1. บทที่ 3
ระบบสมการเชิงเสน (14 ชั่วโมง)
3.1 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร (3 ชั่วโมง)
3.2 การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรและกราฟ (5 ชั่วโมง)
3.3 โจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปร (6 ชั่วโมง)
เนื้อหาในบทนี้ตองการใหนักเรียนมีความรูเกี่ยวกับระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่มีสองสมการ
และกราฟของระบบสมการ การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชสมบัติของการเทากันและ
ใชกราฟของระบบสมการ และนําความรูที่ไดไปแกโจทยปญหา
ในบทนี้ไมเนนการฝกทักษะในการหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชกราฟ
ที่นําเสนอไวมีเจตนาเพียงใหนักเรียนไดรูจักวิธีการเทานั้น เพราะปจจุบันมีเครื่องมือที่สามารถแสดงกราฟ
และคําตอบของระบบสมการใหเห็นไดโดยงาย เชน เครื่องคํานวณเชิงกราฟ แตในการเรียนเรื่องนี้ยัง
ตองการใหนักเรียนไดรูจักใชกราฟเพื่อการวิเคราะหเกี่ยวกับคําตอบของระบบสมการ
สําหรับโจทยปญหาในบทนี้ จะเนนเฉพาะโจทยปญหาเกี่ยวกับจํานวน อัตราสวนและรอยละ
ระยะทาง อัตราเร็วและเวลา สําหรับโจทยปญหาอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร เชน
โจทยเกี่ยวกับกระแสน้ํา รถไฟ และแรงงานจะเปนสาระที่นักเรียนจะไดเรียนในหนังสือเรียนสาระ
การเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรและแปลความหมายกราฟของระบบสมการได
2. นําระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรไปใชแกปญหาได
3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

2. 60
แนวทางในการจัดการเรียนรู
3.1 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร (3 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1) เขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร และแปลความหมายกราฟของ
ระบบสมการได
2) หาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรจากกราฟที่กําหนดใหได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูทบทวนความรูเรื่องสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่นักเรียนเคยเรียนมาแลวในบทที่ 2 เรื่อง
กราฟ อาจใชการอภิปรายซักถามเกี่ยวกับรูปทั่วไปของสมการเชิงเสนสองตัวแปร ใหนักเรียนยกตัวอยาง
สมการ บอกคูอันดับที่สอดคลองกับสมการและเขียนกราฟของสมการ แลวเพิ่มเติมความรูเกี่ยวกับการหา
คําตอบและกราฟแสดงคําตอบของสมการที่กลาวไวในหัวขอนี้ จากนั้นใหชวยกันสรุปวาสมการเชิงเสน
สองตัวแปร Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B, C เปนคาคงตัวที่ A และ B ไมเทากับศูนยพรอมกัน มีคูอันดับ
ที่เปนคําตอบมากมายนับไมถวน
2. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับปญหาที่นักเรียนพบเห็นในชีวิตประจําวัน เชน ปญหาเกี่ยวกับจํานวน
ดังเสนอไวในหนังสือเรียน ใหนักเรียนเห็นความสัมพันธของปริมาณสองปริมาณ เพื่อนําไปสูระบบ
สมการเชิงเสนสองตัวแปร ซึ่งระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่เราจะศึกษาในหัวขอนี้ เปนระบบสมการ
เชิงเสนที่มีตัวแปรสองตัวและมีสมการสองสมการเทานั้น
3. การเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ในชั้นนี้ครูควรใหนักเรียนใชกระดาษ
กราฟ แนะนําใหนักเรียนใชมาตราสวนเดียวกันและความยาวตอหนวยเทากันบนแกนทั้งสอง ทั้งนี้เพื่อ
ความสะดวกในการเขียน อาน และแปลความหมายกราฟของระบบสมการ
4. ตัวอยางการใชกราฟหาคําตอบของระบบสมการ นอกจากแสดงการหาคําตอบของระบบ
สมการแลว ยังมีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นวา จํานวนคําตอบของระบบสมการเปนอยางหนึ่งอยางใดใน
3 แบบ คือ มีคําตอบเดียว มีหลายคําตอบ หรือไมมีคําตอบ
5. การเขียนกราฟในแบบฝกหัด 3.1 ครูควรแนะนําใหนักเรียนหาคูอันดับที่สอดคลองกับ
สมการมาอยางนอย 3 คู ดังที่เคยเรียนมาแลวในเรื่องกราฟ แมวาจะไมมีการแสดงคูอันดับที่สอดคลองกับ
สมการใหเห็นในตัวอยาง

