1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
ตอน สื่อปฏิสัมพันธ์
เรื่อง หอคอยฮานอย
โดย
ผู้ช่วยศาสตราจารย์ วาสนา สุขกระสานติ
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
สื่อการสอน เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 9 ตอน ซึ่ง
ประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การให้เหตุผล
- การให้เหตุผลแบบอุปนัย
- การให้เหตุผลแบบนิรนัย
3. เนื้อหาตอนที่ 2 ประพจน์และการสมมูล
- ประพจน์และค่าความจริง
- ตัวเชื่อมประพจน์
- การสมมูล
4. เนื้อหาตอนที่ 3 สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
- เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์
- สัจนิรันดร์
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
- การอ้างเหตุผล
- ประโยคเปิด
- วลีบ่งปริมาณ
6. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
7. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
8. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง หอคอยฮานอย
9. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ตารางค่าความจริง
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง การให้เหตุผล
และตรรกศาสตร์ นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด
ในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง เกมหอคอยฮานอย
หอคอยฮานอยเป็นเกมที่มีตานานอันยาวนานจากวัดแห่งหนึ่งในอินเดียซึ่งมีเสาอยู่ 3 ต้นและมีจาน
ทองคา 64 ใบคล้องอยู่กับเสาต้นหนึ่ง และพราหมณ์ใ นวัดนี้มีหน้าที่ย้ายจานทองคาไปไว้ที่เสาอีกต้นหนึ่ง โดยมี
เงื่อนไขว่าย้ายได้ครั้งละใบเท่านั้น และจะวางจานใหญ่ทับจานเล็กไม่ได้ ตานานกล่าวไว้ว่าวันใดที่ภารกิจในการ
ย้ายจานสิ้นสุดลง วาระสุดท้ายของโลกจะมาถึง อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าเกมหอคอยฮานอยที่คิดค้ น
โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อ Edouard Lucas ในปี ค.ศ. 1883
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอยเป็นสื่อที่ช่วยให้ผู้เรียนได้รู้จักเกมคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นที่รู้จักกันอย่าง
กว้างขวางและเป็นจุดเริ่มต้นสาคัญที่ช่วยให้ผู้เรียนรู้จักการวางแผนทั้งการเล่นและการคิดอย่างเป็นระบบ ซึ่งจะ
เป็นพื้นฐานสาคัญในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ต่อไป รวมทั้งรู้จักการรู้จักการให้คาตอบในกรณีง่าย ๆ แล้ว
สังเกตแบบรูป เพื่อสร้างข้อคาดการณ์ จากนั้นจึงจะพิสูจน์ข้อคาดการณ์ด้วยการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์
นอกจากนี้ สื่อชุดนี้ยังเสนอรูปแบบของเกมหอคอยฮานอยที่ ท้าทายมากกว่าเกมปกติ ซึ่งจะช่วยให้
ผู้เรียนรู้จักการขยายแนวคิดเชิงคณิตศาสตร์ รู้จักการวิเคราะห์แบบคิดย้อนกลับเพื่อหาผลเฉลย และรู้จักการ
วางแผนอย่างเป็นระบบเพื่อวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีของการเล่น
ในตอนท้า ย สื่อชุดนี้ยัง ให้ปัญหาเปิดของเกมหอคอยฮานอยสี่เสา และเล่า ถึงการปรับรูปแบบเกม
หอคอยฮานอยให้มีความท้าทายให้ลักษณะอื่น ๆ เพื่อให้ผู้เรียนได้เสริมสร้างจินตนาการและพัฒนาแนวคิดใน
การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ด้วยตนเอง
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่อง หอคอยฮานอย แบ่งออกเป็น 6 ส่วน ประกอบด้วย
1. ประวัติและกติกา
2. จานวนครั้งน้อยสุดและขั้นตอนวิธีการเล่น
3. เกมที่ท้าทายกว่าเดิม
4. การวิเคราะห์แบบคิดย้อนกลับ
5. หอคอยฮานอยรูปแบบอื่น ๆ
6. ปัญหาท้าให้คิด
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง หอคอยฮานอย
หมวด สื่อปฏิสัมพันธ์
ตอนที่ 1 (8/9)
หัวข้อย่อย 1. ประวัติและกติกา
2. จานวนครั้งน้อยสุด และขั้นตอนวิธีการเล่น
3. เกมที่ท้าทายกว่าเดิม
4. การวิเคราะห์แบบคิดย้อนกลับ
5. หอคอยฮานอยรูปแบบอื่นๆ
6. ปัญหาท้าให้คิด
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนได้ใช้สื่อปฏิสัมพันธ์ศึกษาประวัติ กติกา ขั้นตอนวิธีการเล่น ตลอดจนได้ทดลองเล่น
สังเกตแบบรูปของผลเฉลยในกรณีต่างๆ และสร้างข้อความคาดการณ์ในกรณีทั่วไป โดยใช้การให้
เหตุผลแบบอุปนัย
