 2)(x – 9) = 0
x = 2, 9
เนื่องจากเมื่อแทนคา x = 2 ลงในสมการจะได
2 7+ = 3
และ 2 – 5 = –3
3 ≠ –3
ดังนั้น คําตอบของสมการคือ x = 9

27. 27
5) x 7+ = 3x 1+
x + 7 = 3x + 1
2x = 6
x = 3
6) x 1 x+ − = 2
x 1+ = 2 + x
ยกกําลังสองทั้งสองขางจะได
x + 1 = 4 4 x x+ +
–3 = 4 x
3
4
− = x
ยกกําลังสองทั้งสองขางจะได
9
16
= x
ตรวจสอบคําตอบ
x 1 x+ − = 9 9
1
16 16
+ −
= 5 3
4 4
−
= 1
2
≠ 2
แสดงวา คา x ที่ไมสอดคลองกับสมการที่กําหนดให
ดังนั้น เซตคําตอบคือ { }
7) x 3− = x 3−
ยกกําลังสองทั้งสองขางจะได
x – 3 = x 6 x 9− +
–12 = 6 x−
2 = x
4 = x
ตรวจสอบคา x ที่ไดวาสอดคลองกับสมบัติที่กําหนดใหหรือไม
x 3− = 4 3− = 1 = 1
x 3− = 4 3− = 2 – 3 = –1 ≠ x 3−

28. 28
แสดงวา คา x ที่ไดไมสอดคลองกับสมการที่กําหนดให
ดังนั้น เซตคําตอบคือ { }
8) x 12 x+ + = 2
x 12+ = 2 x−
ยกกําลังสองทั้งสองขางจะได
x + 12 = 4 4 x x− +
8 = 4 x−
–2 = x
ยกกําลังสองทั้งสองขางจะได
4 = x
ตรวจสอบคําตอบ
x 12 x+ + = 4 12 4+ +
= 16 4+
= 4 + 2
= 6 ≠ 2
แสดงวา คา x ที่ไดไมสอดคลองกับสมการที่กําหนดให
ดังนั้น เซตคําตอบคือ { }
9) 2
x 21− + = x + 3
ยกกําลังสองทั้งสองขางจะได
x2
+ 21 = x2
+ 6x + 9
6x = 12
x = 2
ตรวจสอบคําตอบ
2
x 21− + = 2
2 21− +
= 25−
= –5
x + 3 = 2 + 3 = 5 ≠ 2
x 21− +
แสดงวา คา x ที่ไดไมสอดคลองกับสมการที่กําหนดให
ดังนั้น เซตคําตอบคือ { }

29. 29
10) 3x 4+ = 9 – 3x 5−
3x + 4= 81 – 18 3x 5 3x 5− + −
4 – 81 + 5 = 18 3x 5− −
–72 = 18 3x 5− −
4 = 3x 5−
16 = 3x – 5
3x = 21
x = 7
11) 4x 1 x 2+ − − = x 3+
4x 1+ = x 3 x 2+ + −
4x + 1 = x 3 2 x 3 x 2 x 2+ + + − + −
2x = 2 2 3 x 2+ −
x = x 3 x 2+ −
x2
= (x + 3)(x – 2)
0 = x – 6
x = 6
12) x 7 x 2+ + + = 6x 13+
x 7 2 x 7 x 2 x 2+ + + + + + = 6x + 13
2 x 7 x 2+ + = 4x + 4
x 7 x 2+ + = 2x + 2
(x + 7)(x + 2) = 4x2
+ 8x + 4
x2
+ 9x + 14 = 4x2
+ 8x + 4
3x2
– x – 10 = 0
(3x + 5)(x – 2) = 0
x = 5
, 2
3
−
เนื่องจากเมื่อแทนคา x = 5
3
− ลงในสมการจะได
x 7 x 2+ + + = 5 5
7 2
3 3
− + + − +