3. 61
3.2 การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรและกราฟ (5 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1) แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชสมบัติของการเทากันได
2) ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. การหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชสมบัติของการเทากัน ในที่นี้ไมได
แสดงการตรวจสอบคําตอบดวยเหตุผลดังกลาวไวในหนังสือเรียนหนา 127 ซึ่งเปนไปตามทฤษฎีบท
เกี่ยวกับสมการ ครูควรย้ํากับนักเรียนวาหากไมแนใจในการคํานวณ นักเรียนควรตรวจสอบคําตอบใน
กระดาษทดโดยไมตองเขียนแสดงการตรวจสอบใหเห็นก็ได
2. ครูทบทวนสมบัติของการเทากันโดยยกตัวอยางประกอบเพื่อใหเห็นจริง ใหนักเรียนรวมกัน
อภิปรายและระบุสมบัติที่นํามาใช พรอมทั้งทําความเขาใจเกี่ยวกับสัญลักษณที่ใชในขั้นตอนการแกระบบ
สมการ เชน 1 + 2 และ 2 × 3 เปนตน
3. ในตัวอยางที่ 1 ถึงตัวอยางที่ 3 หลังจากแกระบบสมการโดยใชสมบัติของการเทากันแลว ได
เขียนกราฟของระบบสมการเพื่อตรวจสอบคําตอบ และแสดงใหเห็นวาคําตอบที่อานจากกราฟและจากการ
คํานวณตรงกัน ในกรณีที่ระบบสมการมีคําตอบมากมายไมจํากัด นักเรียนตองระบุคําตอบในรูปทั่วไปซึ่ง
ในชั้นนี้เพื่อใหนักเรียนเขาใจงายขึ้น จึงเขียนคําตอบอยูในรูปคูอันดับที่ติดคา x เมื่อให x เปนคาคงตัวที่ไม
ทราบคา ดังในตัวอยางที่ 3 เขียนคําตอบอยูในรูป ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
2
3x
,x เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ
4. ในตัวอยางที่ 6 ไดแสดงการขจัดตัวแปรโดยใชการแทนคา ซึ่งการแทนคาที่อางถึงนี้เปนการ
ใชสมบัติของการเทากันอยูหลายขั้นตอน

4. 62
3.3 โจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปร (6 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1) ใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรแกโจทยปญหาได
2) ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 3.3
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูนําเขาสูบทเรียนโดยใชปญหาในกิจกรรมเสนอแนะ 3.3 เพื่อใหนักเรียนเห็นประโยชน
ของการใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรมาแกโจทยปญหา ซึ่งถาใชสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวอาจทํา
ไมได หรือถาทําไดก็จะยุงยากมาก ตอจากนั้นใหนักเรียนรวมกันวิเคราะหโจทยปญหาเปนขั้นตอนดังที่
เสนอเปนตัวอยางไว
2. การแกโจทยปญหาโดยใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรยังตองมีการตรวจสอบคําตอบกับ
เงื่อนไขในโจทย ทั้งนี้เพื่อตรวจสอบวาระบบสมการที่หามาไดและการคํานวณถูกตองหรือไม
3. โจทยปญหาบางขออาจตองใชความรูอื่น ๆ ที่นักเรียนเคยทราบมาแลว เชน สัดสวน
เพื่อนําไปสูสมการเชิงเสนสองตัวแปรดังในตัวอยางที่ 4
4. กิจกรรม “หาไดอยางไร” แสดงใหเห็นการนําระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรไปใชในการ
สรางสมการเชิงเสนสองตัวแปรตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนดในรูป y = ax + b เมื่อ a และ b เปนคาคงตัว
ที่ไมทราบคา ในที่นี้ไดกําหนดคา x และ y มา 2 ชุด เพื่อหาคา a และ b หลังจากไดคา a และ b
แลวจะไดสมการเชิงเสนสองตัวแปรตามตองการซึ่งสามารถนําไปใชแกปญหาตอไป
สําหรับนักเรียนที่เรียนเรื่องการแปรผันมาแลว ครูอาจเชื่อมโยงใหเห็นวาโจทยปญหาเกี่ยวกับ
การแปรผันบางเรื่อง อาจตองใชความรูในเรื่องระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรมาใชในการแกปญหา
ดังตัวอยางในกิจกรรมนี้

5. 63
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบแบบฝกหัด 3.1
1.
1)
Y
2
2 4
4
6
8
6 80
-2
-2-4
-4
-6
-6
-8
2x + 3y = 7
x + 2y = 4
-8
X
จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้มีคําตอบเดียว
2)
2
2 4
4
6
8
6 80
-2
-2-4
-4
-6
-6
-8
2y + 2x = -4
y + x = -2
-8
Y
X
จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้มีหลายคําตอบ

6. 64
3)
2
2 4
4
6 80
-2
-2-4
-4
-6
-6
-8
2x – 6y = 8
x – 3y = 6
-8
6
8
Y
X
จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้ไมมีคําตอบ
4)
2
2 4
4
6
6 8
8
0
-2
-2-4
-4
-6
-6
-8
-8
4x + 2y = -6
2x + y = -3
Y
X
จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้มีหลายคําตอบ