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายกฎ กติกา และขั้นตอนวิธีการเล่นเกมหอคอยฮานอยได้
2. ใช้สื่อปฏิสัมพันธ์ในการเล่มเกมหอคอยฮานอยได้
3. สังเกตแบบรูปของผลเฉลยในกรณีต่างๆ และสร้างข้อความคาดการณ์ในกรณีทั่วไปได้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สารบัญ
หน้า
การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 5
1. ประวัติและกติกา 10
2. จานวนครั้งน้อยสุด และขั้นตอนวิธีการเล่น 12
3. เกมที่ท้าทายกว่าเดิม 28
4. การวิเคราะห์แบบคิดย้อนกลับ 35
5. หอคอยฮานอยรูปแบบอื่นๆ 46
6. ปัญหาท้าให้คิด 50
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
สื่อการสอนชุดนี้พัฒนาด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คือซอฟต์แวร์สารวจเชิง
คณิตศาสตร์ เรขาคณิตพลวัต รุ่น 4.06 ภาษาไทย
ผู้ใช้โปรแกรมจะเรียกใช้โปรแกรมได้จากเมนูคาสั่ง
เมื่อคลิกเลือกโปรแกรม จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 1
1. หน้าต่างแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
ให้คลิกที่ปุ่ม เพื่อเข้าสู่การใช้งานโปรแกรม จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 2
จากรูปที่ 2 จะกล่าวถึงเครื่องมือที่ใช้สาหรับการทางานกับโปรแกรมนี้ คือเมนูแฟ้ม และกล่อง
เครื่องมือ
 เมนูแฟ้ม ใช้ทางานเกี่ยวกับแฟ้มข้อมูล ในการใช้งานสื่อชุดนี้ใช้เพียงการเปิด/ปิด
แฟ้มข้อมูล
 กล่องเครื่องมือ แบ่งเครื่องมือออกเป็นหกประเภท ในที่นี้จะ
ใช้เฉพาะเครื่องมือลูกศร สาหรับเลือกหรือเคลื่อนย้าย (หรือลาก) อ็อบเจกต์ใน
โปรแกรม ผู้ใช้โปรแกรมนี้จะต้องเลือกเครื่องมือลูกศร นี้ในการทางานตลอดทั้ง
โปรแกรม
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายการเมนู
กล่องเครื่องมือ
2. หน้าต่างหลักของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
o การเปิด/ปิด แฟ้มข้อมูล
 ถ้าต้องการเรียกโปรแกรมแฟ้มข้อมูลขึ้นมาใช้งาน ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง
จะปรากฏ
หน้าต่างดังรูปที่ 3 ให้เลือก
แฟ้มข้อมูลที่ต้องการ โดย
แฟ้มข้อมูลที่พัฒนาจากโปรแกรม
The Geometer’s Sketchpad จะมี
นามสกุลเป็น gsp เลือกแฟ้มข้อมูล
ที่ต้องการ แล้วคลิกที่
แล้วจะปรากฏหน้าต่างของ
โปรแกรมแฟ้มข้อมูลที่ได้เลือกไว้ดัง 3. หน้าต่างเลือกแฟ้มข้อมูลที่ต้องการ
รูปที่ 5
 ถ้าต้องการปิดแฟ้มข้อมูล ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง
จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 4 คือโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามว่า
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต้องการบันทึกการเปลี่ยนแปลงของแฟ้มข้อมูลหรือไม่ ในที่นี้ไม่แนะนาให้บันทึก
แฟ้มข้อมูล เพราะอาจทาให้โปรแกรมที่พัฒนาไว้มีข้อผิดพลาดได้ ให้เลือกคลิกที่ปุ่ม
เพื่อจะได้ไม่มีการเปลี่ยนแปลงโปรแกรมที่พัฒนาไว้
4. หน้าต่างเมื่อเรียกคาสั่งปิดแฟ้มข้อมูล
เมื่อเรียกโปรแกรม “สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง” จะปรากฏหน้าต่างสองหน้าต่างนี้สลับกัน
5. หน้าต่างแรกของโปรแกรม
จากหน้าต่างนี้จะสังเกตได้ว่าที่ด้านล่างของหน้าต่างมีรายการเมนูคาสั่งสองระดับ ดังรูป
ระดับแรก
ระดับที่สอง
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ระดับแรกอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างที่เลือกไว้ คือรายการเมนู ดังนี้
สาหรับเลือกกาหนดตาแหน่งของหน้าต่างภายในหน้าจอของเรา
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนหน้าต่างไปมุมบนซ้ายของจอภาพ
ดูภาพการเคลื่อนไหวของหน้านั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนหน้าต่างจอภาพ
เรียกหน้าสุดท้ายของหัวข้อขึ้นมาแสดงบนหน้าต่าง
เลื่อนหน้าต่างสื่อไปกลางจอภาพ
ระดับที่สองอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างของโปรแกรม ดังนี้
สาหรับแสดงรายชื่อหน้าต่างในโปรแกรม เพื่อให้ผู้ใช้เลือก/เปลี่ยนการทางานไปยังหน้าต่าง
นั้นๆ ได้เลย เปรียบเสมือนเป็นเมนูลัดสาหรับเลือกดูหัวข้อ/หน้าต่างที่ต้องการ
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนไปหน้าแรกของหัวข้อนั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนจอภาพ
แถบต่อมาเป็นรายการหัวข้อย่อยในหัวข้อ “ประวัติ และกติกา” เช่น
ผู้ใช้สามารถคลิกที่แถบนี้เพื่อเลื่อนไปที่หน้านั้นๆ ได้ทันที
แถบเลื่อนหน้าต่าง ใช้สาหรับเลื่อนเพื่อเลือกดูรายการหัวข้อย่อยด้านล่าง
แถบเลื่อน ใช้สาหรับเลื่อนดูข้อมูลในหน้าต่างไปทางด้านซ้าย/ขวา หรือถ้า
อยู่ในแนวตั้งก็ใช้สาหรับเลื่อนข้อมูลในหน้าต่างขึ้น/ลง
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การเริ่มต้นใช้งานผู้ใช้สามารถคลิกที่ เพื่อเปลี่ยนการทางานไปที่หน้าสารบัญดังนี้
เมื่อผู้ใช้เลือกโปรแกรมสื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย หน้าต่างสารบัญจะแสดงรายการบทเรียน
ออกเป็น 6 หัวข้อ
1. ประวัติและกติกา
2. จานวนครั้งน้อยสุด และขั้นตอนวิธีการเล่น
3. เกมที่ท้าทายกว่าเดิม
4. การวิเคราะห์แบบคิดย้อนกลับ
5. หอคอยฮานอยรูปแบบอื่นๆ
6. ปัญหาท้าให้คิด
ผู้ใช้จะต้องคลิกเลือกหัวข้อที่ล้อมรอบด้วยกรอบสี่เหลี่ยมเพื่อเข้าดูรายละเอียดของหัวข้อนั้นได้
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ประวัติและกติกา
หอคอยแห่งฮานอย หรือ ทาวเวอร์ออฟฮานอย (Tower of Hanoi) เป็นเกมคณิตศาสตร์ในหัวข้อ
นี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงประวัติและกติกาของการเล่นเกมหอคอยฮานอย
ซึ่งประกอบด้วย
1. ตานานหอคอยฮานอย
2. วาระสุดท้ายของโลก
3. ผู้คิดค้นหอคอยฮานอย
4. กติกาและเป้าหมาย
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอ
1.1 ตานานหอคอยฮานอย
ตานานเล่าขานเกี่ยวกับโบสถ์ ในอินเดีย ซึ่งมีห้องที่
ภายใน มีเสา 3 ต้น และแผ่นจานทองคา 64 ใบ
คล้องวางซ้อนกันอยู่กับเสาต้นหนึ่ง
1.2 วาระสุดท้ายของโลก
พราหมณ์ในโบสถ์นั้นจะทาการเคลื่อนย้ายจานทอง
ตามคาสั่งที่ระบุไว้ในคาพยากรณ์ คือต้องย้ายจาน
ทั้งหมดไปไว้ยังเสาอีกต้นหนึ่ง โดยการเคลื่อนย้าย
นั้นจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขของเกมปัญหา คือ
1. ย้ายจานได้ครั้งละ 1 ใบเท่านั้น
2. ห้ามวางจานที่มีขนาดใหญ่กว่า บนจานที่มีขนาด
เล็กกว่า
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
และยังมีคายากรณ์ว่า วันใดที่ภาระกิจนี้สิ้นสุดลง วาระสุดท้ายของโลกจะมาถึง ถ้าตานานเป็น
จริงแล้ว วาระสุดท้ายของโลกจะมาถึงเมื่อใด
1.3 ผู้คิดค้นหอคอยฮานอย
ผู้คิดค้นเกมปัญหาหอคอยฮานอยนี้คิดค้นขึ้นโดย
นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ชื่อ เอดูอาร์ด ลูคาส
(Edouard Lucas) ในปี ค.ศ. 1883
1.4 กติกา และเป้าหมาย
หอคอยฮานอย ประกอบด้วยเสา 3 แท่ง และ
จานกลมแบนขนาดต่างๆ ซึ่งมีรูตรง กลาง
สาหรับให้เสาลอด เกมเริ่มจากจานทั้งหมดวาง
อยู่ที่เสาเดียวกัน โดยเรียงตามขนาดจากใหญ่
ที่สุดอยู่ทางด้านล่าง จนถึงจานขนาดเล็กที่สุดอยู่
ด้านบนสุด เป็นลักษณะกรวยคว่าตามรูป
เป้าหมายของเกมคือ พยายามย้ายกองจานทั้งหมดไปไว้ที่อีกเสาหนึ่ง โดยการเคลื่อนย้ายจานจะต้อง
เป็นไปตามกติกาคือ
 สามารถย้ายจานได้เพียงครั้งละ 1 ใบ
 ในระหว่างการย้ายจาน จานใบเล็กจะต้องอยู่บน
จานใบที่ใหญ่กว่าเสมอ
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. จานวนครั้งน้อยสุดในการย้ายจานและขั้นตอนวิธีการเล่น
ในหัวข้อนี้ ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงวิธีการเล่นเกมหอคอยฮานอย คือการย้ายจานทั้งหมด ไปยังเสาที่
ต้องการ โดยทาอย่างไรให้มีจานวนครั้งในการย้ายจานน้อยที่สุด โดยหัวข้อนี้ ประกอบด้วย
1. จานวนครั้งน้อยสุดในการย้ายจาน
2. จาน 1 ใบ
3. จาน 2 ใบ
4. จาน 3 ใบ
5. ขั้นตอนที่ซับซ้อนขึ้นตามจานวนจาน
6. จาน 4 ใบ
7. จาน 5 ใบ
8. จาน 6 ใบ
9. ข้อคาดการณ์
10. ทดสอบข้อคาดการณ์
11. เริ่มที่เสา B
12. ลองย้ายจากเสา B ไปเสา C
13. สองเสาสมมูลกันหรือไม่
14. จานวนครั้งที่น้อยที่สุดที่ทราบแล้ว
15. สร้างความสัมพันธ์
16. หารูปปิดของจานวนครั้งน้อยสุด
17. วิเคราะห์การเล่น เมื่อมีจาน 3 ใบ
18. วิเคราะห์การเล่น เมื่อมีจาน 4 ใบ
19. ข้อสังเกตในขั้นตอนการย้ายจาน
20. วัฏจักรของจานใบเล็กสุด
21. ลองเล่นเอง
22. วาระสุดท้ายของโลก
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอตามลาดับ
ดังนี้
2.1 จานวนครั้งน้อยสุดในการย้ายจาน
ให้ผู้อ่านลองพิจารณาว่า ในกรณีทั่วไปเมื่อมี