30. 30
= 16 1
3 3
+
= 5
3
6x 13+ = 5
6( ) 13
3
− +
= 29
3
≠ 5
3
ดังนั้น คําตอบของสมการคือ x = 2
เฉลยแบบฝกหัด 1.4
1. 1) y = 5x
เปนฟงกชันเพิ่ม
2) y = x1
( )
2
เปนฟงกชันลด
6
X
Y
4
2
–5 5
5
X
Y
4
3
2
1
–2 2–1 1
–1

31. 31
3) y = 3–x
= x
1
3
= x1
( )
3
เปนฟงกชันลด
4) y = 42x
เปนฟงกชันเพิ่ม
5) y = x1
( )
4
เปนฟงกชันลด
6
4
2
–5 5
X
Y
8
X
Y
6
4
2
–5 5
6
4
2
X
Y
5

32. 32
6) y = x4
( )
3
เปนฟงกชันเพิ่ม
7) y = 2x1
( )
3
เปนฟงกชันลด
8) y = x3
( )
4
เปนฟงกชันลด
6
X
Y
4
2
–5 5
6
X
Y
4
2
–5 5
6
X
Y
4
2
–5 5

33. 33
2. 1) {2} 2) {–3}
3) { 1
2
} 4) {–4}
5) {3} 6) {–3}
7) {xx ≤ 3} 8) {xx < –4}
3. 1) 1
4
2) 27
3) 2 4) 1295
16
หรือ 15
80
16
5) 3
2
หรือ 1
1
2
6) 1
8
7) 3 8) 1
72
4. ธาตุเรเดียมมีครึ่งชีวิต (half – life) 1,600 ป หมายความวา เมื่อเวลาผานไป 1,600 ป
ธาตุเรเดียมซึ่งหนัก q0 มิลลิกรัม จะมีน้ําหนักเหลือ 0q
2
มิลลิกรัม
จากสมการ q = q0 2kt
เมื่อ t = 1,600 จะได 0q
2
= q021600k
(2)–1
= 21600k
ดังนั้น 1600 k = –1
จะได k = 1
1600
−
5. 1) จาก y = ax
แทนคา y = 9 และ x = 2 จะได
9 = a2
a = 3
ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลของกราฟในขอนี้คือ y = 3x
2) จาก y = ax
แทนคา y = 1
5
และ x = –1 จะได
1
5
= a–1

34. 34
a = 5
ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลของกราฟในขอนี้คือ y = 5x
3) จาก y = ax
แทนคา y = 1
16
และ x = 2 จะได
1
16
= a2
a = 1
4
ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลของกราฟในขอนี้คือ y = x1
( )
4
4) จาก y = ax
แทนคา y = 8 และ x = –3 จะได
8 = a–3
a = 1
2
ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลของกราฟในขอนี้คือ y = x1
( )
2
6. 1) ค 2) ก
3) จ 4) ข
5) ง
7. 1) y = 2x
- 3
6
–2
–4
X
Y
4
2
–5 5

35. 35
2) y = 2x - 3
3) y = 4 +
x
2
1






4) y = 10x + 3
6
4
2
-2
-5 5
X
Y
6
4
2
-2
-5 5
X
Y
6
4
2
-2
-5 5
X
Y

36. 36
5) y = 10-x
เฉลยแบบฝกหัด 1.5
1. 1) log416 = 2 2) log279 = 2
3
3) 1
2
1
log
4
= 2 4) log 0.0001 = –4
5) 1
2
log 16 = –4 6) 2
3
27
log
8
= –3
7) 1
100
log 10000 = –2 8) 4log 0.125 = 3
2
−
2. 1) 102
= 100 2) 25
= 32
3) 50
= 1 4) 4–3
= 1
64
5) 10–3
= 0.001 6)
2
3
3 = 3
9
3. 1) 1
3
2) –2
3) 2 4) –1
5) 24 6) –2
7) 4 8) 2
6
4
2
-2
-5 5 10
X
Y