7. 65
5)
Y
X
2
2 4
4
6
8 2y – x = 6
6 80
-2
-2-4
-4
-6
-6
-8
-8
2y = x – 4
จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้ไมมีคําตอบ
6)
2
2 4
4
6
6 8
8
0
-2
-2-4
-4
-6
-6
-8
-8
2x – 3y – 14 = 0
3x + 2y = 8
Y
X
จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้มีคําตอบเดียว
2.
1) มีคําตอบ
2) ไมมีคําตอบ
3) มีคําตอบเดียว คือ (2, 1)

8. 66
4) มีคําตอบเดียว คือ (3, -3)
5) มีคําตอบเดียว คือ (-2, 3)
6) มีคําตอบ
คําตอบแบบฝกหัด 3.2
1.
1) คําตอบคือ (1, 1)
2
2 4
4
6
6 8
8
0
-2
-2-4
-4
-6
-6
-8
-8
3x + 2y = 5
x + 7y = 8
(1, 1)
Y
X
2) คําตอบคือ (2, -1)
8
2
2 4
4
60
-2
-2-4
-4
-6
-6
-8
-8
3x – y = 7
4x – 3y – 11 = 0
(2, -1)
6
8
Y
X

9. 67
3) คําตอบคือ (-4, -3)
2
2 4
4
6
6 8
8
0
-2
-2-4
-4
-6
-6
-8
-8
3x + 4y = -24
3x – 4y = 0
(-4, -3)
Y
X
4) ไมมีคําตอบ
2
2 4
4
6
8
6 80
-2
-2-4
-4
-6
-6
-8
2x + 4y – 5 = 0
x + 2y – 1 = 0
-8
Y
X

10. 68
5) ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรมีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูป ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
3
124x
,x
เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ
6) คําตอบคือ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
12
1
,12
5
x = 3
4 y + 3
Y
X
2
2 4
4
6
8
0 6 8
-2
-2-4
-4
-6
-6
-8
-8
4x – 3y = 12
x + y = 1
2
x – 3y = 1
6
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
12
1
,
12
5
-1
1
1
0-1
Y
X

11. 69
7) ไมมีคําตอบ
Y
8) ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้มีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูป (x, 2x – 4)
เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ
2.
1) (29, 36)
2) ไมมีคําตอบ
3) มีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูป ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
2
2x4
,x เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ
X
2
2 4
4
6
8
6 80
-2
-2-4
-4
-6
-6
-6x + 9y = -12
-8
2x – 3y = 5 -8
y – 2x = -4
x – 1
2 y = 2
-8 -6 -4 86
2
2 4
4
6
8
0
-2
-2
-4
-6
-8
Y
X

12. 70
4) (5, -3)
5) มีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูป ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
3
124x
,x เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ
6) (1.1, -0.2)
7) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
19
11
,19
31
8) ไมมีคําตอบ
9) มีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูป ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
9
74x
,x เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ
10) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 3,2
1
-
11) (0, 3)
12) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 2-,2
9
-
คําตอบแบบฝกหัด 3.3
1. 15 และ 2
5
2. 95
แนวคิด ให x แทนเลขโดดในหลักสิบ
y แทนเลขโดดในหลักหนวย
จํานวนที่มีสองหลักที่ตองการคือ 10x + y
เมื่อสลับหลักของเลขโดดทั้งสอง จะได จํานวนใหมเปน 10y + x
จะไดระบบสมการเปน x – y = 4 ------------ 1
(10x + y) + (10y + x) = 154 ------------ 2
3. มะลิซื้อสมโอผลเล็ก 20 ผล ผลใหญ 10 ผล
4. 105 องศา, 32 องศา และ 43 องศา
5. ติ๊กมีเหรียญสิบบาท 80 เหรียญ และมีเหรียญหนึ่งบาท 120 เหรียญ
6. ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทากับ 48 เซนติเมตร
ความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทา เทากับ 24 เซนติเมตร