จาน n ใบ จานวนครั้งน้อยสุดในการย้ายจาน
จากเสา A ไปเสา C เป็นเท่าใด
เมื่อมีจานจานวนไม่มาก สามารถทาได้ไม่ยาก
แต่สิ่งที่ต้องการทราบคือกับจานวนครั้งน้อยสุดที่จะทาได้เป็นเท่าใด และ จะพิสูจน์ได้อย่างไร
ว่าเป็นจานวนครั้งที่น้อยที่สุด
2.2 จาน 1 ใบ
เกมหอคอยฮานอย กาหนดจาน 1 ใบ
ให้ผู้อ่านทดลองเล่นย้ายจาน 1 ใบจากเสา A ไปยัง
เสา C จานวนครั้งที่น้อยที่สุดจะเท่ากับเท่าใด
ข
ก
ง
ค
จ
อธิบายการทางาน
เมื่อเริ่มโปรแกรมจะมีจานให้ 1 ใบ ผู้เล่นต้องทาการเลื่อนจานทั้งหมดจากเสา A ไปยังเสา C ตามกติกาที่
กาหนด
(ก) ตั้งชื่อเสาทั้งสาม A, B, C
(ข) สมมติมีจานทั้งหมด 1 ใบ
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
(ค) กรอบนี้จะเป็นการกาหนดการเลื่อนจานตามความต้องการของผู้ใช้ การกาหนดนี้จะเป็นการกาหนด
โดยชื่อเสา เช่นจากภาพจะเห็นว่ามีจานอยู่บนเสา A เท่านั้น ดังนั้นทางเลือกของการเลื่อนจานจึงมีเพียง
สองทางเลือกเท่านั้นคือเลื่อนจานจากเสา A ไปยังเสา B หรือเลื่อนจานจากเสา A ไปยังเสา
C เลือกโดยเอาเมาส์มาวางที่สัญลักษณ์ เมาส์จะเปลี่ยนเป็นรูป  คลิกพร้อม
ลากสัญลักษณ์นี้ไปวางบนทางเลือกที่ต้องการ ถ้าต้องการเลื่อนจานจากเสา A ไปยังเสา C จะได้
สัญลักษณ์ ถ้าผู้ใช้ต้องการเปลี่ยนทางเลือกการเลื่อนจานเป็นเลื่อนจานจากเสา A ไปยังเสา
B ก็สามารถทาได้โดยการเลื่อนเมาส์มาที่ทางเลือกเดิม แล้วคลิกและลากเมาส์ไปยังทางเลือกใหม่ เมื่อ
ได้ทางเลือกที่ต้องการแล้วให้คลิกที่ เพื่อย้ายจานแผ่นบนสุดของเสาที่ระบุไปยังเสา
ปลายทาง เมื่อย้ายแผ่นจานแล้วจะสังเกตได้ว่ากรอบ (ง) ซึ่งแสดงจานวนครั้งของการเลื่อนจาน ก็จะ
เพิ่มขึ้น 1 ค่า หากต้องการยกเลิกการเลื่อนจานนั้นให้คลิกที่ ก็จะได้ภาพเดิม
(ง) จานวนครั้ง คือกรอบแสดงตัวเลขที่หมายถึงจานวนครั้งที่เลื่อนจาน ทุกครั้งที่มีการเลื่อนจาน ก็จะมีค่า
เพิ่มขึ้น 1 เสมอ
(จ) ปุ่ม คลิกเมื่อต้องการกลับไปเริ่มต้นใหม่
ทดลองเล่น
(1) A B C (2) A B C
ย้ายจาน 1 ใบจากเสา A ไปยังเสา C
2.3 จาน 2 ใบ
เกมหอคอยฮานอย กาหนดจาน 2 ใบ
ให้ผู้อ่านทดลองเล่นย้ายจาน 2 ใบจากเสา A ไปยัง
เสา C จานวนครั้งที่น้อยที่สุดจะเท่ากับเท่าใด
แนะนาวิธีการเล่น
1. ย้าย จาน #1 ไปเสา B
2. ย้าย จาน #2 ไปเสา C
3. ย้าย จาน #1 จาก B ไป C ไปไว้บนจาน #2
รวมย้ายจานวน 3 ครั้ง
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ทดลองเล่น
A B C
(1) A B C (2) A B C (3) A B C
ย้ายจาน 2 ใบจากเสา A ไปยังเสา C
2.4 จาน 3 ใบ
เกมหอคอยฮานอย กาหนดจาน 3 ใบ
ให้ผู้อ่านทดลองเล่นย้ายจาน 3 ใบจากเสา
A ไปยังเสา C จานวนครั้งที่น้อยที่สุดจะเท่ากับ
เท่าใด
และจะแน่ใจได้อย่างไรว่าน้อยที่สุด
แนะนาวิธีการเล่น
1. ย้าย จาน #1 ไปเสา C
2. ย้าย จาน #2 ไปเสา B
3. ย้าย จาน #1 จากเสา C ไปเสา B ไปไว้บนจาน #2
ตอนนี้ เรามีจาน 2 ใบวางตามลาดับถูกต้องที่เสา B และ เสา C ไม่มีจาน
1. ย้าย จาน #3 ไปไว้ที่ C
2. ทาตามขั้นตอนที่ 1 ถึง 3 เพื่อย้ายจาน #1 และ #2 ไปไว้บนจาน #3
2.1 ย้าย จาน #1 จากเสา B ไปเสา A
2.2 ย้าย จาน #2 จากเสา B ไปเสา C ไปไว้บนจาน #3
2.3 ย้าย จาน #1 จากเสา A ไปเสา C ไปไว้บนจาน #2
รวมย้ายจานวน 7 ครั้ง
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ทดลองเล่น
A B C (1) A B C
(2) A B C (3) A B C (4) A B C
(5) A B C (6) A B C (7) A B C
ย้ายจาน 3 ใบจากเสา A ไปยังเสา C
2.5 ขั้นตอนที่ซับซ้อนขึ้นตามจานวนจาน
เมื่อจานมีจานวนมากขึ้น ขั้นตอนในการย้ายจานจะ
ซับซ้อนขึ้นด้วย
คาถามเดิมคือ
(ก) จานวนครั้งที่น้อยที่สุดที่ทาได้เป็นเท่าใด
และ (ข) จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าเป็นจานวนครั้งที่น้อยที่สุด
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.6 จาน 4 ใบ
ให้ผู้อ่านทดลองเล่นเกมหอคอยฮานอย
โดยใช้จาน 4 ใบ โดยพยายามหากลยุทธ์ในการ
เล่นอย่างไร เพื่อให้ได้จานวนครั้งที่น้อยที่สุด
แนะนาวิธีการเล่น
1. ย้าย จาน #1 ไปเสา B
2. ย้าย จาน #2 ไปเสา C
3. ย้าย จาน #1 จาก B ไป C ไปไว้บนจาน #2
ตอนนี้ เรามีจาน 2 ใบ 2 ชุด วางตามลาดับถูกต้อง และที่เสา B ไม่มีจาน
1. ย้าย จาน #3 ไปไว้ที่ B
2. ทาตามขั้นตอนที่ 1 ถึง 3 เพื่อย้ายจาน #1 และ #2 ไปไว้บนจาน #3