37. 37
4. 1) y = 1
3
log x
2) y = log3x
3) y = log4x
6
4
2
-2
-4
-5 5
X
Y
2
-2
-4
-6
-5 5
X
Y
6
4
2
-2
-4
-5 5
Y
X

38. 38
4) y = 2 + log3x
5) y = log3(x – 2)
6) y = log3(x – 1) – 2
4
2
-2
-4
-6
-5 5
X
Y
4
2
-2
-4
-6
-5 5
X
Y
4
2
-2
-4
-6
-5 5
X
Y

39. 39
5. 1) 32 2) 100
3) 10 4) 2
5) 36
เฉลยแบบฝกหัด 1.6
1. 1) 4.5694 2) –2.4306
3) 2.9201 4) –1.0799
2. 1) 2.56 2) 2,560
3) 0.256
3. 1) ถา t = 0 ชั่วโมง, q = 2(30
) = 2 พันตัว
ดังนั้น จํานวนเดิมของแบคทีเรียเทากับ 2,000 ตัว
2) ถา t = 10
60
ชั่วโมง, q =
1
6
2(3 )
log q = 1
6
log 3 + log 2 = 1
0.4771 0.3010
6
× + = 0.38051
จากตารางจะได log 2.4 = 0.3802
log 2.41= 0.3820
คาลอการิทึมตางกัน 0.0018 จํานวนจริงตางกัน 0.01
คาลอการิทึมตางกัน 0.00031 จํานวนจริงตางกัน 0.01 0.00031
0.0018
×
= 0.00172
log 2.40172 = 0.38051
log q = log 2.40172
q = 2.4017 พันตัว
ดังนั้น จํานวนแบคทีเรียเมื่อเวลาผานไป 10 นาที เทากับ 2,401 ตัว
3) วิธีที่ 1
ถา t = 1
2
ชั่วโมง, q =
1
2
2(3 )
log q = 1
2
log 3 + log 2 = 1
0.4771 0.3010
2
× + = 0.53955
จากตารางจะได log 3.46 = 0.5391
log 3.47= 0.5403

40. 40
คาลอการิทึมตางกัน 0.0012 จํานวนจริงตางกัน 0.01
คาลอการิทึมตางกัน 0.00045 จํานวนจริงตางกัน 0.01 0.00045
0.0012
×
= 0.00375
ดังนั้น log 3.46375 = 0.53955
log q = log 3.46375
q = 3.46375 พันตัว
วิธีที่ 2 จาก q = 2(3t
)
t = 1
2
ชั่วโมง
แทนคา t = 1
2
ชั่วโมง
จะได q =
1
22(3 )
= 2 3
= 3.464 พันตัว
= 3,464 ตัว
ดังนั้น จํานวนแบคทีเรียเมื่อเวลาผานไป 30 นาที เทากับ 3,464 ตัว
4) ถา t = 1 ชั่วโมง, q = 2(3)
= 6 พันตัว
ดังนั้น จํานวนแบคทีเรียเมื่อเวลาผานไป 1 ชั่วโมง เทากับ 6,000 ตัว
4. วิธีที่ 1
ถา L = 0.83 เมตร, จะได T = 2 × 3.14 0.83
9.78
log T = (log 2 + log 3.14) + 1
2
log 0.83 – 1
2
log 9.78
= 0.3010 + 0.4969 + 1
2
(–1 + 0.9191 – 0.9903)
= 0.2623
จากตาราง log 1.82= 0.2601
log 1.83= 0.2625
คาลอการิทึมตางกัน 0.0024 จํานวนจริงตางกัน 0.01
คาลอการิทึมตางกัน 0.0002 จํานวนจริงตางกัน 0.01 0.0002
0.0024
×
= 0.00083