13. 71
7. ในสระนี้มีดอกบัว 3 ดอก และนกกระจาบ 4 ตัว
แนวคิด ให x แทนจํานวนนกกระจาบทั้งหมด
และ y แทนจํานวนดอกบัวทั้งหมด
ถานกจับดอกบัวดอกละ 1 ตัว จะตองมีนกที่จับดอกบัวอยู y ตัว
แตโจทยบอกวา เหลือนก 1 ตัวที่ไมมีบัวจับ
จะได x – y = 1 ------------- 1
ถานกจับดอกบัวดอกละ 2 ตัว จะมีบัวที่นกจับอยู 2
x ดอก
แตโจทยบอกวา เหลือดอกบัว 1 ดอกที่ไมมีนกจับ
จะได y – 2
x = 1 ------------- 2
8. แสนดีออมเงินได 764 บาท
เสาวนียออมเงินได 588 บาท
9. รัตนานําเงินฝากธนาคาร 40,000 บาท และนําไปลงทุน 80,000 บาท
10. พอคาใชกาแฟชนิดราคากิโลกรัมละ 170 บาท 25 กิโลกรัม
ใชกาแฟชนิดราคากิโลกรัมละ 150 บาท 5 กิโลกรัม
11. แมคาขายสมชนิดแรกได 64 กิโลกรัม
ขายสมชนิดที่สองได 6 กิโลกรัม
12. อัตราสวนของขาวกลองตอขาวมันปูโดยน้ําหนักเปน 7 : 4
13. 12.30 น.
14.
1) 35 กิโลเมตรตอชั่วโมง
2) 26.25 กิโลเมตร
15.
1) อนขับรถยนตดวยอัตราเร็ว 80 กิโลเมตรตอชั่วโมง
เอกขับรถยนตดวยอัตราเร็ว 90 กิโลเมตรตอชั่วโมง
2) 120 กิโลเมตร

14. 72
คําตอบกิจกรรม “หาไดอยางไร”
สมการแสดงความสัมพันธระหวางรายไดแตละเดือนกับยอดขายตลอดเดือนเปน
y = 0.05x + 7,200 เมื่อ x แทนยอดขายตลอดเดือน และ y แทนรายไดแตละเดือน
เขาจะมีรายได 19,725 บาท
แนวคิด ให x แทนยอดขายตลอดเดือน
y แทนรายไดแตละเดือน
a แทนเปอรเซ็นตจากยอดขายตลอดเดือน
b แทนเงินเดือน
ใหสมการแสดงความสัมพันธระหวางรายไดแตละเดือนกับยอดขายตลอดเดือนได
เปน y = ax +b
เดือนแรกมีรายได 15,000 บาท จากยอดขาย 156,000 บาท
จะได 15,000 = 156,000a + b ---------- 1
และเดือนที่สองมีรายได 17,200 บาท จากยอดขาย 200,000 บาท
จะได 17,000 = 200,000a + b ---------- 2

15. 73
กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

16. 74
กิจกรรมเสนอแนะ 3.3
กิจกรรมนี้เสนอไวเพื่อใชจูงใจใหนักเรียนเห็นประโยชนและขั้นตอนของการแกโจทย
ปญหาโดยใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร
หลานและปูสนทนากัน หลานพยายามถามอายุของคุณปู แตปูไมตอบตรง ๆ กลับบอกวา
“ปจจุบันครึ่งหนึ่งของอายุของปูเทากับสี่เทาของอายุของหลานลบออกเสีย 6 และอีก 6 ปขางหนา อายุของปู
ก็จะเปนหาเทาของอายุของหลาน”
นักเรียนคิดวาปจจุบันปูอายุเทาไร
คําตอบกิจกรรม
ปจจุบันปูมีอายุ 84 ป
ขั้นตอนการแกโจทยปญหาโดยใชระบบสมการอาจทําได 5 ขั้นตอน ดังนี้
1) วิเคราะหโจทยปญหา
โจทยถามอะไร : อายุปจจุบันของคุณปู
โจทยกําหนดอะไร : ปจจุบันครึ่งหนึ่งของอายุของปูเทากับ 4 เทาของอายุของหลาน
ลบดวย 6 และอีก 6 ปขางหนา อายุของปูจะเปน 5 เทาของ
อายุของหลาน
2) กําหนดตัวแปร ใหปจจุบันปูมีอายุ x ป หลานมีอายุ y ป
3) เขียนระบบสมการ จะได 2
x = 4y – 6 ---------- 1
และ x + 6 = 5(y + 6) ---------- 2
4) แกระบบสมการ จากสมการ 1 จะได
x = 8y – 12 ---------- 3
แทน x ดวย 8y – 12 ในสมการ 2 จะได
(8y – 12) + 6 = 5(y + 6)
8y – 6 = 5y + 30
3y = 36
y = 12
แทน y ดวย 12 ในสมการ 3 จะได

17. 75
x = 8(12) – 12
= 84
5) ตรวจสอบคําตอบ ถาปจจุบันปูมีอายุ 84 ป และหลานอายุ 12 ป
ครึ่งหนึ่งของอายุของปูเทากับ 2
84 = 42 ป
สี่เทาของอายุของหลานลบออกเสีย 6 เทากับ 4 × 12 = 48 ป
จะได 42 = 48 – 6
อีก 6 ปขางหนา ปูจะมีอายุ 84 + 6 = 90 ป
และหลานจะมีอายุ 12 + 6 = 18 ป
จะได 90 = 5 × 18
ซึ่งเปนจริงตามเงื่อนไขในโจทย
ดังนั้น ปจจุบันปูมีอายุ 84 ป