2.1 ย้าย จาน #1 จาก C ไปเสา A
2.2 ย้าย จาน #2 จาก C ไปเสา B ไปไว้บนจาน #3
2.3 ย้าย จาน #1 จาก A ไปเสา B ไปไว้บนจาน #2
ตอนนี้ เรามีจาน 3 ใบ วางตามลาดับถูกต้องที่เสา B และเสา C ไม่มีจาน
…
รวมย้ายจานวน 15 ครั้ง
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ทดลองเล่น
A B C
(1) A B C (2) A B C (3) A B C (4) A B C
(5) A B C (6) A B C (7) A B C (8) A B C
(9) A B C (10) A B C (11) A B C (12) A B C
(13) A B C (14) A B C (15) A B C
ย้ายจาน .4 ใบจากเสา A ไปยังเสา C
2.7 จาน 5 ใบ
ให้ผู้อ่านทดลองเล่นเกมหอคอย
ฮานอยโดยทดลองใช้กลยุทธที่ใช้กับจาน
4 ใบ มาใช้กับจาน 5 ใบ และพิจารณาว่า
การเล่นโดยใช้จาน 5 ใบ ใช้กลยุทธ
เดียวกับการใช้งาน 4 ใบได้หรือไม่ ถ้า
ไม่ได้ ควรปรับปรุงกลยุทธอย่างไร
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.8 จาน 6 ใบ
ให้ผู้อ่านทดลองเล่นเกมหอคอยฮานอยโดย
ใช้จาน 6 ใบ โดยพยายามหากลยุทธ์ในการเล่น
อย่างไร เพื่อให้ได้จานวนครั้งที่น้อยที่สุด
2.9 ข้อคาดการณ์
ในกรณีมีจานจานวนไม่มากนัก เราสามารถสรุปจานวนครั้งที่น้อยที่สุดที่จะย้ายจาน n จาน
จานวนจาน จานวนครั้ง คาดการณ์ได้หรือไม่ว่า ถ้ามีจาน n ใบ จานวนครั้งที่
น้อยสุด น้อยที่สุดในการย้ายจาน จะมีค่าเท่ากับเท่าใด
1 1 คลิกที่
2 3 จะปรากฏหน้าต่าง ทดสอบข้อคาดการณ์
3 7
4 15
5 31
6 63
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.10 ทดสอบข้อคาดการณ์
ก
ง
อธิบายการทางาน (เพิ่มเติม) ข ค
เมื่อเริ่มโปรแกรมจะมีจานให้ 10 ใบ ผู้เล่นต้องทาการเลื่อนจานทั้งหมดจากเสา A ไปยังเสา C
ตามกติกาที่กาหนด
สมมติมีจานทั้งหมด n ใบ เมื่อเริ่มต้นจานทั้งหมดจะมีสีแดง ติดเบอร์ให้กับจานจากเล็กที่สุด 1
ไปจนถึงใหญ่ที่สุด n
(ก) ปุ่ม ด้านขวา สาหรับเลื่อนขึ้น-ลง เพื่อเพิ่ม-ลดจานวนจาน โดยเลื่อนเมาส์ไปที่ เมื่อปรากฏ
ลูกศร  ให้คลิกพร้อมเลื่อนเมาส์ขึ้น-ลง เพื่อเพิ่ม-ลดจานวนจาน โดยภาพหอคอยฮานายจะปรากฏ
การเพิ่ม-ลดจานวนจานให้ทันที
(ข) กรอบแสดงการแนะนาว่า ในขณะนั้นผู้ใช้ควรเลื่อนจานจากเสาใด ไปยังเสาใด โดยจะแสดงเมื่อผู้ใช้
คลิกที่ จะแสดงข้อความว่าควรย้ายจานจากเสาใด ไปเสาใด เช่น แสดงข้อความ
หมายความว่าแนะนาให้ผู้เล่นเลือกย้ายจานจากเสา A ไปยังเสา B
(ค) - ปุ่ม เมื่อผู้ใช้ต้องการให้โปรแกรมแสดงวิธีหาทางย้ายจานให้ได้จานวนครั้งของการย้ายที่
น้อยที่สุด โดยจะเปลี่ยนสีจานทั้งหมด จากสีแดงเป็นสีน้าเงิน เแสดงเป็นขั้นตอนการย้ายจานทีละใบ
ในระหว่างที่โปรแกรมกาลังทางานแสดงวิธีการย้ายจานนั้น หากผู้ใช้ต้องการเล่นต่อเอง ผู้ใช้สามารถ
คลิกที่ปุ่ม เพื่อให้หยุดการเฉลย ซึ่งจานจะเปลี่ยนสีจากสีน้าเงินเป็นสีแดงทันที และผู้เล่น
สามารถเล่นต่อไปได้เอง
- ผู้ใช้จะสามารถกาหนดความเร็วในการแสดงเฉลยได้จาก แถบซึ่งมีปุ่มสีน้าเงินอยู่ภายใน
เป็นการบอกถึงความเร็วในการแสดงเฉลย ด้านล่างของแถบนี้จะ
บอกถึงความเร็วในการแสดงเฉลย เมื่อเริ่มต้นจะกาหนดให้เป็นความเร็ว ถ้าผู้ใช้ต้องการให้
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
โปรแกรมแสดงเฉลยช้าลง ให้คลิกที่ปุ่ม เพื่อเลื่อนปุ่ม ไปทางซ้าย-ขวา เพื่อเพิ่ม-ลดความเร็วใน
การแสดงเฉลย หากความเร็วในการแสดงเฉลยมีค่าเป็น บวก ปุ่มนี้จะเป็นสีน้าเงิน แต่ถ้าความเร็ว
ในการแสดงเฉลยมีค่าเป็นลบ จะทาให้ปุ่มนี้เป็นสีแดง หมายถึงการเฉลยแบบย้อนกลับ
- ปุ่ม เมื่อเลือกให้โปรแกรมเฉลยปัญหาแล้ว ผู้ใช้อาจต้องการเล่นต่อจากขั้นตอน
ของการเฉลย ก็สามารถทาได้โดยคลิกที่ โปรแกรมจะหยุดเฉลย เพื่อให้ผู้ใช้
หาทางเล่นต่อไปเอง
- ปุ่ม เมื่อเลือกให้โปรแกรมเฉลยปัญหาแล้ว ผู้ใช้อาจเปลี่ยนใจ ต้องการเล่นเอง ก็
สามารถทาได้โดยคลิกที่ โปรแกรมก็จะหยุดเฉลย และกลับไปแสดงภาพเดิมก่อนคลิก
(ง) ปุ่ม คลิกเมื่อต้องการกลับไปเริ่มต้นเล่นใหม่
2.11 เริ่มที่เสา B
สมมติว่าขณะเริ่มต้นมีจาน 4 ใบ อยู่ที่เสา A เราทราบ
แล้วว่าการย้ายจานทั้ง 4 ไปที่เสา C จานวนครั้งน้อย
ที่สุดในการย้ายจานเท่ากับ 15 ครั้ง
ลองสมมติใหม่ว่าขณะเริ่มต้นมีจาน 4 ใบอยู่ที่เสา B และ
ต้องการย้ายจานทั้งหมดไปไว้ที่เสา C ด้วยกติกาเดิม คิดว่าจานวน
ครั้งน้อยสุดในการย้ายจานจะเท่ากับเท่าใด
โดยคลิกที่
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.12 ลองย้ายจากเสา B ไปเสา C