41. 41
ดังนั้น log 1.82917 = 0.2623
log T = log 1.82917
T = 1.829
วิธีที่ 2
L = 0.83 เมตร
จากสูตร T = L
2
9.78
π
= 2(3.14) 0.83
9.78
= 1.829
ดังนั้น คาบของการแกวงเทากับ 1.829 วินาที
เฉลยแบบฝกหัด 1.7
1. 1) 2.3223 2) 2.5239
3) 3.4828 4) 0.4929
5) 6.5901 6) 6.0472
7) 4.7361 8) 4.5949
9) 4.6728 10) –1.8139
2. 0.4491
3. 0.9206
เฉลยแบบฝกหัด 1.8
1. 1) 2x
= 32
วิธีที่ 1 วิธีที่ 2
2x
= 32 จาก 2x = 32
= 25
จะได log2x
= log32
∴ x = 5 x log 2 = 5 log 2
x = 5log 2
log 2
= 5

42. 42
2) 3x
= 36
จาก 3x
= 36
จะได log3x
= log 36
x log 3 = log 36
x = log36
log3
= 1.5563
0.4771
= 3.2619
3) 9x
= 32x
32x
= 32x
x คือ จํานวนจริงใด ๆ
4) 23x+1
= 3x–2
log 23x+1
= log 3x–2
(3x+1)log 2 = (x – 2)log 3
3x log 2 + log 2 = x log 3 – 2 log 3
x log 3 – x log 8 = log 2 + 2 log 3
5) 5x
= 4x+1
x log 5 = (x + 1) log 4
x log 5 = x log 4 + log 4
x(log 5 – log 4) = log 4
x = log 4
log5 log 4−
= 0.6021
0.6990 0.6021−
= 6.2136
2. 1) x2
2x
– 2x
= 0
2x
(x2
– 1) = 0
ดังนั้น x2
= 1 หรือ 2x
= 0 ซึ่งไมเปนจริง
x = ±1

43. 43
2) 4x3
e–3x
– 3x4
e–3x
= 0
x3
e–3x
(4 – 3x) = 0
ดังนั้น x3
e–3x
= 0 หรือ 4 – 3x = 0
ถา 4 – 3x = 0
x = 4
3
ถา x3
e–3x
= 0
x = 0
ดังนั้น x มีคา 0 หรือ 4
3
3) e2x
– 3ex
+ 2 = 0
(ex
– 1)(ex
– 2) = 0
ดังนั้น ex
= 1 หรือ ex
= 2
ถา e x
= 1 ถา ex
= 2
x log e = log 1 x log e = log 2
x = log1
loge
x = log 2
loge
= 0 = 0.3010
0.4343
= 0.6931
ดังนั้น x มีคา 0 หรือ 0.6931
4) e4x
+ 4e2x
– 21 = 0
(e2x
– 3)(e2x
+ 7) = 0
ดังนั้น e2x
= 3 หรือ e2x
= –7 หาคาไมได
ถา e2x
= 3
2x log e = log 3
x = log3
2loge
= 0.4771
2(0.4343)
= 0.5493
ดังนั้น x มีคา 0.5493

44. 44
5) 22x+2
– 9(2x
) + 2 = 0
(2x
– 2)(22
⋅2x
– 1) = 0
ดังนั้น 2x
= 2 หรือ 2x
= 1
4
ถา 2x
= 2 ถา 2x
= 1
4
x log 2 = log 2 x log 2 = log 1
4
x = 1 x log 2 = –2 log 2
x = 2log 2
log 2
−
= –2
ดังนั้น x มีคา 1 หรือ –2
6) 32x+1
+ 9 = 28(3x
)
32x+1
– 28(3x
) + 9 = 0
(3x
– 9)(3⋅3x
– 1) = 0
ดังนั้น 3x
= 9 หรือ 3⋅3x
= 1
ถา 3x
= 9 ถา 3⋅3x
= 1
x = 2 log3⋅3x
= log 1
log 3 + x log 3 = 0
x log 3 = – log 3
x = log3
log3
−
= –1
ดังนั้น x มีคา 2 หรือ –1
3. 1) e10
2)
100
1
3) 500 4) 105
5) 31.67
4. 1) 122–5x
⋅8x+3
= 16
32–5x
⋅22(2–5x)
⋅23(x+3)
= 24

45. 45
(2 – 5x)log 3 + 2(2 – 5x)log 2 + 3(x + 3)log 2 = 4 log 2
2log 3 – 5x log 3 + 4 log 2 – 10x log 2 + 3x log 2 + 9 log 2 – 4 log 2 = 0
2 log 3 – 5x log 3 – 7x log 2 + 9 log 2 = 0
–5x log 3 – 7x log 2 = –9 log 2 – 2 log 3
x(5 log 3 + 7 log 2) = 7 log 2 + 2 log 3
x = 9log 2 2log3
5log3 7log 2
+
+
= 0.8154
2) 22x+1
⋅32x+2
= 54x
(2x + 1)log 2 + (2x + 2) log 3 = 4x log 5
2x log 2 + log 2 + 2x log 3 + 2 log 3 = 4x log 5
4x log 5 – 2x log 2 – 2x log 3 = log 2 + 2 log 3
x(4 log 5 – 2 log 2 – 2 log 3) = log 2 + 2 log 3
x = log 2 2log3
4log5 2log 2 2log3
+
− −
= 1.0121
3)
2x
x 4
5
2 −
= 33x–7
2x log 5 – (x – 4) log 2 = (3x – 7) log 3
2x log 5 – x log 2 + 4 log 2 = 3x log 3 – 7 log 3
2x log 5 – x log 2 – 3x log 3 = –7 log 3 – 4 log 2
x(2 log 5 – log 2 – 3 log 3) = –7 log 3 – 4 log 2
x = 7log3 4log 2
2log5 log 2 3log3
− −
− −
= 13.6018
5. 1) log(3x + 5) + 3 = log (2x + 1)
log(2x + 1) – log(3x + 5) = 3
(2x 1)
log
3x 5
+
+
= 3
2x 1
3x 5
+
+
= 103
2x + 1 = 3000x + 5000
–4999 = 2998x

46. 46
x = –1.6674
2) log(x + 2) – log(x + 1) = 3
(x 2)
log
(x 1)
+
+
= 3
x 2
x 1
+
+
= 1000
x + 2 = 1000x + 1000
–998 = 999x
x = –0.999
3) log(2x – 1) + log(x – 3)= 2
log(2x – 1)(x – 3) = 2
(2x – 1)(x – 3) = 100
2x2
– 7x + 3 – 100 = 0
2x2
– 7x – 97 = 0
x = 8.93, –5.43
4) log (x – 1) + log (x + 1)= log (2x + 1)
log (x – 1)(x + 1) = log (2x + 1)
log (x2
– 1) = log (2x + 1)
x2
– 1 = 2x + 1
x2
– 2x – 2 = 0
x = 2.73, – 0.73
5) log x = 1 – log (x – 9)
log x + log (x – 9) = 1
log x (x – 9) = 1
x(x – 9) = 10
x2
– 9x – 10 = 0
(x – 10)(x + 1) = 0
x = 10, –1

47. 47
6) log23 + log2x = log25 + log2(x – 2)
log23x = log2(5x – 10)
3x = 5x – 10
2x = 10
x = 5
7) log5(x + 1) – log5(x – 1)= 2
5
x 1
log
x 1
+
−
= 2
1x
1x
−
+
= 25
x + 1 = 25x – 25
24x = 26
x =
24
26
x = 1.08
8) log9(x – 5) + log9(x + 3) = 1
log9(x – 5)(x + 3) = 1
(x – 5)(x + 3) = 9
x2
– 2x – 15 = 9
x2
– 2x – 24 = 0
(x – 6)(x + 4) = 0
x = –4, 6
9) 5
2
log x
2 = 1
16
5
2
log x
2 = 2–4
5
2
log x
= –4
–4 log5x = 2
log5x = 1
2
−