ให้ผู้อ่านลองย้ายจาน 4 ใบ จากเสา B ไปยังเสา
C
2.13 สองเสาสมมูลกันหรือไม่
ให้ผู้อ่านลองพิจารณาว่า ในกรณีทั่วไปเมื่อมี
จาน n ใบ จานวนครั้งน้อยสุดในการย้ายจานจากเสา B
ไปเสา C กับ จานวนครั้งน้อยสุดในการย้ายจานจากเสา
A ไปเสา C จะมีค่าเท่ากันหรือไม่ เพราะเหตุใด
2.14 จานวนครั้งน้อยสุดที่ทราบแล้ว
ให้ an เป็นจานวนครั้งที่น้อยที่สุดในการย้ายจาน n ใบ
ในเกมหอคอยฮานอย
เราทราบแล้วว่า
a1 = 1, a2 = 3, a3 = 7, a4 = 15, a5 = 31, a6 = 63
ยิ่งกว่านี้ ถ้าขณะเริ่มต้นวางจานทั้ง n ใบไว้ที่เสา B
จานวนครั้งน้อยสุดในการย้ายจานเหล่านี้ไปไว้ที่เสา C
จะยังคงมีค่าเท่ากับ an
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.15 สร้างความสัมพันธ์
การย้ายจาน n ใบ จากเสา A ไปเสา C ประกอบด้วย
ขั้นตอนหลัก 3 ขั้นตอนดังนี้
1. ย้ายจาน n-1 ใบแรก จากเสา A ไปเสา B (จานวน
ครั้งน้อยสุดในการย้ายเท่ากับ an-1)
2. ย้ายจานใบที่ n จากเสา A ไปเสา C (ใช้จานวนครั้ง
ในการย้าย 1 ครั้ง)
3. ย้ายจาน n-1 ใบแรก จากเสา B ไปเสา C (จานวน
ครั้งน้อยสุดในการย้ายเท่ากับ an-1)
ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่า an = an-1 + 1 + an-1
an = 1 + 2an-1
2.16 หารูปปิดของจานวนครั้งน้อยสุด
จาก an = 1 + 2an-1
ในทานองเดียวกัน เราจะเห็นว่า
an-1 = 1 + 2an-2
an-2 = 1 + 2an-3
…
a2 = 1 + 2a1
ดังนั้น an = 1 + 2an-1
= 1 + 2(1 + 2an-2) = 1 + 2 + 22an-2
= 1 + 2 + 22 (1 + 2an-3) = 1 + 2 + 22 + 23an-3
= 1 + 2 + 22 + 23 (1 + 2an-4) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24an-4
…
= 1 + 2 + 22 + 23 + 2n-1a1
= 1 + 2 + 22 + 23 + 2n-1 (เนื่องจาก a1 = 1)
= 2n-1
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.17 วิเคราะห์การเล่นเมื่อมีจาน 3 ใบ
เมื่อเริ่มต้นด้วยจาน 3 ใบในเสา A
และต้องการย้ายจานทั้งหมดไปที่เสา C
เราจะมีขั้นตอนวิธีในการเล่นอย่างไร
สรุปขั้นตอนวิธีการเล่น
1. ย้าย จาน #1 จากเสา A ไปเสา C
2. ย้าย จาน #2 จากเสา A ไปเสา B
3. ย้าย จาน #1 จากเสา C ไปเสา B ไปไว้บนจาน #2
(ตอนนี้ เรามีจาน 2 ใบวางตามลาดับถูกต้องที่เสา B และ เสา C ไม่มีจาน)
4. ย้าย จาน #3 จากเสา A ไปเสา C
(ทาตามขั้นตอนที่ 1 ถึง 3 เพื่อย้ายจาน #1 และ #2 ไปไว้บนจาน #3)
5. ย้าย จาน #1 จากเสา B ไปเสา A
6. ย้าย จาน #2 จากเสา B ไปเสา C ไปไว้บนจาน #3
7. ย้าย จาน #1 จากเสา A ไปเสา C ไปไว้บนจาน #2
รวมย้ายจานวน 7 ครั้ง
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.18 วิเคราะห์การเล่นเมื่อมีจาน 4 ใบ
เมื่อเริ่มต้นด้วยจาน 4 ใบในเสา A
และต้องการย้ายจานทั้งหมดไปที่เสา C
เราจะมีขั้นตอนวิธีในการเล่นอย่างไร
สรุปขั้นตอนวิธีการเล่น
1. ย้าย จาน #1 จากเสา A ไปเสา B
2. ย้าย จาน #2 จากเสา A ไปเสา C
3. ย้าย จาน #1 จากเสา B ไปเสา C
(ตอนนี้ เรามีจาน 2 ใบวางตามลาดับถูกต้องที่เสา B ไม่มีจาน)
4. ย้าย จาน #3 จากเสา A ไปเสา B
(ทาตามขั้นตอนที่ 1 ถึง 3 เพื่อย้ายจาน #1 และ #2 ไปไว้บนจาน #3)
5. ย้าย จาน #1 จากเสา C ไปเสา A
6. ย้าย จาน #2 จากเสา C ไปเสา B ไปไว้บนจาน #3
7. ย้าย จาน #1 จากเสา A ไปเสา C ไปไว้บนจาน #2
8. ย้าย จาน #4 จากเสา A ไปเสา C ไปไว้บนจาน #2
…
15. ย้าย จาน #1 จากเสา B ไปเสา C ไปไว้บนจาน #2
รวมย้ายจานวน 15 ครั้ง
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.19 ข้อสังเกตในขั้นตอนการย้ายจาน
จากทั้งสองตัวอย่าง เราได้ข้อสังเกต
เกี่ยวกับการย้ายครั้งที่ k ใดๆ ดังนี้
ถ้า k เป็นเลขจานวนคี่ จะเป็นการย้ายจาน #1
ถ้า k เป็นเลขจานวนคู่ จะเป็นการย้ายจานที่
ใหญ่กว่าจาน #1 ซึ่งในขณะนั้นจะเหลือจาน
ใหญ่เพียงใบเดียวที่ย้ายได้ และตาแหน่ง
เป้าหมายก็จะมีเพียงตาแหน่งเดียวด้วย
ฉะนั้นเราจึงสนใจเฉพาะการย้ายจาน #1
เท่านั้น
2.20 วัฏจักรของจานใบเล็กสุด
กรณีที่มีจานเป็นจานวนคี่ใบ (n เป็นจานวนคี่)
ครั้งที่ 1 จะย้ายจาน #1 จากเสา A ไปเสา C
และหลังจากนี้ให้ย้ายจาน 1 ในลักษณะที่วน
ACBACBACB…
กรณีที่มีจานเป็นจานวนคู่ใบ (n เป็นจานวนคู่)
ครั้งที่ 1 จะย้ายจาน #1 จากเสา A ไปเสา B
และหลังจากนี้ให้ย้ายจาน 1 ในลักษณะที่วน
ABCABCABC…