48. 48
x =
1
25
−
= 1
25
10) log2(log3x) = 4
log3x = 16
x = 316
แบบฝกหัด 1.9
1. 1) n(3) = 500e0.45(3)
= 500 × e1.35
= 1928.7128
เมื่อเวลาผานไป 3 ชั่วโมง จํานวนแบคทีเรียจะมีประมาณ 1,929 ตัว
2) ใหเวลานาน x ชั่วโมง จึงจะมีแบคทีเรีย 10,000 ตัว
จะได 500 × e0.45(x)
= 10,000
e0.45x
= 20
0.45x log e = log 20
x = log 20
0.45loge
= 1.3010
0.1954
≈ 7
เปนเวลานานประมาณ 7 ชั่วโมง จึงจะมีแบคทีเรีย 10,000 ตัว
2. 1) จากนิยามการเติบโตของจํานวนประชากร
n(t) = n0ert
ในปนี้ n0 = 112,000
r =
100
4 = 0.04
ดังนั้น n(t) = 112,000e (แทนคา e = 2.718)
เมื่อเวลาผานไป t ป จํานวนประชากรของจังหวัดนี้จะมีประมาณ 304,416 คน

49. 49
2) n(3) = 112,000e0.04(3)
= 112,000e0.12
= 126279.6474
หลังจากเวลาผานไป 3 ป จะมีจํานวนประชากรประมาณ 126280 คน
3) ใหเมื่อผานไป x ป มีจํานวนประชากร 200,000 คน
จะได 200,000 = 112,000e0.04x
000,112
000,200 = e 0.04x
1.7857 = e0.04x
0.04x log e = log 1.7857
x = log1.7857
0.04loge
≈ 15
จังหวัดนี้จะมีจํานวนประชากร 200,000 คน เมื่อผานไป 15 ป
3. 1) จากสมการ m(t) = moe–rt
ในปนี้ m0 = 10
r = 30
2nl
≈ 0.0231
ดังนั้น จํานวนซีเซียมที่เหลือเมื่อเวลาผานไป t ป คือ 10e–0.0231t
2) จากสมการ m(t) = 10e–0.0231t
m(80) = 10e–0.0231(80)
= 1.5753
ดังนั้น จํานวนซีเซียมที่เหลือเมื่อเวลาผานไป 80 ป คือ 1.5753 กรัม
3) ใหเวลานาน x ป จึงมีซีเซียมเหลืออยู 2 กรัม
จะได 10e–0.0231x
= 2
e–0.0231x
=
5
1
–0.0231x log e = log
5
1
x = 0.6990
0.0231(0.4343)
−
−
≈ 70
ดังนั้นจํานวนซีเซียมจะเหลืออยู 2 กรัม เมื่อเวลาผานไป 70 ป

50. 50
4. จากสมการ m(t) = m0e–rt
ในที่นี้ m0 = 250
t = 48
m(t) = 200
จะได 200 = 250 e–48r
e–48r
=
250
200
–48r log e = log 0.8
r = 0.0969
20.8464
−
−
= .0046
จากความสัมพันธ r = ln 2
h
จะได h =
r
2nl
=
0046.
6930.
≈ 151
ครึ่งชีวิตของสารนี้คือ 151 ชั่วโมง
5. จากสมการ pH = – log [H+
]
6.5 = – log (H+
)
–6.5 = log (H+
)
H+
= 10–6.5
6. จากสมการ p = 10 log
0I
I
98 = 10 log 2
I
10−
9.8 = log I – log 10–2
log I = log 10–2
+ 9.8
log I = 7.8
I = 107.8
ดังนั้น รถไฟฟามีความเขมเสียง 107.8
วัตต / ตารางเมตร