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.21 ลองเล่นเอง
ให้ผู้ใช้ ลองเล่นเอง เพื่อฝึกทักษะการเล่น โดยดู
วิธีการเล่นได้จาก
หัวข้อ 2.2 จาน 1 ใบ และ
หัวข้อ 2.10 ทดสอบข้อคาดการณ์
2.22 วาระสุดท้ายของโลก
จากตานานเกี่ยวกับหอคอยฮานอย
ถ้ามีจานทองคา 64 ใบจริง
เราจะต้องย้ายจานอย่างน้อยกี่ครั้ง
คาตอบคือ
264 – 1 = 18,446,744,073,709,551,615 ครั้ง
หรือประมาณ 18 ล้านล้านล้านครั้ง
ถ้าการย้ายจานแต่ละครั้งใช้เวลาเพียง 1 วินาที
และคานวณเวลาที่ต้องใช้ทั้งหมดในหน่วย ปี
คิดเป็นเวลา 264 – 1 วินาที
2 64  1 2 64  1
หรือ นาที หรือ ชั่วโมง
60 60  60
2 64  1 2 64  1
หรือ วัน หรือ ปี
60  60  24 60  60  24  365
นั่นคือ ถ้ามีจานทองคา 64 ใบจริง
2 64  1
เราจะต้องใช้เวลาย้ายจานอย่างน้อย = 5851011 ปี หรือประมาณ 6 แสนล้านปี
60  60  24  365
(นักวิทยาศาสตร์คาดว่า ปัจจุบันโลกมีอายุประมาณ 4.54 พันล้านปี)
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. เกมที่ท้าทายกว่าเดิม
ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการเล่มเกมที่ท้าทายกว่าเดิม คือการเล่นเมกหอคอยฮานอยโดยมากจะนิยมใช้จ่าน
จานวนสามใบ ย้ายจากเสาหนึ่งไปยังอีกเสาหนึ่ง ซึ่งในความเป็นจริงนั้นอาจนามาประยุกต์ให้ท้าทาย
มากขึ้น ซึ่งอาจเป็นเกมในลักษณะต่อไปนี้
1. ตาแหน่งเริ่มต้นแบบสุ่ม
2. ลองเล่นจาน 4 ใบ
3. ลองเล่นจาน 5 ใบ
4. จานวนครั้งน้อยสุดเมื่อมีจานจานวนน้อย
5. จาน 1 ใบ
6. จาน 2 ใบ
7. จาน 3 ใบ
8. คาถามเมื่อมีจาน 4 ใบ
9. ลองเล่นจาน 4 ใบอีกครั้ง
10. คาถามเมื่อมีจาน 5 ใบ
11. ลองเล่นจาน 5 ใบอีกครั้ง
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอตามลาดับดังนี้
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.1 ตาแหน่งเริ่มต้นแบบสุ่ม
โดยปกติแล้ว หอคอยฮานอยจะเริ่มต้นด้วยการวางจานทั้งหมดไว้ที่เสา A และเราก็ได้ทราบแล้วว่า แม้
จะวางจานทั้งหมดไว้ที่เสา B ก็ไม่ได้ทาให้ปัญหายากขึ้นแต่อย่างได
แต่ถ้าตาแหน่งเริ่มต้นของจานวางไว้อย่างสุ่ม
ปัญหาจะยากขึ้นหรือไม่
และจะคานวณจานวนครั้งน้อยที่สุดในการย้ายจานได้อย่างไร
3.2 ลองเล่นจาน 4 ใบ
ถ้ามีจาน 4 ใบ วางบนเสาอย่างสุ่ม ให้ผู้อ่านย้ายจานทุก
ใบไปไว้ที่เสา C โดยใช้กติกาการเล่นเกมหอคอยฮานอย
ควรย้ายอย่างไร และจะได้จานวนครั้งน้อยที่สุดเท่าใด
ให้ผู้ใช้ลองเล่นเอง เพื่อฝึกทักษะการเล่น โดยดู
วิธีการเล่นได้จาก
หัวข้อ 2.2 จาน 1 ใบ และ
หัวข้อ 2.10 ทดสอบข้อคาดการณ์
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.3 ลองเล่นจาน 5 ใบ
ถ้ามีจาน 5 ใบ วางบนเสาอย่างสุ่ม ให้ผู้อ่าน
ย้ายจานทุกใบไปไว้ที่เสา C โดยใช้กติกาการเล่นเกม
หอคอยฮานอย ควรย้ายอย่างไร และจะได้จานวนครั้ง
น้อยที่สุดเท่าใด
ให้ผู้ใช้ ลองเล่นเอง เพื่อฝึกทักษะการเล่น โดยดู
วิธีการเล่นได้จาก หัวข้อ 2.2 จาน 1 ใบ และ หัวข้อ
2.10 ทดสอบข้อคาดการณ์
3.4 จานวนครั้งน้อยสุดเมื่อมีจานจานวนน้อย
เราจะลองเล่นเกมที่ท้าทายนี้เมื่อมีจานไม่เกิน
3 ใบ โดยทดลองสุ่มตาแหน่งเริ่มต้นที่ต่างๆ กัน แล้ว
พยายามหาข้อสรุปเกี่ยวกับจานวนครั้งน้อยที่สุด ในการ
ย้ายจานทั้งหมดไปไว้ที่เสา C
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.5 จาน 1 ใบ
ถ้ามีจาน 1 ใบ วางบนเสาอย่างสุ่ม ให้ผู้อ่าน
ย้ายจานไปไว้ที่เสา C โดยใช้กติกาการเล่นเกมหอคอย
ฮานอย สาหรับแต่ละตาแหน่งเริ่มต้น ควรย้ายอย่างไร
และจะได้จานวนครั้งน้อยที่สุดเท่าใด
ปุ่ม สาหรับสุ่มตาแหน่งของจานเริ่มต้นใหม่
ปุ่ม เมื่อผู้เล่นต้องการเริ่มต้นเล่นใหม่ กับตาแหน่งของจานเริ่มต้น...
ให้ผู้ใช้ ลองเล่นเอง เพื่อฝึกทักษะการเล่น โดยดูวิธีการเล่นได้จาก
หัวข้อ 2.2 จาน 1 ใบ และ หัวข้อ 2.10 ทดสอบข้อคาดการณ์
3.6 จาน 2 ใบ
ถ้ามีจาน 2 ใบ วางบนเสาอย่างสุ่ม ให้ผู้อ่าน
ย้ายจานทุกใบไปไว้ที่เสา C โดยใช้กติกาการเล่นเกม
หอคอยฮานอย สาหรับแต่ละตาแหน่งเริ่มต้น ควรย้าย
อย่างไร และจะได้จานวนครั้งน้อยที่สุดเท่าใด
ให้ผู้ใช้ ลองเล่นเอง เพื่อฝึกทักษะการเล่น โดยดูวิธีการเล่นได้จาก
หัวข้อ 2.2 จาน 1 ใบ และ หัวข้อ 2.10 ทดสอบข้อคาดการณ์
ปุ่ม สาหรับสุ่มตาแหน่งของจานเริ่มต้นใหม่
ปุ่ม เมื่อผู้เล่นต้องการเริ่มต้นเล่นใหม่ กับตาแหน่งของจานเริ่มต้น...
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.7 จาน 3 ใบ
ถ้ามีจาน 3 ใบ วางบนเสาอย่างสุ่ม ให้ผู้อ่าน
ย้ายจานทุกใบไปไว้ที่เสา C โดยใช้กติกาการเล่นเกม
หอคอยฮานอย สาหรับแต่ละตาแหน่งเริ่มต้น ควรย้าย
อย่างไร และจะได้จานวนครั้งน้อยที่สุดเท่าใด
ให้ผู้ใช้ ลองเล่นเอง เพื่อฝึกทักษะการเล่น โดยดู
วิธีการเล่นได้จาก
หัวข้อ 2.2 จาน 1 ใบ และ หัวข้อ 2.10
ทดสอบข้อคาดการณ์
ปุ่ม สาหรับสุ่มตาแหน่งของจานเริ่มต้นใหม่
ปุ่ม เมื่อผู้เล่นต้องการเริ่มต้นเล่นใหม่ กับตาแหน่งของจานเริ่มต้น
3.8 คาถามเมื่อมีจาน 4 ใบ
ถ้ามีจานทั้งหมด 4 ใบ ให้ลองตอบคาถามต่อไปนี้
1. เราจะสุ่มตาแหน่งเริ่มต้นได้ทั้งหมดกี่แบบ ที่
แตกต่างกัน
2. จานวนครั้งน้อยที่สุดในการย้ายจาน ควรขึ้นกับ
ตาแหน่งเริ่มต้นหรือไม่
3. มีวิธีในการหาจานวนครั้งน้อยสุด เมื่อกาหนดตาแหน่งเริ่มต้นให้หรือไม่
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.9 ลองเล่นจาน 4 ใบอีกครั้ง
ถ้ามีจาน 4 ใบ วางบนเสาอย่างสุ่ม ให้ผู้อ่าน
ย้ายจานทุกใบไปไว้ที่เสา C โดยใช้กติกาการเล่นเกม
หอคอยฮานอย ลองสุ่มตาแหน่งเริ่มต้นหลายๆ แบบ
สาหรับแต่ละตาแหน่งเริ่มต้นควรย้ายอย่างไร และจะได้
จานวนครั้งน้อยที่สุดเท่าใด และพยายามตอบคาถามที่
ให้ไว้
ให้ผู้ใช้ ลองเล่นเอง เพื่อฝึกทักษะการเล่น โดยดู
วิธีการเล่นได้จาก
หัวข้อ 2.2 จาน 1 ใบ และ หัวข้อ 2.10 ทดสอบข้อคาดการณ์
ปุ่ม สาหรับสุ่มตาแหน่งของจานเริ่มต้นใหม่
ปุ่ม เมื่อผู้เล่นต้องการเริ่มต้นเล่นใหม่ กับตาแหน่งของจานเริ่มต้น
3.10 คาถามเมื่อมีจาน 5 ใบ
ถ้ามีจานทั้งหมด 5 ใบ ให้ลองตอบคาถามต่อไปนี้
1. เราจะสุ่มตาแหน่งเริ่มต้นได้ทั้งหมดกี่แบบ ที่
แตกต่างกัน
2. จานวนครั้งน้อยที่สุดในการย้ายจาน ควรขึ้นกับ
ตาแหน่งเริ่มต้นหรือไม่
3. มีวิธีในการหาจานวนครั้งน้อยสุด เมื่อกาหนด
ตาแหน่งเริ่มต้นให้หรือไม่
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.11 ลองเล่นจาน 5 ใบอีกครั้ง
ถ้ามีจาน 5 ใบ วางบนเสาอย่างสุ่ม ให้ผู้อ่าน
ย้ายจานทุกใบไปไว้ที่เสา C โดยใช้กติกาการเล่นเกม
หอคอยฮานอย ลองสุ่มตาแหน่งเริ่มต้นหลายๆ แบบ
สาหรับแต่ละตาแหน่งเริ่มต้นควรย้ายอย่างไร และจะได้
จานวนครั้งน้อยที่สุดเท่าใด และพยายามตอบคาถามที่
ให้ไว้
ให้ผู้ใช้ ลองเล่นเอง เพื่อฝึกทักษะการเล่น โดยดูวิธีการเล่นได้จาก
หัวข้อ 2.2 จาน 1 ใบ และ หัวข้อ 2.10 ทดสอบข้อคาดการณ์
ปุ่ม สาหรับสุ่มตาแหน่งของจานเริ่มต้นใหม่
ปุ่ม เมื่อผู้เล่นต้องการเริ่มต้นเล่นใหม่ กับตาแหน่งของจานเริ่มต้น
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. การวิเคราะห์แบบคิดย้อนกลับ
ในหัวข้อนี้ ผู้อ่านจะได้วิเคราะห์หาขั้นตอนการเล่นให้จานวนครั้งในการย้ายจานมีค่าน้อยที่สุด โดยใช้
วิธีการวิเคราห์แบบคิดย้อนกลับ และสุดท้ายจะได้วิธีการหาจานวนครั้งน้อยสุดในการย้ายจานจานวนต่างๆ กัน
การวิเคราะห์แบบคิดย้อนกลับ ประกอบด้วย
1. ลองเล่นเกมปกติ
2. การคิดย้อนกลับ
3. ลองเล่นเกมท้าทาย
4. คิดย้อนกลับอีกครั้ง
5. ฝึกการคิดย้อนกลับ
6. การย้ายครั้งแรก เมื่อมีจาน 5 ใบ
7. การย้ายครั้งแรก เมื่อมีจาน 6 ใบ
8. การย้ายครั้งแรก เมื่อมีจาน 7 ใบ
9. จานวนครั้งน้อยสุด เมื่อมีจาน 4 ใบ
10. วิเคราะห์ขั้นตอนการเล่น
11. วิเคราะห์จานวนครั้งน้อยสุด
12. จานวนครั้งน้อยสุด เมื่อมีจาน 5 ใบ
13. หาจานวนครั้งน้อยสุด เมื่อมีจาน 5 ใบ
14. จานวนครั้งน้อยสุด เมื่อมีจาน 6 ใบ
15. หาจานวนครั้งน้อยสุด เมื่อมีจาน 6 ใบ
16. สรุปการหาจานวนครั้งน้อยสุด
17. จาน 7 ใบ
18. จาน 8 ใบ
19. จาน 9 ใบ
20. จาน 10 ใบ
21. ทดสอบความเข้าใจ
22. ลองเล่นเอง
35